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第四章 三角函数
专题4：三角函数的图象和性质
1.能画出三角函数的图象.
2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上、正切函数在上的性质．
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 递增区间 ，k∈Z， [－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z ，k∈Z
递减区间 ，k∈Z [2kπ，π＋2kπ]，k∈Z 无
对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z
对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z 无对称轴
零点 kπ，k∈Z kπ＋，k∈Z kπ，k∈Z
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．函数具有奇、偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)．
考点一　三角函数的定义域和值域
(2022·河北模拟)函数y＝的定义域为________．
【答案】(k∈Z)　
【解析】要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.　
(2021·辽宁锦州模拟)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________．
【答案】 　
【解析】因为x∈，所以sin x∈.又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝2＋，所以当sin x＝时，ymin＝，当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.即函数的值域为.
（2022·江西九江·高一期末）函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二倍角公式化简，转化成一个二次型的函数，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】，令，则．因为在上单增，所以当时，．
故选：C．
4．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象不关于原点对称
B．函数在上的值域为
C．函数在上单调递减
D．函数在上有3个零点
【答案】AD
【分析】根据奇函数的定义、余弦的二倍角公式，利用换元法、二次函数的性质、零点的定义逐一判断即可.
【详解】的定义域为R．因为，所以，则函数的图象不关于原点对称，故A正确．
，故当，即时，令，，
则问题转化为函数在上的值域，且图象的对称轴方程为，
故函数在上单调递增，最大值为1，最小值为－2，故B错误．
当，在上单调递增，即，时，
函数在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数单调性，故C错误．
令，即，解得或，
当时，或或，故函数在上有3个零点，故D正确．故选：AD．
求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
考点二　三角函数的奇偶性、对称性、周期性
三角函数的周期性
1．（2022·四川成都·高一期末）已知函数，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平方关系、降幂及辅助角公式可得，根据三角函数性质求最小正周期.
【详解】由题设，，
所以最小正周期为.
故选：B
2．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））函数的最小正周期为，则______________．
【答案】
【分析】先由周期求出，直接代入求解.
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得：.
所以，
所以.
故答案为：-2
3．（2022·上海·模拟预测）函数的周期为___________；
【答案】
【分析】利用降幂公式化简，即可求出答案.
【详解】,
所以的周期为：
故答案为：.
4．（2022·上海·华师大二附中高一期末）直线与函数（，为常数）的两个相邻交点的距离是______．
【答案】
【分析】求出函数的周期即可得．
【详解】函数的最小正周期是，
所以直线与函数（，为常数）的两个相邻交点的距离是．
故答案为：．
三角函数的奇偶性、对称性
1．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）已知函数为偶函数，则的取值可以为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用正余弦函数的奇偶性列式，计算判断作答.
【详解】
因函数为偶函数，则，显然时，，即A满足，B，C，D都不满足.
故选：A
2．（2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习（文））设函数，则下列判断正确的是（ ）
A．的一个对称中心为
B．一条对称轴为
C．的一个对称中心为
D．将向右平移后得，则是奇函数
【答案】A
【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数，求解函数的对称轴及对称中心即可判断A，B，C项，利用三角函数图象变换得到，即可判断D项.
【详解】
解：由题可得，
令，则，故函数的对称中心为：，
当时，函数的一个对称中心为：，故A项正确，C项错误；
令，则，故函数的对称轴为：，故B项错误；
函数向右平移后得到，则，
则，故函数不是奇函数，故D项错误.
故选：A.
3．（2022·陕西渭南·高一期末）若函数的图象相邻两支截直线所得线段长为，则下列结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增
C．函数的图像与直线不相交 D．函数的图像关于点对称
【答案】D
【分析】由周期求出，再根据正切函数的性质判断．
【详解】由已知选项A显然正确，则，，
，
时，，B正确；
时，，无意义，C正确；
时，，，D错误，
故选：D．
4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的部分图象如图所示，下述四个结论：①；②；③是奇函数；④是偶函数中，其中所有正确结论的编号是_______.
【答案】①②④
【分析】根据部分图象求出的解析式，再利用三角函数的性质即可求解.
【详解】
由函数图象的最值可得，
由，解得，所以，所以①正确；
此时
代入得，
，
又，，所以②正确；
所以的解析式为.
不是奇函数，所以③错误；
，
为偶函数，所以④正确．
综上知，正确的命题序号是①②④．
故答案为：①②④．
　1.求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))或y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)的形式，再分别应用公式T＝或T＝求解．
2．三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y＝Asin(ωx＋φ)代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)．
3．对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．
考点三 三角函数的单调性
求三角函数的单调区间
1．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）函数的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.根据正弦函数的单调性即可求出答案.
【详解】
，要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.
令，
所以.
故选：A.
2．（2022·山西·高二期末）设函数图象经过点，直线向左平移个单位长度后恰好经过函数的图象与轴的交点，若是的图象与轴的所有交点中距离点最近的点，则函数的一个单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最小正周期和可求得，进而得到解析式；利用余弦型函数单调区间的求法可求得的单调递增区间，验证选项即可得到结果.
【详解】
是的图象与轴的所有交点中距离点最近的点，为的最小值点，
的最小正周期，即，解得：，
，即，
，解得：，
又，，；
令，解得：
的单调递增区间为，
令，则是的一个单调递增区间，
，是的一个单调递增区间.
故选：A.
3．（2022·陕西汉中·高一期末）已知函数，下列说法正确的有（ ）
①函数最小正周期为；
②定义域为
③图象的所有对称中心为；
④函数的单调递增区间为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据正切函数的图象与性质，代入周期、定义域、对称中心和单调递增期间的公式即可求解.
【详解】
对①，函数，可得的最小正周期为，所以①正确；
对②，令，解得，
即函数的定义域为，所以②错误；
对③，令，解得，所以函数的图象关于点对称，所以③正确；
对④，令，解得，故函数的单调递增区间为，所以④正确；
故①③④正确；
故选：C
根据单调性求参数
1．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一期末）将函数，且，下列说法错误的是（ ）
A．为偶函数 B．
C．若在上单调递减，则的最大值为9 D．当时，在上有3个零点
【答案】C
【分析】先求得，然后结合函数的奇偶性、单调性、零点对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】
，
，
所以，为偶函数，A选项正确.
，B选项正确.
，若在上单调递减，
则，，
由于，所以，
所以的最大值为，的最大值为，C选项错误.
当时，，
，当时，，所以D选项正确.
故选：C
2．（2022·全国·高一专题练习）已知是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间内是单调函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合的取值范围可得出的值，利用函数的对称轴可得出的表达式，结合函数的单调性可求得的取值范围，可得出的值，进而可确定的解析式，代值计算可得结果.
【详解】
因为是上的奇函数，则，
所以，，
因为的图象关于直线对称，则，可得，
当时，，
因为函数在区间内是单调函数，则，解得，
所以，，，故，因此，.
故选：A.
3．（2022·全国·高一课时练习）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用诱导公式化简，再根据正弦函数的单调性可得，结合条件即得.
【详解】
，
由，，可得，
根据正弦函数的单调性，可得：，又，
所以，即.
故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】转化为在区间内单调递增，根据正切函数的单调区间求出的单调递增区间，再根据区间是的单调递增区间的子集列式可求出结果.
【详解】
因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增，
由，，得，，
所以的单调递增区间为，，
依题意得，，
所以，，
所以，，
由得，由得，
所以且，
所以或，
当时，，又，所以，
当时，.
综上所述：.
故选：C.
5．（2022·河北保定·高一期末）已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为_____.
【答案】
【分析】根据函数的对称性求出，即可求出函数解析式，再根据的取值范围，求出的取值范围，根据余弦函数的性质得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：因为函数的图象关于直线对称，
所以，，即，，
又，所以，从而.
因为，所以，因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，故的最大值为.
故答案为：
三角函数单调性的两类题型及求解策略
(1)已知三角函数解析式求单调区间
①求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
②求形如y＝A|sin(ωx＋φ)|的单调区间时，常采用数形结合的方法．
（2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
1．（2022·天津·高考真题）已知，关于该函数有下面四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的值域为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】
因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故选：A．
2．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
【答案】C
【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
3．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】
由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
4．（2022·全国·高考真题（理））设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】
解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
故选：C．
5．（2022·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】
由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
6．（2022·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】
由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
7．（2022·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】
解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
一、单选题
1．函数的图象的一个对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】
解：对于函数，令，
解得，故函数的对称轴方程为，
令，可知函数的一条对称轴为.
故选：C
2．下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性与单调性分别讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，函数为偶函数，A错，
对于B选项，∵函数定义域为，，
∴函数为奇函数，
∵当时，，时，，
∴函数在定义域上不是单调递增函数，B错，
对于C选项，∵定义域为，，
∴函数为奇函数，
∵当时，，时，，
∴函数在定义域上不是单调递增函数，C错，
对于D选项，∵，又函数在定义域上单调递增，函数在定义域上单调递减，
∴函数既是奇函数，又在定义域上单调递增，D对．
故选：D.
3．已知的最大值是2，则在中的最大值是（ ）
A． B．3
C． D．
【答案】C
【分析】由的最大值为2，利用辅助角公式可求的值，代入，并根据辅助角公式可得，根据正弦函数的图像与性质可得，根据两角和的正弦公式可求解.
【详解】
解：根据辅助角公式可得
，其中.
由的最大值为2可得,解得.
∴
.
∵，∴.
∴当，即时，取得最大值.
故
.
故选:C.
4．已知函数，给出下列结论，正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数在区间上是减函数
C．函数图像关于对称
D．函数的图像可由函数的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位得到
【答案】B
【分析】化简函数的解析式为，结合三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
所以函数的最小正周期为，所以A错误；
因为，可得，
根据正弦函数的图象与性质，可得函数在上单调递减，
所以函数在区间上是减函数，所以B正确；
由函数，令，解得，
当时，可得，所以函数的对称中心为，所以C不正确；
由函数的图像向右平移个单位，，
再向下平移1个单位得到，所以D不正确.
故选：B.
5．已知函数，则的（ ）
A．最小正周期为，最小值为 B．最小正周期为，最小值为
C．最小正周期为，最小值为 D．最小正周期为，最小值为
【答案】B
【分析】先化简函数，再结合周期公式求解周期，根据解析式求解最值.
【详解】
因为，
所以最小正周期为,最小值为.
故选：B.
6．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线
C．是奇函数 D．若，则
【答案】B
【分析】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答.
【详解】
对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确；
对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确；
对于C，不是奇函数，C不正确；
对于D，取，显然有，而，，D不正确.
故选：B
7．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．为的周期 B．任意，都满足
C．函数在上单调递减 D．的最小值为
【答案】D
【分析】化简得到，可判定A正确；根据三角函数的诱导公式进行化简运算，可判定B正确；化简函数，结合三角函数的性质，可判定C正确；根据，且，可判定D错误.
【详解】
对于A中，由，
所以为的周期，所以A正确；
对于B中，由，
，
所以，所以B正确；
对于C中，由，则，且，
根据正弦函数的性质，可得函数在上单调递减，所以C正确；
对于D中，由，且，所以函数的最小值为，所以D错误.
故选：D.
8．函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数与正弦函数的单调性可得函数在上单调递增，从而可求的值域.
【详解】
解：易知函数在上单调递增，且，，
所以在上的值域为．
故选:B．
二、多选题
9．函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图像关于直线对称
C．的图像关于点对称
D．在上单调递增
【答案】BC
【分析】根据可以判断A；将与代入解析式，结合三角函数的对称性可以判断B和C；解出函数的单调区间，进而判断D.
【详解】
函数的最小正周期为，故A选项错误；
将代入解析式得：，则为的对称轴，故B选项正确；
将代入解析式得：，则为的对称点，故C选项正确；
由可得：，
∴的单调递增区间为．
显然，不存在这样的k，使得，故D选项错误．
故选：BC．
10．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．为函数的一个周期 B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上为减函数 D．函数的值域为
【答案】ABD
【分析】计算可判断A;计算可判断B;将化简为，结合正弦函数的性质可判断C,D.
【详解】
因为，
所以为函数的一个周期，故A正确；
因为，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
因为，
因为，所以，故，
由于，故在上为增函数，故C错误；
由C的分析可知在上为增函数，所以，
故D正确，
故选：ABD．
11．已知 的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最大值为2
C．为的一条对称轴
D．为的一个对称中心
【答案】ACD
【分析】由题意利用三角函数恒等变换化简函数解析式，再利用正弦函数的图像和性质即可求解．
【详解】
解：
，
即，所以，解得，故A正确；
所以，
因为，所以，故B错误；
，所以函数关于对称，故C正确；
，所以为的一个对称中心，故D正确；
故选：ACD
12．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．的一个周期是
B．的对称中心是
C．在上的最大值是
D．在内的所有零点之和为
【答案】BD
【分析】选项AB根据三角函数的性质分析即可；选项C求导分析的单调性求出最值；选项D根据对称性和单调性，数形结合分析即可.
【详解】
选项A：，所以不是的一个周期，A错误.
选项B：的对称中心是，也是的对称中心，所以的对称中心是，B正确.
选项C：，当时，；令解得.
所以当即时，单调递减；即时，单调递增.
所以，C错误.
选项D：在所有零点即与图像所有交点的横坐标，根据B选项关于中心对称和C选项中的单调性可画出简图：
显然是一个交点，
又因为也关于中心对称，所以图像交点关于对称.
故零点和为，D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．函数的图象关于原点对称，则的最大负值为______．
【答案】
【分析】利用三角函数的奇偶性，诱导公式，得出结论．
【详解】
函数的图象关于原点对称，
，，
令，可得的最大负值为，
故答案为：．
14．直线都是函数的对称轴，且函数在区间上单调递增，则函数的解析式为__________．
【答案】
【分析】根据题意可得为的两条相邻的对称轴，再根据周期求解，结合对称轴的表达式求解即可
【详解】
由题意，为的两条相邻的对称轴，且当时取得最小值，当时取得最大值.故周期，故，解得.又当时取得最大值，故，即，又，故.所以
故答案为：
15．函数，若是的一个对称中心，且在上单调，则的最小值为_________．
【答案】1
【分析】由函数的对称性求出的取值集合，再根据，不妨取验证即可.
【详解】
解：∵为的一个对称中心，
∴
∴.
所以，
又∵，∴且.
当时，
当，则，
因为，又在上单调递增，所以在上单调递增，符合题意．
故；
故答案为：
16．已知的图象的对称轴为_________________．
【答案】
【分析】根据诱导公式可得，然后用二倍角公式化简，进而可求.
【详解】
因为所以，故对称轴为.
故答案为:
四、解答题
17．已知函数，．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的单调区间．
【答案】(1)
(2)单调增区间为，单调递减区间为
【分析】（1）利用辅角公式，可得，再根据正弦函数的周期性求得函数的最小正周期．
（2）由题知，再根据正弦函数的性质求解单调区间即可.
（1）解：∵，∴，即函数的最小正周期为．
（2）解：在区间上，，∴当，即时，单调递增；当，即时，单调递减；∴在上的单调增区间为，单调递减区间为
18．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间内有两个不同的零点，直接写出实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用二倍角公式以及辅助角公式化简，用周期的计算公式即可求解；（2）整体代入正弦函数的单调递增区间中，求解不等式即可；（3）画出图象，根据图象交点个数即可求解.
（1）由得，故最小正周期为,
（2）由，解得，故的单调递增区间为
（3）令，则，故问题转化为在区间内有两个不同的根，令，且，则问题等价于在有两个根，由的图象可知：当时，有两个根.故
19．已知
(1)求的值域；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）依题意可得对任意的恒成立，参变分离可得对任意的恒成立，再利用二倍角公式、同角三角函数基本关系及对勾函数的性质计算可得.
（1）解：．即，所以.
（2）解：由得对任意的恒成立，因为，所以，即对任意的恒成立，只需要，又，令，当时，，所以，其中，即，则或（舍去），，又函数在上单调递减，所以在上单调递减，当时，，所以．中小学教育资源及组卷应用平台
第四章 三角函数
专题4：三角函数的图象和性质
1.能画出三角函数的图象.
2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上、正切函数在上的性质．
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 R
周期性 2π
奇偶性 奇函数
单调性 递增区间
递减区间 无
对称性 对称中心
对称轴 无对称轴
零点 kπ，k∈Z kπ＋，k∈Z kπ，k∈Z
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．函数具有奇、偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)．
考点一　三角函数的定义域和值域
(2022·河北模拟)函数y＝的定义域为________．
【答案】(k∈Z)　
【解析】要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.　
(2021·辽宁锦州模拟)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________．
【答案】 　
【解析】因为x∈，所以sin x∈.又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝2＋，所以当sin x＝时，ymin＝，当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.即函数的值域为.
（2022·江西九江·高一期末）函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二倍角公式化简，转化成一个二次型的函数，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】，令，则．因为在上单增，所以当时，．
故选：C．
4．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象不关于原点对称
B．函数在上的值域为
C．函数在上单调递减
D．函数在上有3个零点
【答案】AD
【分析】根据奇函数的定义、余弦的二倍角公式，利用换元法、二次函数的性质、零点的定义逐一判断即可.
【详解】的定义域为R．因为，所以，则函数的图象不关于原点对称，故A正确．
，故当，即时，令，，
则问题转化为函数在上的值域，且图象的对称轴方程为，
故函数在上单调递增，最大值为1，最小值为－2，故B错误．
当，在上单调递增，即，时，
函数在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数单调性，故C错误．
令，即，解得或，
当时，或或，故函数在上有3个零点，故D正确．故选：AD．
求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
考点二　三角函数的奇偶性、对称性、周期性
三角函数的周期性
1．（2022·四川成都·高一期末）已知函数，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平方关系、降幂及辅助角公式可得，根据三角函数性质求最小正周期.
【详解】由题设，，
所以最小正周期为.
故选：B
2．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））函数的最小正周期为，则______________．
【答案】
【分析】先由周期求出，直接代入求解.
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得：.
所以，
所以.
故答案为：-2
3．（2022·上海·模拟预测）函数的周期为___________；
【答案】
【分析】利用降幂公式化简，即可求出答案.
【详解】,
所以的周期为：
故答案为：.
4．（2022·上海·华师大二附中高一期末）直线与函数（，为常数）的两个相邻交点的距离是______．
【答案】
【分析】求出函数的周期即可得．
【详解】函数的最小正周期是，
所以直线与函数（，为常数）的两个相邻交点的距离是．
故答案为：．
三角函数的奇偶性、对称性
1．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）已知函数为偶函数，则的取值可以为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用正余弦函数的奇偶性列式，计算判断作答.
【详解】
因函数为偶函数，则，显然时，，即A满足，B，C，D都不满足.
故选：A
2．（2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习（文））设函数，则下列判断正确的是（ ）
A．的一个对称中心为
B．一条对称轴为
C．的一个对称中心为
D．将向右平移后得，则是奇函数
【答案】A
【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数，求解函数的对称轴及对称中心即可判断A，B，C项，利用三角函数图象变换得到，即可判断D项.
【详解】
解：由题可得，
令，则，故函数的对称中心为：，
当时，函数的一个对称中心为：，故A项正确，C项错误；
令，则，故函数的对称轴为：，故B项错误；
函数向右平移后得到，则，
则，故函数不是奇函数，故D项错误.
故选：A.
3．（2022·陕西渭南·高一期末）若函数的图象相邻两支截直线所得线段长为，则下列结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增
C．函数的图像与直线不相交 D．函数的图像关于点对称
【答案】D
【分析】由周期求出，再根据正切函数的性质判断．
【详解】由已知选项A显然正确，则，，
，
时，，B正确；
时，，无意义，C正确；
时，，，D错误，
故选：D．
4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的部分图象如图所示，下述四个结论：①；②；③是奇函数；④是偶函数中，其中所有正确结论的编号是_______.
【答案】①②④
【分析】根据部分图象求出的解析式，再利用三角函数的性质即可求解.
【详解】
由函数图象的最值可得，
由，解得，所以，所以①正确；
此时
代入得，
，
又，，所以②正确；
所以的解析式为.
不是奇函数，所以③错误；
，
为偶函数，所以④正确．
综上知，正确的命题序号是①②④．
故答案为：①②④．
　1.求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))或y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)的形式，再分别应用公式T＝或T＝求解．
2．三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y＝Asin(ωx＋φ)代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)．
3．对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．
考点三 三角函数的单调性
求三角函数的单调区间
1．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）函数的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.根据正弦函数的单调性即可求出答案.
【详解】
，要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.
令，
所以.
故选：A.
2．（2022·山西·高二期末）设函数图象经过点，直线向左平移个单位长度后恰好经过函数的图象与轴的交点，若是的图象与轴的所有交点中距离点最近的点，则函数的一个单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最小正周期和可求得，进而得到解析式；利用余弦型函数单调区间的求法可求得的单调递增区间，验证选项即可得到结果.
【详解】
是的图象与轴的所有交点中距离点最近的点，为的最小值点，
的最小正周期，即，解得：，
，即，
，解得：，
又，，；
令，解得：
的单调递增区间为，
令，则是的一个单调递增区间，
，是的一个单调递增区间.
故选：A.
3．（2022·陕西汉中·高一期末）已知函数，下列说法正确的有（ ）
①函数最小正周期为；
②定义域为
③图象的所有对称中心为；
④函数的单调递增区间为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据正切函数的图象与性质，代入周期、定义域、对称中心和单调递增期间的公式即可求解.
【详解】
对①，函数，可得的最小正周期为，所以①正确；
对②，令，解得，
即函数的定义域为，所以②错误；
对③，令，解得，所以函数的图象关于点对称，所以③正确；
对④，令，解得，故函数的单调递增区间为，所以④正确；
故①③④正确；
故选：C
根据单调性求参数
1．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一期末）将函数，且，下列说法错误的是（ ）
A．为偶函数 B．
C．若在上单调递减，则的最大值为9 D．当时，在上有3个零点
【答案】C
【分析】先求得，然后结合函数的奇偶性、单调性、零点对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】
，
，
所以，为偶函数，A选项正确.
，B选项正确.
，若在上单调递减，
则，，
由于，所以，
所以的最大值为，的最大值为，C选项错误.
当时，，
，当时，，所以D选项正确.
故选：C
2．（2022·全国·高一专题练习）已知是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间内是单调函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合的取值范围可得出的值，利用函数的对称轴可得出的表达式，结合函数的单调性可求得的取值范围，可得出的值，进而可确定的解析式，代值计算可得结果.
【详解】
因为是上的奇函数，则，
所以，，
因为的图象关于直线对称，则，可得，
当时，，
因为函数在区间内是单调函数，则，解得，
所以，，，故，因此，.
故选：A.
3．（2022·全国·高一课时练习）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用诱导公式化简，再根据正弦函数的单调性可得，结合条件即得.
【详解】
，
由，，可得，
根据正弦函数的单调性，可得：，又，
所以，即.
故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】转化为在区间内单调递增，根据正切函数的单调区间求出的单调递增区间，再根据区间是的单调递增区间的子集列式可求出结果.
【详解】
因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增，
由，，得，，
所以的单调递增区间为，，
依题意得，，
所以，，
所以，，
由得，由得，
所以且，
所以或，
当时，，又，所以，
当时，.
综上所述：.
故选：C.
5．（2022·河北保定·高一期末）已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为_____.
【答案】
【分析】根据函数的对称性求出，即可求出函数解析式，再根据的取值范围，求出的取值范围，根据余弦函数的性质得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：因为函数的图象关于直线对称，
所以，，即，，
又，所以，从而.
因为，所以，因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，故的最大值为.
故答案为：
三角函数单调性的两类题型及求解策略
(1)已知三角函数解析式求单调区间
①求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
②求形如y＝A|sin(ωx＋φ)|的单调区间时，常采用数形结合的方法．
（2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
1．（2022·天津·高考真题）已知，关于该函数有下面四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的值域为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数有（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
3．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
4．（2022·全国·高考真题（理））设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
7．（2022·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
一、单选题
1．函数的图象的一个对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知的最大值是2，则在中的最大值是（ ）
A． B．3
C． D．
4．已知函数，给出下列结论，正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数在区间上是减函数
C．函数图像关于对称
D．函数的图像可由函数的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位得到
5．已知函数，则的（ ）
A．最小正周期为，最小值为 B．最小正周期为，最小值为
C．最小正周期为，最小值为 D．最小正周期为，最小值为
6．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线
C．是奇函数 D．若，则
7．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．为的周期 B．任意，都满足
C．函数在上单调递减 D．的最小值为
8．函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图像关于直线对称
C．的图像关于点对称
D．在上单调递增
10．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．为函数的一个周期 B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上为减函数 D．函数的值域为
11．已知 的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最大值为2
C．为的一条对称轴
D．为的一个对称中心
12．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．的一个周期是
B．的对称中心是
C．在上的最大值是
D．在内的所有零点之和为
三、填空题
13．函数的图象关于原点对称，则的最大负值为______．
14．直线都是函数的对称轴，且函数在区间上单调递增，则函数的解析式为__________．
15．函数，若是的一个对称中心，且在上单调，则的最小值为_________．
16．已知的图象的对称轴为_________________．
四、解答题
17．已知函数，．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的单调区间．
18．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间内有两个不同的零点，直接写出实数的取值范围.
19．已知
(1)求的值域；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围．

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