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第四章 三角函数
专题2：同角三角函数基本关系与诱导公式
1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式．
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝ ；
(2)商数关系：tan α＝
提醒：平方关系对任意角α都成立，而商数关系中α≠kπ＋，k∈Z.
2．诱导公式
组序 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α
余弦 cos α －cos α cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)．
(2)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(3)sin α＝tan αcos α.
考点一　同角三角函数基本关系
“知一求二”问题
1．（2022·内蒙古包头·高一期末）已知，，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据正弦两角和差公式得到，再利用同角三角函数的商数关系求解即可.
【详解】
由题知：
，解得，
所以.
故选：B
2．（2022·全国·高一专题练习）已知，，则 _____.
【答案】
【分析】利用同角三角函数关系式，由，，判断为第二象限角，从而可得的值.
【详解】
解：方法1
，，
又，
且，
为第二象限角，，
.
方法2 ，构造直角三角形如下图，
在直角三角形中，，
且
为第二象限角，
.
故答案为：
3．（2022·陕西汉中·高一期末）若为第二象限角，且，则tan＝___．
【答案】－
【分析】由平方关系求出，再由商数关系求得．
【详解】
因为为第二象限角，且，所以，
所以．
故答案为：．
关于sin α，cos α齐次式的求值问题
已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin αcos α＋2.
【解析】由已知得tan α＝.
(1)＝＝－.
(2)sin2α＋sin αcos α＋2
＝＋2
＝＋2
＝＋2＝.
sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
　已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.
(1)求sin x－cos x的值；
(2)求的值．
【解析】(1)由sin x＋cos x＝，
平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.
由x∈(－π，0)，知sin x＜0，
又sin x＋cos x＞0，
∴cos x＞0，则sin x－cos x＜0，
故sin x－cos x＝－.
(2)＝
＝
＝＝－.
1.利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
考点二　诱导公式的应用
1．（江西省上饶市民校考试联盟2021-2022学年高一下学期阶段测试（三）数学试题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式求得正确答案.
【详解】
因为，
所以．
故选：A
2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）若，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，利用二倍角的余弦公式求得，即可求得，化简，即可得答案.
【详解】
因为，，故，
解得 ，则，
故，
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）若，则＝________.
【答案】
【分析】由题知，进而根据诱导公式与二倍角公式求解即可.
【详解】
解：因为，
所以．
故答案为：
4．（2022·陕西汉中·高一期末）（1）计算的值；
（2）已知角的终边过点（1，2），求的值．
【答案】（1）；（2）3.
【分析】（1）根据余弦二倍角公式和诱导公式可得，根据诱导公式以及正弦的二倍角公式可得，进而可求；
（2）根据正切定义可得，根据诱导公式可化简，然后弦化切即可求解.
【详解】
（1）
（2）∵角的终边过点（1，2），，
．
1.利用诱导公式解题的一般思路
(1)化绝对值大的角为锐角．
(2)角中含有±的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
2．常见的互余和互补的角
互余的角 －α与＋α；＋α与－α；＋α与－α
互补的角 ＋θ与－θ；＋θ与－θ
考点三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
1．（江西省上饶市民校考试联盟2021-2022学年高一下学期阶段测试（三）数学试题）已知关于的方程有实数解，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】令，由正弦函数和二次函数的性质求出的范围，再结合条件得到的取值范围．
【详解】
解：令，则，
所以，又，所以，
因为关于的方程有实数解，
所以，
所以的取值范围为，
故答案为：．
2．（2022·广东·韶关市曲江区曲江中学高一期末）（1）已知，求的值；
（2）结合（1），若，求的值．
【答案】（1） ；（2）3．
【分析】（1）根据三角函数同角关系即可求解；
（2）先求出 ，再将所求的代数式转化为含 的代数式求解即可.
【详解】
（1）由 ，得 ，
由 得 ，
；
（2） ，
，
综上， ，.
3．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1) (2)
【分析】
（1）利用三角函数的定义可求得的值；
（2）利用诱导公式化简所求代数式，代入的值计算即可得解.
(1)解：由三角函数的定义可得.
(2)解：.
(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
1．(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　)
A．－　　　 B．－　　　 C．　　　 D．
【答案】C
【解析】将式子进行齐次化处理得：
＝ ＝sin θ＝＝＝＝.故选C．
2．（2021·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
3．（2020·全国·高考真题（理））已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】
，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A.
4．（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________．
【答案】
【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】
，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则．
故答案为：；．
一、单选题
1．若，则（ ）
A． B． C．7 D．
2．已知，则＝（ ）
A． B．2 C． D．6
3．已知，则（ ）
A． B． C．± D．±
4．若，则（ ）
A．－ B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ，且 ，给出下列结论：
①；
② ；
③；
④ .
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③④
C．①②③ D．①③④
7．下面公式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知为锐角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列各式化简中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知不等式的解集为(，)，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知，，则___________.
14．已知sin(3π＋θ)＝，则＋＝____.
15．已知第三象限角，且，则________．
16．已知，，则＝__________.
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，的顶点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上，点在第二象限，且，记，满足．
(1)求点的坐标；
(2)求的值．
19．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
20．已知.
(1)化简；
(2)若，求的值.中小学教育资源及组卷应用平台
第四章 三角函数
专题2：同角三角函数基本关系与诱导公式
1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式．
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝.
提醒：平方关系对任意角α都成立，而商数关系中α≠kπ＋，k∈Z.
2．诱导公式
组序 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α Cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)．
(2)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(3)sin α＝tan αcos α.
考点一　同角三角函数基本关系
“知一求二”问题
1．（2022·内蒙古包头·高一期末）已知，，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据正弦两角和差公式得到，再利用同角三角函数的商数关系求解即可.
【详解】
由题知：
，解得，
所以.
故选：B
2．（2022·全国·高一专题练习）已知，，则 _____.
【答案】
【分析】利用同角三角函数关系式，由，，判断为第二象限角，从而可得的值.
【详解】
解：方法1
，，
又，
且，
为第二象限角，，
.
方法2 ，构造直角三角形如下图，
在直角三角形中，，
且
为第二象限角，
.
故答案为：
3．（2022·陕西汉中·高一期末）若为第二象限角，且，则tan＝___．
【答案】－
【分析】由平方关系求出，再由商数关系求得．
【详解】
因为为第二象限角，且，所以，
所以．
故答案为：．
关于sin α，cos α齐次式的求值问题
已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin αcos α＋2.
【解析】　由已知得tan α＝.
(1)＝＝－.
(2)sin2α＋sin αcos α＋2
＝＋2
＝＋2
＝＋2＝.
sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
　已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.
(1)求sin x－cos x的值；
(2)求的值．
【解析】　(1)由sin x＋cos x＝，
平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.
由x∈(－π，0)，知sin x＜0，
又sin x＋cos x＞0，
∴cos x＞0，则sin x－cos x＜0，
故sin x－cos x＝－.
(2)＝
＝
＝＝－.
1.利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
考点二　诱导公式的应用
1．（江西省上饶市民校考试联盟2021-2022学年高一下学期阶段测试（三）数学试题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式求得正确答案.
【详解】
因为，
所以．
故选：A
2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）若，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，利用二倍角的余弦公式求得，即可求得，化简，即可得答案.
【详解】
因为，，故，
解得 ，则，
故，
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）若，则＝________.
【答案】
【分析】由题知，进而根据诱导公式与二倍角公式求解即可.
【详解】
解：因为，
所以．
故答案为：
4．（2022·陕西汉中·高一期末）（1）计算的值；
（2）已知角的终边过点（1，2），求的值．
【答案】（1）；（2）3.
【分析】（1）根据余弦二倍角公式和诱导公式可得，根据诱导公式以及正弦的二倍角公式可得，进而可求；
（2）根据正切定义可得，根据诱导公式可化简，然后弦化切即可求解.
【详解】
（1）
（2）∵角的终边过点（1，2），，
．
1.利用诱导公式解题的一般思路
(1)化绝对值大的角为锐角．
(2)角中含有±的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
2．常见的互余和互补的角
互余的角 －α与＋α；＋α与－α；＋α与－α
互补的角 ＋θ与－θ；＋θ与－θ
考点三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
1．（江西省上饶市民校考试联盟2021-2022学年高一下学期阶段测试（三）数学试题）已知关于的方程有实数解，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】令，由正弦函数和二次函数的性质求出的范围，再结合条件得到的取值范围．
【详解】
解：令，则，
所以，又，所以，
因为关于的方程有实数解，
所以，
所以的取值范围为，
故答案为：．
2．（2022·广东·韶关市曲江区曲江中学高一期末）（1）已知，求的值；
（2）结合（1），若，求的值．
【答案】（1） ；（2）3．
【分析】（1）根据三角函数同角关系即可求解；
（2）先求出 ，再将所求的代数式转化为含 的代数式求解即可.
【详解】
（1）由 ，得 ，
由 得 ，
；
（2） ，
，
综上， ，.
3．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1) (2)
【分析】
（1）利用三角函数的定义可求得的值；
（2）利用诱导公式化简所求代数式，代入的值计算即可得解.
(1)解：由三角函数的定义可得.
(2)解：.
(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
1．(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　)
A．－　　　 B．－　　　 C．　　　 D．
【答案】C
【解析】将式子进行齐次化处理得：
＝ ＝sin θ＝＝＝＝.故选C．
2．（2021·全国·高考真题（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
3．（2020·全国·高考真题（理））已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】
，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A.
4．（2022·浙江·高考真题）若，则__________，_________．
【答案】
【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】
，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则．
故答案为：；．
一、单选题
1．若，则（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】B
【分析】由三角恒等式求出以及的值，再根据两角和的正切公式即可得结果.
【详解】
因为，
所以，，
所以，
故选：B.
2．已知，则＝（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】A
【分析】巧用1将所求化为齐次式，然后根据基本关系将弦化切，再代入计算可得.
【详解】
因为
所以
故选：A
3．已知，则（ ）
A． B． C．± D．±
【答案】D
【分析】根据两角和的正弦公式展开，之后再用辅助角公式可得，再根据同角三角函数的关系求解即可.
【详解】
，则，即，
故，所以，故，所以
故选：D
4．若，则（ ）
A．－ B． C． D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式结合同角三角函数的关系求解即可
【详解】
由题意，，故
故选：B
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式后然后除以“1”后上下同除以后代入即可得出结果.
【详解】
，
故选：B.
6．已知 ，且 ，给出下列结论：
①；
② ；
③；
④ .
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③④
C．①②③ D．①③④
【答案】A
【分析】由 ，且，将等式两边平方可得，可判断，即可判断①②③；继而利用求得，判断④，可得答案.
【详解】
∵, ，
等式两边平方得 ，
解得，故②正确；
∵，，
∴，,故①正确，③错误；
由可知， ，
且 ，
解得，故④正确，
故选：A
7．下面公式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】跟诱导公式与二倍角公式逐个判断即可
【详解】
对A，，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确；
故选：D
8．已知为锐角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由诱导公式与同角三角函数的基本关系求解即可
【详解】
因为，
所以，
又为锐角，
所以，
故选：C
二、多选题
9．下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
根据正弦在单调递增可判断A,根据在单调递减可判断B,根据诱导公式以及正余弦的单调性可判断C,D.
【详解】
对A,因为，在单调递增，所以,故A正确；
对B，因为，在单调递减，所以,故B错误；
对于C,，故C正确；
对于D，，故D错误；
故选：AC
10．下列各式化简中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用诱导公式、二倍角正余弦公式及差角正切公式化简各项左侧函数式，即可判断.
【详解】
A：，正确；
B：，错误；
C：，正确；
D：，故，
而，
所以，正确.
故选：ACD
11．已知不等式的解集为(，)，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，可得根与系数的关系，进而可判断A,B，根据两角和的正切公式即可判断C，根据弦化切即可求解D.
【详解】
由根与系数的关系可得，故A错，B,C对，
.D 对，
故选:BCD
12．已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由两边平方得，可得，
再由求出逐项判断可得答案.
【详解】
因为，所以，
可得，
因为，所以，
由解得，
所以，故A正确；，故B错误；，故C正确；
，故D正确；
故选：A CD.
三、填空题
13．已知，，则___________.
【答案】
【分析】根据题意得，两边平方得，再分析求出，再分别求出和即可求解.
【详解】
由，得①，
将①式等号两边同时平方，得，
所以，而，所以，，
所以，又，
所以②.
由①②得，，
所以.
故答案为：.
14．已知sin(3π＋θ)＝，则＋＝____.
【答案】18
【分析】由已知求得sinθ，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值.
【详解】
由，可得，
∴
.
故答案为：18.
15．已知第三象限角，且，则________．
【答案】
【分析】结合三角函数的诱导公式，求得，再利用三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】
因为，可得，即，即，
又由，可得，解得，
又因为第三象限角，可得，所以.
故答案为：
16．已知，，则＝__________.
【答案】
【分析】根据，，三者的关系求解即可.
【详解】
由已知，得，
两边平方得，
整理得，
所以，
由知，，
又，，即，
故；
，
故答案为：.
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，的顶点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上，点在第二象限，且，记，满足．
(1)求点的坐标；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得点的坐标．
（2）由题意利用诱导公式即可计算求解．
（1）因为在第二象限，，所以，所以，又点的坐标为，所以
（2）．
18．（1）已知，求的值；
（2）已知，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先求出，再进行弦化切代入即可求解；（2）先求出，，得到，再进行诱导公式和弦化切变换，代入即可求解.
【详解】
（1）由知
原式=
（2）
又
原式===
19．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义，求得的值，再利用诱导公式即可求解；
（2）先求得的值，利用诱导公式及商数关系化简即可求解.
(1)解：∵角的终边经过点，
∴，，
∴.
(2)解：由（1）知：，，
∴，
∴
.
20．已知.
(1)化简；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式化简即可；
（2）由题知，进而根据同角三角函数关系求解即可.
(1)解：由题意得
(2)解：∵，∴.
∴为第一或第二象限角，
∴，
∴

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