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第四章 三角函数
专题5：函数y＝Asin(ωx＋φ)
1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
1．简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx ＋φ φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
提醒：两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度．
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是直线x＝＋－(k∈Z)，对称中心是点(k∈Z)．
考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
1．（2022·浙江·温岭中学高二期末）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据平移变换的原则即可得出答案.
【详解】
解：，
则将函数函数图象上所有的点向右平移个单位长度，
即可得到函数的图象.
故选：D.
2．（2022·贵州黔东南·高一期末）已知的图象关于点对称，相邻两条对称轴的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．，
B．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称
C．函数在上的单调递减区间为
D．为了得到的图象，可以将函数的图象向右平移个单位
【答案】BC
【分析】根据函数的对称性可得函数的周期，即可求得，利用再根据函数的对称中心可求得，即可判断A；求出平移后的函数解析式，再根据三角函数的奇偶性可判断B；根据正弦函数的单调性可判断C；根据平移变换的原则可判断D.
【详解】
解：因为相邻两条对称轴的距离为，故周期为，则，
图象关于点对称，则，因为，所以，A错；
，
将函数的图象向右平移个单位长度后得，该函数是偶函数，图象关于y轴对称，B正确；
令，得，
所以函数在上的单调递减区间为，C正确；
为了得到的图象，应该将函数的图象向右平移个单位，D错．
故选：BC.
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换的求解策略
(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．
(2)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
　
考点二　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式
1．（2022·辽宁丹东·高一期末）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的变换规则计算可得.
【详解】
解：将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到.
故选：C
2．（2022·陕西省商洛中学高二期末（理））已知函数的最小正周期为，将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先将化为，根据最小正周期求出，再根据正弦函数的图像平移得到答案.
【详解】
因为的最小正周期为，所以．将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像．
故选：A.
3．（2022·上海市嘉定区第二中学高一期末）已知函数的部分图像如图所示.
(1)求的解析式及对称中心；
(2)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间和最值.
【答案】(1)，对称中心为，．
(2)单调递减区间为；，．
【分析】（1）由函数的图像的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用三角函数的图像的对称性，得出结论．
（2）由题意利用函数的图像变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的单调性、余弦函数的定义域和值域，得出结论．
(1)解：根据函数，，的部分图像，
可得，，．
再根据五点法作图，，，故有．
根据图像可得，是的图像的一个对称中心，
故函数的对称中心为，．
(2)解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，
再向右平移个单位，得到的图像，
即，
令，，解得，，
可得的减区间为，，
结合，可得在上的单调递减区间为．
又，故当，时，取得最大值，即；
当，时，取得最小值，即．
y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．考点三 利用导数证明不等式
考点三 三角函数图象与性质的综合应用
(多选)(2021·湖南衡阳八中模拟)已知函数f(x)＝－3sin xcos x，则 (　　)
A．f(x)在[－π，0]上有两个零点
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)在的最大值是1
D．f(x)的图象可由y＝－sin 2x向右移动个单位长度得到
【答案】AB　
【解析】f(x)＝－3sin xcos x＝－sin 2x
＝cos 2x－sin 2x＝，
A选项，令f(x)＝＝0 2x＋＝kπ＋ x＝＋(k∈Z)，
所以f(x)在[－π，0]上有两个零点－，－，故A正确；
B选项，令－π＋2kπ≤2x＋≤2kπ －＋kπ≤x≤－＋kπ，
所以f(x)的单调递增区间，
令k＝0，可得一个递增区间为，且，所以B正确；
C选项，因为x∈，所以2x＋∈，
所以当2x＋＝2π，即x＝π时，＝，所以C错误；
D选项，y＝－sin 2x向右移动个单位长度，则＝，所以D错误．故选AB．
与三角函数性质有关的综合题的求解策略
(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
考点四　三角函数模型的应用
1．（2022·北京·高一期末）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径米，总高约米，匀速旋转一周时间为分钟，配有个球形全透视度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】角速度为，游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为
，进而甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和，再利用三角函数值域的研究方法求解即可
【详解】
因为角速度为，
所以游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为
，
由题意可得甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和
，
因为，
所以，
所以，，
所以，
所以，即他们所在的高度之和的最大值约为，
故选：C
2．（2022·全国·高一专题练习）某游乐场中半径为米的摩天轮逆时针（固定从一侧观察）匀速旋转，每分钟转一圈，其最低点离底面米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度（米）随时间（秒）变化的关系式为_____.
【答案】
【分析】设，根据题意得到和，根据周期得到，代入最低点，得到的值，即可求出解析式.
【详解】
设，
由题意可得，，，
因为为最低点，
代入可得，，
，时，，
.
故答案为：
3．（2022·江苏苏州·高一期中）某港口海水的深度是时间t（时）（）的函数，记为.已知某日海水深度的数据如下：
t（时） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
9.5 12.5 14 12.5 9.5 8.0 9.5 12.5 14.0 12.5 9.5 8.0 9.5
经长期观察，的曲线可近似地看成函数的图象.
(1)根据以上数据，求出函数的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5或5以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为7.5，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？
【答案】(1)
(2)16小时
【分析】（1）根据表中数据可判断出周期以及最值，即可代入求解；（2）假设能滞留的的情形，进而根据正弦型不等式求解范围，即可求解.
(1)由题设的数据可得，故，，
周期，故，故，
因为时，所以，，
因为，所以，
.
(2)
令，则，得.
所以，，即，
因为，所以故或，
故船舶至多能在港内停留16小时.
三角函数的应用体现两个方面
(1)已知函数模型求解数学问题．
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
(1)若∠ADE，求EF的长；
(2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m ）
【答案】(1)23.3m
(2)当时，梯形FEBC的面积有最大值,最大值为
【解析】
【分析】
（1）设EF与圆D相切于对点，连接，则，，在直角和直角中分别求出,从而得出答案.
（2）先求出梯形的面积的最小值，从而得出梯形FEBC的面积的最大值.
(1)
设EF与圆D相切于对点，连接，则，
则，所以直角与直角全等
所以
在直角中，
在直角中，
(2)
设,，则，
所以梯形的面积为
当且当，即时取得等号，此时
即当时，梯形的面积取得最小值
则此时梯形FEBC的面积有最大值
所以当时，梯形FEBC的面积有最大值,最大值为
(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则f(x)＝(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知的函数y＝sin逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，
即为y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin.故选B．
一、单选题
1．将的图像上所有点向右平移1个单位长度后，得到函数，的图像，函数的图像如图所示，则（ ）
A．
B．的图像的对称轴方程为
C．不等式的解集为
D．在上单调递增
【答案】D
【分析】根据图像先求出函数的解析式，再根据平移求出的解析式，结合函数的性质对选项进行判断即可.
【详解】
由图知，，函数的图像的最小正周期，
所以，所以，
因为点在的图像上，所以，
所以，因为，所以，
所以，故选项A错误；
所以
令，解得，
所以的图像的对称轴方程为，故选项错误；
由，得，所以，
即不等式的解集为，所以选项错误；
令得，
即的单调递增区间为，
因为，所以选项D正确．
故选：D．
2．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出平移后的函数解析式，利用对称性可得的最小值.
【详解】
因为函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数解析式为；
由函数的图象关于轴对称，所以，
即，
因为，所以当时，取到最小值.
故选：B.
3．函数的图象为，如下结论中正确的是（ ）
①图象关于直线对称； ②图象关于点对称；
③函数在区间内是增函数；
④由的图角向右平移个单位长度可以得到图象．
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
【答案】D
【分析】利用三角函数对称轴、对称中心、单调性和图像变换的知识，四个命题逐一分析，即可求解.
【详解】
解：由于时，，故①结论正确；
由于时，，故②结论正确；
由，解得，令得，故③结论正确；
由于的图像向右平移个单位长度得到，故④结论错误.
综上所述，正确结论为①②③.
故选：D.
4．把函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图像所对应的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的图像变换的知识进行处理.
【详解】
把函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，
得，再把所得图像上所有点
的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得.
故A，B，C错误.
故选：D.
5．已知函数，图象上每一点横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，的部分图象如图所示，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用向量的数量积求得的长度，进而求得的最小正周期，从而求得的值.
【详解】
由三角函数图象的对称性，可知，
由，
可得，又，所以，
由图象最高点的纵坐标为，可知，
所以的周期为12，则的周期为6，则，
故选：B．
6．把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标压缩到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A．最小正周期为 B．奇函数
C．偶函数 D．
【答案】D
【分析】
根据平移变换和周期变换的原则求出函数，再根据余弦函数的性质及诱导公式逐一判断各个选项即可.
【详解】
解：把函数的图象向右平移个单位长度，
得，
再把横坐标压缩到原来的倍，纵坐标不变，
得，即，
则最小正周期为，故A错误；
因为，所以函数是非奇非偶函数，故BC错误；
，故D正确.
故选：D.
7．已知函数 的部分图象如图所示，点，，则下列说法中错误的是（　　）
A．直线是图象的一条对称轴
B．的图象可由 向左平移个单位而得到
C．的最小正周期为
D．在区间上单调递增
【答案】B
【分析】根据五点作图法可得，然后利用正弦函数的性质，代入逐一进行检验即可.
【详解】
由函数部分图象，点，故 ，由于点 在单调递增的区间上，或 （舍去），
再根据五点法作图可得 ，求得，故 ．
对于A,令，求得，为最大值，故直线是图象的一条对称轴，故A正确；
对于B,把向左平移个单位，可得的图象，故B错误；
对于C,的最小正周期为 ，故C正确；
对于D，， ，故单调递增，故D对.
故选：B
8．将函数图象上所有点向左平移个单位后，得到函数的图象，则函数（ ）
A．是奇函数，最小正周期为
B．是偶函数，最小正周期为
C．是奇函数，最小正周期为
D．是偶函数，最小正周期为
【答案】A
【分析】根据平移得出即可判断奇偶性和最小正周期.
【详解】
向左平移个单位后得，
所以为奇函数，最小正周期为.
故选：A
二、多选题
9．函数，（，）部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为
B．函数的单调增区间为
C．函数的图象关于点对称
D．为了得到函数的图象，只需将函数向右平移个单位长度
【答案】AB
【分析】由题意求出的解析式可判断A；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BC；由三角函数的平移变换可判断D.
【详解】
对于A，由图可知，，又因为
由，则，
两式相减得：
，所以①，
又因为，
所以，结合①，，
因为，所以
所以，故A正确；
对于B，，
解得：，故B正确；
对于C，令，解得：，
函数的图象关于点对称，所以C不正确；
对于D，将函数向右平移个单位得到，故D不正确.
故选：AB.
10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最大值为，图象关于直线对称 B．在上单调递增
C．最小正周期为 D．图象关于点对称
【答案】BCD
【分析】根据题意利用三角函数的平移变换求出函数解析式，再由余弦函数的值域、对轴性、单调性、周期性求解即可.
【详解】
将函数的图象向左平移个单位长度，
得到的图象；
它的最大值为，由于当时，，不是最值，故的图象不关于直线对称，故A错误；
由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确；
最小正周期为，故C正确；
当时，，故函数的图象关于点对称，故D正确.
故选：BCD.
11．设函数，则（ ）
A．为奇函数
B．的图象关于直线对称
C．当时，的最小值为
D．将的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象
【答案】ACD
【分析】根据，由正弦型函数的奇偶性可知A正确；利用代入检验法可知B错误；根据可知，由此可知C正确；根据三角函数平移变换可知D正确.
【详解】
对于A，，，
为奇函数，A正确；
对于B，当时，，
不是的对称轴，的图象不关于直线对称，B错误；
对于C，，当时，分别取得的最大值和最小值，
，C正确；
对于D，的图象向右平移个单位可得：，即得到的图象，D正确.
故选：ACD.
12．要得到函数到的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
B．向右平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
C．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移单位长度
D．每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移单位长度
【答案】AD
【分析】根据图象的两种变换方式即可求解;先平移再伸缩可判断A,B,先伸缩再平移可判断C,D.
【详解】
方式一：（先平移再伸缩）；将先向左平移单位长度得到，然后将图像上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变得到，故A对，
方式二：（先伸缩再平移）；将图像上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变得到，再将向左平移单位长度得到，故D对，
故选：AD
三、填空题
13．函数的图象为，如下结论中正确的是__________．
（1）图象关于直线对称；
（2）图象关于点对称；
（3）函数在区间内单调递增；
（4）由的图象向右平移个单位长度可以得到图象．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】
化简，然后利用三角函数的知识逐一判断即可.
【详解】
因为，
当时，，所以，所以（1）正确；
当时，，所以，所以（2）正确；
令，所以，
取，得，所以（3）正确；
由的图象向右平移个单位长度可以得到，故（4）不正确；
故答案为：（1）（2）（3）.
14．已知函数在区间上是增函数，将函数的图像向左平移个单位后得到的图像与将其向右平移个单位后所得到的图像重合．则的值为________.
【答案】2
【分析】根据增函数确定的范围，结合平移图像间的关系可得的值.
【详解】
因为函数在区间上是增函数，所以，即；
函数的图像向左平移个单位后得到的函数为，
函数的图像向右平移个单位后所得到的函数为；
因为二者的图像重合，所以，，即.
所以.
故答案为：2.
15．将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的对称中心为______.
【答案】
【分析】由题知，进而求解其对称中心即可；
【详解】
解：函数的图象向左平移个单位长度得到，
再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，即，
令，即，
所以，函数图象的对称中心为
故答案为：
16．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是______．
【答案】
【分析】利用函数图象变换的规则即可得解.
【详解】
将函数的图象向右平移个单位长度后，
得到的函数解析式为.
故答案为：.
四、解答题
17．函数，函数的最小正周期为.
(1)求函数的递增区间：
(2)将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，再将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像，求函数在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换对原式进行化简，由最小正周期求得，得到函数的解析式，根据正弦型三角函数的单调性，整体代入求解函数的递增区间即可；
（2）根据题意结合三角函数图象的变换得到函数的解析式，整体代入求解正弦型函数在闭区间的值域即可.
(1)
解：
，
因为函数的最小正周期为.
所以，所以.所以.
令即
所以函数的递增区间为.
(2)
解：将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，
再将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像，
因为
所以在上的值域为.
18．已知函数，直线是函数的图象的一条对称轴．
(1)设，求函数的单调递增区间；
(2)已知函数的图象是由的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换将函数化简，再根据正弦函数的对称性求出，再根据正弦函数的单调性即可得出答案；
（2）根据周期变换和平移变换的原则求出函数，再找出所求角与已知角的关系，将所求角用已知角表示，从而可得出答案.
(1)
解：，
因为直线是函数的图象的一条对称轴，
所以，则，
又，所以，
所以，
则，
令，则，
所以函数的单调递增区间为；
(2)
解：的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，
得，
再向左平移个单位长度得，
即，
，即，
又，则，
所以，
所以.
19．已知函数的部分图像如图所示.
(1)求函数的解析式，并求的单调递增区间；
(2)设的三内角的正弦值依次成等比数列，求的值域；
(3)将图像上所有点先向右平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到的图像，记，是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有2022个零点？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或3时，；时，
【解析】
【分析】
（1）利用周期求出，利用特殊点求出，得到，利用复合函数单调性法则列不等式求出函数的单增区间；
（2）先利用正、余弦定理求出，即可求出的值域；（3）利用他图像变换得到，进而得到.若，得到.令，.利用图像法求出m、n的范围.
(1)
由图像可得：，解得：，所以，解得：.
所以.
又由图像可得：，又因为，所以，
所以.
要求函数的单增区间，只需，
解得：，
即的单调递增区间为.
(2)
因为的三内角的正弦值依次成等比数列，所以,由正弦定理得：.
由余弦定理得：.
因为,所以.
所以.
因为在上单调递增函数，在上单调递减，所以的最大值为2，最小值为0，
所以的值域为.
(3)
图像上所有点先向右平移个单位得到，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到.
所以
若，则.
令，周期为，令.
作出的图像如图所示：
要使存在实数和正整数，使得函数在上恰有2022个零点，
只需：i.当或时，即或时，与在一个周期内只有1个公共点，此时，.
ii.当或，即或时，与在每一个周期内均有2个公共点，
只需.
20．已知向量，函数，且的图像过点和点．
(1)求的值；
(2)将的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若图像上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调递增区间．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量数量积公式得到解析式，再待定系数法求出的值；（2）根据图象平移得到的表达式，设最高点为，利用勾股定理列出方程，求出，得到最高点为，代入解析式求出，，再用整体法求出函数的单调递增区间
(1)
已知，
过点，
∴
∴ 解得：-
(2)
由（1）知
由题意知
设的图象上符合题意的最高点为，
由题意知：．所以，即到点的距离为1的最高点为．
将其代入得，
又∵，所以，
因此，
由，得：
∴的单调增区间为．中小学教育资源及组卷应用平台
第四章 三角函数
专题5：函数y＝Asin(ωx＋φ)
1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
1．简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
提醒：两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度．
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是直线x＝＋－(k∈Z)，对称中心是点(k∈Z)．
考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
1．（2022·浙江·温岭中学高二期末）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据平移变换的原则即可得出答案.
【详解】
解：，
则将函数函数图象上所有的点向右平移个单位长度，
即可得到函数的图象.
故选：D.
2．（2022·贵州黔东南·高一期末）已知的图象关于点对称，相邻两条对称轴的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．，
B．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称
C．函数在上的单调递减区间为
D．为了得到的图象，可以将函数的图象向右平移个单位
【答案】BC
【分析】根据函数的对称性可得函数的周期，即可求得，利用再根据函数的对称中心可求得，即可判断A；求出平移后的函数解析式，再根据三角函数的奇偶性可判断B；根据正弦函数的单调性可判断C；根据平移变换的原则可判断D.
【详解】
解：因为相邻两条对称轴的距离为，故周期为，则，
图象关于点对称，则，因为，所以，A错；
，
将函数的图象向右平移个单位长度后得，该函数是偶函数，图象关于y轴对称，B正确；
令，得，
所以函数在上的单调递减区间为，C正确；
为了得到的图象，应该将函数的图象向右平移个单位，D错．
故选：BC.
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换的求解策略
(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．
(2)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
　
考点二　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式
1．（2022·辽宁丹东·高一期末）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的变换规则计算可得.
【详解】
解：将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到.
故选：C
2．（2022·陕西省商洛中学高二期末（理））已知函数的最小正周期为，将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先将化为，根据最小正周期求出，再根据正弦函数的图像平移得到答案.
【详解】
因为的最小正周期为，所以．将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像．
故选：A.
3．（2022·上海市嘉定区第二中学高一期末）已知函数的部分图像如图所示.
(1)求的解析式及对称中心；
(2)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间和最值.
【答案】(1)，对称中心为，．
(2)单调递减区间为；，．
【分析】（1）由函数的图像的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用三角函数的图像的对称性，得出结论．
（2）由题意利用函数的图像变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的单调性、余弦函数的定义域和值域，得出结论．
(1)解：根据函数，，的部分图像，
可得，，．
再根据五点法作图，，，故有．
根据图像可得，是的图像的一个对称中心，
故函数的对称中心为，．
(2)解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，
再向右平移个单位，得到的图像，
即，
令，，解得，，
可得的减区间为，，
结合，可得在上的单调递减区间为．
又，故当，时，取得最大值，即；
当，时，取得最小值，即．
y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．考点三 利用导数证明不等式
考点三 三角函数图象与性质的综合应用
(多选)(2021·湖南衡阳八中模拟)已知函数f(x)＝－3sin xcos x，则 (　　)
A．f(x)在[－π，0]上有两个零点
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)在的最大值是1
D．f(x)的图象可由y＝－sin 2x向右移动个单位长度得到
【答案】AB　
【解析】f(x)＝－3sin xcos x＝－sin 2x
＝cos 2x－sin 2x＝，
A选项，令f(x)＝＝0 2x＋＝kπ＋ x＝＋(k∈Z)，
所以f(x)在[－π，0]上有两个零点－，－，故A正确；
B选项，令－π＋2kπ≤2x＋≤2kπ －＋kπ≤x≤－＋kπ，
所以f(x)的单调递增区间，
令k＝0，可得一个递增区间为，且，所以B正确；
C选项，因为x∈，所以2x＋∈，
所以当2x＋＝2π，即x＝π时，＝，所以C错误；
D选项，y＝－sin 2x向右移动个单位长度，则＝，所以D错误．故选AB．
与三角函数性质有关的综合题的求解策略
(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
考点四　三角函数模型的应用
1．（2022·北京·高一期末）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径米，总高约米，匀速旋转一周时间为分钟，配有个球形全透视度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】角速度为，游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为
，进而甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和，再利用三角函数值域的研究方法求解即可
【详解】
因为角速度为，
所以游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为
，
由题意可得甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和
，
因为，
所以，
所以，，
所以，
所以，即他们所在的高度之和的最大值约为，
故选：C
2．（2022·全国·高一专题练习）某游乐场中半径为米的摩天轮逆时针（固定从一侧观察）匀速旋转，每分钟转一圈，其最低点离底面米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度（米）随时间（秒）变化的关系式为_____.
【答案】
【分析】设，根据题意得到和，根据周期得到，代入最低点，得到的值，即可求出解析式.
【详解】
设，
由题意可得，，，
因为为最低点，
代入可得，，
，时，，
.
故答案为：
3．（2022·江苏苏州·高一期中）某港口海水的深度是时间t（时）（）的函数，记为.已知某日海水深度的数据如下：
t（时） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
9.5 12.5 14 12.5 9.5 8.0 9.5 12.5 14.0 12.5 9.5 8.0 9.5
经长期观察，的曲线可近似地看成函数的图象.
(1)根据以上数据，求出函数的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5或5以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为7.5，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？
【答案】(1)
(2)16小时
【分析】（1）根据表中数据可判断出周期以及最值，即可代入求解；（2）假设能滞留的的情形，进而根据正弦型不等式求解范围，即可求解.
(1)由题设的数据可得，故，，
周期，故，故，
因为时，所以，，
因为，所以，
.
(2)
令，则，得.
所以，，即，
因为，所以故或，
故船舶至多能在港内停留16小时.
三角函数的应用体现两个方面
(1)已知函数模型求解数学问题．
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
(1)若∠ADE，求EF的长；
(2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m ）
(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则f(x)＝(　　)
A． B．
C． D．
一、单选题
1．将的图像上所有点向右平移1个单位长度后，得到函数，的图像，函数的图像如图所示，则（ ）
A．
B．的图像的对称轴方程为
C．不等式的解集为
D．在上单调递增
2．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象为，如下结论中正确的是（ ）
①图象关于直线对称； ②图象关于点对称；
③函数在区间内是增函数；
④由的图角向右平移个单位长度可以得到图象．
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
4．把函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图像所对应的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，图象上每一点横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，的部分图象如图所示，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标压缩到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A．最小正周期为 B．奇函数
C．偶函数 D．
7．已知函数 的部分图象如图所示，点，，则下列说法中错误的是（　　）
A．直线是图象的一条对称轴
B．的图象可由 向左平移个单位而得到
C．的最小正周期为
D．在区间上单调递增
8．将函数图象上所有点向左平移个单位后，得到函数的图象，则函数（ ）
A．是奇函数，最小正周期为
B．是偶函数，最小正周期为
C．是奇函数，最小正周期为
D．是偶函数，最小正周期为
二、多选题
9．函数，（，）部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为
B．函数的单调增区间为
C．函数的图象关于点对称
D．为了得到函数的图象，只需将函数向右平移个单位长度
10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最大值为，图象关于直线对称 B．在上单调递增
C．最小正周期为 D．图象关于点对称
11．设函数，则（ ）
A．为奇函数
B．的图象关于直线对称
C．当时，的最小值为
D．将的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象
12．要得到函数到的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
B．向右平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
C．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移单位长度
D．每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移单位长度
三、填空题
13．函数的图象为，如下结论中正确的是__________．
（1）图象关于直线对称；
（2）图象关于点对称；
（3）函数在区间内单调递增；
（4）由的图象向右平移个单位长度可以得到图象．
14．已知函数在区间上是增函数，将函数的图像向左平移个单位后得到的图像与将其向右平移个单位后所得到的图像重合．则的值为________.
15．将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的对称中心为______.
16．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是______．
四、解答题
17．函数，函数的最小正周期为.
(1)求函数的递增区间：
(2)将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，再将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像，求函数在上的值域.
18．已知函数，直线是函数的图象的一条对称轴．
(1)设，求函数的单调递增区间；
(2)已知函数的图象是由的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若，，求的值．
19．已知函数的部分图像如图所示.
(1)求函数的解析式，并求的单调递增区间；
(2)设的三内角的正弦值依次成等比数列，求的值域；
(3)将图像上所有点先向右平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到的图像，记，是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有2022个零点？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.
20．已知向量，函数，且的图像过点和点．
(1)求的值；
(2)将的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若图像上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调递增区间．

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