资源简介

5.5　三角恒等变换
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【考点梳理】
考点一　两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R
两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R
考点二　两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R
两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R
考点三：　两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正切 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
考点四：二倍角的正弦、余弦、正切公式
【题型归纳】
题型一：两角和与差的余弦公式
一：用和差余弦公式进行化简求值
1．（2021·全国·高一课时练习）（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全国·高一课时练习）已知均为锐角，且，则（ ）
A．0 B． C． D．1
3．（2021·江苏如皋·高一月考）已知，均为锐角，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
二：逆用和差余弦公式进行化简求值
4．（2021·全国·高一课时练习）的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高一课时练习）（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·贵州·兴仁市凤凰中学高一期末）（ ）
A． B． C． D．
题型二：两角和与差的正弦公式
一：用和差正弦公式进行化简求值
7．（2021·北京·中国农业大学附属中学高一期末）的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·河南·郑州四中高一月考）若，，则为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知都是锐角，，，则（ ）
A．1 B． C． D．
二：逆用和差正弦公式进行化简求值
10．（2021·全国·高一课时练习）化简，得（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·北京市昌平区实验学校高一期中）（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·江苏·高一月考）（ ）
A． B．
C． D．
题型三：两角和与差的正切公式
一：用和差正切公式进行化简求值
13．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·全国·高一课时练习）计算（ ）
A． B．1 C． D．
15．（2021·全国·高一课时练习）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
二：逆用和差正切公式进行化简求值
16．（2021·陕西阎良·高一期末）（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·全国·高一单元测试）的值等于（ ）
A．tan 42° B．tan 3° C．1 D．tan 24°
18．（2021·河南商丘·高一月考）（ ）
A．1 B． C．2 D．3
题型四：两角和与差的三角函数综合应用
19．（2021·全国·高一课时练习）求值：．
20．（2021·全国·高一课时练习）求下列各式的值：
（1）； （2）．
21．（2021·全国·高一课时练习）化简：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
题型五：二倍角公式的运用
22．（2021·河南·高一期末）已知角的终边过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
23．（2021·河北张家口·高一期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
24．（2021·全国·高一课时练习）的化简结果为（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
一、单选题
25．（2022·全国·高三专题练习）已知cos α＝－，α∈，则sin等于（ ）
A．－ B． C．－ D．
26．（2022·全国·高三专题练习）已知tan＝2，则tan α＝（ ）
A． B．－ C． D．－
27．（2021·全国·高一课时练习）化简，得（ ）
A． B． C． D．
28．（2021·甘肃张掖·高一期末（理））如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终边分别是射线和射线，且射线和射线关于轴对称，射线与单位圆的交点为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
29．（2021·全国·高一课时练习）若角α满足，则＝（　　）
A． B． C． D．
30．（2021·全国·高一单元测试）已知，，，则＝（　　）
A． B． C． D．
31．（2021·江西·九江一中高一月考）如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边、，已知以直角边、为直径的半圆的面积之比为，记∠ABC＝α，则4cos2α+sin2α＝（ ）
A． B． C． D．
32．（2021·全国·高一课时练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
33．（2021·四川·仁寿一中高一开学考试）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
34．（2021·河北·张家口市第一中学高一月考）设，均为锐角，且，则的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
【高分突破】
一：单选题
35．（2021·江苏·常熟市中学高一月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
36．（2021·江苏·盐城中学高一月考）化简可得（ ）
A． B．
C． D．
37．（2021·浙江·乐清市知临中学高一期末）对于任意的，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
38．（2021·江苏·金陵中学高一月考）的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
39．（2021·云南·罗平县第二中学高一月考）已知，则的最大值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
40．（2021·江苏省外国语学校高一期中）中，，，则（ ）
A． B． C． D．-11
二、多选题
41．（2021·江苏·吴江汾湖高级中学高一月考）下列式子结果为的是（ ）
①；
②；
③；
④．
A．① B．② C．③ D．④
42．（2021·江苏淮安·高一月考）下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C．cos2－sin2 D．cos76°cos16°+cos14°sin16°
43．（2021·江苏江宁·高一期中）下列格式中，值等于的是（ ）
A．
B．
C．
D．
44．（2021·江苏鼓楼·高一期中）在下列选项中，正确的是（ ）
A．
B．
C．存在角α，β，使得sin（α+β）D．对于任意角α，β，式子cos（α+β）45．（2021·重庆市第二十九中学校高一期中）下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
46．（2021·河北衡水中学高一期末）已知，且，则__．
47．（2021·全国·高一课时练习）化简sin(α＋60°)＋2sin(α－60°)－cos(120°－α)的结果是______.
48．（2021·全国·高一课时练习）化简：________．
49．（2021·四川·成都外国语学校高一月考（文））已知α∈（0，），β∈（﹣π，﹣），sinα＝，cosβ＝，则α+2β的值为______
50．（2021·全国·高一课时练习）已知，则_________．
四、解答题
51．（2021·广东·揭阳第一中学高一期末）（1）已知，求；
（2）计算：.
52．（2021·全国·高一课时练习）已知是第一象限角，且，求的值．
53．（2021·全国·高一课时练习）求下列各式的值：
（1）； （2）．
54．（2021·全国·高一课时练习）把下列各式化为和或差的形式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
55．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
（3）已知，化简；
（4）已知，，求的值.
【答案详解】
1．B
解：
故选：B
2．D
【详解】
，
，
即，
所以，
因为均为锐角，所以，
所以，
所以，
故选：D
3．D
【详解】
依题意，均为锐角，
，
，
所以，
而，所以.
故选：D
4．A
【详解】
原式.
故选：A
5．B
解：
.
故选：B.
6．A
【详解】
由题意，
故选：A
7．D
【详解】
由题意，
故选：D
8．B
解：，
，即，
，
，
．
故选：．
9．D
【详解】
由于，所以，
所以，
所以
.
故选：D
10．A
【详解】
由，，
∴.
故选：A
11．A
【详解】
.
故选：A
12．D
【详解】
，
故选：D.
13．A
【详解】
因为，
所以,
则,
因为,
则,
所以,
，
所以,
故选：A
14．C
【详解】
由题意，
故选：C
15．B
【详解】
由题意，.
故选：B.
16．B
【详解】
故选：B
17．A
【详解】
∵tan 60°＝，∴原式＝tan(60°－18°)＝tan 42°.
故选：A.
18．A
【详解】
．
故选：A
19．
解：
，
，
原式，
20．（1）
.
（2）
.
21．
解：
；
（2）
解：；
（3）
解：因为，
所以，
所以原式；
（4）
解：．
22．C
因为角的终边过点，
所以，，
所以.
故选：C
23．A
【详解】
由题知，.
故选：A.
24．B
【详解】
故选：B.
25．C
【详解】
∵α∈，且cos α＝－，
∴sin α＝－，
∴sin＝－×＋×＝.
故选：C
26．A
【详解】
tan＝＝2，解得tan α＝.
故选：A
27．B
【详解】
.
故选：B
28．D
【详解】
由任意角的三角函数的定义可得，，，
因，且射线和射线关于轴对称，则射线OB与单位圆的交点为，于是得，，
因此，，
所以的值是.
故选：D
29．C
【详解】
因为，可得，
两边平方，可得，
所以．
故选：C.
30．C
【详解】
∵，
∴，．
∵，
∴，则cos()＝，
∵，
∴sin()＝．
＝cos()cos()+sin()sin()
＝．
故选：C．
31．A
【详解】
如图，
由题意，以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为，则半径比为，所以，
不妨设AC=1，AB=2，易知，所以,
所以，则，
于是，.
故选：A.
32．B
【详解】
由得，，
又，所以，，所以．
故选：B．
33．C
【详解】
因为，
所以，
即，
因为，，所以，，
因为在上单调递减，所以，
即，
故选：C.
34．B
解：因为，均为锐角，，所以即，
故，当且仅当，即时等号成立，
故选：B.
35．A
【详解】
∵
∴ ，
∴ ，
∴
故选：A.
36．D
【详解】
原式，
故选：D.
37．A
解：因为
，故A选项正确，C选项错误；
因为
，故B,D选项错误.
故选：A
38．D
【详解】
.
故选：D
39．B
【详解】
因为，
当时，有最大值，且，
故选：B.
40．C
【详解】
在中，∵，∴，
则，又，
∴，
∴．
故选：C
41．ABC
【详解】
对于①，由于，
所以
；
对于②，由于，
所以；
对于③，因为， ；
对于④，因为， ；
故选：ABC
42．ACD
【详解】
；
；
cos2－sin2；
．
故选：ACD．
43．BC
【详解】
，
，
，
．
故选：BC．
44．BC
【详解】
对于A，，所以错误；
对于B，，所以B正确；
对于C，当，时，所以，所以成立
所以C正确；
对于D，当时 ，所以D错误；
故选：BC
45．AC
【详解】
；
；
；
．
故选：AC．
46．
【详解】
解：因为，
整理可得，
解得，或2（舍去），
由于，
可得，，
所以，．
故答案为：．
47．0
解：　原式＝sin(α＋60°)－cos[180°－(α＋60°)]＋2sin(α－60°)
＝sin(α＋60°)＋cos(α＋60°)＋2sin(α－60°)
＝2sin(α＋60°＋60°)＋2sin(α－60°)
＝2sin(α－60°＋180°)＋2sin(α－60°)
＝－2sin(α－60°)＋2sin(α－60°)
＝0.
故答案为：0
48．-1
故答案为：-1
49．
【详解】
因为α∈（0，），β∈（﹣π，﹣），sinα＝，cosβ＝，
所以，
，
所以，
所以，
所以
因为α∈（0，），β∈（﹣π，﹣），
所以，
所以，
故答案为：
50．
【详解】
，
因为，所以，
又，
所以
，
所以原式．
故答案为：.
51．（1）；（2）.
【详解】
（1），；
（2）
.
52．
【详解】
因为是第一象限角，且，
所以，
所以
53．
（1）
（2）
（1）
原式.
（2）
原式
54．
（1）
解：因为，
，
两式相减得：；
（2）
因为，
，
两式相加得：；
（3）
因为，
，
两式相加得：
；
（4）
因为，
，
两式相减得：
．
55．（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】
（1）因为，所以，
所以
（2）因为，左右同时平方可得：，
所以，
所以
（3），
因为，所以，
所以，
所以；
（4），
所以

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