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第四章 三角函数
专题3.2：简单的三角恒等变换
能运用公式进行简单的三角恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
1．降幂公式
(1)sin2α＝；
(2)cos2α＝；
(3)tan2α＝.
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)
（其中，）.
公式的常用变式
(1)sin 2α＝＝；
(2)cos 2α＝＝；
(3)1＋cos α＝2cos2；
(4)1－cos α＝2sin2；
(5)1＋sin α＝；
(6)1－sin α＝；
(7)tan ＝＝.
考点一　三角函数式化简
化简：(1)－2cos(α＋β)；
(2)·.
【解析】　(1)原式＝
＝
＝
＝
＝＝.
(2)原式＝·
＝·
＝·＝.
　三角函数式的化简要遵循“三看”原则
考点二　三角函数求值
给角求值
(1)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝________.
【答案】－　
【解析】cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－
＝－
＝－
＝－
＝－＝－.
【答案】
【解析】
.
给值求值
1．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）若，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，利用二倍角的余弦公式求得，即可求得，化简，即可得答案.
【详解】
因为，，故，
解得 ，则，
故，
故选：A
2．（2022·河南开封·高二期末（文））若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用余弦、正弦的二倍角公式及其逆用结合角的范围将目标式子化简，然后结合正弦、余弦的齐次式，将之化为正切的式子，然后将条件代入即可得出答案.
【详解】
因为，，所以，，
所以
．
故选: C．
3．（2022·四川眉山·高一期末（理））已知，均为锐角，，则＝______．
【答案】
【分析】由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．
【详解】
，都是锐角，
，
又，，
所以，，
则
．
故答案为：.
给值求角
1．（2022·河南省嵩县第一高级中学高一阶段练习）设，且，，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】根据两角和与差的余弦公式，结合角度的范围求解即可
【详解】
因为，，所以，.易知，，，则，故.
故选：A
2．（2022·全国·高一专题练习）已知，，均为锐角，则___．
【答案】
【分析】利用同角公式求出，再利用差角的正切计算作答.
【详解】
因为为锐角，且，则有，，
又，则，
又为锐角，所以．
故答案为：
3．（2022·江苏省江浦高级中学高一期末）已知，为锐角，，．
(1)求的值；
(2)求角．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）一方面由题设条件可解得，另一方面，利用和角公式展开即得所求
（2）要求角，可以先求，而利用差角公式展开即可，结合的范围即得所求
(1)因为，所以，又
所以
所以
(2)因为，为锐角，所以，则，
因为，所以．
又为锐角，，所以，
故
，
因为为锐角，所以．
　三角函数式求值的三种题型
(1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．
(2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系，注意与互余，，的灵活应用．
(3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数．
②已知正、余弦函数值，若角的范围是，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是，选正弦函数．
（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】
将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
一、单选题
1．化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由倍角公式结合诱导公式求解即可.
【详解】
故选：A
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由二倍角的余弦公式结合平方关系及商数关系化弦为切即可得出答案.
【详解】
解：，
分子分母同时除以，得．
故选：D.
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令可得，再代入，结合诱导公式与二倍角公式求解即可
【详解】
令可得，故，则
故选：C
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式将化为，再利用二倍角的余弦公式即可求得答案.
【详解】
因为，
故
，
故选：B
5．设，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二倍角的正切公式与两角和的正切公式求解，再分析角度范围得到即可
【详解】
因为，所以，且，所以，则
故选：A．
6．已知函数，则方程的解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】分两种情况、，讨论方程的解.
【详解】
当时，，，令，得，即，又因为，所以，所以或，所以或；当时，，，令，得，即，又因为，所以，所以，综上，方程的解的个数为3.
故选：C.
7．若，则角的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，的值，然后利用和差角公式及特殊角函数值，可得的值．
【详解】
∵，
，
由，，得，，
若，
则
，
与矛盾，故舍去，
若，
则
，
又，
.
故选：A.
8．若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由两角和与差的余弦公式，结合角的取值范围求解
【详解】
因为，所以，
因为，所以，即，
所以.
因为，，所以，
因为，
所以.
所以
.
因为，，
所以，所以.
故选：A
9．已知，角所对应的边分别为，且，则是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用和差角的正弦、余弦公式化简变形即可推理作答.
【详解】
依题意，，
则有，在中，，即，
因此，又，于是得，即，
所以是直角三角形.
故选：A
10．在中，若sinA=2cosBsinC，则该三角形的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根据三角形内角和与两角和差的正弦公式化简即可
【详解】
由题意，故，所以，，故，故该三角形的形状是等腰三角形.
故选：C
二、多选题
11．中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，R是的外接圆半径，则（ ）
A．
B．若，则
C．
D．点G在所在的平面内，若，则G是的重心
【答案】ACD
【分析】对于A，利用正弦定理结合三角恒等变换，即可判断；对于B，利用正弦函数性质可得或，即可判断；对于C,利用正弦定理边化角结合三角恒等变换即可判断；对于D,利用向量的线性运算，可得G是AB,AC,BC边上中线的三等分点，可判断G是的重心，由此可得答案.
【详解】
对于A，由正弦定理得，故，
所以
，
因为，，所以，
即，A正确；
对于B，因为，故或 ,即或，B错误；
对于C,
,故C正确；
对于D,设AB的中点为D,则，
由，得，
所以，则G为CD的三等分点即G是靠近D点的三等分点，
同理可得G也是AC,BC边上中线的三等分点，故G是的重心,D正确，
故选：ACD
12．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】结合三角恒等变换对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
A选项，，
，
所以
，A选项正确.
B选项，
，B选项错误.
C选项，，C选项正确.
D选项，
，D选项错误.
故选：AC
13．的内角的对边分别为，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，是等腰三角形
D．当时，是等腰三角形
【答案】ABD
【分析】由三角形大角对大边，结合正弦定理可知A正确；根据余弦函数在上的单调性可知B正确；由正弦值相等可知或，由此可知是等腰或直角三角形，知C错误；利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可求得，由此可得，知D正确.
【详解】
对于A，当时，，由正弦定理可知：，A正确；
对于B，，在上单调递减，当时，，B正确；
对于C，当时，或，或，
是等腰三角形或直角三角形，C错误；
对于D，由正弦定理得：，，
，，，即，
是等腰三角形，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
14．若，则的值为_______．
【答案】
【分析】分析可得，分、两种情况讨论，在相应等式两边平方可求得的值.
【详解】
因为，则，
所以，，
当时，等式两边平方可得，可得；
当时，等式两边平方可得，可得.
综上所述，.
故答案为：.
15．函数的最小正周期是________．
【答案】
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式将化简函数，再由即可求解.
【详解】
因为，
所以.
故答案为：
16．已知，则的值是____.
【答案】
【分析】利用二倍角公式和同角三角函数基本关系式即可求解.
【详解】
，
两边平方，可得，可得，
．
故答案为：
17．已知)，则)__．
【答案】
【分析】先求出，，再利用和差角公式即可求解.
【详解】
，．
，．
．
．
．
故答案为：.
四、解答题
18．已知向量，函数.
(1)求的单调增区间；
(2)设，若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由数量积的坐标运算结合三角恒等变换可得的解析式，根据正弦函数的单调性即可求得答案；
（2）由可求得，继而求得，再利用三角函数的二倍角公式求得，，从而将化为，即可求得答案.
(1)
因为，
所以，
,
令，解得，
即的单调增区间为；
(2)
由（1）可知，，则，
因为，所以，所以，
所以，
所以，
所以，
即.
19．已知向量，，且．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由已知可得出，结合两角和的余弦公式化简可得结果；
（2）求出的值，利用两角和的正切公式可求得的值，求出的取值范围，即可得解.
(1)
解：，则
，
因此，.
(2)
解：因为且，所以，，
因为，则，，
因为，故，
所以，，所以，，
所以，，
因此，.中小学教育资源及组卷应用平台
第四章 三角函数
专题3.2：简单的三角恒等变换
能运用公式进行简单的三角恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
1．降幂公式
(1)sin2α＝ ；
(2)cos2α＝ ；
(3)tan2α＝.
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)
（其中，）.
公式的常用变式
(1)sin 2α＝＝；
(2)cos 2α＝＝；
(3)1＋cos α＝2cos2；
(4)1－cos α＝2sin2；
(5)1＋sin α＝；
(6)1－sin α＝；
(7)tan ＝＝.
考点一　三角函数式化简
化简：(1)－2cos(α＋β)；
(2)·.
【解析】(1)原式＝
＝
＝
＝
＝＝.
(2)原式＝·
＝·
＝·＝.
　三角函数式的化简要遵循“三看”原则
考点二　三角函数求值
给角求值
(1)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝________.
【答案】－　
【解析】cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－
＝－
＝－
＝－
＝－＝－.
【答案】
【解析】
.
给值求值
1．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）若，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，利用二倍角的余弦公式求得，即可求得，化简，即可得答案.
【详解】
因为，，故，
解得 ，则，
故，
故选：A
2．（2022·河南开封·高二期末（文））若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用余弦、正弦的二倍角公式及其逆用结合角的范围将目标式子化简，然后结合正弦、余弦的齐次式，将之化为正切的式子，然后将条件代入即可得出答案.
【详解】
因为，，所以，，
所以
．
故选: C．
3．（2022·四川眉山·高一期末（理））已知，均为锐角，，则＝______．
【答案】
【分析】由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．
【详解】
，都是锐角，
，
又，，
所以，，
则
．
故答案为：.
给值求角
1．（2022·河南省嵩县第一高级中学高一阶段练习）设，且，，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】根据两角和与差的余弦公式，结合角度的范围求解即可
【详解】
因为，，所以，.易知，，，则，故.
故选：A
2．（2022·全国·高一专题练习）已知，，均为锐角，则___．
【答案】
【分析】利用同角公式求出，再利用差角的正切计算作答.
【详解】
因为为锐角，且，则有，，
又，则，
又为锐角，所以．
故答案为：
3．（2022·江苏省江浦高级中学高一期末）已知，为锐角，，．
(1)求的值；
(2)求角．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）一方面由题设条件可解得，另一方面，利用和角公式展开即得所求
（2）要求角，可以先求，而利用差角公式展开即可，结合的范围即得所求
(1)因为，所以，又
所以
所以
(2)因为，为锐角，所以，则，
因为，所以．
又为锐角，，所以，
故
，
因为为锐角，所以．
　三角函数式求值的三种题型
(1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．
(2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系，注意与互余，，的灵活应用．
(3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数．
②已知正、余弦函数值，若角的范围是，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是，选正弦函数．
（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】
将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
一、单选题
1．化简：（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．设，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则方程的解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若，则角的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知，角所对应的边分别为，且，则是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
10．在中，若sinA=2cosBsinC，则该三角形的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
二、多选题
11．中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，R是的外接圆半径，则（ ）
A．
B．若，则
C．
D．点G在所在的平面内，若，则G是的重心
12．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．的内角的对边分别为，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，是等腰三角形
D．当时，是等腰三角形
三、填空题
14．若，则的值为_______．
15．函数的最小正周期是________．
16．已知，则的值是____.
17．已知)，则)__．
四、解答题
18．已知向量，函数.
(1)求的单调增区间；
(2)设，若，求的值.
19．已知向量，，且．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．

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