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第二十五章 概率初步
25.2用列举法求概率（第1课时）
学案
一、学习目标
1.理解用列表法求随机事件的概率，进一步培养随机观念.
2.经历用列举法求简单随机事件的概率的过程，体会“分布”策略在解决复杂问题所起到的重要作用.
3.在探究过程中，要有条理地思考问题和增强应用数学的意识.
二、基础知识
1.袋中有20只红球，8只黑球，这些球除了颜色以外没有任何区别.搅匀后从袋中任取一只球，取出黑球的概率是多少？
2.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：
（1）两枚硬币全部正面向上；
（2）两枚硬币全部反面向上；
（3）一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上.
3.同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（1）两枚骰子的点数相同；
（2）两枚骰子点数的和是9；
（3）至少有一枚骰子的点数为2.
①列表：
第1枚 第2枚 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
②如何借助上述表格中的信息计算问题中三个事件的概率？
由表可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的可能性相等.
（1）两枚骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6种（表中的红色部分）
即，，，，，，所以
（2）两枚骰子的点数和是9（记为事件B）的结果有4种（表中的阴影部分），
即，，，，所以
（3）至少有一枚骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11种（表中蓝色部分），所以
4.把3中的“同时掷两枚质地均匀的骰子”改为“把一枚质地均匀的骰子掷两次”，得到的结果有变化吗？为什么？
5.用列表法求概率应注意哪些问题？
6.列表法适用于解决哪类概率求解问题？
三、巩固练习
1.在一个不透明的袋子里装有5个小球，每个球上都写有一个数字，分别是1，2，3，4，5，这些小球除数字不同外其他均相同.从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为( )
A. B. C. D.
2.一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个.下列说法中，错误的是( )
A.第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球
B.第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球
C.第一次摸出的球是红球的概率是
D.两次摸出的球都是红球的概率是
3.四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为( )
A. B. C. D.
4.从2名男生和2名女生中任选2名学生参加志愿者服务，那么选出的2名学生中至少有1名女生的概率是________.
5.2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情.小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得.小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同.小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜.
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.
答案
基础知识
1.
2.（1）（2）（3）
3.①
第1枚 第2枚 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
②由表可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的可能性相等.
（1）两枚骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6种（表中的红色部分）
即，，，，，，所以
（2）两枚骰子的点数和是9（记为事件B）的结果有4种（表中的阴影部分），
即，，，，所以
（3）至少有一枚骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11种（表中蓝色部分），所以
4.“抛掷一枚硬币2次”与“抛掷两枚硬币”所得试验结果一样；类似的，“同时掷两枚质地相同的骰子”与“把一枚骰子掷2次”所得到的结果没有变化.所以，当试验涉及两个因素时，可以“分布”对问题进行分析.
5.确保试验中每种结果出现的可能性大小相等
6.当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法.
巩固练习
1.答案：C
解析：所有可能出现的情况列举如下：，，，，，，，，，共10种情况，符合条件的情况有：，，共3种情况；小球上的数字都是奇数的概率为.故选：C.
2.答案：A
解析：选项A和B中的第一次已经确定是红球，所以第二次才是需要用概率计算的，因为放回，所以第二次袋子中有3个球，1个红球，2个绿球，所以第二次摸出红球的概率是，第二次摸出绿球的概率是，都是随机事件，故A选项“一定是绿球”是错误的，B选项正确；C选项第一次摸出红球的概率为，故正确；D选项是两步放回事件，可用树状图或列表法，列表如下：
红球 绿球① 绿球②
红球 红球，红球 绿球① 红球 绿球②， 红球
绿球① 红球， 绿球② 绿球①， 绿球① 绿球②， 绿球①
绿球② 红球， 绿球② 绿球①， 绿球② 绿球②， 绿球②
由上表可知，两次摸出的球都是红球的概率是.
3.答案：C
解析：用表格列出所有可能出现的结果如下
（正方形、正五边形、正六边形分别用四、五、六表示）.
四 五 六 圆
四 （四，五） （四，六） （四，圆）
五 （五，四） （五，六） （五，圆）
六 （六，四） （六，五） （六，圆）
圆 （圆，四） （圆，五） （圆，六）
由表格可知，一共有12种等可能出现的结果，
其中抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的有6种，
所以P（抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形），
因此本题选C.
4.答案：
解析：解：列表得，
男 男 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
所有等可能的情况有12种，其中所选出的2名学生中至少有1名女生的有10种，
选出的2名学生中至少有1名女生的概率为.故答案为：.
5.答案：游戏对双方都公平
解析：解：所有可能的结果如下：
1 2 3 4 5
1
2
共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果.
P（小冰获胜）
P（小雪获胜）
P（小冰获胜）=P（小雪获胜）
游戏对双方都公平.
2

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