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第三节　机械能守恒定律
一、机械能
1．重力势能
（1）定义：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积。
（2）表达式：____________。
（3）矢标性：重力势能是标量，但有正负，其意义表示物体的重力势能比它在参考平面大还是小。
（4）重力势能的特点：
①系统性：重力势能是__________所共有的。
②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。
（5）重力做功与重力势能变化的关系：
____________。
2．弹性势能
（1）定义：发生________的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。
（2）大小：与形变量及________有关。
（3）弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做正功，弹性势能____；弹力做负功，弹性势能____。
二、机械能守恒定律
1．内容
在只有________做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
2．机械能守恒的条件
只有重力或弹力做功。
3．对守恒条件的理解
（1）只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒。[来源:21世纪教育网]
（2）受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功。例如物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物体的机械能守恒。
4．机械能守恒的三种表达式
表达角度 表达公式 表达意义
守恒观点 ________________________________________________________________________ 系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等
转化观点 ________________________________________________________________________ 表示系统（或物体）机械能守恒时，系统减少（或增加）的重力势能等于系统增加（或减少）的动能
转移观点 ________________________________________________________________________ 若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等21世纪教育网
1．伽利略曾设计如图所示的一个实验，将摆球拉至M点放开，摆球会达到同一水平高度上的N点。如果在E或F处钉上钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M点。这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面（或弧线）下滑时，其末速度的大小（　　）
A．只与斜面的倾角有关　　　B．只与斜面的长度有关
C．只与下滑的高度有关 D．只与物体的质量有关
2．（2012·湖北武汉调研）置于水平地面上的一门大炮，斜向上发射一枚炮弹。假设空气阻力可以忽略，炮弹可以视为质点，则（　　）
A．炮弹在上升阶段，重力势能一直增大
B．炮弹在空中运动的过程中，动能一直增大
C．炮弹在空中运动的过程中，重力的功率一直增大
D．炮弹在空中运动的过程中，机械能守恒21世纪教育网
3．（2013·四川自贡一诊）如图所示，一直角斜面体固定在水平地面上，左侧斜面倾角为60°，右侧斜面倾角为30°，A、B两个物体分别系于一根跨过定滑轮的轻绳两端且分别置于斜面上，两物体下边缘位于同一高度且处于平衡状态，不考虑所有的摩擦，滑轮两边的轻绳都平行于斜面。若剪断轻绳，让物体从静止开始沿斜面滑下，下列叙述错误的是（　　）
A．着地瞬间两物体的速度大小相等
B．着地瞬间两物体的机械能相等
C．着地瞬间两物体所受重力的功率相等
D．两物体的质量之比为mA∶mB＝1∶
4．易错辨析
请你判断下列表述正确与否，对不正确的，请予以更正。
（1）物体所受的除重力和弹簧弹力外的其他力虽然做功，但其他力做的总功为零，系统机械能仍然守恒。
（2）对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等问题，除非特别说明，机械能必定不守恒；完全非弹性碰撞过程机械能不守恒。
（3）通过轻绳或轻杆连接的两个物体，不能只注意到轻绳或轻杆对一个物体做功，而断定系统机械能不守恒。
（4）机械能守恒是指始末两个状态机械能的总量保持不变。
一、对机械能守恒条件的理解
自主探究1一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点。下列说法正确的是（　　）
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
思考1：运动员下落过程中，重力做什么功？重力做功与重力势能有什么关系？
思考2：弹力做功与弹性势能有什么关系？
思考3：运动员下落过程中，其机械能守恒吗？
思考4：重力势能的改变与零势能面的选取有关吗？
归纳要点
机械能是否守恒的判断方法
（1）利用机械能的定义判断（直接判断）：机械能包括动能、重力势能和弹性势能，判断机械能是否守恒可以看物体或系统机械能的总和是否变化。
（2）用做功判断：若物体或系统只有重力（或弹簧的弹力）做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒。
（3）用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒。
（4）对多个物体组成的系统，除考虑是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因有摩擦热产生，系统机械能将有损失。
二、机械能守恒定律三种表达形式的理解
自主探究2（2012·山东青岛一模）如图所示，光滑固定的竖直杆上套有小物块a，不可伸长的轻质细绳通过大小可忽略的定滑轮连接物块a和小物块b，虚线cd水平。现由静止释放两物块，物块a从图示位置上升，并恰好能到达c处。在此过程中，若不计摩擦和空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．物块a到达c点时加速度为零
B．绳拉力对物块a做的功等于物块a重力势能的增加量
C．绳拉力对物块b先做负功后做正功
D．绳拉力对物块b做的功等于物块b机械能的减少量
思考1：a物块到达c点时受几个力的作用？
思考2：绳拉力对两物块分别做什么功？两物块机械能如何变化？
归纳要点
1．守恒形式：E2＝E1或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，表示系统初状态的机械能等于其末状态的机械能。当系统除地球外，只有单个物体，且初、末状态的高度已知时，用这种表达形式较方便。运用时，应选好零势能面。
2．增量（或转化）形式：ΔEp＝－ΔEk，表示系统减少（或增加）的势能等于增加（或减少）的总动能。一般用于始末状态的高度未知，但高度变化已知的情况。应用时，无需选择零势能面。
3．转移形式：ΔEA增＝ΔEB减，表示若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等。
以上三种表达方式中，守恒形式是最基本的表达方式，易于理解和掌握，但应用时始末状态的动能和势能要分析全，防止遗漏某种形式的机械能。应用增量或转移形式列出的方程简洁，是同学们应该重点掌握的，但在分析势能的变化时易出错，要引起注意。
命题研究一、单一物体机械能守恒
【题例1】在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图所示形状，相应的曲线方程为y＝2.5coseq \b\lc\(\rc\)()（单位：m），式中k＝1 m－1。将光滑小环套在该金属杆上，并从x＝0处以v0＝5 m/s的初速度沿杆向下运动，取重力加速度g＝10 m/s2。则当小环运动到x＝m时的速度大小v＝________ m/s；该小环在x轴方向最远能运动到x＝________ m处。
思路点拨：小环沿光滑曲杆运动过程中，只有重力做功，故机械能守恒，由曲线方程可判断小环的初、末位置。从而确定初、末状态的机械能，列守恒方程可求有关物理量。
解题要点：
规律总结
应用机械能守恒定律的基本思路
（1）选取研究对象——物体或系统。
（2）根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
（3）恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能。
（4）选取方便的机械能守恒定律的方程形式（Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB）进行求解。
命题研究二、多个物体组成的系统机械能守恒
【题例2】如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h。两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：
（1）两球在光滑水平面上运动时的速度大小；
（2）整个运动过程中杆对A球所做的功。
思路点拨：将A、B两球看成一个系统，利用机械能守恒
定律可解决。
解题要点：
规律总结
（1）由于多物体组成的系统中各物体的运动过程比较复杂，故从能量转化的角度研究问题比较方便，但要弄清各过程中各物体间的能量转化情况。列方程时，切记不要遗漏某个物体的动能或势能。
（2）解决此类问题的另一关键是弄清物体之间的速度关系，如用轻绳、轻杆连接的物体，沿绳或杆方向上的速度相等。
1．（2012·上海虹口质检）图（a）中弹丸以一定的初始速度在光滑碗内做复杂的曲线运动，图（b）中的运动员在蹦床上越跳越高。下列说法中正确的是（　　）
A．图（a）弹丸在上升的过程中，机械能逐渐增大
B．图（a）弹丸在上升的过程中，机械能保持不变
C．图（b）中的运动员多次跳跃后，机械能增大
D．图（b）中的运动员多次跳跃后，机械能不变
2．（2012·浙江宁波期末）如图所示，竖立在水平地面上的轻弹簧，下端固定在地面上，将一个金属球放置在弹簧顶端，并向下压球，使弹簧压缩，用细线把弹簧拴牢，如图（a）所示；烧断细线，球将被弹起，且脱离弹簧后能继续向上运动，如图（b）所示；忽略空气阻力，从细线被烧断到刚脱离弹簧的运动过程中错误的是（　　）
A．球的动能在刚脱离弹簧时最大
B．球刚脱离弹簧时弹簧的弹性势能最小
C．球受到的合力最大值大于小球的重力
D．球和弹簧组成系统的机械能不变[来源:21世纪教育网]
3．（2013·沈阳二中测试）如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P拴接，另一端与物体A相连，物体A静止于光滑水平桌面上，右端接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连。开始时用手托住B，让细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度。下列有关该过程的分析正确的是（　　）
A．B物体的机械能一直减小
B．B物体的动能的增加量等于它所受重力与拉力做的功之和
C．B物体机械能的减少量等于弹簧的弹性势能的增加量
D．细线拉力对A做的功等于A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量
4．一质量为50 kg的男孩在距离河流40 m高的桥上做“蹦极跳”，原长长度为14 m的弹性绳AB一端系着他的双脚，另一端则固定在桥上的A点，如图（a）所示，然后男孩从桥面下坠直至贴近水面的最低点D。男孩的速率v跟下坠的距离h的变化关系如图（b）所示，假定绳在整个运动过程中遵守胡克定律（不考虑空气阻力、男孩的大小和绳的质量，g取10 m/s2）。求：
（1）当男孩在D点时，绳所储存的弹性势能；
（2）绳的劲度系数；
（3）讨论男孩在AB、BC和CD期间运动时作用于男孩的力的情况。
参考答案
基础梳理自测21世纪教育网
知识梳理
一、1．（2）Ep＝mgh　（4）①物体和地球　（5）WG＝－ΔEp
2．（1）弹性形变　（2）劲度系数　（3）减小
增加
二、1．重力或弹力
4．Ek＋Ep＝Ek′＋Ep′　ΔEk＝－ΔEp　ΔE增＝ΔE减
基础自测
1．C　2．AD
3．B　解析：根据初始时刻两物体处于平衡状态，由平衡条件可知，mAgsin 60°＝mBgsin 30°，由此可得，两物体的质量之比为mA∶mB＝1∶；由机械能守恒定律可知，着地瞬间两物体的速度大小相等，选项A、D正确；着地瞬间，A物体重力功率PA＝mAgvsin 60°，B物体重力功率PB＝mBgvsin 30°，两物体所受重力的功率相等，选项C正确；由于两物体质量不等，初始状态两物体的机械能不等，所以着地瞬间两物体的机械能不相等，选项B错误。
4．答案：（1）正确。
（2）正确。
（3）正确。
（4）错误。机械能守恒是指在动能和势能相互转化过程中的任一时刻、任一状态，机械能的总量都保持不变。
核心理解深化
【自主探究1】ABC
提示：运动员到达最低点前，重力始终做正功，重力势能始终减小，选项A正确；蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力沿绳往上，故弹力做负功，弹性势能增加，选项B正确；由机械能守恒的条件可知，选项C正确；重力势能大小与重力势能零点的选取有关，但重力势能的改变与势能零点的选取无关，选项D错误。
【自主探究2】BD
提示：物块a到达c点时加速度为g，速度为零，选项A错；对物块a由功能关系得，绳拉力对物块a做的功等于物块a重力势能的增加量，选项B对；绳拉力对物块b一直做负功，选项C错；绳拉力对物块b做的功等于物块b机械能的减少量，选项D对。
考向探究突破
【题例1】答案：5　π
解析：光滑小环在沿金属杆运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，由曲线方程知，环在x＝0处的y坐标是－m；在x＝时，y＝2.5cos＝－2.5 m。
选y＝0处为零势能面，则有：
mv＋mg＝mv2＋mg（－2.5），
解得：v＝5 m/s。
当环运动到最高点时，速度为零，同理有：
mv＋mg＝0＋mgy
解得y＝0，即kx＋π＝π＋，该小环在x轴方向最远能运动到x＝ m处。
【题例2】答案：（1）
（2）－mgLsin θ
解析：（1）由于不计摩擦及碰撞时的机械能损失，因此两球组成的系统机械能守恒。两球在光滑水平面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有
mg（2h＋Lsin θ）＝2×mv2
解得v＝。
（2）因两球在光滑水平面上运动时的速度v比B从h处自由滑下的速度大，增加的动能就是杆对B做正功的结果。B增加的动能为
ΔEkB＝mv2－mgh＝mgLsin θ
因系统的机械能守恒，所以杆对B球做的功与杆对A球做的功的数值应该相等，杆对B球做正功，对A做负功。所以杆对A球做的功为W＝－mgLsin θ。
演练巩固提升
1．BC　2．A
3．ABD　解析：把A、B和弹簧看做一个系统，机械能守恒，在B下落直至B获得最大速度过程中，A的动能增大，弹簧弹性势能增大，所以B物体的机械能一直减小，选项A正确；由动能定理，B物体的动能的增加量等于它所受重力与拉力做的功之和，选项B正确；B物体机械能的减少量等于弹簧的弹性势能的增加量与A动能增加量之和，选项C错误；对A和弹簧组成的系统，由功能关系，细线拉力对A做的功等于A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量，选项D正确。
4．答案：（1）2×104 J
（2）62.5 N/m
（3）见解析
解析：（1）男孩在D点时速度为零，绳所储存的弹性势能等于男孩减少的重力势能，则
Ep＝mgh＝50×10×40 J＝2×104 J
（2）男孩到C点时的速度最大，此时男孩的加速度为零，绳的拉力和男孩的重力大小相等，即mg＝kx
此时绳的伸长量为x＝22 m－14 m＝8 m
解得绳的劲度系数为
k＝＝ N/m＝62.5 N/m
（3）由题图（b）可知，AB段是一条倾斜的直线，男孩仅受重力作用；BC段男孩受重力和绳的拉力作用，且重力大于拉力；CD段男孩受重力和绳的拉力作用，且重力小于拉力。
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第四节　功能关系　能量守恒定律
一、功能关系
1．内容
（1）功是________的量度，即做了多少功，就有多少能量发生了转化。
（2）做功的过程一定伴随有能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现。
2．几种常见的功能关系表达式
（1）合外力做功等于物体动能的改变，即____________________。（动能定理）
（2）重力做功等于物体重力势能的减少，即____________________。
（3）弹簧弹力做功等于弹性势能的减少，即____________________。
（4）除了重力和弹簧弹力之外的其他力所做的总功，等于物体机械能的改变，即________________。（功能原理）
（5）电场力做功等于电荷电势能的减少，即__________________。
3．摩擦力做功的特点
二、能量守恒定律
1．内容
能量既不会消灭，也不会创生，它只会从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量____________。
2．表达式
__________________。
3．对定律的理解
（1）某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量和增加量一定相等；
（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
这也是我们列能量守恒定律方程式的两条基本思路。
1．（2012·浙江绍兴一中模拟）上端固定的一根细线下面悬挂一摆球，摆球在空气中摆动，摆动的幅度越来越小，对此现象下列说法正确的是（　　）
A．摆球机械能守恒
B．总能量守恒，摆球的机械能正在减少，减少的机械能转化为内能
C．能量正在消失
D．只有动能和重力势能的相互转化
2．两个质量不同的物体与水平面之间的动摩擦因数相同，它们以相同的初动能开始沿水平面滑动，以下说法中正确的是（　　）
A．质量小的物体滑行的距离较长
B．质量大的物体滑行的距离较长
C．在整个滑动过程中，两物体克服摩擦阻力做功一样多
D．在整个滑动过程中，两物体的机械能都守恒
3．（2012·福建厦门质检）用恒力F向上拉一物体，使其由地面处开始加速上升到某一高度。若该过程空气阻力不能忽略，则下列说法中正确的是（　　）
A．力F做的功和阻力做的功之和等于物体动能的增量
B．重力所做的功等于物体重力势能的增量
C．力F做的功和阻力做的功之和等于物体机械能的增量
D．力F、重力、阻力三者的合力所做的功等于物体机械能的增量
4．（2012·江苏苏北四星级中学联考）如图所示，长为L的小车置于光滑的水平面上，小车前端放一小物块，用大小为F的水平力将小车向右拉动一段距离s，物块刚好滑到小车的左端。物块与小车间的摩擦力为Ff，在此过程中（　　）
A．摩擦力对小物块做的功为Ffs
B．摩擦力对系统做的总功为0
C．力F对小车做的功为FfL
D．小车克服摩擦力所做的功为Ffs
一、对功能关系的理解
自主探究1各力做功与能量转化关系如下表所示，请完成。
不同的力做功 对应不同形式能的变化 定量关系
合外力的功 ____变化 W合＝______________＝__________[来源:21世纪教育网]
重力的功 ________变化 重力做正功，重力势能____；重力做负功，重力势能____WG＝________＝Ep1－Ep2
弹簧弹力的功 ________变化 弹力做正功，弹性势能____；弹簧做负功，弹性势能____WF＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
只有重力、弹簧弹力的功 不引起______变化 机械能守恒ΔE＝0
除重力和弹力之外的力做的功 机械能____ 除重力和弹力之外的力做多少正功，物体的机械能就____多少；除重力和弹力之外的力做多少负功，物体的机械能就____多少W＝ΔE
电场力的功 ______变化 电场力做正功，电势能____；电场力做负功，电势能____W电＝－ΔEp
归纳要点
1．一对静摩擦力所做的总功等于零。在静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一个物体转移到另一个物体（静摩擦力起着传递机械能的作用）而没有机械能转化为其他形式的能量。21世纪教育网
2．一对相互作用的滑动摩擦力对物体系统所做的总功总是负值，其绝对值等于滑动摩擦力与相对路程的乘积（与参考系的选择无关，其中某个摩擦力做功的大小与参考系的选择有关）恰等于系统损失的机械能，这部分机械能转化成了系统的内能。即＝Ff·s＝Q。
二、对能量守恒定律的理解
自主探究2如图所示，在升降机内固定一光滑的斜面体，一轻弹簧的一端连在位于斜面体上方的固定木板B上，另一端与质量为m的物块A相连，弹簧与斜面平行。整个系统由静止开始加速上升高度h的过程中（　　）
A．物块A的重力势能增加量一定等于mgh
B．物块A的动能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的和
C．物块A的机械能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的和
D．物块A和弹簧组成系统的机械能增加量等于斜面对物块的支持力和B对弹簧拉力做功的和
思考1：升降机加速上升过程中，物块A上升高度为h吗？21世纪教育网
思考2：物块A受几个力的作用？各力做功的代数和满足什么关系？
思考3：物块A和弹簧组成的系统机械能守恒吗？
命题研究一、功能关系的应用
【题例1】（2012·广东深圳一模）在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项。质量为m的跳水运动员入水后受到水的阻力而竖直向下做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F。那么在他减速下降深度为h的过程中，下列说法正确的是（g为当地的重力加速度）（　　）
A．他的动能减少了Fh
B．他的重力势能减少了mgh
C．他的动能减少了（F－mg）h
D．他的机械能减少了Fh
思路点拨：对人做减速运动过程受力分析，明确各力做功与能的转化关系可判断。
解题要点：
规律总结
对于考查概念或规律理解的选择题，一般可用直接判断的方法进行选择，但这应建立在对概念和规律正确理解的基础上，否则就会把握不准。针对本题，要正确解答，就要对各种功能关系熟记于心，力学范围内，应牢固掌握以下三条功能关系：
（1）重力的功等于重力势能的变化，弹力的功等于弹性势能的变化；
（2）合外力的功等于动能的变化；
（3）除重力、弹力外，其他力的功等于机械能的变化。
运用功能关系解题时，应弄清楚重力做什么功，合外力做什么功，除重力、弹力外的力做什么功，从而判断重力势能或弹性势能、动能、机械能的变化。
命题研究二、摩擦力做功的特点及应用
【题例2】如图所示，在光滑水平地面上放置质量M＝2 kg的长木板，木板上表面与固定的竖直弧形轨道相切。一质量m＝1 kg的小滑块自A点沿弧面由静止滑下，A点距离长木板上表面高度h＝0.6 m。滑块在木板上滑行t＝1 s后，和木板以共同速度v＝1 m/s匀速运动，取g＝10 m/s2。求：
（1）滑块与木板间的摩擦力；
（2）滑块沿弧面下滑过程中克服摩擦力做的功；
（3）滑块相对木板滑行的距离。
思路点拨：以滑块为研究对象，以滑块从滑上木板到在木板上相对静止为研究过程，利用牛顿第二定律和运动学规律求出摩擦力。求出滑块刚滑上木板时速度，利用动能定理求得。
解题要点：
规律总结
（1）当涉及摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能的转化和守恒定律。
（2）解题时，首先确定初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的
能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。
命题研究三、传送带模型中的功能关系
【题例3】如图所示，传送带与水平面之间的夹角为θ＝30°，其上A、B两点间的距离为l＝5 m，传送带在电动机的带动下以v＝1 m/s的速度匀速运动，现将一质量为m＝10 kg的小物体（可视为质点）轻放在传送带的A点，已知小物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝/2，在传送带将小物体从A点传送到B点的过程中，求：
（1）传送带对小物体做的功。
（2）电动机做的功。（g取10 m/s2）
思路点拨：物体放在传送带上由静止开始先加速后匀速，动能和重力势能均增加，故机械能增加，机械能的增加量即为传送带对小物体做的功。电动机做的功一是增加小物体的机械能，二是增加系统的内能。
解题要点：
规律总结
（1）功是能量转化的量度，做了多少功，就有多少能量发生了转化，做功的过程就是能量转化的过程。
（2）要求摩擦生热，必须选两物体组成的系统为研究对象。热量等于摩擦力乘以相对滑过的路程，即
Q＝Ff·s相对。
1．将小球竖直上抛，经一段时间落回抛出点，若小球所受的空气阻力与速度成正比，对其上升过程和下降过程损失的机械能进行比较，下列说法中正确的是（　　）
A．上升损失的机械能大于下降损失的机械能
B．上升损失的机械能小于下降损失的机械能
C．上升损失的机械能等于下降损失的机械能
D．无法比较
2．如图所示，一个质量为m的小铁块沿半径为R的固定半圆轨道上端边缘由静止下滑，当滑到半球底部时，半圆轨道底部所受压力为铁块重力的1.8倍，则此下滑过程中铁块损失的机械能为（　　）21世纪教育网
A．0.2mgR　 　B．0.4mgR　 　C．0.6mgR　 　D．0.8mgR
3．（2013·湖北黄冈高三月考）将三个木板1、2、3固定在墙角，木板与墙壁和地面构成了三个不同的三角形，如图所示，其中1与2底边相同，2和3高度相同。现将一个可以视为质点的物块分别从三个木板的顶端由静止释放，并沿木板下滑到底端，物块与木板之间的动摩擦因数μ均相同。在这三个过程中，下列说法正确的是（　　）
A．沿着1和2下滑到底端时，物块的速度不同；沿着2和3下滑到底端时，物块的速度相同
B．沿着1下滑到底端时，物块的速度最大
C．物块沿着3下滑到底端的过程中，产生的热量是最多的
D．物块沿着1和2下滑到底端的过程中，产生的热量是一样多的
4．飞机场上运送行李的装置为一水平放置的环形传送带，传送带的总质量为M，其俯视图如图所示。现开启电动机，传送带达到稳定运行的速度v后，将行李依次轻轻放到传送带上。若有n件质量均为m的行李需通过传送带运送给旅客。假设在转弯处行李与传送带无相对滑动，忽略皮带轮、电动机损失的能量。求从电动机开启到运送完行李需要消耗的电能为多少？21世纪教育网
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
一、1．（1）能量转化
2．（1）W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk　（2）WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp　（3）W弹＝Ep1－Ep2＝－ΔEp　（4）W其他力＝E2－E1＝ΔE　（5）W电＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
二、1．保持不变
2．ΔE减＝ΔE增
基础自测
1．B　解析：由于空气阻力的作用，机械能减少，机械能不守恒，内能增加，机械能转化为内能，能量总和不变，B正确。
2．AC　解析：由动能定理，＝0－Ek0，即克服阻力做的功等于物体的初动能，与物体的质量无关，C正确；物体动能减少，机械能减少，D不正确；－μmgx＝0－Ek0，x＝，质量大的物体滑行距离小，B不正确，A正确。
3．C　解析：根据动能定理可知，合外力所做的功即力F做的功、重力做的功和阻力做的功之和才等于物体动能的增量，选项A错误；重力做负功，重力势能增加，所以重力所做的功为负值，而物体重力势能的增量为正值，它们不相等，应该表达为物体克服重力所做的功等于物体重力势能的增量，选项B错误；除了重力所做的功，其他外力做功的代数和等于物体机械能的改变量，所以本题中，力F做的功和阻力做的功之和等于物体机械能的增量，选项C正确，D错误。本题答案为C。
4．D　解析：摩擦力对小物块做的功为Ff（s－L），小车克服摩擦力所做的功为Ffs，摩擦力对系统做的总功为－FfL，力F对小车做的功为Fs，只有选项D正确。
核心理解深化
【自主探究1】答案：动能　Ek2－Ek1　ΔEk　重力势能　减少　增加　－ΔEp　弹性势能　减少　增加　机械能　变化　增加　减少　电势能　减少　增加
【自主探究2】D
提示：整个系统由静止开始加速上升，系统处于超重状态，弹簧伸长量变大，物体升高的高度小于h，选项A错误；对物块A由动能定理得，EkA＝W支＋W弹－W重，选项B错误；物块A和弹簧组成的系统受重力GA、斜面对物块的支持力FNA、物块B对弹簧的拉力F弹，物块A和弹簧组成的系统的机械能增加量等于除物块A的重力以外其他力做的功，选项D正确。
考向探究突破
【题例1】BCD　解析：跳水运动员入水减速下降h的过程中，他的重力势能减少了mgh，则B选项正确；由动能定理知，动能减少了（F－mg）h，则C选项正确；重力以外的力做的功等于机械能的变化，则D选项正确。
【题例2】答案：（1）2 N　（2）1.5 J　（3）1.5 m
解析：（1）对木板Ff＝Ma1
由运动学公式，有v＝a1t
解得Ff＝2 N。
（2）对滑块－Ff＝ma2
设滑块滑上木板时的初速度为v0
由公式v－v0＝a2t
解得v0＝3 m/s
滑块沿弧面下滑的过程，由动能定理得
mgh－WFf＝mv
WFf＝mgh－mv＝1.5 J。
（3）t＝1 s内木板的位移s1＝a1t2
此过程中滑块的位移
s2＝v0t＋a2t2
故滑块相对木板滑行距离
L＝s2－s1＝1.5 m。
【题例3】答案：（1）255 J　（2）270 J
解析：（1）对小物体：因为μmgcos θ＞mgsin θ，所以一开始小物体能向上做匀加速运动，
μmgcos θ－mgsin θ＝ma，所以a＝，
当v＝1 m/s时，位移s＝＝0.2 m。
这之后小物体相对皮带静止，一直到达B点，传送带对小物体做的功就等于小物体机械能的增加
W＝ΔEk＋ΔEp＝mv2＋mgsAB·sin 30°＝255 J。
（2）电动机所做的功一方面使小物体的机械能增加，另一方面由于小物体与传送带之间有相对滑动而产生热量，即W电＝W＋Q＝W＋μmgs相cos θ，
其中s相＝vt－s，而由v＝at，
可知t＝＝0.4 s。
所以s相＝0.4 m－0.2 m＝0.2 m，
所以W电＝W＋Q＝W＋μmgs相cos θ＝270 J。
演练巩固提升
1．A　解析：由于空气阻力做负功，机械能不断损失，上升过程经过同一位置的速度比下降过程经过该位置的速度大，又因小球所受的空气阻力与速度成正比，因此上升过程受的空气阻力较大，故上升损失的机械能大于下降损失的机械能，选A。
2．C　解析：由N－mg＝m知v2＝0.8Rg，由功能关系可得：mgR－＝mv2，＝mgR－m×0.8Rg＝0.6mgR。故C项正确。
3．BCD　解析：假设木板与地面间夹角为θ，木板上端离地高度为h，木板长为l，木板在地面投影距离为x，质点下滑到底端时速度为v，质点下滑过程中摩擦力大小为μmgcos θ，由动能定理得mgh－μmglcos θ＝mgh－mgx＝mv2,1与2底边相同，所以摩擦力做功相同，物块沿着1和2下滑到底端的过程，产生的热量是一样多的。2和3高度相同，但是3在地面投影距离x大，物块沿着3下滑到底端的过程中，产生的热量多。1的高度最大，沿着1下滑到底端时，物块的速度最大，3下滑到底端时，物块的速度最小。正确选项是B、C、D。
4．答案：Mv2＋nmv2
解析：设行李与传送带间的动摩擦因数为μ，则传送带与行李间由于摩擦产生的总热量
Q＝nμmgΔl
由运动学公式得
Δl＝l传－l行＝vt－＝
又v＝μgt
联立解得Q＝nmv2
由能量守恒定律得
E＝Q＋Mv2＋n×mv2
所以E＝Mv2＋nmv2。
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第五章　功和能　机械能及其守恒定律
考纲要求 权威解读
功和功率 Ⅱ 1．理解功的概念、正功和负功的意义，会用功的公式求恒力做的功2．理解功率的概念，能区分并会计算平均功率和瞬时功率
动能和动能定理 Ⅱ 1．理解动能的概念，知道做功与动能改变之间的关系2．会应用动能定理分析和计算问题
重力做功与重力势能 Ⅱ 1．理解重力势能的概念，明确重力做功与路径无关2．理解重力做功与重力势能的变化关系
功能关系、机械能守恒定律及其应用 Ⅱ 1．理解机械能守恒的条件，掌握机械能守恒定律的应用2．熟练利用功能关系和能量守恒定律，结合牛顿运动定律、平抛运动和圆周运动、电磁学等相关知识处理综合问题
探究动能定理 实验 正确使用打点计时器，熟练处理纸带数据并得出结论，能够将实验方法迁移到新的情境中。高考对本实验的考查侧重于实验步骤正误的判断、图象法处理数据及新情景下实验的简单设计
验证机械能守恒定律 实验 本实验重点掌握实验数据处理的方法及误差来源的分析，在新情景下能够设计实验来验证机械能守恒定律
第一节　功和功率
一、功的概念
1．定义
物体受到力的作用，并在__________发生一段位移，就说力对物体做了功。可见，____和物体在__________的位移，是做功的两个不可缺少的因素。
2．公式
W＝________，其中F是恒力，l是位移，α是________和________的夹角。
3．单位
焦耳（J）
4．矢标性
功是____，没有方向，但有正负。根据W＝Flcos α可知，（1）当0°≤α＜90°时，力对物体做____功，是动力，物体获得能量。
（2）当90°＜α≤180°时，力对物体做____功（如－2 J，也称物体克服这个力做了2 J的功），是阻力，物体向外转移能量。
（3）当α＝90°时，力对物体____做功。
可见，正功、负功只表示对物体做功的力是____力或____力，力对物体做功引起能量的转化。
二、功率21世纪教育网
类别 定义 计算公式 单位
平均功率 力在一段时间内做功的平均快慢程度，大小等于____跟完成这些功所用____的比值 （1）＝；（2）＝F，适用条件：______________ 瓦特（W）
瞬时功率 力在________做功的快慢程度21世纪教育网 （1）P＝____，适用条件：______________（2）t→0，P＝为瞬时功率（不要求）[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
额定功率 动力机械在正常条件下长时间工作的____功率
实际功率 动力机械工作时实际消耗的功率，大小介于____和________之间
汽车、火车等交通工具和各种起重机械发动机的功率（牵引力的功率）与速度的关系：P＝Fv①当P一定时，要增加F，必须减小v，故汽车爬坡时，司机常换低挡降低速度来增大牵引力。②当F一定时，v增加（如匀加速运动），则P也会增加，但这样的过程是有限度的。③当v一定时，P越大F就越大。如功率越大的起重机可吊起的重物的质量越大
1．如图所示，用同样大小的力F拉同一物体，在甲（光滑水平面）、乙（粗糙水平面）、丙（光滑斜面）、丁（粗糙斜面）上通过同样的距离，则拉力F的做功情况是（　　）
A．甲中做功最少　　 B．丁中做功最多
C．做功一样多 D．无法比较
2．如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体m与斜面体相对静止。则关于斜面对m的支持力和摩擦力的下列说法中错误的是（　　）
A．支持力一定做正功
B．摩擦力一定做正功
C．摩擦力可能不做功
D．摩擦力可能做负功
3．（2012·贵州遵义四中模拟）关于功率公式P＝W/t和P＝Fv的说法正确的是（　　）
A．由P＝W/t知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率
B．由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率
C．由P＝Fv知，随着汽车速度的增大，它的功率也可以无限制地增大
D．由P＝Fv知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比
4．易错辨析：
请你判断下列表述正确与否，对不正确的，请予以更正。
（1）功的大小、正负不但与力、位移及其它们间的夹角有关，而且与是否受其他的力及物体做加速、减速运动有关。
（2）W＝Flcos α只能计算恒力的功，不能计算变力的功。
（3）P＝Fv，当F与v方向不同时，也能使用。
（4）机车匀加速行驶结束时的速度是最大速度。
（5）作用力和反作用力所做的功总是大小相等。
一、怎样理解公式W＝Flcos α及其F、l、α的涵义
自主探究1如图所示，质量为m的小球用长为l的细线悬挂而静止在竖直位置，现用水平拉力F将小球缓慢拉至如图所示位置，细线与竖直方向成α角，此后撤去拉力F，小球再次到达竖直位置，下列说法正确的是（　　）
A．整个过程中，拉力F做功为Flsin α
B．上升过程中，重力做功为－mgl（1－cos α）
C．整个过程中，细绳拉力做功为mgl（1－cos α）
D．下摆过程中，小球速度逐渐增大，细绳拉力做功逐渐增大
思考1：拉力F为恒力还是变力？公式W＝Flcos α可以求变力做功吗？
思考2：重力做功与哪些因素有关？公式W＝Flcos α中的l是相对谁的位移？
思考3：细绳拉力做功与物体的运动速度有关吗？
二、判断正负功的方法
自主探究2如图所示，物体静止在斜面上，现使物体与斜面相对静止地一起水平向右匀速移动，则重力对物体________，支持力对物体________，摩擦力对物体________。（均选填“做正功”“做负功”或“不做功”）
自主探究3如图所示，小物体静止于长木板边缘。现使板由水平放置绕其另一端沿逆时针方向缓缓转动，转动过程中，小物体相对板始终静止，则重力对物体________，支持力对物体________，摩擦力对物体________。（均选填“做正功”“做负功”或“不做功”）
自主探究4车M静止在光滑水平轨道上，球m用细线悬挂在车上，由图中的位置无初速地释放，则可判断在球下摆过程中绳的拉力对车________，对球m________。（均选填“做正功”“做负功”或“不做功”）
思考1：力做功正负与位移方向之间的夹角有什么关系？
思考2：如何根据力与瞬时速度方向的夹角判断功的正负？
思考3：如何根据做功与能量转化的关系判断功的正负？
三、功率的分析与计算
自主探究5质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用。力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则（　　）
A．3t0时刻的瞬时功率为
B．3t0时刻的瞬时功率为
C．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为
D．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为
思考1：公式P＝Fvcos α中，F是恒力还是变力？F、v、α有何关系？
思考2：此题如何求平均功率？
归纳要点
1．P＝是功率的定义式，P＝Fv是功率的计算式。
2．在计算中，P＝只能计算平均值，而P＝Fv能计算平均值和瞬时值。
（1）若v是瞬时值，则计算出的功率是瞬时值。
（2）若v是平均值，则计算出的功率是平均值。
3．应用公式P＝Fv时需注意
（1）F与v方向在同一直线上时：P＝Fv。
（2）F与v方向有一夹角α时：P＝Fvcos α。
四、机车等交通工具的两种启动运行过程比较
对机车等交通工具运行问题，应明确P＝Fv中，P为发动机的实际功率，机车正常行驶中实际功率小于或等于其额定功率；F为发动机的牵引力；v为机车的瞬时速度。
自主探究6（2012·福建四地六校月考）一列火车总质量m＝500 t，机车发动机的额定功率P＝6×105 W，在轨道上行驶时，轨道对火车的阻力Ff是车重的0.01倍，g取10 m/s2，求：
（1）火车在水平轨道上行驶的最大速度；
（2）在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，当行驶速度为v1＝1 m/s和v2＝10 m/s时，火车的瞬时加速度a1、a2各是多少；
（3）在水平轨道上以36 km/h速度匀速行驶时，发动机的实际功率P′；
（4）若火车从静止开始，保持0.5 m/s2的加速度做匀加速运动，这一过程维持的最长时间。
思考1：火车启动过程中，P＝Fv中F是指牵引力、阻力还是合力？
思考2：火车速度达到最大时，牵引力与阻力有什么关系？
思考3：火车恒定功率启动，哪个物理量保持不变？如何求某时刻的加速度？
思考4：火车匀加速启动过程，哪个物理量保持不变？匀加速过程结束时，功率为多少？匀加速时间是多少？
归纳要点
（1）无论哪种运行过程，火车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝。
（2）火车以恒定加速度启动的运动过程，匀加速过程结束时，功率最大，速度不最大，即v＝＜vm＝。
（3）车以恒定功率运行时，牵引力的功W＝Pt。
命题研究一、功的分析与计算
【题例1】如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，现使斜面水平向左匀速移动距离l。
（1）摩擦力对物体做的功为（物体与斜面相对静止）（　　）
A．0　　　　　　　 B．μmglcos θ
C．－mglsin θcos θ D．mglsin θcos θ
（2）斜面对物体的弹力做的功为（　　）
A．0 B．mglsin θcos2θ
C．－mglcos2θ D．mglsin θcos θ
（3）重力对物体做的功为（　　）
A．0 B．mgl
C．mgltan θ D．mglcos θ
（4）斜面对物体做的功是多少？各力对物体所做的总功是多少？
思路点拨：（1）由于物体相对斜面静止，物体与斜面间的摩擦力为静摩擦力，利用共点力平衡求出静摩擦力，再利用W＝Flcos θ即可求解。（2）先利用共点力平衡求出斜面对物体的弹力，再将弹力沿水平方向分解，利用W＝Flsin θ可求出。（3）由于重力方向与运动方向垂直，故不做功。（4）斜面对物体的作用力的合力与重力平衡，方向竖直向上，故不做功；物体处于平衡状态，所受合力为零，故W总＝0。
解题要点：
规律总结
求功的三种方法
1．对功进行正确的分析和计算，是求功率、应用动能定理的前提之一。通常用以下三种方法求功：
（1）根据公式W＝Flcos α计算功，此公式只适用于求恒力的功。关键是明确力和位移的夹角，有时需要画出受力分析和位移分析图寻找夹角，有时需要从F－t、v－t图中分析夹角。
（2）根据能的转化和守恒定律或动能定理计算功，此种方法不仅适用于恒力的功，也适用于计算变力的功。
（3）根据W＝Pt计算一段时间内做的功。
2．求总功的方法：
（1）先求每个力做的功再求其代数和，即W总＝，如本例中的（2）；
（2）也可以先求几个力的合力再求合力的功，即W总＝F合lcos θ；
（3）利用动能定理，W合＝Ek2－Ek1，如本例（2）中，W合＝Ek2－Ek1＝0。
命题研究二、求变力的功
【题例2】（2012·福建理综）如图，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边。已知拖动缆绳的电动机功率恒为P，小船的质量为m，小船受到的阻力大小恒为Ff，经过A点时的速度大小为v0，小船从A点沿直线加速运动到B点经历时间为t1，A、B两点间距离为d，缆绳质量忽略不计。求：
（1）小船从A点运动到B点的全过程克服阻力做的功；
（2）小船经过B点时的速度大小v1；
（3）小船经过B点时的加速度大小a。
思路点拨：（2）由于电动机功率不变，拉力为变力，小船做变加速运动，利用动能定理列方程求解。（3）小船到达B点时，分解小船速度，利用P＝Fv可求得小船受到的拉力，将拉力沿水平方向分解，再根据牛顿第二定律即可求解。
解题要点：
规律总结
求变力功的几种方法
1．微元法
当物体在变力的作用下做曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化时，可用微元法将曲线分成无限个小段，每一个小段可认为是恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。
2．平均力法
如果参与做功的变力，其方向不变，而大小随位移线性变化，则可求出平均力等效代入公式W＝lcos α求解。
3．图象法
如果参与做功的变力方向与位移方向始终一致而大小随位移变化，我们可作出该力随位移变化的图象。那么图线与坐标轴所围成的面积，即为变力做的功。
4．功率法
用W＝Pt求恒定功率下的变力（如汽车、轮船的牵引力）做功。
1．（2013·北京海淀期中）一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为2.0 m/s。从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平拉力F，力F和滑块的速度v随时间t的变化规律分别如图甲和乙所示。设在第1 s内、第2 s内、第3 s内力F对滑块做功的平均功率分别为P1、P2、P3，则（　　）
A．P1＞P2＞P3
B．P1＜P2＜P3
C．0～2 s内力F对滑块做功为4 J
D．0～2 s内摩擦力对滑块做功为4 J
2．（2013·湖北武汉中学高三10月月考）北京时间2012年8月10日凌晨，在伦敦奥运会跳水女子单人10米台决赛中，卫冕冠军陈若琳以绝对优势夺冠．陈若琳竖直向上跃起，完成空中动作后入水，设在入水及在水中下沉过程中受到的水的作用力大小不变，空气阻力不计，陈若琳从离开跳台到最低点的运动可抽象为质点的运动，她的速度、加速度、重力势能（跳台处的重力势能为零）、动能分别用v、a、Ep、Ek表示，设速度和加速度向上为正方向，D中各段曲线为抛物线，则下列选项中可能正确的是（　　）
3．（2012·上海单科）位于水平面上的物体在水平恒力F1作用下，做速度为v1的匀速运动；若作用力变为斜向上的恒力F2，物体做速度为v2的匀速运动，且F1与F2功率相同。则可能有（　　）
A．F2＝F1，v1＞v2　　 　B．F2＝F1，v1＜v2
C．F2＞F1，v1＞v2 D．F2＜F1，v1＜v2
4．如图所示为一正在施工的塔式起重机。在起重机将质量m＝5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm＝1.02 m/s的匀速运动。取g＝10 m/s2，不计额外功。求：
（1）起重机允许输出的最大功率；
（2）重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2 s末的输出功率。
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
一、1．力的方向上　力　力的方向上
2．Flcos α　力的方向　位移方向
4．标量　（1）　正　（2）负　（3）不　动　阻
二、功　时间　F为恒力，且F与平均速度共线　某一时刻　Fv　F与瞬时速度v共线　最大　零　额定功率
基础自测
1．C　解析：同样大小的力F使物体在力的方向上通过相同的距离，由W＝Fl知拉力F做功一样多，C正确。
2．B　解析：支持力方向垂直斜面向上，故支持力一定做正功。
而摩擦力是否存在需要讨论。
当a＝gtan θ时，摩擦力不存在，不做功；
当a＞gtan θ时，摩擦力沿斜面向下，做正功；
当a＜gtan θ时，摩擦力沿斜面向上，做负功。
综上所述，B是错误的。
3．BD　解析：利用公式P＝W/t只能计算平均功率，选项A错误；当公式P＝Fv中的v为瞬时速度时，求的是瞬时功率，当v为平均速度时，求的是平均功率，选项B正确；因为汽车的速度v不能无限制增大，汽车的功率也不能无限制地增大，选项C错误；由P＝Fv知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比，选项D正确。本题答案为B、D。
4．答案：（1）错。只与力、位移及其它们间的夹角有关，与是否受其他的力及物体做加速、减速运动无关。
（2）对。
（3）错。P＝Fv只有当F与v方向一致时，才能使用。
（4）错。不是最大速度。
（5）错。作用力和反作用力作用在不同的物体上，发生的位移可能相同也可能不同，功可能相等，也可能不相等。
核心理解深化
【自主探究1】B
提示：1．由于小球缓慢运动，故拉力F为变力，W＝Flcos α是恒力做功的计算式，对变力做功的计算不适用。因此，当使用W＝Flcos α计算功前，要先弄清是恒力做功还是变力做功。
2．重力做功与重力大小和重力方向上相对地面通过的位移有关。公式W＝Flcos α中的l是物体相对地面的位移，而不是相对于和它接触的物体的位移。
3．力对物体做功只和物体的运动过程有关，只要F、l、α相同，则恒力F做功就相同，而与物体的运动状态无关，与有无其他力做功也无关。
【自主探究2】答案：不做功　做负功　做正功
解析：画出各个力的方向和位移的方向，根据力和位移的夹角判断。
【自主探究3】答案：做负功　做正功　不做功
解析：物体做圆周运动，摩擦力总是和速度方向同向，因而做正功；沿支持力方向，物体没有位移，因而不做功。
【自主探究4】答案：做正功　做负功
提示：1．根据力和位移方向之间的夹角判断：此法常用于恒力做功的判断。
2．根据力和瞬时速度方向的夹角判断：此法常用于判断质点做曲线运动时变力的功，夹角为锐角时做正功，夹角为钝角时做负功，夹角为直角时不做功。
3．依据能量变化来判断：根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。比如系统的机械能增加，说明力对系统做正功，如果系统的机械能减少，则说明力对系统做负功，此法常用于相关联的两个物体之间的相互作用力做功的判断。
【自主探究5】BD
提示：1．公式P＝Fvcos α中，F是恒力，可以是某个力，也可以是几个力的合力。计算功率时，不仅要注意其中速度v表示的是瞬时速度还是平均速度，还要注意找准力F与速度v之间的夹角α，当α＝90°时，该力的瞬时功率为零。0～2t0时间内物体做匀加速直线运动，可求得2t0时刻物体的速度为2t0,2t0～3t0时间内物体也做匀加速直线运动，可求得3t0时刻物体的速度为2t0＋t0＝F0t0。所以3t0时刻的瞬时功率为3F0·＝，选项B正确。
2．0～2t0时间内水平力做功为F0·2t0＝，2t0～3t0时间内水平力做功为3F0·t0＝，所以总功为，总功率为，选项D正确。
【自主探究6】答案：（1）12 m/s
（2）1.1 m/s2　0.02 m/s2
（3）5×105 W
（4）4 s
提示：1．火车启动过程中，P＝Fv中F是指牵引力。
2．火车速度达到最大时，牵引力与阻力平衡，即F＝Ff＝kmg时火车的加速度为零，速度达最大vm，则：vm＝＝＝＝12 m/s。当v＝36 km/h匀速运动时，火车实际功率为：P′＝kmgv＝5×105 W。
3．火车恒定功率启动过程中，火车牵引力的功率保持不变，当v＜vm时火车加速运动，当v＝v1＝1 m/s时，F1＝＝6×105 N，据牛顿第二定律得：a1＝＝1.1 m/s2
当v＝v2＝10 m/s时，F2＝＝6×104 N，据牛顿第二定律得：a2＝＝0.02 m/s2。
4．火车匀加速启动过程，加速度保持不变；匀加速过程结束时，功率最大，速度不最大，即v＝＜vm＝，此时F－Ff＝ma，v＝at，两式联立可解得t＝4 s。
考向探究突破
【题例1】答案：（1）C　（2）D　（3）A　（4）0　0
解析：（1）对物体受力分析可得：Ff＝mgsin θ，根据W＝Flcos θ可得：＝－Fflcos θ＝mglsin θcos θ，选项C正确。
（2）由于FN＝mgcos θ，根据W＝Flsin θ可得：＝FNlsin θ＝mglsin θcos θ，选项D正确。
（3）重力方向与运动方向垂直，WG＝0。
（4）斜面对物体的作用力做功为W斜＝＋＝0
各力对物体所做的总功为W总＝＋＋WG＝0。
【题例2】答案：（1）Ffd
（2）
（3）－
解析：（1）小船从A点运动到B点克服阻力做功＝Ffd①
（2）小船从A点运动到B点，电动机牵引绳对小船做功W＝Pt1②
由动能定理有
W－＝mv－mv③
由①②③式解得　v1＝。④
（3）设小船经过B点时绳的拉力大小为F，绳与水平方向夹角为θ，电动机牵引绳的速度大小为u，则P＝Fu⑤
u＝v1cos θ⑥
由牛顿第二定律有Fcos θ－Ff＝ma⑦
由④⑤⑥⑦式解得
a＝－
演练巩固提升
1．BC　解析：第1 s内力F对滑块做功的平均功率分别为P1＝F1·v1＝1×1 W＝1 W；第2 s内力F对滑块做功的平均功率分别为 P2＝F2·v2＝3×1 W＝3 W；第3 s内力F对滑块做功的平均功率为P3＝F3·v3＝2×2 W＝4 W；所以，P1＜P2＜P3，选项A错误B正确；0～2 s内力F对滑块做功为W＝F1·x1＋F2·x1＝1×1 J＋3×1 J＝4 J，选项C正确；滑块所受摩擦力Ff＝2 N,0～2 s内滑块位移x＝2 m，摩擦力对滑块做功为Ffxcos 180°＝－4 J，选项D错误。
2．AD　解析：运动员的运动有两个过程，一段做竖直上抛运动，另一段做入水向下的匀减速直线运动，第一段速度符号由正变负后因加速度方向不变，故斜率不变。第二段速度仍向下，故速度符号仍为负，但因加速度方向变为向上，故斜率改变（倾斜方向相反），A对。运动员两段运动过程加速度大小不同但均恒定不变，方向相反；即两段加速度—时间图应平行横轴，符号相反，B错。因势能、动能与时间均为平方正比关系，故两段势能、动能与时间图象应为两段抛物线，D对。
3．BD　解析：F1与F2功率相等，即F1v1＝F2v2cos α，设摩擦力为Ff，则F1＝Ff，F2cos α＜Ff，则必有v1＜v2，F2＝F1时，有v1＜v2，F2＞F1，有v1＜v2，F2＜F1，也有v1＜v2。
4．答案：（1）5.1×104 W　（2）5 s　2.04×104 W
解析：（1）设起重机允许输出的最大功率为P0，重物达到最大速度时，拉力F0等于重力。
P0＝F0vm①
F0＝mg②
代入数据，有：P0＝5.1×104 W③
（2）匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为v1，匀加速运动经历时间为t1，有：P0＝Fv1④
F－mg＝ma⑤
v1＝at1⑥
由③④⑤⑥，代入数据，得：t1＝5 s⑦
t＝2 s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v2，输出功率为P，则v2＝at⑧
P＝Fv2⑨
由⑤⑧⑨，代入数据，得：
P＝2.04×104 W。⑩
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