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课时作业18　功能关系　能量守恒定律
一、不定项选择题
1．如图所示，某段滑雪雪道倾角为30°，总质量为m（包括雪具在内）的滑雪运动员从距底端高为h处的雪道上由静止开始匀加速下滑，加速度为g。在他从上向下滑到底端的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．运动员减少的重力势能全部转化为动能
B．运动员获得的动能为mgh
C．运动员克服摩擦力做功为mgh
D．下滑过程中系统减少的机械能为mgh
2．如图所示，电梯的质量为M，其天花板上通过一轻质弹簧悬挂一质量为m的物体。电梯在钢索的拉力作用下由静止开始竖直向上加速运动，当上升高度为H时，电梯的速度达到v，则在这段运动过程中，以下说法正确的是（　　）
A．轻质弹簧对物体的拉力所做的功等于mv2
B．钢索的拉力所做的功等于mv2＋MgH
C．轻质弹簧对物体的拉力所做的功大于mv2
D．钢索的拉力所做的功等于（m＋M）v2＋（m＋M）gH
3．（2012·大连模拟）如图所示，平直木板AB倾斜放置，板上的P点距A端较近，小物块与木板间的动摩擦因数由A到B逐渐减小。先让物块从A由静止开始滑到B。然后，将A着地，抬高B，使木板的倾角与前一过程相同，再让物块从B由静止开始滑到A。上述两过程相比较，下列说法中一定正确的有（　　）
A．物块经过P点的动能，前一过程较小
B．物块从顶端滑到P点的过程中因摩擦产生的热量，前一过程较少
C．物块滑到底端的速度，前一过程较大
D．物块从顶端滑到底端的时间，前一过程较长
4．（2012·吉林长春调研）如图所示，质量为m的可看成质点的物块置于粗糙水平面上的M点，水平面的右端与固定的斜面平滑连接，物块与水平面及斜面之间的动摩擦因数处处相同。物块与弹簧未连接，开始时物块挤压弹簧使弹簧处于压缩状态。现从M点由静止释放物块，物块运动到N点时恰好静止。弹簧原长小于MM′。若物块从M点运动到N点的过程中，物块与接触面之间由于摩擦所产生的热量为Q，物块、弹簧与地球组成系统的机械能为E，物块通过的路程为s。不计转折处的能量损失，下列图象所描述的关系中可能正确的是（　　）
5．如图所示，有三个斜面1、2、3，斜面1与2底边相同，斜面2和3高度相同，同一物体与三个斜面的动摩擦因数相同，当它们分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端时，下列说法正确的是（　　）
A．三种情况下物体损失的机械能ΔE3＞ΔE2＞ΔE1
B．三种情况下摩擦产生的热量Q1＝Q2＜Q3 [来源:21世纪教育网]
C．到达底端的速度v1＞v2＝v3
D．运动的时间t1＜t2＜t3
6．如图所示，置于足够长斜面上的盒子A内放有光滑球B，B恰与A前、后壁接触，斜面光滑且固定于水平地面上。一轻质弹簧的一端与固定在斜面上的木板P拴接，另一端与A相连。今用外力推A使弹簧处于压缩状态，然后由静止释放，则从释放盒子直至其获得最大速度的过程中（　　）21世纪教育网
A．弹簧的弹性势能一直减小直至为零
B．A对B做的功等于B机械能的增加量
C．弹簧弹性势能的减少量等于A和B机械能的增加量
D．A所受重力做功和弹簧弹力做功的代数和小于A动能的增加量
7．（2012·浙江温州期末）如图所示，质量分别为m1和m2的两个小球A、B，带有等量异种电荷，通过绝缘轻弹簧相连接，置于绝缘光滑的水平面上。当突然加一水平向右的匀强电场后，两小球A、B将由静止开始向两侧运动，在以后的整个运动过程中，对两个小球和弹簧组成的系统（设整个过程中不考虑电荷间库仑力的作用且弹簧不超过弹性限度），以下说法正确的是（　　）
A．系统机械能不断增加
B．弹簧对A、B两球做正功
C．当弹簧长度达到最大值时，系统机械能最大
D．当小球所受电场力与弹簧的弹力相等时，系统动能最大21世纪教育网
8．如图所示，甲、乙两种粗糙面不同的传送带，倾斜于水平地面放置，以同样恒定速率v向上运动。现将一质量为m的小物体（视为质点）轻轻放在A处，小物体在甲传送带上到达B处时恰好达到传送带的速率v；在乙传送带上到达离B竖直高度为h的C处时达到传送带的速率v。已知B处离地面的高度皆为H。则在物体从A到B的过程中（　　）
A．两种传送带与小物体之间的动摩擦因数相同
B．将小物体传送到B处，两种传送带消耗的电能相等
C．两种传送带对小物体做功相等
D．将小物体传送到B处，两种系统产生的热量相等
二、非选择题
9．飞机若仅依靠自身喷气式发动机推力起飞需要较长的跑道，某同学设计在航空母舰上安装电磁弹射器以缩短飞机起飞距离，他的设计思想如下：如图所示，航空母舰的水平跑道总长l＝180 m，其中电磁弹射器是一种长度为l1＝120 m的直线电机，这种直线电机从头至尾可以提供一个恒定的牵引力F牵。一架质量为m＝2.0×104 kg的飞机，其喷气式发动机可以提供恒定的推力F推＝1.2×105 N。考虑到飞机在起飞过程中受到的阻力与速度大小有关，假设在电磁弹射阶段的平均阻力为飞机重力的0.05倍，在后一阶段的平均阻力为飞机重力的0.2倍。飞机离舰起飞的速度v＝100 m/s，航母处于静止状态，飞机可视为质量恒定的质点。请你求出（计算结果均保留两位有效数字）：
（1）飞机在后一阶段的加速度大小；
（2）电磁弹射器的牵引力F牵的大小；
（3）电磁弹射器输出效率可以达到80%，则每弹射这样一架飞机电磁弹射器需要消耗多少能量。
10．如图所示，AB为半径R＝0.8 m的1/4光滑圆弧轨道，下端B恰与小车右端平滑对接。小车质量M＝3 kg，车长L＝2.06 m，车上表面距地面的高度h＝0.2 m。现有一质量m＝1 kg的滑块，由轨道顶端无初速释放，滑到B端后冲上小车。已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ＝0.3，当车运行了1.5 s时，车被地面装置锁定。（取g＝10 m/s2）试求：
（1）滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小；
（2）车被锁定时，车右端距轨道B端的距离；
（3）从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间由于摩擦而产生的内能大小；
（4）滑块落地点离车左端的水平距离。
参考答案
1．D　解析：运动员的加速度为g，小于gsin 30°，所以必受摩擦力，且大小为mg，克服摩擦力做功为mg×＝mgh，故C错；摩擦力做功，机械能不守恒，减少的势能没有全部转化为动能，而是有mgh转化为内能，故A错，D正确；由动能定理知，运动员获得的动能为mg×＝mgh，故B错。
2．C　解析：轻质弹簧对物体的拉力所做的功等于物体增加的动能和重力势能，大于mv2，选项A错误，C正确；钢索的拉力所做的功等于电梯和物体增加的动能和重力势能，选项B错误；由于电梯竖直向上做加速运动，弹簧长度增大，电梯上升高度为H时，物体上升高度小于H，钢索的拉力所做的功小于（m＋M）v2＋（m＋M）gH，选项D错误。
3．AD　解析：前一过程，从A到P，所受摩擦力较大，下滑加速度较小，位移较小，故在P点的动能较小；后一过程，从B到P，下滑加速度较大，位移较大，故在P点的动能较大，所以A正确；两过程中，前者摩擦力大，位移小，后者摩擦力小，位移大，无法比较产生热量的大小，故B不正确；物块滑到底端的两过程合外力的功相同，根据动能定理，滑到底端速度相等，即C不正确；由牛顿第二定律，结合两次加速度变化特点，两次v－t图象如图所示，位移相等，故前一过程时间较长，D正确。
4．C　解析：物体在粗糙水平面上滑动时，Q＝μmgs，E＝E0－μmgs，可见，当s较小时，Q－s图象是一条经过原点的倾斜直线，E－s图象是一条与纵轴相交、斜率为负值的倾斜直线，斜率的大小k＝－μmg；当滑上斜面后，Q＝μmgs0＋μmgcos θ（s－s0）＝μmgs0（1－cos θ）＋μmgcos θ·s，E＝E0－μmgs0（1－cos θ）－μmgcos θ·s，可见，当s较大或者滑上斜面时，Q－s图象仍是一条倾斜直线，但斜率变小，E－s图象也是一条倾斜直线，斜率的大小变为k＝－μmgcos θ；综上分析，只有选项C正确。本题答案为C。
5．B　解析：斜面上摩擦力做的功等效为μmgs水平，斜面1、2的水平位移相同，故产生热量和损失机械能相同，A错；斜面2的水平位移小于3的水平位移，故从斜面3下滑时产生热量较多，B对；斜面1、2比较，物体损失能量相同，但物体从斜面1下滑时重力势能较大，到底端时速率较大，斜面2和3比较，物体从斜面3下滑损失能量较多，初始重力势能相同，故从斜面3下滑到底端时速率最小，C错；由于动摩擦因数和斜面1、2的倾角关系未知，无法确定t1和t2，但显然t2小于t3，D错。
6．BC　解析：运动过程中，弹簧由收缩状态伸长，A达到最大速度时，A和B的加速度为零，根据受力分析知，弹簧必处于收缩状态，则弹簧的弹性势能减小但不为零，选项A错误；根据B机械能的增量等于除重力外其他力做的功知，A对B做的功等于B的机械能的增加量，选项B正确；运动过程中弹簧、A和B组成的系统机械能守恒，所以弹簧弹性势能的减少量等于A和B机械能的增加量，选项C正确；根据动能定理，重力、弹簧弹力及B对A侧壁的压力对A做功的代数和等于A动能的增加量，因B对A侧壁的压力对A做负功，所以A所受重力做的功和弹簧弹力做的功的代数和大于A动能的增加量，选项D错误。
7．CD　解析：首先要弄清系统的整个运动过程：两球在恒定的电场力的作用下分别向两侧运动，初始阶段，恒定的电场力大于弹力，但弹力逐渐增大，所以合力指向两侧，大小逐渐减小，加速度也逐渐减小，两小球均做加速度逐渐减小的加速运动；当弹力增大到等于电场力时，加速度为零，小球速度达到最大（注意此时系统动能最大）；之后，弹力继续增大，弹力大于电场力，合力指向内侧，大小逐渐增大，加速度方向指向内侧即与运动方向相反，大小逐渐增大，所以小球做加速度逐渐增大的减速运动；当弹簧长度达到最大值时，弹力最大，加速度最大，小球速度均为零；因为此时小球受力不平衡，合力指向内侧，所以小球又要折回，向内侧运动，弹力逐渐减小，小球做加速度逐渐减小的加速运动，当弹力减小到等于电场力时，加速度为零，小球速度达到最大（注意此时系统动能最大），之后，弹力继续减小，弹力小于电场力，合力指向外侧，大小逐渐增大，小球做加速度逐渐增大的减速运动。
根据以上分析可知，在小球向两边运动的过程中，电场力对两小球均做正功，系统机械能不断增加，但当小球折回时，电场力做负功，系统的机械能减小，所以选项A错误；小球向两侧运动时，弹簧对两球均做负功，当小球折回时，弹簧做正功，所以选项B错误；当弹簧长度达到最大值时，电场力对系统做的正功最大，所以系统机械能最大，选项C正确；当小球所受电场力与弹簧的弹力相等时，小球速度最大，系统动能最大，选项D正确。本题答案为C、D。
8．C　解析：小物体在两种传送带均做初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小a＝μgcos α－gsin α，在速度达到v的过程中，小物体在甲传送带上的位移s较大，根据公式a＝v2/2s，在甲传送带上时的加速度较小，根据a＝μgcos α－gsin α，可得μ＝＋tan θ，即小物体与甲传送带间的动摩擦因数较小，选项A错误；在小物体从A到B的过程中，根据功能关系可知，传送带对小物体做的功等于小物体机械能的增加量，选项C正确；在小物体从A到B的过程中，只有小物体相对传送带发生滑动时，即只有在加速过程中，系统才发生“摩擦生热”，根据公式Q＝fs相对，计算系统产生的热量，可选取做匀速运动的传送带为惯性参考系，小物体在惯性参考系里做初速度大小为v，加速度大小为a＝μgcos α－gsin α，末速度为零的匀减速直线运动，可求出s相对＝v2/2a，可见，s相对等于小物体相对于地面速度从0加速到v过程中的位移，即系统产生的热量等于小物体加速过程中摩擦力对小物体做的功，对于甲传送带，在加速过程中摩擦力做正功设为W1，克服重力做功为mgH，动能改变量为mv2，根据动能定理可求得W1＝mv2＋mgH，同理可求出在乙传送带上加速过程中摩擦力做的功为W2＝mv2＋mg（H－h），显然W1＞W2，所以Q1＞Q2，即甲系统产生的热量多，选项D错误；在将小物体传送到B处的过程中，传送带消耗的电能等于系统增加的机械能和产生的内能，两种系统增加的机械能相等，产生的内能不等，所以消耗的电能不等，选项B错误。答案为C。
9．答案：（1）4.0 m/s2　（2）6.8×105 N　（3）1.0×108 J
解析：（1）令后一阶段飞机加速度为a2，平均阻力为f2＝0.2mg，
则F推－f2＝ma2
得：a2＝4.0 m/s221世纪教育网
（2）由动能定理：F牵l1＋F推l－f1l1－f2（l－l1）＝mv2
得F牵＝6.8×105 N
（3）电磁弹射器对飞机做功W＝F牵l1＝8.2×107 J
则其消耗的能量E＝＝1.0×108 J
10．答案：（1）30 N　（2）1 m　（3）6 J
（4）0.16 m
解析：（1）设滑块到达B端时速度为v，
由动能定理，得mgR＝mv2
由牛顿第二定律，得FN－mg＝m
联立两式，代入数值得轨道对滑块的支持力：FN＝3mg＝30 N。
（2）当滑块滑上小车后，由牛顿第二定律，得
对滑块有：－μmg＝ma1
对小车有：μmg＝Ma2
设经时间t两者达到共同速度，则有：v＋a1t＝a2t
解得t＝1 s。由于1 s＜1.5 s，此时小车还未被锁定，两者的共同速度：v′＝a2t＝1 m/s
因此，车被锁定时，车右端距轨道B端的距离：x＝a2t2＋v′t′＝1 m。
（3）从车开始运动到被锁定的过程中，滑块相对小车滑动的距离Δx＝t－a2t2＝2 m
所以产生的内能：E＝μmgΔx＝6 J。[来源:21世纪教育网]
（4）对滑块由动能定理，得－μmg（L－Δx）＝mv″2－mv′2
滑块脱离小车后，在竖直方向有：h＝gt″2
所以，滑块落地点离车左端的水平距离：x′＝v″t″＝0.16 m。
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课时作业17　机械能守恒定律
一、不定项选择题
1．（2012·江苏南京、盐城模拟）自由下落的物体，其动能与位移的关系如图所示，则图中直线的斜率表示该物体的（　　）
A．质量　　　 B．机械能
C．重力大小 D．重力加速度
2．物体做自由落体运动Ek代表动能，Ep代表势能，h代表下落的距离，以水平地面为零势能面。如图所示图象中，能正确反映各物理量之间关系的是（　　）
[来源:21世纪教育网]
3．如图所示，A、B两球质量相等，A球用不能伸长的轻绳系于O点，B球用轻弹簧系于O′点，O与O′点在同一水平面上，分别将A、B球拉到与悬点等高处，使绳和轻弹簧均处于水平，弹簧处于自然状态，将两球分别由静止开始释放，当两球达到各自悬点的正下方时，两球仍处在同一水平面上，则（　　）
A．两球到达各自悬点的正下方时，两球动能相等
B．两球到达各自悬点的正下方时，A球动能较大
C．两球到达各自悬点的正下方时，B球动能较大
D．两球到达各自悬点的正下方时，A球受到向上的拉力较大
4．（2012·浙江五校联考）如图所示，光滑固定斜面C倾角为θ，质量均为m的A、B一起以某一初速沿斜面向上做匀减速运动，已知A上表面是水平的。则下列正确的是（　　）
A．A受到B的摩擦力水平向右
B．B受到A的支持力不做功
C．B的机械能不变
D．A、B之间的摩擦力为mgsin θcos θ
5．如图所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球，给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动。在此过程中（　　）
A．小球的机械能减少
B．重力对小球不做功
C．绳的拉力对小球不做功
D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少
6．如图所示，一根不可伸长的轻绳两端分别系着小球A和物块B，跨过固定于斜面体顶端的小滑轮O，倾角为θ＝30°的斜面体置于水平地面上，A的质量为m，B的质量为4m。开始时，用手托住A，使OA段绳恰处于水平伸直状态（绳中无拉力），OB绳平行于斜面，此时B静止不动。将A由静止释放，在其下摆过程中，斜面体始终保持静止。下列判断中正确的是（　　）
A．B受到的摩擦力先减小后增大
B．地面对斜面体的摩擦力方向一直向右
C．A的机械能守恒
D．A的机械能不守恒，A、B系统的机械能守恒[来源:21世纪教育网]
7．如图所示，离水平地面一定高处水平固定一内壁光滑的圆筒，筒内固定一轻质弹簧，弹簧处于自然长度。现将一小球从地面以某一初速度斜向上抛出，刚好能水平进入圆筒中，不计空气阻力。下列说法中正确的是（　　）
A．弹簧获得的最大弹性势能小于小球抛出时的动能
B．小球从抛出到将弹簧压缩到最短的过程中小球的机械能守恒
C．小球抛出的初速度大小仅与圆筒离地面的高度有关
D．小球从抛出点运动到圆筒口的时间与小球抛出时的角度无关
8．（2012·南昌模拟）如图所示，绝缘弹簧的下端固定在斜面底端，弹簧与斜面平行，带电小球Q（可视为质点）固定在光滑绝缘斜面上的M点，且在通过弹簧中心的直线ab上。现把与Q大小相同、带电性也相同的小球P从直线ab上的N点由静止释放，在小球P与弹簧接触到速度变为零的过程中（　　）
A．小球P的速度先增大后减小
B．小球P和弹簧组成的系统的机械能守恒
C．小球P的动能、重力势能、电势能与弹簧的弹性势能的总和不变
D．小球P速度最大时所受弹簧弹力和库仑力的合力最大
二、非选择题
9．如图所示，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为m的小球（小球的大小可以忽略）。
（1）在水平拉力F的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为α，小球保持静止。画出此时小球的受力图，并求力F的大小。
（2）由图示位置无初速释放小球，求当小球通过最低点时的速度大小及轻绳对小球的拉力。不计空气阻力。
10．如图所示，在竖直方向上A、B物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细绳绕过光滑轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上，斜面倾角为30°。用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行，已知B的质量为m，C的质量为4m，A的质量远大于m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦力不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C后它沿斜面下滑，斜面足够长，求：[来源:21世纪教育网]
（1）当B物体的速度最大时，弹簧的伸长量；
（2）B物体的最大速度。
11．如图所示，ABDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径R=15 m的四分之一圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为15 m的半圆轨道，D为BDO轨道的中央。一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下，沿竖直平面内的轨道通过D点时对轨道的压力等于其重力的倍。
（1）求H的大小。
（2）试讨论此球能否到达BDO轨道的O点，并说明理由。
（3）小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度的大小是多少？
参考答案
1．C　解析：根据机械能守恒定律有Ek＝mgh，显然Ek－h图象的斜率表示物体重力大小mg，所以选项C正确。本题答案为C。[来源:21世纪教育网]
2．B　解析：由机械能守恒定律：Ep＝E－Ek，故势能与动能的图象为倾斜的直线，C错；由动能定理：Ek＝mgh＝mv2＝mg2t2，则Ep＝E－mgh，故势能与h的图象也为倾斜的直线，D错；且Ep＝E－mv2，故势能与速度的图象为开口向下的抛物线，B对；同理Ep＝E－mg2t2，势能与时间的图象也为开口向下的抛物线，A错。
3．BD　解析：整个过程中两球减少的重力势能相等，A球减少的重力势能完全转化为A球的动能，B球减少的重力势能转化为B球的动能和弹簧的弹性势能，所以A球的动能大于B球的动能，所以B正确；在O点正下方位置根据牛顿第二定律，小球所受拉力与重力的合力提供向心力，则A球受到的拉力较大，所以D正确。
4．ACD　解析：根据题意，A、B的加速度方向和合外力方向均是沿斜面向下；先对B受力分析，它受到竖直向下的重力、竖直向上的支持力和沿水平方向的摩擦力，因为三个力的合力方向沿斜面向下，所以摩擦力方向水平向左，根据牛顿第三定律可知，A受到B的摩擦力水平向右，选项A正确；B受到A的支持力竖直向上，而B在竖直方向上发生了位移，所以该支持力做功，选项B错误；在上滑过程中，由A、B组成的系统机械能守恒，即系统的机械能大小保持不变，显然，A和B的机械能均不变，选项C正确；B的加速度大小为a＝gsin θ，合外力沿斜面向下，大小为ma＝mgsin θ，合外力沿水平方向上的分量等于A对B的摩擦力大小为mgsin θcos θ，所以A、B之间的摩擦力为mgsin θcos θ，选项D正确。本题答案为A、C、D。
5．AC　解析：斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力和绳子的拉力，由于除重力做功外，摩擦力做负功，故机械能减少，A正确，B错误；绳子的拉力总是与运动方向垂直，故不做功，选项C正确；小球动能的变化等于合外力做的功，即重力与摩擦力做功的代数和，选项D错误。
6．ABC　解析：首先判断B在整个过程中是否运动，当A未释放时B静止，则此时B受向上的静摩擦力Ff＝4mgsin θ＝2mg。假设在A运动的过程中B未动，则A下落的过程中机械能守恒，有mglOA＝mv2，对A进行受力分析可知，A运动至最低点时绳子拉力T最大，此时有T－mg＝，T＝3mg＜Ff＋4mgsin θ＝4mg，说明A摆动过程中不能拉动B，故小球A的机械能守恒，选项C正确，D错误；斜面体对B的静摩擦力方向先沿斜面向上，后沿斜面向下，故先减小后增大，选项A正确；A下摆时对斜面体、B、定滑轮组成的系统有沿着绳子方向斜向左的拉力，由此可判断出地面对斜面体的摩擦力方向一直向右，故选项B正确。
7．AB　解析：小球从抛出到弹簧压缩到最短的过程中，只有重力和弹力做功，小球的机械能守恒，即mv＝mgh＋Ep，所以Ep＜Ek0，故A对，B对；斜上抛运动可分解为竖直上抛运动和水平方向的匀速直线运动，所以h＝＝（θ为v0与水平方向的夹角），即v0＝，知C错；由0＝v0sin θ－gt，t＝知D错。
8．AC　解析：小球P与弹簧接触时，沿平行斜面方向受到小球Q对P的静电力、重力的分力、弹簧的弹力，开始时合力的方向沿斜面向下，速度增大，后来随着弹簧压缩量变大，合力的方向沿斜面向上，速度逐渐减小，当合力为零，即弹簧的弹力与库仑力的合力与重力沿斜面向下的分力等大反向时，小球P的速度最大，选项A正确，选项D错误；小球P和弹簧组成的系统受到小球Q的静电力，且静电力做正功，所以系统机械能不守恒，选项B错误；把弹簧、小球P和Q看成一个系统，该系统的总能量守恒，选项C正确。
9．答案：（1）如解析图所示　mgtan α
（2）　mg（3－2cos α）
解析：（1）受力图如图所示。
根据平衡条件，应满足Tcos α＝mg，Tsin α＝F
则拉力大小F＝mgtan α。
（2）设小球通过最低点时速度为v，运动中只有重力做功，小球机械能守恒，则：
mgl（1－cos α）＝mv2
解得v＝
根据牛顿第二定律，有
T′－mg＝m
解得T′＝mg＋＝mg（3－2cos α），方向竖直向上。
10．答案：（1）　（2）2g
解析：（1）通过受力分析可知：当B的速度最大时，其加速度为零，绳子上的拉力大小为2mg，此时弹簧处于伸长状态，弹簧的伸长量x2满足kx2＝mg
则x2＝
（2）开始时弹簧压缩的长度为：x1＝
因A质量远大于m，所以A一直保持静止状态。物体B上升的距离以及物体C沿斜面下滑的距离均为h＝x1＋x2，由于x1＝x2，弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，弹簧弹力做功为零，设B物体的最大速度为vm，由机械能守恒定律得：
4mghsin α＝mgh＋（m＋4m）v
解得vm＝2g。
11．答案：（1）10 m
（2）能到达　理由见解析
（3）17.3 m/s
解析：（1）设小球通过D点的速度为v，通过D点时轨道对小球的支持力为F。则有：m＝F＝mg
小球从P点落下直到沿光滑轨道运动到D的过程中，由机械能守恒，有：
mg＝mv2
由上二式可得：H＝R＝10 m
（2）设小球能够沿竖直半圆轨道运动到O点的最小速度为v0，则有
m＝mg
设小球至少应从HO高处落下，且满足
mgHO＝mv
由上二式可得：HO＝＜H21世纪教育网
故可知小球可以通过O点。
（3）小球由H落下通过O点的速度为：
v0＝＝14.1 m/s
小球通过O点后做平抛运动，设小球经时间t，落到AB圆弧轨道上，建立如图所示的坐标系，有：
x＝v0t　y＝gt2
且x2＋y2＝R2
由上三式可解得：t＝1 s
落到轨道上速度的大小为：
v＝＝17.3 m/s。
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课时作业15　功和功率
一、不定项选择题
1．如图所示，在向右加速运动的车厢中，一人用力向前推车厢（人与车厢始终保持相对静止），则下列说法正确的是（　　）
A．人对车厢做正功　　　B．人对车厢做负功
C．车厢对人做正功 D．推力对车厢做正功
2．（2012·福建四地六校期中）如图所示，用恒力F拉着质量为m的物体沿水平面从A移到B的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．有摩擦力时比无摩擦力时F做的功多
B．有摩擦力时与无摩擦力时F做功一样多
C．物体加速运动时F做的功比减速运动时F做的功多
D．物体无论是加速、减速还是匀速，力F做的功一样多
3．解放前后，机械化生产水平较低，人们经常通过“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用。如图所示，假设驴拉磨的平均用力大小为500 N，运动的半径为1 m，驴拉磨转动一周所用时间约为10 s，则驴拉磨转动一周的平均功率约为（　　）
A．0 B．50 W
C．50π W D．100π W
4．（2012·四川理综）如图所示，劲度系数为k的轻弹簧的一端固定在墙上，另一端与置于水平面上质量为m的物体接触（未连接），弹簧水平且无形变。用水平力F缓慢推动物体，在弹性限度内弹簧长度被压缩了x0，此时物体静止。撤去F后，物体开始向左运动，运动的最大距离为4x0。物体与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。则（　　）
A．撤去F后，物体先做匀加速运动，再做匀减速运动
B．撤去F后，物体刚运动时的加速度大小为－μg
C．物体做匀减速运动的时间为2
D．物体开始向左运动到速度最大的过程中克服摩擦力做的功为μmg（x0－）
5．如图所示，2012年10号台风“达维”向西偏北转西北方向移动，逐渐向江苏北部到山东半岛南部沿海靠近，于8月2日夜间在江苏盐城到山东青岛一带沿海登陆。受其影响，下午6时左右到达沂水县，水平风速达到40 m/s。一块质量为2 kg的石块从灵泉山顶无初速被吹下悬崖，假设山高2 000 m，若风速不变，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则下列说法中正确的是（　　）
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A．石块做平抛运动
B．石块下落过程中加速度恒定不变
C．石块落到地面时与初始位置的水平距离小于800 m
D．石块落地时重力的瞬时功率为400 W
6．（2012·福建厦门质量检查）汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，快进入闹市区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶。设汽车行驶时所受的阻力恒定，则下面四个图象中，哪个图象正确表示了司机从减小油门开始，汽车的速度与时间的关系（　　）
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7．（2012·安徽理综）如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中（　　）
A．重力做功2mgR
B．机械能减少mgR
C．合外力做功mgR
D．克服摩擦力做功mgR
二、非选择题
8．如图所示，水平的传送带以速度v顺时针运转，两传动轮M、N之间的距离为l＝10 m，若在M轮的正上方，将一质量为m＝3 kg的物体轻放在传送带上，已知物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.3，在以下两种情况下物体由M处传送到N处的过程中，传送带对物体的摩擦力做了多少功？（g取10 m/s2）
（1）传送带速度v＝6 m/s；
（2）传送带速度v＝9 m/s。
9．如图甲，质量m＝2 kg的物体静止在水平面上，物体跟水平面间的动摩擦因数μ＝0.2。从t＝0时刻起，物体受到一个水平力F的作用而开始运动，F随时间t变化的规律如图乙，6 s后撤去拉力F。（取g＝10 m/s2）求：
（1）第4 s末物体的速度；
（2）物体运动过程中拉力F做的功。
10．（2012·安徽合肥模拟）高速连续曝光照相机可在底片上重叠形成多个图象。现利用这架照相机对MD2000家用汽车的加速性能进行研究，如图所示为汽车做匀加速直线运动时三次曝光的照片，图中的标尺单位为米，照相机每两次曝光的时间间隔为1.0 s。已知该汽车的质量为2 000 kg，额定功率为72 kW，汽车运动过程中所受的阻力始终为1 600 N。
（1）求该汽车加速度的大小。
（2）若汽车由静止以此加速度开始做匀加速直线运动，匀加速运动状态最多能保持多长时间？
（3）求汽车所能达到的最大速度。
参考答案
1．BCD　解析：因为人和车厢向右加速运动，车厢对人的作用力的合力水平向右，故车厢对人做正功， C正确；人对车厢作用力的合力水平向左，人对车厢做负功，B正确，A错误；推力的方向与车前进方向相同，推力对车厢做正功，D正确。
2．BD　解析：由功的公式W＝Fscos α可得力F对物体m做的功W＝F·s，与有无摩擦无关，与物体是加速、减速还是匀速运动也无关，因此B、D正确。
3．D　解析：根据P＝可得：P＝＝W＝100π W，选项D正确。
4．BD　解析：撤去F后，由于弹力是变力，所以物体在开始的位移x0内不可能做匀变速运动，选项A错误；撤去F瞬间，a＝＝＝－μg，选项B正确；弹簧恢复原长时，物体开始与弹簧脱离，物体做匀减速运动的距离为3x0，加速度为－μg，末速度为零，3x0＝μgt2，解得t＝，选项C错误；当弹力与摩擦力相等时，物体速度最大，kx＝μmg，x＝，物体开始向左运动到速度最大过程中克服摩擦力做功为W＝μmg（x0－），选项D正确。
5．C　解析：石块水平方向做加速运动，故不属于平抛运动，A错；竖直方向加速度恒为g，水平方向加速度不断变化，B错；根据t＝＝20 s，水平方向最大速度为40 m/s，在这个过程中平均速度小于40 m/s，水平位移s＝t＜800 m，C对；落地时竖直方向vy＝gt＝200 m/s，石块落地时瞬时功率P＝mgvy＝4 000 W，D错。
6．B　解析：本题需要结合公式P＝Fv和F－Ff＝ma求解。在司机减小了油门前，P＝F0v0＝Ffv0，即摩擦力Ff＝F0；减小了油门瞬间，汽车的功率立即减小一半，即P＝F1v0，可见，牵引力F1＝F0，又F1－Ff＝ma1即F0－F0＝ma1可得，a1＝－F0/2m，符号表示加速度方向与速度方向相反，汽车做减速运动；之后一段时间内，发动机功率保持P不变，速度继续减小，根据P＝Fv可知，牵引力F逐渐增大，由F－Ff＝ma即F－F0＝ma可知，加速度a逐渐减小，方向与速度方向相反；之后，当汽车减速到v2＝v0时，由P＝Fv2，即F0v0＝Fv0，可得牵引力F＝Ff＝F0，汽车又恢复了匀速直线运动。考虑到v－t图象的斜率表示加速度，综合以上分析，可知本题答案为B。
7．D　解析：小球从P点运动到B点的过程中重力做功为mgR，选项A错误；设小球通过B点时的速度为vB，根据小球通过B点时刚好对轨道没有压力，说明此刻刚好由重力提供向心力，对小球通过B点瞬间应用牛顿第二定律有mg＝m①，解得vB＝②，设小球从P点运动到B点的过程中克服摩擦力做功为W，对此过程由动能定理有mgR－W＝mv③，联立②③解得W＝mgR，选项D正确；上述过程合外力做功为W合＝mgR－W＝mgR，选项C错误；小球机械能减少量等于小球克服摩擦力所做的功，即ΔE＝W＝mgR，选项B错误。 [来源:21世纪教育网]
8．答案：（1）54 J　（2）90 J
解析：物体在传送带上加速运动时a＝μg＝3 m/s2。
刚好加速运动10 m时速度
v0＝＝m/s＝2m/s。
（1）由于v＝6 m/s＜2m/s，所以物体是加速至6 m/s再匀速，加速过程位移为
l′＝＝m＝6 m。[来源:21世纪教育网]
传送带摩擦力做功
W＝Fl′＝μmgl′＝9×6 J＝54 J。
（2）由于v＝9 m/s＞v0＝2m/s，所以物体从M至N的过程中一直加速，摩擦力做功
W＝Fl＝μmgl＝9×10 J＝90 J。[21世纪教育网
9．答案：（1）12 m/s　（2）336 J
解析：（1）在0～4 s内，设物体的加速度为a1,4 s末速度为v，
则根据牛顿第二定律F1－μmg＝ma1①
v＝a1t1②
联立①②式得v＝12 m/s③
（2）前4 s的位移s1＝a1t④
s1＝24 m⑤
由图象得4～6 s物体做匀速直线运动，位移大小为
s2＝vt2⑥
联立③⑥式得s2＝24 m⑦
物体运动过程中拉力F做的功为W＝F1s1＋F2s2⑧
联立⑤⑦⑧式得
W＝336 J
10．答案：（1）1.0 m/s2　（2）20 s　（3）45 m/s
解析：（1）汽车做匀加速直线运动，据运动学公式，有
s1＝v0·ΔT＋a·ΔT2
v1＝v0＋aΔT
s2＝v1ΔT＋a·ΔT2
由以上几式可得，Δs＝s2－s1＝a·ΔT2
a＝＝m/s2＝1.0 m/s2。
（2）做匀加速直线运动的汽车所受合力为恒力，由牛顿第二定律得：F－Ff＝ma，所以F＝ma＋Ff＝3 600 N，随着速度的增大，汽车的输出功率增大，当达到额定功率时，匀加速运动的过程结束，由P＝Fv得v1＝＝m/s＝20 m/s，由匀加速运动公式v＝at得：t＝＝20 s。
（3）当汽车达到最大速度时，有F′＝Ff＝1 600 N。
由P＝F′v，得v＝＝m/s＝45 m/s。
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课时作业16　动能定理及其应用
一、不定项选择题
1．（2012·福建厦门期末）用恒力F向上拉一物体，使其由地面处开始加速上升到某一高度。若该过程空气阻力不能忽略，则下列说法中正确的是（　　）
A．力F做的功和阻力做的功之和等于物体动能的增量
B．重力所做的功等于物体重力势能的增量
C．力F做的功和阻力做的功之和等于物体机械能的增量
D．力F、重力、阻力三者的合力所做的功等于物体机械能的增量
2．物体在恒定阻力作用下，以某初速度在水平面上沿直线滑行直到停止。以a、Ek、s和t分别表示物体运动的加速度大小、动能、位移的大小和运动的时间。则以下各图象中，能正确反映这一过程的是（　　）
3．（2012·湖北黄冈模拟）在新疆旅游时，最刺激的莫过于滑沙运动。某人坐在滑沙板上从沙坡斜面的顶端由静止沿直线下滑到斜面底端时，速度为2v0，设人下滑时所受阻力恒定不变，沙坡长度为L，斜面倾角为α，人的质量为m，滑沙板质量不计，重力加速度为g。则（　　）[来源:21世纪教育网]
A．若人在斜面顶端被其他人推了一把，沿斜面以v0的初速度下滑，则人到达斜面底端时的速度大小为3v0
B．若人在斜面顶端被其他人推了一把，沿斜面以v0的初速度下滑，则人到达斜面底端时的速度大小为v0
C．人沿沙坡下滑时所受阻力Ff＝mgsin α－2mv/L
D．人在下滑过程中重力功率的最大值为2mgv0
4．（2012·江苏无锡模拟）如图所示，质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上。质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最左端。现用一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动。物块和小车之间的摩擦力为Ff。物块滑到小车最右端时，小车运动的距离为s。在这个过程中，下列说法正确的是（　　）
A．物块到达小车最右端时具有的动能为F（l＋s）
B．物块到达小车最右端时，小车具有的动能为Ffs
C．物块克服摩擦力所做的功为Ff（l＋s）
D．物块和小车增加的机械能为Ffs21世纪教育网
5．如图所示，质量m＝1 kg、长L＝0.8 m的均匀矩形薄板静止在水平桌面上，其右端与桌子边缘相平。板与桌面间的动摩擦因数为μ＝0.4。先用F＝5 N的水平力向右推薄板，使它翻下桌子，力F做的功至少为（g取10 m/s2）（　　）
A．1 J　　 B．4 J
C．2 J D．1.6 J
6．（2011·江西南昌月考）如图所示，一个质量为m的圆环套在一根固定的水平直杆上，环与杆的动摩擦因数为μ，现给环一个向右的初速度v0，如果在运动过程中还受到一个方向始终竖直向上的力F的作用，已知力F的大小F＝kv（k为常数，v为环的运动速度），则环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功（假设杆足够长）不可能为（　　）
A．mv B．0
C．mv＋ D．mv－
7．（2012·广西南宁二中月考）如图所示，一个小球（视为质点）从H＝12 m高处由静止开始通过光滑弧形轨道AB，进入半径R＝4 m的竖直圆环，且圆环动摩擦因数处处相等，当到达环顶C时，刚好对轨道压力为零；沿CB圆弧滑下后，进入光滑弧形轨道BD，且到达高度为h的D点时的速度为零，则h之值不可能为（g取10 m/s2，所有高度均相对B点而言）（　　）
A．12 m B．10 m
C．8.5 m D．7 m
二、非选择题
8．右端连有光滑弧形槽的水平桌面AB长L＝1.5 m，如图所示。将一个质量为m＝0.5 kg的木块在F＝1.5 N的水平拉力作用下，从桌面上的A端由静止开始向右运动，木块到达B端时撤去拉力F，木块与水平桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10 m/s2。求：
（1）木块沿弧形槽上升的最大高度；
（2）木块沿弧形槽滑回B端后，在水平桌面上滑动的最大距离。
9．（2012·山东济南模拟）如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小滑块，在F＝4 N水平拉力的作用下，从水平面上的A处由静止开始运动，滑行s＝1.75 m后由B处滑上倾角为37°的光滑斜面，滑上斜面后拉力的大小保持不变，方向变为沿斜面向上，滑动一段时间后撤去拉力。已知小滑块沿斜面上滑到的最远点C距B点为L＝2 m，小滑块最后恰好停在A处。不计B处能量损失，g取10 m/s2，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。试求：
（1）小滑块与水平面间的动摩擦因数μ；
（2）小滑块在斜面上运动时，拉力作用的距离x；
（3）小滑块在斜面上运动时，拉力作用的时间t。
10．节能混合动力车是一种可以利用汽油及所储存电能作为动力来源的汽车。有一质量m＝1 000 kg的混合动力轿车，在平直公路上以v1＝90 km/h匀速行驶，发动机的输出功率为P＝50 kW。当驾驶员看到前方有 80 km/h的限速标志时，保持发动机功率不变，立即启动利用电磁阻尼带动的发电机工作给电池充电，使轿车做减速运动，运动L＝72 m后，速度变为v2＝72 km/h。此过程中发动机功率的用于轿车的牵引，用于供给发电机工作，发动机输送给发电机的能量最后有50%转化为电池的电能。假设轿车在上述运动过程中所受阻力保持不变。求
（1）轿车以90 km/h在平直公路上匀速行驶时，所受阻力F阻的大小；
（2）轿车从90 km/h减速到72 km/h过程中，获得的电能E电；
（3）轿车仅用其在上述减速过程中获得的电能E电维持72 km/h匀速运动的距离L′。
参考答案
1．C　解析：根据动能定理可知，合外力所做的功即力F做的功、重力做的功和阻力做的功之和才等于物体动能的增量，选项A错误；重力做负功，重力势能增加，所以重力所做的功为负值，而物体重力势能的增量为正值，它们不相等，应该表达为物体克服重力所做的功等于物体重力势能的增量，选项B错误；除了重力所做的功，其他外力做功的代数和等于物体机械能的改变量，所以本题中，力F做的功和阻力做的功之和等于物体机械能的增量，选项C正确，D错误。本题答案为C。
2．C　解析：阻力恒定，合外力恒定，那么加速度大小a恒定，选项A、B错误；根据动能定理有mv2/2－mv/2＝－mas，所以Ek＝mv2/2＝mv/2－mas＝Ek0－mas，选项C正确；v＝v0－at，Ek＝mv2/2＝（m/2）（v＋a2t2－2av0t），选项D错误。本题答案为C。
3．BC　解析：对人进行受力分析如图所示，根据匀变速直线运动的规律有：（2v0）2－0＝2aL，v－v＝2aL，可解得：v1＝v0，所以A错误，B正确；根据动能定理有：mgLsin α－FfL＝m（2v0）2，可解得Ff＝mgsin α－2mv/L，C正确；重力功率的最大值为Pm＝2mgv0sin α，D错误。
4．BC　解析：合外力做功引起物体动能的变化，物块到达小车最右端时具有的动能对应这个过程中物块所受合外力做的功，做的功为（F－Ff）（l＋s），所以A错误；物块和小车增加的机械能为动力和阻力对系统做功之和，即F（l＋s）－Ffl，所以D错误。
5．D　解析：薄板在F作用下先加速到一定速度，后撤去F，薄板共向前运动L/2时刚好停止，此时F做功最少且刚好翻下桌子，根据动能定理有WF－μmgL/2＝0，解得WF＝μmgL/2＝1.6 J。
6．C　解析：当F＝mg时，环匀速运动，摩擦力为零，克服摩擦力所做的功W＝0，当F＞mg时，竖直方向F＝mg＋FN，水平方向Ff＝μFN。环做减速运动，速度减小，由F＝kv知，F减小，当F＝mg后环匀速，此时F＝mg＝kv，所以v＝，W＝mv－mv2＝mv－，当F＜mg时，F＋FN＝mg，v减小，FN变大，摩擦力Ff变大，环最终减速为零。所以，由动能定理知，环克服摩擦力做功W＝mv，选项A、B、D可能，C不可能。
7．ABD　解析：设小球从B上升运动到C需要克服的摩擦力做功为W1，而从C下滑运动到B需要克服的摩擦力做功为W2，小球到达C点时的速度为vc。根据mg＝mv/R求出，即vc＝；在小球从静止运动到C点的过程中，对小球运用动能定理，有mg（H－2R）－W1＝mv－0，可求出W1＝2mg；在小球从静止运动到D点的整个过程中，对小球运用动能定理，有mg（H－h）－W1－W2＝0，即mg（H－h）＝W1－W2，考虑到小球在CB弧运动时速度小于BC弧运动时的速度，即正压力减小，摩擦力减小，所以W2＜W1＝2mg,2mg＜W1－W2＜4mg，即2mg＜mg（H－h）＜4mg，所以8 m＜h＜10 m。本题答案为A、B、D。
8．答案：（1）0.15 m　（2）0.75 m
解析：（1）由动能定理得：FL－FfL－mgh＝0
其中Ff＝μmg＝0.2×0.5×10 N＝1.0 N
所以h＝＝0.15 m。
（2）由动能定理得：mgh－Ffx＝0
所以x＝＝ m＝0.75 m。
9．答案：（1）　（2）1.25 m　（3）0.5 s
解析：（1）小滑块由C点运动到A点，由动能定理得mgLsin 37°－μmgs＝0，解得μ＝。
（2）小滑块由A点运动到C点，由动能定理得Fs－Fx－mgsin 37°L－μmgs＝0，解得x＝1.25 m。
（3）小滑块由A点运动到B点，由动能定理得Fs－μmgs＝mv2；由牛顿第二定律得F－mgsin 37°＝ma；由运动学公式得x＝vt－at2；联立各式，解得t＝0.5 s。21世纪教育网
10．答案：（1）2×103 N　（2）6.3×104 J　（3）31.5 m
解析：（1）汽车牵引力与输出功率关系
P＝F牵v
将P＝50 kW，v1＝90 km/h＝25 m/s代入得
F牵＝＝2×103 N
当轿车匀速行驶时，牵引力与阻力大小相等，有
F阻＝2×103 N。
（2）在减速过程中，注意到发动机只有P用于汽车的牵引。根据动能定理有21世纪教育网
Pt－F阻L＝mv－mv
代入数据得
Pt＝1.575×105 J21世纪教育网
电源获得的电能为
E电＝0.5×Pt＝6.3×104 J。
（3）根据题设，轿车在平直公路上匀速行驶时受到的阻力仍为F阻＝2×103 N。在此过程中，由能量转化及守恒定律可知，仅有电能用于克服阻力做功
E电＝F阻L′
代入数据得
L′＝31.5 m。
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