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第四章　曲线运动　万有引力与航天
考纲要求 权威解读
运动的合成与分解 Ⅱ 1．运动的合成与分解是研究复杂运动的基本方法；万有引力定律是力学中一个重要的基本定律2．平抛运动的规律及其研究思想在近年高考中一般都有体现，要引起重视[来源:21世纪教育网]3．匀速圆周运动及其重要公式，特别是匀速圆周运动的动力学特点要引起足够的重视。对天体运动的考查都离不开匀速圆周运动4．天体运动的考查频率很高，主要考查圆周运动、牛顿运动定律和圆周运动知识，经常结合航天技术、人造地球卫星等现代科技的重要领域进行命题21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
抛体运动 Ⅱ21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度 Ⅰ
匀速圆周运动的向心力 Ⅱ
离心现象 Ⅰ
万有引力定律及其应用 Ⅱ
环绕速度 Ⅱ
第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ
第一节　曲线运动　运动的合成与分解
一、曲线运动
1．速度的方向
质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的________。
2．运动的性质
做曲线运动的物体，速度的________时刻在改变，所以曲线运动是________运动。
3．曲线运动的条件
物体所受合外力的方向跟它的速度方向____________________________或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上。
4．合力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向________________。
5．运动类型的判断
（1）判断物体是否做匀变速运动，要分析合外力是否为恒力。
（2）判断物体是否做曲线运动，要分析合外力是否与速度成一定夹角。
（3）匀变速曲线运动的条件：F合≠0，为恒力且与速度不共线。
（4）非匀变速曲线运动的条件：F合≠0，为变力且与速度不共线。
二、运动的合成与分解
1．基本概念
分运动合运动
2．分解原则
根据运动的__________分解，也可采用正交分解。
3．遵循的规律
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循________________。
（1）如果各分运动在同一直线上，需选取正方向，与正方向同向的量取“＋”号，与正方向反向的量取“－”号，从而将矢量运算简化为__________。
（2）两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图所示。
（3）两个分运动垂直时的合成满足：
a合＝
s合＝
v合＝
1．（2012·广东四校联考）下列关于运动和力的叙述中，正确的是（　　）
A．做曲线运动的物体，其加速度方向一定是变化的
B．物体做圆周运动，所受的合力一定指向圆心
C．物体所受合力方向与运动方向相反，该物体一定做直线运动
D．物体运动的速率在增加，所受合力方向一定与运动方向相同
2．（2012·河南十所名校阶段性测试）在美国拉斯维加斯当地时间2011年10月16日进行的印地车世界锦标赛的比赛中，发生15辆赛车连环撞车事故，两届印第安纳波利斯500赛冠军、英国车手丹·威尔顿因伤势过重去世。在比赛进行到第11圈时，77号赛车在弯道处强行顺时针加速超越是酿成这起事故的根本原因，下面四幅俯视图中画出了77号赛车转弯时所受的合力的可能情况，你认为正确的是（　　）
3．（2012·杭州一中模拟）如图所示，岸上的人通过定滑轮用绳子拖动小船靠岸，则当人匀速运动时，船的运动情况是（　　）
A．加速运动　　　B．减速运动
C．匀速运动 D．条件不足，不能判定
4．易错辨析：请你判断下列表述是否正确，对不正确的，请予以更正。
（1）曲线运动一定是变速运动；
（2）曲线运动不可能是匀加速运动；
（3）两个匀加速直线运动的合运动一定是直线运动；
（4）平抛运动的速度方向与位移方向不同；
（5）在相等时间内，平抛运动的速度变化量相等，方向总是竖直向下。
一、对曲线运动的理解
自主探究1如图所示，汽车在一段弯曲水平路面上匀速行驶，关于它受的水平方向的作用力的示意图如图所示，其中可能正确的是（图中F为牵引力，Ff为它行驶时所受阻力）（　　）
思考1：汽车运动轨迹是直线还是曲线？
思考2：汽车匀速行驶的意义是什么？
思考3：汽车受到合力方向向哪？
归纳要点
1．做曲线运动的物体所受合力方向与轨迹的关系
无力不拐弯，拐弯必有力。曲线运动轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向曲线的“凹”侧。
2．判断曲线运动的物体的速率变化情况
（1）当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大。
（2）当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小。
（3）当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
二、对合运动和分运动性质的理解
自主探究2有关运动的合成，以下说法中正确的是（　　）
A．两个直线运动的合运动一定是直线运动
B．两个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C．两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动
D．匀加速运动和匀速直线运动的合运动一定是直线运动
思考1：物体做匀速直线运动的条件是什么？
思考2：物体做曲线运动的条件是什么？
归纳要点
根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动。
若合加速度与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。例如：
（1）两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动；
（2）一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当二者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动；
（3）两个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动；若合初速度与合加速度在同一直线上，则合运动为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动；
（4）两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动是初速度为零的匀加速直线运动或静止。
命题研究一、小船渡河问题
【题例1】船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与船离河岸的距离的变化关系如图乙所示，则当船沿渡河时间最短的路径渡河时（　　）
A．船渡河的最短时间是60 s
B．要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
思路点拨：小船的实际运动即为合运动，但小船渡河时间与水速无关；由于水速不断变化，故小船的合速度方向不断变化。
解题要点：
规律总结
（1）船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
（2）三种速度：v1（船在静水中的速度）、v2（水流速度）、v（船的实际速度）。
（3）三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝（d为河宽）。
②过河路径最短（v2＜v1时）：合速度垂直于河岸时，航程最短，xmin＝d。船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝。
③过河路径最短（v2＞v1时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短。
由图可知cos α=，最短航程x短==d。
命题研究二、“关联”速度问题
【题例2】（2012·江苏扬州质检）如图所示，竖直平面内放置一直角杆AOB，杆的水平部分粗糙，竖直部分光滑，两部分各有质量相等的小球A和B套在杆上，A、B间用轻绳相连，以下说法中正确的是（　　）
A．若用水平拉力向右缓慢地拉A，则拉动过程中A受到的摩擦力不变
B．若以一较明显的速度向右匀速地拉A，则拉动过程中A受到的摩擦力不变
C．若以一较明显的速度向右匀速地拉A，则过程中A受到的摩擦力比静止时的摩擦力要大
D．若以一较明显的速度向下匀速地拉B，则过程中A受到的摩擦力与静止时的摩擦力相等
思路点拨：A、B两球的实际运动即为合运动，相关联的速度为沿绳方向的分速度，利用运动的分解即可求解。
解题要点：
规律总结
1．首先要分清合运动与分运动，物体的实际运动是合运动。
2．由于中学阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同来求解。
1．（2012·福建四地六校联考）做曲线运动的物体，在运动过程中，一定变化的物理量是（　　）
A．合外力 B．速率 C．速度 D．加速度
2．（2012·河北正定中学模拟）降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞（　　）
A．下落的时间越短 B．下落的时间越长
C．落地时速度越小 D．落地时速度越大
3．（2013·山东莱州质检）如图所示，物体A、B经无摩擦的定滑轮用细线连在一起，A物体受水平向右的力F的作用，此时B匀速下降，A水平向左运动，可知（　　）
A．物体A做匀速运动
B．物体A做加速运动
C．物体A所受摩擦力逐渐增大
D．物体A所受摩擦力逐渐减小
4．（2013·江苏常州模拟）如图所示，光滑水平桌面上，一个小球以速度v向右做匀速运动，它经过靠近桌边的竖直木板ad边时，木板开始做自由落体运动。若木板开始运动时，cd边与桌面相齐，则小球在木板上的投影轨迹是（　　）
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
一、1．切线方向
2．方向　变速
3．不在同一条直线上
4．指向曲线的“凹”侧
二、2．实际效果
3．平行四边形定则　（1）代数运算
基础自测
1．C　解析：平抛运动的物体做曲线运动，但加速度的方向不变，选项A错误；做匀速圆周运动的物体，合外力全部用来充当向心力，即合力指向圆心，做变速圆周运动的物体，合外力指向圆心方向的分力充当向心力，即合力不一定指向圆心，选项B错误；当F与v共线时，物体做直线运动，选项C正确；当F与v不共线时，物体做曲线运动，当F与v之间的夹角是锐角时，物体的速率增加，当F与v之间的夹角为钝角时，物体的速率减小，选项D错误。
2．B　解析：赛车做曲线运动，其合力方向肯定要指向运动轨迹的凹侧，所以选项A、D错误；由在弯道处顺时针加速可知合力的切向分量与速度方向一致，法向分量指向圆心，故选项B正确，C错误。
3．A
4．答案：（1）正确。
（2）错误。曲线运动的加速度可以恒定不变，如平抛运动。
（3）错误。若合初速度方向与合加速度方向不共线，物体将做曲线运动。
（4）正确。
（5）正确。
核心理解深化
【自主探究1】C
提示：由题图可知，汽车运动轨迹是曲线，因汽车匀速行驶，故其受合力指向凹侧，切线方向合力为零，选项C正确。
【自主探究2】B
提示：物体做匀速直线运动的条件是所受合外力为零，故两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动；物体受到的合外力（或加速度）的方向与初速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。
考向探究突破
【题例1】BD　解析：根据图象可知，船在静水中的速度v静＝3 m/s，河宽d＝300 m，河水正中间流速最大为v水max＝4 m/s，当船头始终垂直河岸渡河时，渡河时间最短，最短时间为tmin＝＝100 s，选项A错而B对；船在河水中的最大速度是vmax＝m/s＝5 m/s，选项D对；设合速度与河岸夹角为θ，则tan θ＝，因v水随河岸距离不断变化，故θ不断变化，故船在河水中航行的轨迹是一条曲线，选项C错。
【题例2】AC　解析：若用水平拉力向右缓慢地拉A，两小球都始终处于平衡状态，选取两球组成的系统为研究对象，竖直方向上，FN＝GA＋GB，故A受到的摩擦力Ff＝μFN＝μ（GA＋GB）不变，选项A正确；将A、B的实际速度vA、vB分解为沿绳方向的分速度和垂直绳方向的分速度，设轻绳AB与水平杆间的夹角为θ，如图所示，则v1＝vAcos θ，v3＝vBsin θ，沿绳方向速度相等，即vAcos θ＝vBsin θ，vB＝vAcot θ，若以一较明显的速度向右匀速地拉A，θ变大，vB减小，即B球在竖直方向上做减速运动，所以轻绳对B球拉力的竖直向上的分量大于GB，根据牛顿第三定律，轻绳对A球竖直向下的拉力分量也大于GB，故FN＞GA＋GB，A受到的摩擦力Ff＝μFN＞μ（GA＋GB），选项B错而C对；若以一较明显的速度向下匀速地拉B，那么由两球组成的系统在竖直方向上受力平衡，则水平杆对A球的弹力FN＝GA＋GB＋F，其中F为拉力，可见FN比静止时要大，所以该过程中A受到的摩擦力比静止时大，选项D错误。
演练巩固提升
1．C　解析：曲线运动是变速运动，其速度一定变化，选项C正确；平抛运动是一种曲线运动，做平抛运动物体的加速度和合外力恒定不变，可见，做曲线运动的物体，其合外力和加速度不一定变化，选项A、D错误；圆周运动也是一种曲线运动，做匀速圆周运动的物体，其速率保持不变，可见，做曲线运动的物体，速率不一定变化，选项B错误。
2．D　解析：风沿水平方向吹，不影响竖直速度，故下落时间不变，A、B两项均错。风速越大时合速度越大，故C项错误，D项正确。
3．BD　解析：把A向左的速度v沿细线方向和垂直细线方向分解，沿细线方向的分速度为vcos α，B匀速下降，vcos α不变，而α角增大，cos α减小，则v增大，所以A做加速运动，选项B正确，A错误；由于A对地面的压力逐渐减小，所以物体A所受摩擦力逐渐减小，选项D正确，C错误。
4．B　解析：木板做自由落体运动，若以木板作参考系，则小球沿竖直方向的运动可视为竖直向上的初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，所以小球在木板上的投影轨迹是B。
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第三节　圆周运动
一、描述圆周运动的物理量
描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表：
定义、意义 公式、单位
线速度 ①描述做圆周运动的物体________的物理量（v）②是矢量，方向和半径垂直，和圆周________ ①v＝＝____②单位：m/s
角速度 ①描述物体绕圆心________的物理量（ω）②中学不研究其方向 ①ω＝＝____②单位：rad/s
周期和转速 ①周期是物体沿圆周运动一圈的时间（T）②转速是物体在单位时间内转过的________（n），也叫频率（f） ①T＝；单位：s②n的单位r/s、r/min③f的单位：Hz，f＝
向心加速度 ①描述速度方向变化快慢的物理量（an）②方向指向圆心 ①an＝＝____②单位：m/s2
向心力 ①作用效果是产生向心加速度，只改变线速度的______，不改变线速度的______②方向指向______ ①Fn＝______＝m＝______②单位：N
相互关系 ①v＝rω＝＝2πrf②____________________③____________________
二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动的比较
项目 匀速圆周运动 非匀速圆周运动
运动性质 是速度大小______而方向时刻______的变速曲线运动，是加速度大小______、方向____的变加速曲线运动 是速度大小和方向都______的变速曲线运动，是加速度大小、方向都______的变加速曲线运动
加速度 方向与速度垂直，即只存在向心加速度，没有切向加速度 由于速度大小和方向都变化，所以不仅存在向心加速度而且存在切向加速度，合加速度的方向不指向圆心
向心力 F合＝F向＝ F合＝
三、向心运动和离心运动
1．离心运动的本质
（1）离心现象是________的表现。
（2）离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动的半径变大，或沿切线方向飞出。
2．向心运动
当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即________，物体渐渐向圆心运动。
1．（2012·江苏赣榆月考）如图所示是摩托车比赛转弯时的情形。转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是（　　）
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
2．（2012·金华十校第三次联考）如图是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为（　　）
A． B． C． D．
3．（2012·上海复旦、交大、华师大附中联考）关于做匀速圆周运动的线速度、角速度、周期的关系，以下说法中正确的是（　　）
A．线速度较大的物体其角速度一定较大
B．线速度较大的物体其周期一定较小
C．角速度较大的物体其运动半径一定较小
D．角速度较大的物体其周期一定较小
4．请你判断下列表述正确与否，对不正确的，请予以更正。
A．匀速圆周运动是匀变速运动。
B．圆周运动的合力就是向心力。
C．做圆周运动的物体，除受向心力外，还受其他的力。
D．根据a＝ω2R可知a与半径R成正比，根据a＝v2/R可知a与半径R成反比。
E．物体做离心运动是因为受到离心力的作用。
一、在传动装置中各物理量之间的关系
自主探究1如图所示，靠摩擦传动做匀速转动的大、小两轮接触面互不打滑，大轮半径是小轮半径的2倍。A、B分别为大、小轮边缘上的点，C为大轮上一条半径的中点。则（　　）
A．两轮转动的角速度相等
B．大轮转动的角速度是小轮的2倍[来源:21世纪教育网]
C．质点加速度aA＝2aB
D．质点加速度aB＝4aC
思考1：A、B两点线速度满足什么关系？
思考2：同轴转动什么相等？
思考3：如何求向心加速度？
归纳要点
在讨论v、ω、r、a、T的关系时，应采用控制变量法，即保持其中一个量不变来讨论另外两个量的关系，用到的公式有v＝rω，ω＝，a＝＝rω2＝vω＝r。
1．高中阶段所接触的传动主要有：（1）皮带传动（线速度大小相等）；（2）同轴传动（角速度相等）；（3）齿轮传动（线速度大小相等）；（4）摩擦传动（线速度大小相等）。
2．传动装置的特点：（1）同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同；（2）皮带传动：不打滑的摩擦传动和皮带（或齿轮）传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。
二、向心力来源的确定
自主探究2请指出下列情况下物体做匀速圆周运动的向心力的来源
运动模型 图示 动力学方程
随水平圆盘一起转动的物块 已知物块质量为m，物体受到的静摩擦力为Ff，物块离圆心的距离为r，圆盘转动的角速度为ω，则动力学方程为__________；若还知道摩擦因数为μ，物块刚要滑出时，圆盘的角速度ω0＝__________
围绕地球做匀速圆周运动的卫星 已知地球的质量为M，卫星的质量为m，地球半径为R，卫星离地高度为h，卫星的速度为v，则动力学方程为__________
飞机在水平面内做匀速圆周运动 已知飞机的质量为m，速度为v，飞机与水平面的倾角为α，半径为R，则动力学方程为__________
圆锥摆 已知物体的质量为m，绳长L，绳与竖直方向的夹角为α，角速度为ω，则动力学方程为__________
火车按规定速度转弯 火车的质量为m，规定速度为v0，轨道平面的倾角为θ，转弯半径为R，则动力学方程为__________
汽车过凹形桥，在桥的最低点瞬间 已知汽车的质量为m，速度为v，凹形桥的半径为R，支持力为FN，则动力学方程为__________
汽车过凸形桥，在桥的最高点瞬间 已知汽车的质量为m，速度为v，凸形桥的半径为R，支持力为FN，则动力学方程为____________，在最高点要使汽车不飞车，汽车的最大速度为vmax＝__________
飞车走壁（摩托车在倾斜的圆形台面上做水平方向的匀速圆周运动） 已知车的质量为m，车做匀速圆周运动的半径为R，墙壁的倾角为α，车的速度为v，则动力学方程为________
归纳要点
向心力不是和重力、弹力、摩擦力等相并列的一种性质的力，是根据力的效果命名的，在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体所受的作用力（重力、弹力、摩擦力、万有引力等）以外再添加一个向心力。向心力可能是物体受到的某一个力，也可能是物体受到的几个力的合力或某一个力的分力。
命题研究一、圆周运动中的动力学问题
【题例1】神六、神七、“嫦娥奔月”相继成功，标志着我国航天事业已实现大跨越，随着航天事业的发展，培养宇航员也是一项重要工作。宇航员进行航天前训练时，需要进行抗荷实验，如图所示是离心实验器的原理图，可以用离心实验来研究过荷对人体的影响，测试人的抗荷能力。离心实验器转动时，被测者做匀速圆周运动，现已知OA＝L，AB＝d，当转动时AB与水平杆OA成150°角，人可视为质点，求：
（1）被测试者对座位的压力为自身重力的多少倍？
（2）此时实验器转动的角速度多大？
思路点拨：从题目所给情景中可提炼出如下解题信息：航天员做匀速圆周运动相当于火车转弯的情况，明确向心力的来源，列牛顿第二定律可求解有关量。21世纪教育网
解题要点：
规律总结
圆周运动中动力学问题的解答方法
（1）确定做圆周运动的物体作为研究对象；
（2）明确运动情况，包括搞清楚运动的速率v、半径R及圆心O的位置等；
（3）分析受力情况，对物体实际受力情况进行正确的分析，画出受力图，确定指向圆心的合外力F（即提供向心力）；
（4）合理选用公式Fn＝man＝m＝mω2r＝mr。
命题研究二、平抛运动与圆周运动综合问题
【题例2】（2012·福建理综）如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小x＝0.4 m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
（1）物块做平抛运动的初速度大小v0；
（2）物块与转台间的动摩擦因数μ。
思路点拨：根据平抛运动规律可求出平抛初速度，当物块受到的最大静摩擦力提供向心力时，利用牛顿第二定律求解。
解题要点：
规律总结
1．解决圆周运动与平抛运动结合的问题，关键是找出各运动转折点的关联量——速度。
2．对于匀速圆周运动和平抛运动结合问题，还应注意圆周运动的周期性问题。
命题研究三、圆周运动中的临界问题
【题例3】如图所示，细绳一端系着质量M＝0.6 kg的物体A，静止于水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3 kg的物体B，A的中点与圆孔距离为0.2 m，且A和水平面间的最大静摩擦力为2 N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω满足什么条件时，物体B会处于静止状态？（取g＝10 m/s2）
思路点拨：由题中数据看，当ω＝0时，物体A将向圆心运动，若要使A相对于圆盘静止，圆盘应以一定的角速度转动。当A受到的摩擦力背离圆心为最大静摩擦力时对应的角速度ω为最小值；当ω由此逐渐增大时，A物体做圆周运动需要的向心力增大，又细绳上的拉力不变，故A物体的静摩擦力逐渐减小，当减小到0后，又反向增大，即指向圆心的静摩擦力逐渐增大，当达到最大静摩擦力时，对应的ω为最大值。
解题要点：
规律总结
临界问题广泛地存在于中学物理中，解答临界问题的关键是准确判断临界状态，再选择相应的规律灵活求解，其解题步骤为：
（1）判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。
（2）确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。
（3）选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对于不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。
结合本题，应分析出物体A做圆周运动的向心力来源：摩擦力和绳的拉力，绳的拉力等于B的重力，而摩擦力可以沿半径向里或向外，当沿这两个方向达到最大值，即为两个临界状态，结合圆周运动的公式，即可求解。
1．质量为m的石块从半径为R的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果摩擦力的作用使得石块的速度大小不变，如图所示，那么（　　）
A．因为速率不变，所以石块的加速度为零
B．石块下滑过程中受的合外力越来越大
C．石块下滑过程中受的摩擦力大小不变
D．石块下滑过程中的加速度大小不变，方向始终指向球心
2．（2013·四川资阳诊断）如图所示，水平放置的两个用相同材料制成的轮P和Q靠摩擦传动，两轮的半径R∶r＝2∶1。当主动轮Q匀速转动时，在Q轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在Q轮边缘上，此时Q轮转动的角速度为ω1，木块的向心加速度为a1；若改变转速，把小木块放在P轮边缘也恰能静止，此时Q轮转动的角速度为ω2，木块的向心加速度为a2，则（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
3．（2013·洛阳期中）如图所示，长为L的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在水平转轴O上，杆随转轴O在竖直平面内匀速转动，角速度为ω，某时刻杆对球的作用力恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角θ是（　　）
A．sin θ＝ B．tan θ＝
C．sin θ＝ D．tan θ＝
4．如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道的最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
一、运动快慢　相切　　转动快慢　　圈数　ω2r　方向　大小　圆心　mω2r　mr　an＝＝rω2＝ωv＝＝4π2f2r　Fn＝m＝mrω2＝m＝mωv＝m4π2f2r
二、不变　变化　不变　变化　变化　变化
三、1．（1）惯性
2．F＞mrω2
基础自测
1．B　解析：摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，选项A错误；摩托车正常转弯时可看做是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，选项B正确；摩托车将沿曲线做离心运动，选项C、D错误。
2．C　解析：前进速度即为Ⅲ轮的线速度，由同一个轮上的角速度相等，同一条链上的线速度相等可得：ω1r1＝ω2r2，ω3＝ω2，再有ω1＝2πn，v＝ω3r3，所以v＝。
3．D　解析：根据ω＝v/r、T＝2πr/v和r＝v/ω可知，选项A、B、C错误；根据T＝2π/ω可知，选项D正确。
4．答案：匀速圆周运动的向心加速度方向时刻改变，A错误；只有匀速圆周运动的合外力才指向圆心，B错误；向心力是效果力，是由沿半径方向的合力提供，并非物体实际受到的力，C错误；a＝ω2R是在ω一定时a与R成正比，同理对a＝是在v一定时，a与R成反比，D错误；离心力也是效果力，并不是物体实际受到的力，E错误。
核心理解深化
【自主探究1】D
提示：同皮带轮传动线速度相等，即vA＝vB；同轴转动，角速度相同，即ωA＝ωC；ωA＝，ωB＝，所以ωB＝2ωA；aA＝，aB＝，所以aB＝2aA，aC＝ω·R，aA＝ω×2R，所以aA＝2aC，则aB＝4aC。
【自主探究2】Ff＝mω2r　　G＝m　mgtan α＝m　mgtan α＝mω2Lsin α　mgtan θ＝m　FN－mg＝m　mg－FN＝m　　mgtan α＝m
考向探究突破
【题例1】答案：（1）2　（2）
解析：以人为研究对象，受力分析如图所示。
由牛顿第二定律和几何知识可知
F＝mω2r①
r＝L＋dsin θ②21世纪教育网
由图知，FNcos θ＝G。③
θ＝60°④
FNsin θ＝F⑤
由①②③④⑤得：FN＝2G
ω＝。
【题例2】答案：（1）1 m/s　（2）0.2
解析：（1）物块做平抛运动，在竖直方向上有21世纪教育网
H＝gt2①
在水平方向上有
x＝v0t②
由①②式解得v0＝x③
v0＝1 m/s
（2）物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有
Ffmax＝m④
Ffmax＝μFN＝μmg⑤
由③④⑤式解得　μ＝＝0.2
【题例3】答案：2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
解析：要使B静止，A应与水平面相对静止，考虑A能与水平面相对静止的两个极限状态：
当ω为所求范围的最小值时，A有向圆心运动的趋势，水平面对A的静摩擦力方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2 N，此时对A有：T－fm＝Mωr，B静止时受力平衡，T＝mg＝3 N，解得ω1＝2.9 rad/s
当ω为所求范围的最大值时，A有远离圆心运动的趋势，水平面对A的摩擦力方向指向圆心，且大小也为2 N，此时对A有：T＋fm＝Mωr
解得ω2＝6.5 rad/s
故ω的范围为：2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
演练巩固提升
1．D　解析：由于石块做匀速圆周运动，只存在向心加速度，大小不变，方向始终指向球心，选项D正确，选项A错误；由F合＝F向＝ma向知合外力大小不变，选项B错误；又因石块在运动方向（切线方向）上合力为零，才能保证速率不变，在该方向重力的分力不断减小，所以摩擦力不断减小，选项C错误。
2．AC　解析：根据题述，a1＝ωr，ma1＝μmg；联立解得μg ＝ωr。小木块放在P轮边缘也恰能静止，μg ＝ωR＝2ωr。rω1＝Rω2，联立解得＝，选项A正确B错误；a2 ＝μg ＝ωR，选项C正确D错误。
3．A　解析：对小球受力分析，杆对球的作用力和小球重力的合力一定沿杆指向O，合力大小为mLω2，画出m受力的矢量图。由图中几何关系可得sin θ＝，选项A正确。
4．答案：R≤h≤5R
解析：设物块在圆形轨道最高点的速度为v，由机械能守恒得
mgh＝2mgR＋mv2①
物块在最高点受的力为重力mg、轨道的压力FN。重力与压力的合力提供向心力，有
mg＋FN＝m②
物块能通过最高点的条件是FN≥0，即当FN＝0，只有重力提供向心力时为通过最高点的临界条件，有
mg≤m③
由②③式可得
v≥④
由①④式得
h≥R⑤
按题的要求，FN≤5mg，代入②式得
v≤ ⑥
由①⑥式得h≤5R
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第二节　平抛运动的规律及其应用
一、平抛运动的基本概念
定义 水平方向抛出的物体只在________的作用下的运动
条件21世纪教育网21世纪教育网21世纪教育网21世纪教育网 运动特点 初速度v0≠0且沿________方向21世纪教育网
受力特点 只受________作用
性质 加速度恒为____的________曲线运动
二、平抛运动的研究方法和基本规律
1．研究方法：运动的合成和分解
水平方向：__________________________________________________________________。
竖直方向：__________________________________________________________________。
2．基本规律
（1）位移关系
（2）速度关系
三、斜抛运动及其研究方法
1．定义
将物体以速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在________作用下的运动。
2．研究方法
斜抛运动可以看做是水平方向的________运动和竖直方向的________运动的合运动。
1．（2012·济南外国语学校质检）从距地面h高处水平抛出两个相同的小球甲和乙，不计空气阻力，球的落地点到抛出点的水平距离分别是x甲和x乙，且x甲＜x乙，如图所示。则下列说法正确的是（　　）
A．甲球在空中运动的时间短
B．甲、乙两球在空中运动的时间相等
C．甲球平抛的初速度小
D．甲、乙两球落地时速度大小相等
2．（2012·江苏南京、盐城模拟）某学生在体育场上抛出铅球，其运动轨迹如图所示。已知在B点时的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是（　　）
A．D点的速率比C点的速率大
B．D点的加速度比C点的加速度大
C．从B到D加速度与速度始终垂直
D．从B到D加速度与速度的夹角先增大后减小
3．（2012·广西桂林一中模拟）滑雪运动员以20 m/s的速度从一平台水平飞出，落地点与飞出点的高度差为3.2 m。不计空气阻力，g取10 m/s2。运动员飞过的水平距离为x，所用时间为t，则下列结果正确的是（　　）
A．x＝16 m，t＝0.50 s B．x＝16 m，t＝0.80 s
C．x＝20 m，t＝0.50 s D．x＝20 m，t＝0.80 s
4．易错题辨析：如图所示，AB为斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点。求：
（1）AB间的距离。
（2）物体在空中飞行的时间。
（3）从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大？
一、平抛运动的特点和性质
自主探究1（2012·课标全国理综）如图，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则（　　）
A．a的飞行时间比b的长
B．b和c的飞行时间相同
C．a的水平速度比b的小
D．b的初速度比c的大
思考1：做平抛运动的物体在空中飞行时间由什么决定？
思考2：水平方向通过的位移由什么决定？
归纳要点
1．飞行时间和水平射程
（1）飞行时间：t＝，取决于物体下落的高度h，与初速度v0无关。
（2）水平射程：x＝v0t＝v0，由平抛初速度v0和下落高度h共同决定。
2．速度的变化规律
（1）任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0。
（2）任意相等时间间隔Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt。
3．位移变化规律
（1）任意相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt。
（2）连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝gΔt2。
4．平抛运动的两个重要推论
推论（1）：做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。
推论（2）：做平抛（或类平抛）运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
二、对斜抛运动的理解
自主探究2物体以速度v0抛出做斜抛运动，则（　　）
A．在任何相等的时间内速度的变化量是相同的
B．可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
C．射高和射程都取决于v0的大小
D．v0很大，射高或射程可能很小
思考1：斜抛运动中某段时间内速度变化量取决于什么？
思考2：斜抛运动的处理方法是什么？
思考3：射高和射程分别取决于什么？
命题研究一、平抛运动规律的应用
【题例1】（2012·北京理综）如图所示，质量为m的小物块在粗糙水平桌面上做直线运动，经距离l后以速度v飞离桌面，最终落在水平地面上。已知l＝1.4 m，v＝3.0 m/s，m＝0.10 kg，物块与桌面间的动摩擦因数μ＝0.25，桌面高h＝0.45 m。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
（1）小物块落地点距飞出点的水平距离s；
（2）小物块落地时的动能Ek；
（3）小物块的初速度大小v0。
思路点拨：物块离开桌面做平抛运动，此过程机械能守恒；物块在桌面上滑动过程中，只有摩擦力做功，根据动能定理可解决。
解题要点：
规律总结
（1）解决平抛运动最基本的方法是将物体运动分解，一般研究的物理量是速度和位移，至于是分解速度还是分解位移应根据题目所给条件，有时要同时分解速度和位移，分别研究水平方向和竖直方向所遵循的规律。
（2）一般情况下，平抛运动可沿水平和竖直两个方向分解，但有时为了研究问题的方便，也可沿其他的两个互相垂直的方向分解。
命题研究二、平抛运动中的临界和极值问题
【题例2】（2012·大纲全国）一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y＝x2，探险队员的质量为m。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。
（1）求此人落到坡面时的动能；
（2）此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？
解题要点：
规律总结
求解平抛运动中的临界问题的关键有三点：
1．确定运动性质——平抛运动。
2．确定临界状态。确定临界状态一般用极限法分析，即把平抛运动的初速度增大或减小，使临界状态呈现出来。
3．确定临界状态的运动轨迹，并画出轨迹示意图，画示意图可以使抽象的物理情景变得直观，更可以使有些隐藏于问题深处的条件暴露出来。
命题研究三、类平抛运动问题
【题例3】光滑水平面上，一个质量为2 kg的物体从静止开始运动，在前5 s受到一个沿正东方向、大小为4 N的水平恒力作用；从第5 s末开始改为正北方向、大小为2 N的水平恒力作用了10 s，求物体在15 s内的位移和15 s末的速度及方向。
思路点拨：物体在前5 s做什么运动？求出5 s末的速度和前5 s内的位移。5 s后物体的受力与运动方向有何关系？物体做什么运动？如何处理？分别求出向东和向北的位移，即可求出15 s内的位移。要注意位移为矢量。
解题要点：
规律总结
（1）由于类平抛运动受力特点（受恒力且其方向与初速度垂直）和运动特点都类似于平抛运动，因此解决方法应类比平抛运动——采用运动的合成与分解的方法。即物体的运动可看做在初速度方向上的匀速直线运动和在恒力方向上的匀加速直线运动的合运动。两个分运动具有独立性和等时性。
（2）需注意的是，类平抛运动的初速度的方向不一定是水平方向，合力的方向不一定是竖直方向，一般情况下加速度a≠g。
1．（2012·山东潍坊联考）在同一水平直线上的两位置分别沿水平方向抛出两小球A和B，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力。要使两球在空中相遇，则必须（　　）
A．先抛出A球
B．先抛出B球
C．同时抛出两球
D．A球初速度大于B球初速度
2．（2012·江苏无锡期末）飞机水平匀速飞行，从飞机上每隔1 s释放一个小球，先后共释放A、B、C、D四个小球，不计空气阻力，则四个球（　　）
A．在空中运动时，4个小球排成一条竖直线
B．小球D刚离飞机时，A、B两小球的间距为25 m
C．空中运动时，A球速度大小始终比B球大10 m/s
D．四个小球的落地点间隔越来越大
3．（2013·山西忻州一中检测）如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，则两小球初速度之比为（　　）
A．tan α　　B．cos α　　C．tan α　　D．cos α
4．一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比是多少？
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
一、重力　水平　重力　g　匀变速
二、1．x＝v0t　y＝gt2
2．（1）v0t　gt2　　　（2）v0　gt　　
三、1．重力
2．匀速直线　竖直上抛
基础自测
1．BC　解析：球在竖直方向上做自由落体运动，有h＝gt2，可见h相同，t就相同，选项B正确；球在水平方向上做匀速运动，有x＝v0t，可见t相同时， x大者v0大，选项C正确；球落地的速度v＝，因v0不同而v不同，选项D错误。
2．A　解析：铅球做斜抛运动，满足机械能守恒定律，可知，D点的速率比C点的速率大，选项A正确；铅球只受重力作用，加速度等于重力加速度，即大小恒定不变，方向始终竖直向下，所以D点的加速度与C点的加速度相等，从B到D加速度与速度的夹角逐渐减小，所以选项B、C、D错误。本题选A。
3．B　解析：平抛运动在竖直方向是自由落体运动，h＝gt2，t＝＝0.80 s，水平方向是匀速直线运动，x＝v0t＝16 m。
4．答案：（1）　（2）　（3）
错解：（1）由平抛运动得x＝v0t＝，y＝gt2＝，
AB间距离s＝＝＝。
（2）小球在B点的速度方向与水平方向夹角为30°，得vy＝v0sin 30°＝gt，可得飞行时间t＝。
（3）方法一：将v0和重力加速度g沿平行于斜面和垂直于斜面方向正交分解，如图甲所示。
甲
则当物体在垂直于斜面方向速度为零时与斜面距离最大，即v0sin 30°－gcos 30°t＝0，所以t＝。
方法二：当平抛运动的速度与斜面平行时，物体离斜面最远，如图乙所示。
乙
则v⊥＝v0tan 30°＝gt′，t′＝＝。
正解：没有明白解题过程中的角度是速度夹角还是位移夹角。（1）（2）中，由小球落在B点时其位移与水平方向夹角为30°，得gt2＝lABsin 30°①
v0t＝lABcos 30°②
解得t＝tan 30°＝v0，lAB＝＝。
（3）该问解答正确，见上面错解中（3）。
核心理解深化
【自主探究1】BD
提示：平抛运动的竖直分运动为自由落体运动，根据 h＝gt2可知，ta＜tb＝tc，选项A错误而B正确；平抛运动的水平分运动为匀速直线运动，由x＝v0t＝v0，得v0＝x，因xa＞xb，ha＜hb，所以水平速度v0a＞v0b，选项C错误；因xb＞xc，hb＝hc，所以水平速度v0b＞v0c，选项D正确。
【自主探究2】AD
提示：根据Δv＝gΔt可知选项A正确；斜抛运动可分解为竖直方向的上抛运动和水平方向的匀速直线运动，故选项B错误；射程和射高除与v0有关外，还与抛射角θ有关，选项C错误；由于θ未知，当θ很小时射高很小，当θ很大（接近90°）时射程很小，选项D正确。
考向探究突破
【题例1】答案：（1）0.9 m　（2）0.90 J　（3）4.0 m/s
解析：（1）由平抛运动规律，有
竖直方向　h＝gt2
水平方向　s＝vt
得水平距离　s＝v＝0.90 m。
（2）由机械能守恒定律，动能Ek＝mv2＋mgh＝0.90 J。
（3）由动能定理，有－μmg·l＝mv2－mv
得初速度大小v0＝＝4.0 m/s。
【题例2】答案：（1）Ek＝m（v＋）　（2）v0＝　Ekmin＝mgh
解析：（1）设该队员在空中运动的时间为t，在坡面上落点的横坐标为x，纵坐标为y。由运动学公式和已知条件得
x＝v0t①
2h－y＝gt2②
根据题意有
y＝③
由机械能守恒，落到坡面时的动能为
mv2＝mv＋mg（2h－y）④
联立①②③④式得
mv2＝m（v＋）⑤
（2）⑤式可以改写为
v2＝（－）2＋3gh⑥
v2极小的条件为⑥式中的平方项等于0，由此得v0＝⑦
此时v2＝3gh，则最小动能为
（mv2）min＝mgh⑧
【题例3】答案：135 m　方向为东偏北θ角，满足tan θ＝　10m/s　方向为东偏北45°
解析：如图所示，物体在前5 s内由坐标原点起向东沿x轴正方向做初速度为零的匀加速运动，其加速度为ax＝＝m/s2＝2 m/s2
方向沿x轴正方向。
5 s末物体沿x轴方向的位移
x1＝axt＝×2×52 m＝25 m，到达P点，5 s末速度vx＝axt1＝2×5 m/s＝10 m/s。
从第5 s末开始，物体参与两个分运动：一是沿x轴正方向做速度为10 m/s的匀速运动，经10 s其位移
x2＝vxt2＝10×10 m＝100 m
二是沿y轴正方向（正北方向）做初速度为零的匀加速直线运动，其加速度为ay＝＝m/s2＝1 m/s2
经10 s沿y轴正方向的位移：
y＝ayt＝×1×102 m＝50 m
沿y轴正方向的速度
vy＝ayt2＝1×10 m/s＝10 m/s
设15 s末物体到达Q点，则
QO＝＝m≈135 m，方向为东偏北θ角，满足tan θ＝
15 s末的速度为
v1＝＝m/s＝10 m/s
tan α＝＝1
所以α＝45°
即方向为东偏北45°角。
演练巩固提升
1．CD　解析：由题图知，两球在空中相遇时，下落高度相同，A球的水平位移较大，因下落时间相同，A球初速度大于B球初速度，选项C、D正确。
2．AB　解析：小球被释放后做平抛运动，在空中运动时，4个小球在水平方向上的分运动相同，水平位移始终相等，所以它们排成一条竖直线，选项A正确；小球D刚离开飞机时，A球下落了3 s，B球下落了2 s，两小球的间距为Δh＝hA－hB＝×10×32 m－×10×22 m＝25 m，选项B正确；空中运动时，A球在竖直方向上的分速度大小始终比B球大10 m/s，它们的合速度大小之差不是10 m/s，选项C错误；四个小球的落地时间间隔均是1 s，落地点间隔相等，选项D错误。
3．C　解析：两小球被抛出后都做平抛运动，设半圆形容器的半径为R，两小球运动时间分别为t1、t2，对A球：Rsin α＝v1t1，Rcos α＝gt。对A球：Rcos α＝v2t2，Rsin α＝gt。联立解得：两小球初速度之比为＝tan α，选项C正确。
4．答案：
解析：设小球的初速度为v0，飞行时间为t。由速度三角形可得＝tan θ。故有＝＝。
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