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第四章 三角函数
专题3.1：两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝ ；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝ ；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ .
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝ ＝ ；
(3)tan 2α＝ .
提醒：二倍角是相对的，如是的2倍，3α是的2倍．
两角和与差的公式的常用变形
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)．
考点一　公式的直接应用
1．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）已知，是第三象限角，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用同角三角函数基本关系求得的值，再利用两角差的余弦公式即可求得的值.
【详解】
由，，可得
由是第三象限角，可得
则
故选：A
2．（2022·辽宁·鞍山市第三中学高一期末）已知θ是第四象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知，根据θ是第四象限角，，可计算出，然后利用正切的和差公式即可求解出.
【详解】
由已知，θ是第四象限角，，所以，
所以.
故选：B.
3．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期末）已知、，，，则______
【答案】
【分析】根据角度范围，利用同角三角函数关系式，先确定，的值，在用两角余弦和差公式求解即可.
【详解】
解：、，，
.
故答案为：.
4．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）已知都是锐角，求，的值
【答案】，
【分析】先利用题给条件求得、的值，进而利用两角和公式可求得和的值，从而再利用两角和公式求得的值
【详解】
由是锐角，，可得，
由是锐角，，
可得，
则
　　应用公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．
例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
考点二　公式的逆用和变形
公式的逆用
1．（2022·四川成都·高一期末）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，逆用差角的余弦公式变形即得.
【详解】
.
故选：C
2．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2021 D．2022
【答案】C
【分析】将给定三角式切化弦，再利用正弦定理角化边，借助余弦定理及已知计算作答.
【详解】
在中，由余弦定理得：，
所以
.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________.
【答案】－1
【分析】逆用两角差的正切公式化简求值．
【详解】
∵tan 25°－tan 70°
＝tan(25°－70°)(1＋tan 25°tan 70°)
＝tan(－45°)(1＋tan 25°tan 70°)
＝－1－tan 25°tan 70°
∴tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝－1.
故答案为：．
公式的变形
若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝______.
【答案】2
【解析】tan＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，
所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
2.若0＜θ＜π，则＝________.
【答案】－cos θ　
【解析】由θ∈(0，π)，得0＜＜，
∴cos ＞0，∴＝＝2cos .
又(1＋sin θ＋cos θ)
＝
＝2cos ＝－2cos cos θ，
故原式＝＝－cos θ.
　1.三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
2．三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．
考点三 角的变换问题
(2021·滕州模拟)已知sin α＝，sin(β－α)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为sin α＝，sin(β－α)＝－，且α，β均为锐角，∴－＜β－α＜.又sin(β－α)＜0，∴－＜β－α＜0，∴cos(β－α)＞0.
所以cos α＝，cos(β－α)＝，
所以sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin α·cos(β－α)＋cos αsin(β－α)＝×＋×＝＝，所以β＝.故选C．
1.三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2．常见的配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．
1．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·全国·高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
3．（2020·山东·高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（ ）
A．3 B． C．3或 D．-3或
4．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·浙江·高考真题）已知，则________；______．
一、单选题
1．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．的值为（ ）
A． B． C．1 D．
3．等于（ ）
A． B．1 C．0 D．
4．化简（ ）
A． B． C． D．
5．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知锐角满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列各式中，值等于的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列各式中值为1的是（　　）
A． B．
C． D．
11．tan75°＝（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．的值为_________.
13．已知，则的值为______．
14．若，且是方程的两个根，则______.
15．若、，，，则________.
四、解答题
16．已知，且，
(1)求证：；
(2)将表示成的函数关系式；
(3)求的最大值，并求当取得最大值时的值．
17．已知，
(1)求的值
(2)求的值．
18．已知，均为锐角，，．
(1)求的值；
(2)求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
第四章 三角函数
专题3.1：两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝.
提醒：二倍角是相对的，如是的2倍，3α是的2倍．
两角和与差的公式的常用变形
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)．
考点一　公式的直接应用
1．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）已知，是第三象限角，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用同角三角函数基本关系求得的值，再利用两角差的余弦公式即可求得的值.
【详解】
由，，可得
由是第三象限角，可得
则
故选：A
2．（2022·辽宁·鞍山市第三中学高一期末）已知θ是第四象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知，根据θ是第四象限角，，可计算出，然后利用正切的和差公式即可求解出.
【详解】
由已知，θ是第四象限角，，所以，
所以.
故选：B.
3．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期末）已知、，，，则______
【答案】
【分析】根据角度范围，利用同角三角函数关系式，先确定，的值，在用两角余弦和差公式求解即可.
【详解】
解：、，，
.
故答案为：.
4．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）已知都是锐角，求，的值
【答案】，
【分析】先利用题给条件求得、的值，进而利用两角和公式可求得和的值，从而再利用两角和公式求得的值
【详解】
由是锐角，，可得，
由是锐角，，
可得，
则
　　应用公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．
例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
考点二　公式的逆用和变形
公式的逆用
1．（2022·四川成都·高一期末）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，逆用差角的余弦公式变形即得.
【详解】
.
故选：C
2．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2021 D．2022
【答案】C
【分析】将给定三角式切化弦，再利用正弦定理角化边，借助余弦定理及已知计算作答.
【详解】
在中，由余弦定理得：，
所以
.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________.
【答案】－1
【分析】逆用两角差的正切公式化简求值．
【详解】
∵tan 25°－tan 70°
＝tan(25°－70°)(1＋tan 25°tan 70°)
＝tan(－45°)(1＋tan 25°tan 70°)
＝－1－tan 25°tan 70°
∴tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝－1.
故答案为：．
公式的变形
若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝______.
【答案】2
【解析】tan＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，
所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
2.若0＜θ＜π，则＝________.
【答案】－cos θ　
【解析】由θ∈(0，π)，得0＜＜，
∴cos ＞0，∴＝＝2cos .
又(1＋sin θ＋cos θ)
＝
＝2cos ＝－2cos cos θ，
故原式＝＝－cos θ.
　1.三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
2．三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．
考点三 角的变换问题
(2021·滕州模拟)已知sin α＝，sin(β－α)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为sin α＝，sin(β－α)＝－，且α，β均为锐角，∴－＜β－α＜.又sin(β－α)＜0，∴－＜β－α＜0，∴cos(β－α)＞0.
所以cos α＝，cos(β－α)＝，
所以sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin α·cos(β－α)＋cos αsin(β－α)＝×＋×＝＝，所以β＝.故选C．
1.三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2．常见的配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．
1．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】
由已知得：,
即：，
即：,
所以,
故选：C
2．（2020·全国·高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】
，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D.
3．（2020·山东·高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（ ）
A．3 B． C．3或 D．-3或
【答案】A
【分析】利用余弦定理求出，并进一步判断，由正弦定理可得，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；
【详解】
，，
，
，
，，
，
，
故选：A.
4．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】
A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
5．（2020·浙江·高考真题）已知，则________；______．
【答案】
【分析】
利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根据两角差正切公式得
【详解】
，
，
故答案为：
一、单选题
1．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据利用两角差的正切公式计算可得.
【详解】
解：因为，，
所以
.
故选：B
2．的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由正切的和角公式展开、移项整理即可得出答案.
【详解】
因为
所以
所以
故选：B.
3．等于（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两角和的余弦公式即可求解.
【详解】
由两角和的余弦公式得：故选：C
4．化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用两角和与差的正切公式化简即可.
【详解】
解：
.
故选：C.
5．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
，结合诱导公式、正切和公式化简展开，可解得，即可求解
【详解】
由题，故，
可解得，故，
故选：A
6．的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，利用两角和差正切公式可整理得到结果.
【详解】
，
，.
故选：B.
7．已知锐角满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用同角三角函数平方关系可求得，由，利用两角和差余弦公式可求得结果.
【详解】
为锐角，，，
又，
.
故选：A.
8．已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用诱导公式及同角三角函数的基本关系得到，再由及两角差的正切公式计算可得.
【详解】
解：因为，所以，
所以，又，
所以.
故选：D
二、多选题
9．下列各式中，值等于的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
由正弦、余弦的二倍角公式可判断选项A,B；由余弦的差角公式可判断性选项C；由正切函数的差角公式可判断选项D.
【详解】
，A正确；
，B错；
，C错；
，D正确．
故选：AD
10．下列各式中值为1的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用两角和差的三角函数公式及倍角公式对选项逐一判断即可．
【详解】
解：对于A：，选项A错误；
对于B：，选项B正确；
对于C：，选项C正确；
对于D：，选项D正确．
故选：BCD．
11．tan75°＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据两角和的正切公式及特殊角的三角函数值判断A，由正切半角公式判断BC，由，令即可判断出D.
【详解】
，故 A正确；
由正切的半角公式知，故B错误；
，故C正确；
∵，令，得，可得D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．的值为_________.
【答案】1
【解析】
【分析】
把拆成，然后利用公式进行化简.
【详解】
因为，
所以；
故答案为：1.
13．已知，则的值为______．
【答案】
【分析】
利用两角差的正切公式即可求得的值
【详解】
，
则
故答案为：
14．若，且是方程的两个根，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据韦达定理，可得的值，根据两角和的正切公式，化简整理，结合的范围，即可得答案.
【详解】
由韦达定理可得，
，
，且，
，则，
．
故答案为：
15．若、，，，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求出、，再利用两角差的正弦公式可求得的值.
【详解】
因为、，则，，
所以，，，
因为，则，故，
因为，则，故，
因此，
.
故答案为：.
四、解答题
16．已知，且，
(1)求证：；
(2)将表示成的函数关系式；
(3)求的最大值，并求当取得最大值时的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)；；
【解析】
【分析】
（1）根据已知及两角和的余弦公式，结合同角三角函数的商数关系即可求解；
（2）根据（1）结论及同角三角函数的商数关系即可求解；
（3）根据（2）的结论及基本不等式，再利用两角和的正切公式即可求解；
（1）因为，所以,由，得，即，于是有，即证.
（2）由（1）可知，，
（3）因为，所以，由（2）可知，，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，的最大值为.当取得最大值时，，，所以.
17．已知，
(1)求的值
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先根据正切两角和公式得到，再根据同角三角函数关系求解即可.
（2）利用正弦二倍角公式和余弦两角和公式求解即可.
(1)
，解得，
因为，所以，
又，解得.
(2)
原式
.
18．已知，均为锐角，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1），再用两角差的余弦公式计算；（2），再利用两角和的正弦公式计算.
(1)因为，均为锐角，所以．
又，，
所以，．所以
(2)根据第（1）问可知

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