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苏教版（2019）高中数学一轮复习第18讲《空间几何体的表面积和体积》（原卷版）
【知识梳理】
直观图 画法 使用斜二测画法画出空间几何体的底、再画出空间几何体的其它部分
面积 关系 水平放置的平面图形的面积为，使用斜二测画法画出的直观图的面积为，则
表面积与体积 表面积 体积
棱柱 表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和
棱锥
棱台
圆柱
圆锥
圆台
球体
二、【真题再现】
1、（2022北京卷）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（）
A. B. C. D.
2、（2022全国甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（）
A. B. C. D.
3、（2022上海卷）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为 　　　　．
4、（2022新高考1卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（）
A. B. C. D.
5、（2022新高考2卷）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）
A. B. C. D.
6、（2022新高考2卷）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（）
A. B. C. D.
7、（2022上海卷）如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，AP＝AC＝2．
（1）求三棱锥体积VP﹣ABC；
8、（2022全国甲卷文）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
9、（2022全国乙卷文）如图，四面体中，，E为AC的中点．
（1）证明：平面平面ACD；
（2）设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
三、【考点精讲】
考点1 空间几何体的表面积
【例1-1】（2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A. B. C. D.
【例1-2】（2021贵州省贵阳市五校高三上学期联合考试）学生到工厂参加劳动实践，用薄铁皮制作一个圆柱体，圆柱体的全面积为，则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是__________________.
【例1-3】（2022·福建·模拟预测）已知某圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则其侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【例1-4】（2022·山东聊城·二模）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（ ）
A．底面椭圆的离心率为
B．侧面积为
C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为
D．底面积为
【变式1-1】（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A. B. C. D.
【变式1-2】（2021·全国高三其他模拟（文））已知正四面体可以在圆锥内绕自身的中心任意旋转，若该正四面体棱长的最大值为，且圆锥的高为，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022·河北·模拟预测）已知正四棱台（上下底面都是正方形的四棱台）．下底面ABCD边长为2，上底面边长为1，侧棱长为，则（ ）
A．它的表面积为
B．它的外接球的表面积为
C．侧棱与下底面所成的角为60°
D．它的体积比棱长为的正方体的体积大
【变式1-4】（2022·广东广州·二模）在梯形中，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为__________．此时该三棱锥的外接球的表面积为__________．
考点2 空间几何体的体积
【例2-1】（2021·全国高考真题）正四棱台的上 下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（2021年全国高考甲卷数学试题）已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【例2-3】（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文））如图，平面四边形，其中．将沿折起，使P在面上的投影即为在线段上，且，为中点，过作平面，使平行于平面，且平面与直线分别交于D、E，与交于G．
（1）求的值；（2）求多面体的体积．
【变式2-1】（2021·安徽华星学校）已知四面体中，平面平面，是边长为的等边三角形，，，则四面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2021·天水市第一中学高三其他模拟（文））如图①，在菱形中，且，为的中点．将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥．
（1）求证：平面；（2）若为的中点，求三棱锥的体积．
【变式2-3】（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（文））在三棱柱中，侧面底面，，，且为的中点.
（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.
考点3 与球有关的内切和外接问题
【例3-1】（2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【例3-2】（2022·天津·一模）已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上 下底面的圆周均在球面上，若球的体积为，则圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】（2022·新疆昌吉·二模（文））在三棱锥中，，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
【例3-4】（2022·江西赣州·二模（理））我国古代数学名著《九章算术》把上下两个面平行且均为矩形的六面体称为刍童，已知刍童ABCD—中四边形 四边形及四边形都是正方形，，则刍童ABCD—外接球的表面积为___________.
【变式3-1】2022·天津红桥·一模）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、、3，则此球的体积为______．
【变式3-2】（2021河南省联考高三核心模拟卷）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为___________.
【变式3-3】（2022·天津河西·一模）一个圆锥的高与底面圆的半径相等，体积为，圆锥内有一个内接正方体，则这个正方体的体积为（ ）．
A． B．
C． D．
【变式3-4】（2022·天津·南开中学模拟预测）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-5】（2021江西省临川一中、临川一中实验学校高三第一次月考）如图，在底面边长为4，高为6的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为_____________.
考点4 柱锥台的轴截面问题
【例4-1】（2022·山东·模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2021·广东中山·模拟预测）正四棱锥的所有棱长为2，用垂直于侧棱的平面截该四棱锥，则（ ）
A．截面可以是三角形
B．与底面所成的角为
C．与底面所成的角为
D．当平面经过侧棱中点时，截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为3：1
【例4-3】（2022·山东潍坊·二模）根据高中的解析几何知识，我们知道平面与圆锥面相交时，根据相交的角度不同，可以是三角形、圆、椭圆、抛物线、双曲线．如图，AB是圆锥底面圆O的直径，圆锥的母线，，E是其母线PB的中点．若平面过点E，且PB⊥平面，则平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，此时抛物线的焦点F到底面圆心O的距离为______；截面把圆锥分割成两部分，在两部分内部，分别在截面的上方作一个半径最大的球M，在截面下方作一个半径最大的球N，则球M与球N的半径的比值为______．
【变式4-1】（2021·上海·模拟预测）已知圆锥的母线长为5，侧面积为，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面积最大为__________
【变式4-2】（2021上海市高三春考模拟卷）已知圆锥的母线长为5，侧面积为，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面积最大为__________
【变式4-3】（2021·全国·模拟预测）已知圆锥的轴截面PAB是边长为a的正三角形，AB为圆锥的底面直径，球O与圆锥的底面以及每条母线都相切，记圆锥的体积为，球O的体积为，则______；若M，N是圆锥底面圆上的两点，且，则平面PMN截球O所得截面的面积为______.
【变式4-4】（2021·湖南·雅礼中学二模）在空间直角坐标系中，以坐标原点为圆心，为半径的球体上任意一点，它到坐标原点的距离，可知以坐标原点为球心，为半径的球体可用不等式表示.还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示，记满足的不等式组表示的几何体为.
（1）当表示的图形截所得的截面面积为时，求实数的值；
（2）祖暅原理“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.记满足的不等式组所表示的几何体为请运用祖暅原理求证与的体积相等，并求出体积的大小.苏教版（2019）高中数学一轮复习第18讲《空间几何体的表面积与体积》（解析版）
【知识梳理】
直观图 画法 使用斜二测画法画出空间几何体的底、再画出空间几何体的其它部分
面积 关系 水平放置的平面图形的面积为，使用斜二测画法画出的直观图的面积为，则
表面积与体积 表面积 体积
棱柱 表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和
棱锥
棱台
圆柱
圆锥
圆台
球体
二、【真题再现】
1、（2022北京卷）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】求出以为球心，5为半径的球与底面的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】
设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，
且，故.
因为，故，
故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
而三角形内切圆的圆心为，半径为，
故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为，故选：B
2、（2022全国甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.
【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，又，则，
所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故选：C.
3、（2022上海卷）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为 　　　　．
【分析】由底面积为9π解出底面半径R＝3，再代入侧面积公式求解即可．
【解答】解：因为圆柱的底面积为9π，即πR2＝9π，
所以R＝3，
所以S侧＝2πRh＝24π．
故答案为：24π．
4、（2022新高考1卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．
棱台上底面积，下底面积，
∴
．
故选：C．
5、（2022新高考2卷）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．
6、（2022新高考2卷）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.
【详解】
设，因为平面，，则，
，连接交于点，连接，易得，
又平面，平面，则，又，平面，则平面，
又，过作于，易得四边形为矩形，则，
则，，
，则，，，
则，则，，，故A、B错误；C、D正确.
故选：CD.
7、（2022上海卷）如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，AP＝AC＝2．
（1）求三棱锥体积VP﹣ABC；
【分析】（1）直接利用体积公式求解；
【解答】解：（1）在三棱锥P﹣ABC中，因为PO⊥底面ABC，所以PO⊥AC，
又O为AC边中点，所以△PAC为等腰三角形，
又AP＝AC＝2．所以△PAC是边长为2的为等边三角形，
∴PO＝，三棱锥体积VP﹣ABC＝＝＝1
8、（2022全国甲卷文）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
【答案】 （2）．
【分析】（2）再分别取中点，由（1）知，该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍，即可解出．
【详解】
如图所示：，
分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．
因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积．
9、（2022全国乙卷文）如图，四面体中，，E为AC的中点．
（1）证明：平面平面ACD；
（2）设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明详见解析（2）
【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.
（2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积.
【小问2详解】
依题意，，三角形是等边三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，
由于，所以，所以，所以，
由于，所以当最短时，三角形的面积最小值.
过作，垂足为，在中，，解得，
所以，所以.
过作，垂足为，则，所以平面，且，
所以,所以.
三、【考点精讲】
考点1 空间几何体的表面积
【例1-1】（2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.
【详解】如图，设，则，
由题意，即，化简得，
解得（负值舍去）.故选：C.
【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.
【例1-2】（2021贵州省贵阳市五校高三上学期联合考试）学生到工厂参加劳动实践，用薄铁皮制作一个圆柱体，圆柱体的全面积为，则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是__________________.
【答案】
【分析】设圆柱底面圆半径为r，结合已知表示出圆柱的高h，再利用球及其内接圆柱的特征求出球的表面积与r的函数关系结合基本不等式即可得解.
【详解】设圆柱底面圆半径为r，高为h，则有，整理得，
由球及其内接圆柱的结构特征知，球心是圆柱两底面圆圆心的中点，设球半径为R，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
因此，球的表面积为，
所以该圆柱体的外接球的表面积的最小值是.故答案为：
【例1-3】（2022·福建·模拟预测）已知某圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则其侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可得展开图为圆环的一部分，求出小圆和大圆半径即可求出.
【详解】易知母线长为，且上底面圆周为，下底面圆周为，易知展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为3，则大圆半径为6，
所以面积.故选：C.
【例1-4】（2022·山东聊城·二模）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（ ）
A．底面椭圆的离心率为
B．侧面积为
C．在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为
D．底面积为
【答案】ABD
【分析】不妨过斜圆柱的最高点和最低点作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，作出过斜圆柱底面椭圆长轴的截面，截斜圆柱得平行四边形，截圆柱得矩形，如图，由此截面可得椭圆面与圆柱底面间所成的二面角的平面角，从而求得椭圆长短轴之间的关系，得离心率，并求得椭圆的长短轴长，得椭圆面积，利用椭圆的侧面积公式可求得斜椭圆的侧面积，由斜圆柱的高比圆柱的底面直径大，可知斜圆柱内半径最大的球的直径与圆柱底面直径相等，从而得其表面积，从而可关键各选项．
【详解】不妨过斜圆柱的最高点和最低点作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，如图，矩形是圆柱的轴截面，平行四边形是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面，
由圆柱的性质知，
则，设椭圆的长轴长为，短轴长为，则，，，所以离心率为，A正确；
，垂足为，则，易知，，又，
所以斜圆柱侧面积为，B正确；
，，，，椭圆面积为，D正确；
由于斜圆锥的两个底面的距离为6，而圆柱的底面直径为4，所以斜圆柱内半径最大的球的半径为2，球表面积为，C错．故选：ABD．
【变式1-1】（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.
【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.故选：B.
【变式1-2】（2021·全国高三其他模拟（文））已知正四面体可以在圆锥内绕自身的中心任意旋转，若该正四面体棱长的最大值为，且圆锥的高为，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，当正四面体棱长取到最大值时，其外接球半径，
此时该球为圆锥的内切球，设球心为，圆维的底面半径为，
作轴截面如图，Q为切点，则，即，
解得R=3，故圆锥的表面积为.故选：
【变式1-3】（2022·河北·模拟预测）已知正四棱台（上下底面都是正方形的四棱台）．下底面ABCD边长为2，上底面边长为1，侧棱长为，则（ ）
A．它的表面积为
B．它的外接球的表面积为
C．侧棱与下底面所成的角为60°
D．它的体积比棱长为的正方体的体积大
【答案】ACD
【分析】分别求得上、下底面面积，再求得侧面等腰梯形的面积，即可判断A的正误；如图作辅助线，可求得各个长度，根据三角函数的定义，可判断C的正误；求得的长，分析可得即为正四棱台外接球的球心，且外接球半径，代入表面积公式，可判断B的正误；分别求得正四棱台的体积和正方体的体积，利用作商法比大小，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】由题意得：上底面的面积，下底面的面积，
侧面为等腰梯形，过分别做AB的垂线，垂足为E、F，如图所示
所以，则，
所以，所以梯形的面积为，
所以正四棱台的表面积，故A正确；
连接，且交于点，连接AC、BD交于点，连接，则垂直底面ABCD，
过作于G，则底面ABCD，则四边形为矩形，
由题意得，所以，同理，
又，所以，在中，，
所以，即侧棱与下底面所成的角为60°，故C正确所以.
连接，在中，，
所以点到的距离相等，均为，
所以点即为正四棱台外接球的球心，且外接球半径，
所以外接球的表面积，故B错误；
正四棱台的体积，
棱长为的正方体的体积，所以，所以，
所以正四棱台的体积比棱长为的正方体的体积大，故D正确；
故选：ACD
【点睛】解题的关键是熟练掌握棱台的表面积、体积的求法及公式，并灵活应用，难点在于求各个棱长及确定为外接球的球心，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
【变式1-4】（2022·广东广州·二模）在梯形中，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为__________．此时该三棱锥的外接球的表面积为__________．
【答案】
【分析】注意到三棱锥体积最大时，平面平面ABC，可知以B为顶点时，BC为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面的距离、外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积.
【详解】过点C作，垂足为E，为等腰梯形，
，由余弦定理得，即
易知，当平面平面ABC时，三棱锥体积最大，此时，平面易知，
记O为外接球球心，半径为R平面，
O到平面的距离又的外接圆半径
故答案为：，
考点2 空间几何体的体积
【例2-1】（2021·全国高考真题）正四棱台的上 下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，
所以该棱台的体积.
故选：D.
【例2-2】（2021年全国高考甲卷数学试题）已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.
【详解】，为等腰直角三角形，，
则外接圆的半径为，又球的半径为1，
设到平面的距离为，
则，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.
【例2-3】（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文））如图，平面四边形，其中．将沿折起，使P在面上的投影即为在线段上，且，为中点，过作平面，使平行于平面，且平面与直线分别交于D、E，与交于G．
（1）求的值；（2）求多面体的体积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵面，且面，面面，
∴，
过做，交于M．得，而，
∴，，即
∴．
（2）连接与，
由题意知：，到面的距离，而，且，
又△、△分别在、上的高均为.
∴，，.∴，且，而，
∴综上：．
【变式2-1】（2021·安徽华星学校）已知四面体中，平面平面，是边长为的等边三角形，，，则四面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为平面平面，平面平面，，平面，平面，，，
所以，.故选：A.
【变式2-2】（2021·天水市第一中学高三其他模拟（文））如图①，在菱形中，且，为的中点．将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥．
（1）求证：平面；（2）若为的中点，求三棱锥的体积．
【答案】（2）．
【解析】（2）由（1）知，，
∵，平面，平面．∴平面．
∵为的中点．∴到平面的距离∵
∴，即三棱锥的体积为.
【变式2-3】（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（文））在三棱柱中，侧面底面，，，且为的中点.
（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.
【答案】（2）.
【解析】（2）解：设点A到平面的距离为.由（1）知，平面.
因为，，所以，
所以，.
因为，所以，所以，
等腰三角形中，以为底边，则三角形的高为，，
因为，.
所以，所以.
考点3 与球有关的内切和外接问题
【例3-1】（2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意，
得，为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球的表面积.
故选：A
【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
【例3-2】（2022·天津·一模）已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上 下底面的圆周均在球面上，若球的体积为，则圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设圆柱的底面圆半径为，高为，球O的半径为，由题可得，进而可得，然后利用圆柱的体积公式即得.
【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为，球O的半径为，
由题可知，解得，则，可得，
所以.故选：C.
【例3-3】（2022·新疆昌吉·二模（文））在三棱锥中，，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题结合球的基本性质可知：过三棱锥其中两个面的三角形的外接圆圆心，作该面的垂线，两条垂线的交点即为三棱锥的球心，结合三角形的相关知识分析求得三棱锥的外接球的半径．
【详解】如图、分别为Rt△PAC、△ABC的外接圆圆心，作平面PAB，平面ABC，则O为三棱锥的外接球的球心．
在△ABC中，，即，可得：．
由正弦定理可得：，即，
又∵为线段AC的中点，则可得，且，
∴二面角的大小的平面角即为∠，则∠
．
∴三棱锥的外接球的半径R=，
则三棱锥的外接球体积为V=．
故选：Ａ．
【例3-4】（2022·江西赣州·二模（理））我国古代数学名著《九章算术》把上下两个面平行且均为矩形的六面体称为刍童，已知刍童ABCD—中四边形 四边形及四边形都是正方形，，则刍童ABCD—外接球的表面积为___________.
【答案】
【分析】先判断出球心的位置，然后计算出球的半径，从而求得球的表面积.
【详解】取AD中点E，BC中点F，
设是的中点，在梯形中，，
由于是的中点，所以，
所以，所以是等边三角形，
所以是梯形外接圆的圆心，
同理可证得是梯形外接圆的圆心.
刍童可看作直四棱柱，
四边形与四边形外接圆圆心连线的中点就是刍童ABCD—外接球的球心，
所以EF中点O就是刍童ABCD—外接球的球心，
该球半径，
所以刍童ABCD—外接球的表面积
故答案为：
【变式3-1】2022·天津红桥·一模）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、、3，则此球的体积为______．
【答案】
【分析】求得长方体外接球的半径，从而求得球的体积.
【详解】长方体外接球的直径为，
所以外接球半径为，
所以球的体积为.
故答案为：
【变式3-2】（2021河南省联考高三核心模拟卷）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为___________.
【答案】
【分析】根据题设长度关系，可证明平面，由正弦定理可得的外接圆半径为，又在线段的垂直平分线上，可得，即可得，利用球的表面积公式即得解
【详解】
在中，，，所以，所以，
在中，，，所以，所以.
又，，平面，所以平面，
在中，，所以的外接圆半径为，
不妨设的外接圆圆心为，三棱锥的外接球球心为
连接，由于，故在线段的垂直平分线上，即
故三棱锥的外接球半径，外接球的表面积为.故答案为：
【变式3-3】（2022·天津河西·一模）一个圆锥的高与底面圆的半径相等，体积为，圆锥内有一个内接正方体，则这个正方体的体积为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】圆锥的轴截面为一个等腰直角三角形，内接正方体的对角面，根据三角形相似可得正方体的边长.
【详解】设底面半径为由题知：所以，
设正方体边长为，如图，
由轴截面可知，所以所以.故选：C.
【变式3-4】（2022·天津·南开中学模拟预测）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出正四面体的体积及表面积，利用求出内切球的半径，再通过求出空隙处球的最大半径即可.
【详解】
如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为，为的中心，易知面，为中点，球和球分别与面相切于和.易得，，，由，可得，又，故，，，
又由和相似，可得，即，解得，即球的最大半径为.故选：C.
【变式3-5】（2021江西省临川一中、临川一中实验学校高三第一次月考）如图，在底面边长为4，高为6的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为_____________.
【答案】
【分析】结合图形，由题意可知大球的半径为，设小球的半径为，利用已知条件，结合勾股定理，推出结果即可．
【详解】解：由题意可知大球的半径为，设小球的半径为，如图，设大圆的圆心为O，小圆的圆心为C，E为小圆与上底面的切点，作交于点D，
由题意可知，，，，所以，即，，解得，故答案为：．
考点4 柱锥台的轴截面问题
【例4-1】（2022·山东·模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意知直角圆锥的底面圆半径为r等于高h，再由直角圆锥的侧面积求出底面圆的半径，即可求出其体积.
【详解】设该直角圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，
因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以，.
因为直角圆锥的侧面积为，所以，解得，
所以该直角圆锥的体积为.故选：B.
【例4-2】（2021·广东中山·模拟预测）正四棱锥的所有棱长为2，用垂直于侧棱的平面截该四棱锥，则（ ）
A．截面可以是三角形
B．与底面所成的角为
C．与底面所成的角为
D．当平面经过侧棱中点时，截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为3：1
【答案】ACD
【分析】对于A：取PC的中点E，连结BE、DE、BD.可以证明面BDE，即可判断A；
对于B、C：作为与底面所成的角.即可求得；
对于D：分别求出上下两部分几何体的体积，即可判断.
【详解】对于A:取PC的中点E，连结BE、DE、BD.
因为正四棱锥的所有棱长为2，所以△PBC、△PBC为正三角形，所以又,则面BDE，即△BDE为截面.故A正确；
对于B、C:过P作底面ABCD于O，则O为AC中点.则即为与底面所成的角.
因为正四棱锥的所有棱长为2，所以,
所以,所以.故B错误，C正确；
对于D:由A的推导过程可知：平面经过侧棱中点时，平面即为平面BDE.
此时.
因为,
所以,
所以.故D正确 。故选：ACD
【例4-3】（2022·山东潍坊·二模）根据高中的解析几何知识，我们知道平面与圆锥面相交时，根据相交的角度不同，可以是三角形、圆、椭圆、抛物线、双曲线．如图，AB是圆锥底面圆O的直径，圆锥的母线，，E是其母线PB的中点．若平面过点E，且PB⊥平面，则平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，此时抛物线的焦点F到底面圆心O的距离为______；截面把圆锥分割成两部分，在两部分内部，分别在截面的上方作一个半径最大的球M，在截面下方作一个半径最大的球N，则球M与球N的半径的比值为______．
【答案】 ##0.5
【分析】（1）以E为原点，EO为x轴建立坐标系，利用坐标法求出抛物线方程，即可求出抛物线的焦点F到底面圆心O的距离；
（2）作出直截面，分析位置关系，利用几何知识分别求出球M与球N的半径，即可求解.
【详解】
如图示：
因为圆锥的母线，，所以，所以PB⊥PA.
连结OE.因为PB⊥平面，所以PB⊥OE.所以.
在中，O为AB的中点，所以OE为中位线，所以.
设平面交底面圆于CD,则.
以E为原点，EO为x轴建立坐标系如图示，则.
可设抛物线，把带入抛物线方程可得：，
所以抛物线为：，焦点,
所以,即抛物线的焦点F到底面圆心O的距离为.
作出直截面如图所示，则球M的半径即为圆M的半径，球N的半径即为圆N的半径.
因为球M为截面的上方的最大的球，所以圆M与PA相切，切点为Q,则.又，所以.
同理：.所以Q、M、R三点共线，为直径.
由四边形PQRE为矩形，可得：,所以球M的半径.
在等腰三角形OBE中，,.
圆N为三角形OBE的内切圆.设圆N的半径为，由等面积法可得：
，即，解得：.
所以球M与球N的半径的比值为.故答案为：；.
【点睛】外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：
①公式法；②多面体几何性质法；③补形法；④寻求轴截面圆半径法；⑤确定球心位置法．
【变式4-1】（2021·上海·模拟预测）已知圆锥的母线长为5，侧面积为，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面积最大为__________
【答案】
【分析】圆锥轴截面顶角（两母线夹角）小于等于时，轴截面面积最大，轴截面夹角大于时，母线夹角为时截面面积最大.
【详解】设圆锥的底面半径为r，则，，圆锥的高，
设轴截面中两母线夹角为，则，，
所以当两母线夹角为时，过此圆锥顶点的截面面积最大，最大面积为.故答案为：
【变式4-2】（2021上海市高三春考模拟卷）已知圆锥的母线长为5，侧面积为，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面积最大为__________
【答案】
分析】圆锥轴截面顶角（两母线夹角）小于等于时，轴截面面积最大，轴截面夹角大于时，母线夹角为时截面面积最大.
【详解】设圆锥的底面半径为r，则，，
圆锥的高，设轴截面中两母线夹角为，则，
，所以当两母线夹角为时，过此圆锥顶点的截面面积最大，
最大面积为.故答案为：
【变式4-3】（2021·全国·模拟预测）已知圆锥的轴截面PAB是边长为a的正三角形，AB为圆锥的底面直径，球O与圆锥的底面以及每条母线都相切，记圆锥的体积为，球O的体积为，则______；若M，N是圆锥底面圆上的两点，且，则平面PMN截球O所得截面的面积为______.
【答案】 ； .
【分析】根据等边三角形的性质求出球O的半径，从而可分别求出圆锥的体积为和球O的体积为；
设MN的中点为C，连接PC，DM，首先求出点到直线的距离，然后结合球O的半径，即可求出平面PMN截球O所得截面圆的半径为r.
【详解】如图，设D为AB的中点，连接PD，由题意知PD为圆锥的高，且，
易知球O的半径，
所以，，所以；
设MN的中点为C，连接PC，DM，则，
易知，，所以，所以.
过O点作，垂足为E，易知，则，
又，则.
设平面PMN截球O所得截面圆的半径为r，
则，所以截面的面积为.
故答案为：；.
【变式4-4】（2021·湖南·雅礼中学二模）在空间直角坐标系中，以坐标原点为圆心，为半径的球体上任意一点，它到坐标原点的距离，可知以坐标原点为球心，为半径的球体可用不等式表示.还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示，记满足的不等式组表示的几何体为.
（1）当表示的图形截所得的截面面积为时，求实数的值；
（2）祖暅原理“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.记满足的不等式组所表示的几何体为请运用祖暅原理求证与的体积相等，并求出体积的大小.
【答案】（1）；（2）证明见解析，体积为.
【分析】（1）由题意可得几何体表示上半球，球半径为4，从而有，进而可求出实数的值；
（2）由题意可得几何体为圆柱内挖去一个同底等高的圆锥，且该圆锥的对称轴与母线的夹角为然后由祖暅原理可求得结果
【详解】（1）则几何体表示上半球，球半径为4.
当时，，截面为圆面，则，解得
又，所以
（2）设，则点到轴的距离为，由，
即，即点到轴的距离为
所以所表示的几何体为圆柱体.
由，即点到轴的距离为，
当时，点在以一直角边在轴上的等腰直角三角形绕轴旋转而成的倒圆锥面上.
所以所表示的几何体为圆柱内挖去一个同底等高的圆锥.
且该圆锥的对称轴与母线的夹角为
在中，平面所截的截面为圆，其面积为，
在中，平面所截的截面为圆环，在圆柱中的截面圆面积为，
在圆锥中的截面圆面积为，所以在中截面面积为，
即截所得面积均相等，从而由祖暅原理知体积相等，
由为半球知其体积
【点睛】关键点点睛：此题考查祖暅原理的应用，考查新定义，考查不等式与几何图形的关系，解题的关键是正确理解新定义和祖暅原理，考查转化思想，属于中档题

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