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第四章 三角函数
专题1：任意角和弧度制、三角函数的概念
1.了解任意角的概念和弧度制.
2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α .
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝
弧长公式 弧长l＝αR
扇形面积公式 S＝lR＝
提醒：在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．任意角的三角函数
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
三个三角函数的性质如下表：
三角 函数 定义域 第一 象限 符号 第二 象限 符号 第三 象限 符号 第四 象限 符号
sin α R ＋ ＋ － －
cos α R ＋ － － ＋
tan α ＋ － ＋ －
拓展：任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，
则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
1．三角函数值在各象限的符号规律
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．象限角
3．轴线角
考点一　象限角和终边相同角
1．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）若角的终边在轴的负半轴上，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．轴的正半轴上 D．轴的负半轴上
【答案】A
【分析】由题意可得，继而表示出，即可判断角的终边所在象限，可得答案.
【详解】
由角的终边在轴的负半轴上可知，,
故，
而在第一象限内，故角的终边在第一象限，
故选：A
2．（2022·上海市朱家角中学高一期中）与终边相同的最小正角是______．
【答案】
【分析】结合终边相同的角的知识求得正确答案.
【详解】与终边相同的角为，
当时，取得最小正角.
故答案为：
3．（2022·全国·高一专题练习）已知为第二象限角，，则的值为_____.
【答案】
【分析】根据所在象限判断所在象限，再解方程求出，即可求出，再根据二倍角公式计算可得；
【详解】
解：为第二象限角，，
则，则，，
当是偶数时，设，则，，此时为第一象限角，
当是奇数时，设，则，，此时为第三象限角，
所以为第一或第三象限，
，
舍去)或，
，
.
故答案为：
4．（2022·上海师大附中高一期末）设是第三象限的角，则的终边在第_________ 象限.
【答案】二或四
【分析】根据是第三象限角，得到，，再得到，，然后讨论的奇偶可得答案.
【详解】因为是第三象限角，所以，，
所以，，
当为偶数时，为第二象限角，
当为奇数时，为第四象限角.
故答案为：二或四.
1.判断象限角的两种方法
图象法 在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角
转化法 先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角
2.确定kα，(k∈N*)的终边位置的步骤
(1)用终边相同的角的形式表示出角α的范围；
(2)写出kα或的范围；
(3)根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．　
考点二　扇形面积及弧长公式
(2021·辽宁模拟)“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA＝20 cm，∠AOB＝120°，M为OA的中点，则扇面(图中扇环)部分的面积是(　　)
A．50πcm2　　　　 B．100πcm2
C．150πcm2 D．200πcm2
【答案】B
【解析】扇环的面积为S＝αr2－α＝αr2＝××400＝100π.故选B．
2．（2022·上海市松江二中高一期末）已知扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则该扇形所在圆的半径为___________.
【答案】4
【分析】利用弧长公式直接求得.
【详解】扇形的圆心角为，为，设半径为r，
由弧长公式可得：，解得：.
故答案为：4
3．（2023·全国·高三专题练习）已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.
(1)若，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
【答案】(1)
(2)最大值为25；
【分析】（1）先把角度化为弧度，再利用扇形面积公式求解即可；
（2）由题意可知扇形的面积为，利用二次函数的的性质，结合弧度的定义即可求解
(1)因为，
所以扇形的面积为；
(2)由题意可知：，即，
所以扇形的面积为，
当时，扇形面积的最大值为，
此时，
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积的最大值问题，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，也可以通过“配凑”法利用基本不等式求最值．
考点三　三角函数的概念及应用
求三角函数值
1．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．－2
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义即可得解.
【详解】解：因为角的终边经过点，
所以.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知角的终边与单位圆的交点在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件可得出，等式两边平方并结合二倍角的正弦公式可求得的值.
【详解】
由题意可得，则，
所以，
故选：A．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知角的终边经过点，且，则____．
【答案】
【分析】由题意结合三角函数的定义求出点坐标，再求出即可求解
【详解】
因为角的终边经过点，且，
所以，
解得或，
因为点的纵坐标为，且，
所以角的终边落在第三象限，
所以，即，
所以，
所以.
故答案为：
由三角函数值求参数
已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝________，tan α＝________.
【答案】－　或－　
【解析】设P(x，y)，由题设知x＝－，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，即r＝，所以sin α＝＝＝，所以r＝＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±.当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，所以cos α＝＝－，tan α＝－；当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，所以cos α＝＝－，tan α＝.
判断三角函数值符号
1．（2022·浙江·镇海中学高一期末）已知，，，则下列不等关系中必定不成立的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据三角函数值的符号可求的范围，从而可得正确的选项.
【详解】因为，，故，
同理，
故，
故的终边不在第二象限，故B不成立，
故选：B.
2．（2021·江苏·常州市第一中学高一阶段练习）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点（），则下列各式的值一定为负的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由任意角的三角函数的定义结合三角函数的正负求解．
【详解】由已知得r＝|OP|＝，
则sinα＝，，tanα＝﹣m．
由于不知道的正负，故与符号不确定，
∴＜0．
故一定为负值的是A、D．
故选：AD．
3．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学高一期末）已知，则角位于第________象限．
【答案】二或三
【分析】根据三角函数在四个象限的符号即可判断
【详解】
当为第一象限角时，，，；
当为第二象限角时，，，
当为第三象限角时，，，
当为第四象限角时，，，
综上，若，则位于第二或第三象限
故答案为：二或三
1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及该点到原点的距离，确定这个角的三角函数值．
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．
2．要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解．
1．（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3．（2020·全国·高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
4．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______．
一、选择题
1．小明出国旅游，当地时间比北京时间晚一个小时，他需要调整手表的时间，则时针转过的角的弧度数为(　　)
A．　 B．　　　
C．－　 D．－
2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
　
3．角α终边上有一点P(m,2)，则“cos α＝－”是“m＝－”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
　
4．(多选)若角α的终边与240°角的终边相同，则角的终边所在象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
　
5．(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列选项可能正确的有(　　)
A．圆的半径为2 B．圆的半径为1
C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2
　
6．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　)
A．2 B．sin 2
C． D．2sin 1
7．在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tan αA．　 B．　　　
C．　 D．
　
8．(多选)如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1,0)，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(　　)
A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B．经过 s后，扇形AOB的弧长为
C．经过 s后，扇形AOB的面积为
D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
　
二、填空题
9．已知点P(sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小正角为________．
10．若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋＝________.
11．如图为某月牙潭的示意图，该月牙潭是由两段在同一平面内的圆弧形堤岸连接围成，其中外堤岸为半圆形，内堤岸圆弧所在圆的半径为30米，两堤岸的连接点A，B间的距离为30米，则该月牙潭的面积为________平方米．
　
三、解答题
12．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值.
13．已知sin α<0，tan α>0.
(1)求角α的集合；
(2)求终边所在的象限；
(3)试判断tansincos的符号．中小学教育资源及组卷应用平台
第四章 三角函数
专题1：任意角和弧度制、三角函数的概念
1.了解任意角的概念和弧度制.
2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝
弧长公式 弧长l＝αR
扇形面积公式 S＝lR＝αR2
提醒：在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．任意角的三角函数
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
三个三角函数的性质如下表：
三角 函数 定义域 第一 象限 符号 第二 象限 符号 第三 象限 符号 第四 象限 符号
sin α R ＋ ＋ － －
cos α R ＋ － － ＋
tan α ＋ － ＋ －
拓展：任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，
则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
1．三角函数值在各象限的符号规律
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．象限角
3．轴线角
考点一　象限角和终边相同角
1．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）若角的终边在轴的负半轴上，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．轴的正半轴上 D．轴的负半轴上
【答案】A
【分析】由题意可得，继而表示出，即可判断角的终边所在象限，可得答案.
【详解】
由角的终边在轴的负半轴上可知，,
故，
而在第一象限内，故角的终边在第一象限，
故选：A
2．（2022·上海市朱家角中学高一期中）与终边相同的最小正角是______．
【答案】
【分析】结合终边相同的角的知识求得正确答案.
【详解】与终边相同的角为，
当时，取得最小正角.
故答案为：
3．（2022·全国·高一专题练习）已知为第二象限角，，则的值为_____.
【答案】
【分析】根据所在象限判断所在象限，再解方程求出，即可求出，再根据二倍角公式计算可得；
【详解】
解：为第二象限角，，
则，则，，
当是偶数时，设，则，，此时为第一象限角，
当是奇数时，设，则，，此时为第三象限角，
所以为第一或第三象限，
，
舍去)或，
，
.
故答案为：
4．（2022·上海师大附中高一期末）设是第三象限的角，则的终边在第_________ 象限.
【答案】二或四
【分析】根据是第三象限角，得到，，再得到，，然后讨论的奇偶可得答案.
【详解】因为是第三象限角，所以，，
所以，，
当为偶数时，为第二象限角，
当为奇数时，为第四象限角.
故答案为：二或四.
1.判断象限角的两种方法
图象法 在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角
转化法 先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角
2.确定kα，(k∈N*)的终边位置的步骤
(1)用终边相同的角的形式表示出角α的范围；
(2)写出kα或的范围；
(3)根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．　
考点二　扇形面积及弧长公式
(2021·辽宁模拟)“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA＝20 cm，∠AOB＝120°，M为OA的中点，则扇面(图中扇环)部分的面积是(　　)
A．50πcm2　　　　 B．100πcm2
C．150πcm2 D．200πcm2
【答案】B
【解析】扇环的面积为S＝αr2－α＝αr2＝××400＝100π.故选B．
2．（2022·上海市松江二中高一期末）已知扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则该扇形所在圆的半径为___________.
【答案】4
【分析】利用弧长公式直接求得.
【详解】扇形的圆心角为，为，设半径为r，
由弧长公式可得：，解得：.
故答案为：4
3．（2023·全国·高三专题练习）已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.
(1)若，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
【答案】(1)
(2)最大值为25；
【分析】（1）先把角度化为弧度，再利用扇形面积公式求解即可；
（2）由题意可知扇形的面积为，利用二次函数的的性质，结合弧度的定义即可求解
(1)因为，
所以扇形的面积为；
(2)由题意可知：，即，
所以扇形的面积为，
当时，扇形面积的最大值为，
此时，
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积的最大值问题，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，也可以通过“配凑”法利用基本不等式求最值．
考点三　三角函数的概念及应用
求三角函数值
1．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．－2
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义即可得解.
【详解】解：因为角的终边经过点，
所以.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知角的终边与单位圆的交点在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件可得出，等式两边平方并结合二倍角的正弦公式可求得的值.
【详解】
由题意可得，则，
所以，
故选：A．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知角的终边经过点，且，则____．
【答案】
【分析】由题意结合三角函数的定义求出点坐标，再求出即可求解
【详解】
因为角的终边经过点，且，
所以，
解得或，
因为点的纵坐标为，且，
所以角的终边落在第三象限，
所以，即，
所以，
所以.
故答案为：
由三角函数值求参数
已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝________，tan α＝________.
【答案】－　或－　
【解析】设P(x，y)，由题设知x＝－，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，即r＝，所以sin α＝＝＝，所以r＝＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±.当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，所以cos α＝＝－，tan α＝－；当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，所以cos α＝＝－，tan α＝.
判断三角函数值符号
1．（2022·浙江·镇海中学高一期末）已知，，，则下列不等关系中必定不成立的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据三角函数值的符号可求的范围，从而可得正确的选项.
【详解】因为，，故，
同理，
故，
故的终边不在第二象限，故B不成立，
故选：B.
2．（2021·江苏·常州市第一中学高一阶段练习）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点（），则下列各式的值一定为负的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由任意角的三角函数的定义结合三角函数的正负求解．
【详解】由已知得r＝|OP|＝，
则sinα＝，，tanα＝﹣m．
由于不知道的正负，故与符号不确定，
∴＜0．
故一定为负值的是A、D．
故选：AD．
3．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学高一期末）已知，则角位于第________象限．
【答案】二或三
【分析】根据三角函数在四个象限的符号即可判断
【详解】
当为第一象限角时，，，；
当为第二象限角时，，，
当为第三象限角时，，，
当为第四象限角时，，，
综上，若，则位于第二或第三象限
故答案为：二或三
1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及该点到原点的距离，确定这个角的三角函数值．
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．
2．要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解．
1．（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】
解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
2．（2020·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.
【详解】
结合图像易知，，，
则角是第四象限角，
故选：D.
3．（2020·全国·高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
【详解】
方法一：由α为第四象限角，可得，
所以
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以
故选：D.
方法二：当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；
故选：D.
4．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______．
【答案】
【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径.
【详解】
设圆锥底面半径为，母线长为，则
，解得.
故答案为：
一、选择题
1．小明出国旅游，当地时间比北京时间晚一个小时，他需要调整手表的时间，则时针转过的角的弧度数为(　　)
A．　 B．　　　
C．－　 D．－
【答案】B　
【解析】因为当地时间比北京时间晚一个小时，所以时针应该是逆时针方向旋转，故时针转过的角的弧度数为.故选B．
2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B　
【解析】∵tan α＜0，cos α＜0，∴α在第二象限．
3．角α终边上有一点P(m,2)，则“cos α＝－”是“m＝－”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C　
【解析】角α终边上有一点P(m,2)，
cos α＝＝－<0，解得m＝－，
所以“cos α＝－”是“m＝－”的充要条件．
故选C．
4．(多选)若角α的终边与240°角的终边相同，则角的终边所在象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】BD　
【解析】由题意α＝k·360°＋240°，k∈Z，所以＝k·180°＋120°，k∈Z，
当k为偶数时，在第二象限，当k为奇数时，在第四象限．故选BD．
5．(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列选项可能正确的有(　　)
A．圆的半径为2 B．圆的半径为1
C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2
【答案】ABC　
【解析】设扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，
则由题意得解得或
可得圆心角的弧度数是4或1.
6．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　)
A．2 B．sin 2
C． D．2sin 1
【答案】C　
【解析】如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交于D．
则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，
且AC＝AB＝1，
在Rt△AOC中，
AO＝＝，
即r＝，
从而的长为l＝α·r＝.
故选C．
7．在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tan αA．　 B．　　　
C．　 D．
【答案】C　
【解析】由题意知，四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在上，tan α>sin α，不满足；
在上，tan α>sin α，不满足；
在上，sin α>0，cos α<0，tan α<0，且cos α>tan α，满足；
在上，tan α>0，sin α<0，cos α<0，不满足．
故选C．
8．(多选)如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1,0)，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(　　)
A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B．经过 s后，扇形AOB的弧长为
C．经过 s后，扇形AOB的面积为
D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
【答案】ABD　
【解析】经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为＋3，故A正确；
经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的弧长为×1＝，故B正确；
经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的面积为S＝××12＝，故C不正确；
设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋2)＋＝2π，解得t＝(s)，故D正确．
二、填空题
9．已知点P(sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小正角为________．
【答案】　
【解析】因为θ＝，故P，故α为第四象限角且cos α＝，所以α＝2kπ＋，k∈Z，所以与角α终边相同的最小正角为.
10．若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋＝________.
【答案】 0　
【解析】因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，
＋＝＋＝0；当角α的终边位于第四象限时，＋＝＋＝0.所以＋＝0.
11．如图为某月牙潭的示意图，该月牙潭是由两段在同一平面内的圆弧形堤岸连接围成，其中外堤岸为半圆形，内堤岸圆弧所在圆的半径为30米，两堤岸的连接点A，B间的距离为30米，则该月牙潭的面积为________平方米．
【答案】450　
【解析】如图是内堤岸圆弧所在圆，
由题意OA＝OB＝30，AB＝30，所以OA⊥OB，
弦AB上方弓形面积为S2＝π×302－×30×30＝225π－450，
所以所求面积为S＝π×(15)2－S2＝225π－(225π－450)＝450.
三、解答题
12．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值.
【解析】法一：设α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，
则r＝＝|k|.
当k>0时，r＝k，
所以sin α＝＝－，＝＝，
所以10sin α＋＝－3＋3＝0；
当k<0时，r＝－k，
所以sin α＝＝，
＝＝－，
所以10sin α＋＝3－3＝0.
综上，10sin α＋＝0.
法二：依题意，tan α＝－3，
所以sin α＝－3cos α，
所以－30cos α＋＝.
又sin2α＋cos2α＝1，
所以tan2α＋1＝，
所以cos2α＝＝，
所以－30cos2α＋3＝－30×＋3＝0，
所以原式＝0.
13．已知sin α<0，tan α>0.
(1)求角α的集合；
(2)求终边所在的象限；
(3)试判断tansincos的符号．
【解析】(1)因为sin α<0且tan α>0，
所以α是第三象限角，故角α的集合为.
(2)由(1)知2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，故kπ＋<当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋<<2nπ＋，n∈Z，即是第二象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋<<2nπ＋，n∈Z，即是第四象限角，
综上，的终边在第二象限或第四象限．
(3)当是第二象限角时，
tan<0，sin>0，cos<0，
故tansincos>0；
当是第四象限角时，
tan<0，sin<0，cos>0，
故tansincos>0.
综上，tansincos取正号．

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