资源简介

高二升高三数学易错题集（全国）
高二升高三数学易错题集（全国）
【集合】 .............................................................................................................. 2
【集合】参考答案 ............................................................................................... 3
【常用逻辑用语】 ............................................................................................... 6
【常用逻辑用语】参考答案 ................................................................................. 7
【不等式】 .......................................................................................................... 8
【不等式】参考答案 .......................................................................................... 10
【函数】 ............................................................................................................ 13
【函数】参考答案 ............................................................................................. 16
【平面向量】..................................................................................................... 24
【平面向量】参考答案 ...................................................................................... 26
【三角函数】..................................................................................................... 28
【三角函数】参考答案 ...................................................................................... 31
【解三角形】..................................................................................................... 36
【解三角形】参考答案 ...................................................................................... 38
【导数】 ............................................................................................................ 44
【导数】参考答案 ............................................................................................. 47
第 1 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【集合】
1.下列关于集合 与空集 之间的关系中，说法正确的是( )
A. B. C. D.
2.记 ，则下列四个命题中正确的个数为( )
A. B. C. D.
3.已知集合 ，集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
4.下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.若用列举法表示集合 ，则下列表示正确的是（ ）．
A. B. C. D.
6.已知集合 ， ，则 ________ ．
7.设 ， ，则 、 两个集合的关系是( )
A. B. C. D. 以上都不对
8.下列四个关系中错误的是（ ）．
A. B. C. D.
9.已知集合 至多有一个元素，则 的取值范围是 ________ ．
10.若集合 ， ，且 ，则 的值为( )
A. B. C. 或 D. 或 或
11.设集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是
________ ．
12.已知集合 ， ，若 ，
求实数 的取值范围．
13.已知 ，则实数 的值为( )
A. B. C. 或 D. 无解
14.设集合 ， ，若 ，则实数 的值为( )
A. B. 或 C. D.
第 2 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【集合】参考答案
1.【答案】C
【解析】解： 是任何非空集合的真子集．
2.【答案】D
3.【答案】C
【解析】解：集合 ，集合 ，
则 ，
故选：C．
4.【答案】D
【解析】D 选项中 ．
5.【答案】B
【解析】由 ，解得 ，所以 ．
故选 ．
6.【答案】
【解析】解：解 得， ，
，
又因为 ，
，
．
7.【答案】D
【解析】由于 ，则集合 为数对 组成的集合， 而集合
的元素为实数，故 、 两个集合无任何关系． 故答案为：D．
8.【答案】A B
【解析】 选项、 选项： 表示集合与集合的关系， 表示元素与集合的关系，故 错误；
选项：任意一个集合是它本身的子集，故 正确；
选项：空集是任何集合的子集，故 正确．
故选 ．
9.【答案】 或
第 3 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【解析】 时， 即 ， ，符合要求；
时， 至多有一个解， ， ，
综上， 的取值范围为 或 ，
故答案为： 或 ．
10.【答案】D
【解析】解： 集合 ， ，且 ，
，
当 时， ，成立；
当 时， ，
由 ，得 或 ，
解得 或 ．
的值为 或 或 ．
故选：D．
11.【答案】
【解析】 当 时， ，解得 ；
当 时，如图所示，得 ，
解得 ．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
12.【答案】见解析
【解析】解： ，
因为 ，所以 或 ．
当 时， ，
第 4 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
即 ， 是方程 的两根，代入得 ，此时满足条件，即 符合
题意．
当 时，分两种情况：
若 ，则 ，解得 ．
若 ，则方程 有两个相等的实数根，所以
，解得 ．
此时 ，符合题意．
综上所述，所求实数 的取值范围是 ．
13.【答案】B
【解析】解：因为 ，所以 或 ．当 ，即 时，满足题意；
当 时， ，不满足集合元素的互异性，故舍去．综上可得实数 的值为 ，故选 B．
14.【答案】C
【解析】依题意得： ， 解得 (舍去)或 ． 故选：C.
第 5 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【常用逻辑用语】
1.命题“对任意的 ， ”的否定是（ ）．
A. 不存在 ， B. 存在 ，
C. 存在 ， D. 对任意的 ，
2.命题 ：“ ， ”的否定 为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.设集合 ，集合 ，那么“ ”是“ ”的 ________ 条
件．(用“充分不必要，必要不充分，充要”填空)．
4.设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
6.若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设命题 ： ，命题 ： ；若 是 的充分条件，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第 6 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【常用逻辑用语】参考答案
1.【答案】C
【解析】由全称命题的否定可知，任意变存在，结论否定，易知 C 正确．
2.【答案】B
【解析】命题 ：“ ， ”为特称命题，其否定为全称命题， 为 ，
. 故选 B.
3.【答案】必要不充分
【解析】解：由 不能推出 ，如 时，故充分性不成立．根据 可得，由
成立一定能推出 ，故必要性成立．
故“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故答案为必要不充分．
4.【答案】A
【解析】因为 或 ，所以“ ”是“ ”的充分不
必要条件，故选 A．
5.【答案】D
【解析】解： 的充要条件为 ．
对于 A，是 的充要条件；
对于 B，是 的充分不必要条件；
对于 C，是 的既不充分也不必要条件；
对于 D，是 的一个必要不充分条件．
故选：D．
6.【答案】C
【解析】解： “ ”是“ ”的充分不必要条件，
当“ ”成立时，必有“ ”成立；
反之，当“ ”成立时，“ ”不一定成立
由此可得
故选：C．
7.【答案】D
【解析】 命题“ ”是命题“ ”的充分不必要条件 ，命题 ： ，
命题 ： ；若 是 的充分条件，则 .故答案为： ．
第 7 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【不等式】
1.若 ， ，则一定有( )
A. B. C. D.
2.若 ， ， ， 为实数，下列结论正确的是( )
A. 若 ， ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
3.若实数 ， 满足 ， ，则 的取值范围是 __________ ．
4.下列等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
5.若 、 ，且 ，则下列不等式中能恒成立的是( )
A. B. C. D.
6.下列函数中，最小值为 的是( )
A. B.
C. D.
7.已知 ，则 的最大值是 __________ ．
8.不等式 的解集是 ________ ．
9.不等式 的解集是 ________ ．
10.不等式 的解集为 ________ ．
11.已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为
__________ ．
12.对任意的实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
第 8 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
13.已知 的解集是 ，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
第 9 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【不等式】参考答案
1.【答案】C
【解析】 ， ， ， ， ， ， ．
2.【答案】D
【解析】解：对于 A：若 ， ， ， 均小于 ，则不正确，
对于 B：若 ，则 ，则 ，即 ，故 B 不正确，
对于 C：若 ，则 ，即 ，故 C 不正确，
对于 D：若 ，则 ，正确，
故选：D．
3.【答案】
【解析】由题意得， ， ，所以 ．
4.【答案】B
【解析】解：A．显然当 ， 时，不等式 不成立，故 A 错误；
B． ， ， ，故 B 正确；
C．显然当 ， 时，不等式 不成立，故 C 错误；
D．显然当 ， 时，不等式 不成立，故 D 错误．
故选：B．
5.【答案】D
【解析】A、错误，令 ， ，
B、错误， ， 时，不成立，
C、错误， ， 时，不成立，
D、正确．
6.【答案】C
【解析】解： ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
函数 的最小值为 ．
A、D 选项，“一正”不满足；
B 选项，“三相等不满足”．
7.【答案】-3
【解析】∵ ，∴ ，
第 10 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
∴ ,
当且仅当 ，即 时取等号，
∴ 的最大值为 ．
故答案为： ．
8.【答案】
【解析】解：不等式 ，
移项得： ，
即 ，
可化为 , 解得： ，
则原不等式的解集是 ．
故答案为： ．
9.【答案】
【解析】解： 等价于 且 ，
不等式 的解集是： ．
故答案为： ．
10.【答案】
【解析】解：由 可得 ，
用穿根法求得它的解集为 ，
故答案为： ．
11.【答案】
【解析】由于不等式 的解集为： ，可知 ，
第 11 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
且 ， 是方程 的两根，
， ， ， ．
不等式 可化为： ，
由于 ，故 ，即 ，
解得 ．
所以所求解集为： ．
12.【答案】B
【解析】解：当 时， ，不等式成立；
设 ，当 时函数 为二次函数， 要恒小于 ，抛物线开口向下且与 轴没
有交点，即 且 ，
得到： ，解得 ．
综上得到 ．
故选：B．
13.【答案】D
【解析】解：设函数 ,
由题设条件关于 的不等式 的解集为 ,
可得对任意的 ，都有 ,
又当 时，函数 是关于 的抛物线，故抛物线必开口向下，且与 轴无交点，
故满足 ，
解得 ．
当 时， 满足题意．
综上，实数 的取值范围为 ．
故选：D．
第 12 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【函数】
1.下列各组函数中表示同一函数的是（ ）．
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
2.下列各组函数中是同一函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
3.函数 的定义域为（ ）．
A. B. C. D.
4.函数 的定义域是（ ）．
A. B. C. D.
5.函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 ________ ．
6.若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围；
7.函数 的值域为 .则实数 的取值范围是 .
8.已知函数 ，则函数 的解析式为( )
A. B.
C. D.
9.已知 ，则函数 ________ ．
10.判断函数的单调性．
．
11.函数 的单调递增区间是 __________ ．
12. 判断下列函数的奇偶性．
（1） ．
13. 判断下列各函数的奇偶性：
第 13 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
（1） ．
14.判断函数 的奇偶性．
15.已知定义在 上的函数 是奇函数，当 时， ，求 的解析式．
16.已知函数 是 上的增函数，则 的取值范围是 ________ ．
17.函数 的单调增区间是( )
A. B. C. D.
18.已知函数 是定义在 上的减函数，且 ，则实数 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
19.若函数 在区间 上是单调递增的，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
20.下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（ ）．
A. B. C. D.
21.已知函数 ，则（ ）．
A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递减
C. 的图象关于直线 对称 D. 的图象关于点 对称
22.若函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，且函数 在
内仅有一个零点，则 的符号是 ________ ．
(填“大于 ”“小于 ”“等于 ”或“不确定”)
23.下列各函数中,是指数函数的是( )
A. B. C. D.
24.若函数 是指数函数，则 ________ ．
25.下列函数是对数函数的是( )
A. B. 且
C. D. 且
26.函数 是幂函数，则 __________ ．
27.已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上是减函数，
则 的值为( )
第 14 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
A. B. C. D. 或
28.若函数 是指数函数，则 的取值范围是 ________ ．
29.对数式 中实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
30.求函数 的单调区间．
31.已知函数 在 上为增函数，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
32.已知函数 ( 为常数)在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是
________ ．
33.若 ，求 的值．
第 15 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【函数】参考答案
1.【答案】D
【解析】A 选项： 定义域为 ， 定义域为 ，故 错误．B 选项： 定
义域为 ，而 定义域为 ，故 错误．C 选项： 定义域为 ， 定义域为
，故 错误．D 选项： 和 定义域相同，化简后为同一函数，故 正确．故选 D.
2.【答案】A
【解析】解：对于 A，函数
与 的定义域相同，
对应关系也相同，是同一函数；
对于 B，函数
与 的定义域不同，
不是同一函数；
对于 C，函数
与 的对应关系不同，
不是同一函数；
对于 D，函数
与 的定义域不同，
对应关系也不同，不是同一函数．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】依题意:
，故 正确．
故选 ．
4.【答案】A
【解析】依题意得 ，
解得 ，
所以函数的定义域为 ，
第 16 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
故选 ．
5.【答案】
【解析】解： 函数 的定义域为 ，
恒成立．
①若 ，则不等式等价为 ，即 ，不满足条件；
②若 ，要使不等式恒成立，则 ，
即 ，解得 ．
综上， ，
故答案为： ．
6.【答案】见解析
【解析】由 对 恒成立，得 且 ．
故 的取值范围为 ．
7.【答案】
【解析】令 ,则 的值域包含
若 ,则 ,满足题意
若 ,则 存在最大值,其值域不可能包含
若 ,则只需使 与 轴有交点,即 ,
综上所述,
8.【答案】C
【解析】解：令 ，则 ，
，
，
故选：C．
9.【答案】 ，
【解析】解： ，
第 17 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
，
又 ，
， ．
10.【答案】见解析
【解析】令 ， ，由简单函数的单调性可知
在 上单调递增， 在 上单调递减，
由单调性的四则运算可知
在 上单调递增．
所以 在 上单调递增．
又 在 上单调递增， 在 上单调递减，
由单调性的四则运算可知
在 上单调递增．
所以 在 上单调递增．
综上， 在 和 上单调递增．
11.【答案】 ，
【解析】 ，画出图象．
易知单调递减区间为 ， ．
易知单调递增区间为 ， ，
12.（1）【答案】非奇非偶函数
13.（1）【答案】非奇非偶函数．
第 18 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【解析】由定义域不关于原点对称，可知 为非奇非偶函数．
14.【答案】见解析
【解析】解：由题意知， ，所以函数 的定义域为 ，
关于原点对称，当 时， ，所以函数 既是奇函数又是偶函数．
15.【答案】
【解析】 ，注意如果奇函数在 处有定义，一定有 ．
16.【答案】
【解析】解：要使函数在 上为增函数，需有 在 上递增，在 上递增，
且 ，
所以有 ，解得 ，
故 的取值范围为 ．
故答案为 ．
17.【答案】C
【解析】解：由 ，
得 ．
设 ，它的单调增区间是 ，
函数 的单调增区间是 ．
故选：C．
18.【答案】B
【解析】解： 是定义在 上的减函数，且 ，
，即 ，即 ，
即实数 的取值范围是 ，
故选：B．
第 19 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
19.【答案】D
【解析】解：当 时， 满足题意．
当 时，
函数 在 上是单调递增的，
，解得 ．
综上，实数 的取值范围是 ．
20.【答案】B
【解析】方法一： 过点 ， 关于直线 的对称点还是 ．经验证，点
在函数 的图象上，故选 ．方法二：设所求图象上一点的坐标为 ，
则点 关于直线 的对称点 在函数 的图象上，
则 ，故所求的函数为 ．
故选 ．
21.【答案】C
【解析】方法一：由题易知， 的定义域为 ，
，
由复合函数的单调性知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 错误；
又 ．
． ，故 错误．
故选 ．方法二：由题易知， 的定义域为 ，
，
由 ，得 ；
由 ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故 错误；
又 ，
第 20 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
，
所以 ，故 错误．
故选 ．方法三：函数 ，其中 ，则函数 是由
，
复合而成的，由复合函数的单调性可知， 时， 单调递增，
时， 单调递减，故 错误；
的图象关于直线 对称，即 ，则 ，即 的图象关于
直线 对称，故 正确， 错误．
故选 ．
22.【答案】不确定
【解析】解：根据题目条件知，当 时，函数 在区间
内至少有一个零点．
而当函数 在区间 内有一个不变号零点(如函数 对应的一元二次方程有二
重根)时， ，
因此 的符号可能大于 ，也可能小于 ．故填不确定．
23.【答案】D
【解析】解：根据指数函数的定义：形如 且 的函数叫做指数函数， 结合选项
从而可判断选项 D 正确． 故选：D．
24.【答案】1
【解析】解：因为 且 ，故 ．
25.【答案】C
【解析】解：根据对数函数的定义可得：只有 为对数函数． 故选：C．
26.【答案】 或
【解析】∵函数 为幂函数，
∴ ，
则 ，
即 ，
解得 或 ．
当 时， ，
当 时， ，
∴ 的值为 或 ．
第 21 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
27.【答案】B
【解析】解： 幂函数 的图象关于 轴对称， 且在 上是
减函数， ( 是偶数)，解得 ，故选 B．
28.【答案】
【解析】解： 且 ，即 ．
29.【答案】C
【解析】要使对数式 有意义，
则 ，解得 ，故选：C．
30.【答案】见解析
【解析】解：由 知 或 ．
令 ，则 ．
因为 是关于 的单调增函数，且当 时， 是关于 的单调增函数，
所以 是 的单调增区间．
同理可得 是 的单调减区间．
31.【答案】D
【解析】解：设 ，由题意可得 的对称轴为直线 ．
①当 时，由复合函数的单调性可知， 在 上单调递增，且 在 上恒成
立，
则 ，
．
②当 时，由复合函数的单调性可知， 在 上单调递减，且 在 上
恒成立，
则 ，此时 不存在．
综上可得， ．
第 22 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
故选：D．
32.【答案】
【解析】解：设 ，则函数 在定义域上单调递减，要使 在区间 上是
减函数，则 在区间 上为增函数．因为 ，所
以要使函数 在区间 上为增函数，则 ，即 ．要使函数 有意义，则
在区间 上成立，所以只需当 时， 即可，解得
．综上，实数 的取值范围是 ．
33.【答案】见解析
【解析】 ，
，
，
，
，
解得 或 ，
，
．
第 23 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【平面向量】
1.有关向量概念，下列命题中正确的是（ ）．
A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B. 模相等的两个平行向量是相等向量
C. 若 和 都是单位向量，则
D. 两个相等向量的模相等
2.下列命题：
①平行向量一定相等；
②不相等的向量一定不平行；
③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；
④相等向量一定共线．
其中不正确命题的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ②④
3.下列说法正确的是( )
A. 共线向量一定在同一条直线上
B. 向量 与 不共线，则 与 都不是零向量
C. 向量 ，则
D. 两个共线的单位向量相等
4.下列说法正确的是( )
A. 如果两个向量的长度相等，那么这两个向量一定相等
B. 如果 ，那么
C. 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量
D. 在平行四边形 中，
5.关于向量，下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
6.对于向量 、 、 和实数 ，下列命题中真命题是( )
A. 若 ，则 或 B. 若 ，则 或
C. 若 ，则 或 D. 若 ，则
7.已知向量 、 、 ，若 且 与 不平行，则以下结论不正确的是( )
第 24 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
A. B.
C. D.
8.已知向量 ，则“ ”是“ ”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知向量 ， ，若向量 ， 之间的夹角为钝角，则实数 的取值范
围是 ________ ．
10.已知向量 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
第 25 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【平面向量】参考答案
1.【答案】D
【解析】∵只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故 不正确；
模长相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故 不正确；
两个单位向量模长相等，故 不正确；
向量相等则模长相等，故 正确．
故选 ．
2.【答案】A
【解析】对于①，平行向量不一定相等，①错误；
对于②，不相等的向量也可能平行，
如非零向量 与 不相等，但平行，∴②错误；
对于③，平行于同一个向量的两个向量不一定是共线向量，
如零向量与任何向量平行，但任何两个向量不一定是共线向量，∴③错误；
对于④，相等向量一定是共线向量，∴④正确．
综上，其中不正确命题是①②③．
故选： ．
3.【答案】B
【解析】解：A．共线向量的基线平行或重合，不一定在同一条直线上，故此项错误；
B．若 与 至少有一个是零向量，则 与 共线，故此项正确；
C．向量平行，基线可能重合，故此项错误；
D．共线的单位向量可能相等，也可能相反，故此项错误．故选 B．
4.【答案】C
【解析】两个向量相等，不但长度相等，方向还要相同，故 A 错误；向量无法比较大小，只有向
量的模可以比较大小，故 B 错误；在平行四边形 中， ，故 D 错误，故选 C．
5.【答案】A
【解析】解：A． ，故 A 错误，
B． ，故 B 正确，
C． ，故 C 正确，
D． ，故 D 正确，
故选：A．
6.【答案】B
第 26 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【解析】解：对于 A，当 时， ，显然 、 中不存在 亦可，故 A 错误；
对于 C，“ ”是“ 或 ”的必要不充分条件，故 C 错误；
对于 D，当 且 时，满足 ，
但 不一定成立，故 D 错误．
B 正确．
7.【答案】B
8.【答案】A
【解析】解：由 ，可得： ，解得 ，
“ ”是“ ”成立的充分不必要条件．
故选：A．
9.【答案】
【解析】解： ， ，
由 ， 之间的夹角为钝角，得 ，且 ， 不共线．
即有 ，解得： 且 ．
实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
10.【答案】B
【解析】若 ，则 ，解得 ，
∵ 与 的夹角为锐角，
∴ ，
由 ，
则 ，解得 ，
又∵ ，
∴实数 的取值范围为 ，
故选： ．
第 27 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【三角函数】
1.对于函数 ，下列结论中正确的是( )
A. 有最大值无最小值 B. 有最小值无最大值
C. 有最大值且有最小值 D. 既无最大值也无最小值
2.若 ，则函数 的 ( )
A. 最小值为 ，无最大值 B. 最小值为 ，最大值为
C. 最小值为 ，无最大值 D. 最小值为 ，最大值为
3.求函数 的最大值及此时 的值．
4.已知 ，则 的最大值为 ________ ．
5.函数 ， ，则它的单调递增区间是 __________ ．
6.函数 的单调递减区间是 ________ ．
7.函数 的单调递减区间是 ________ ．
8.若函数 的局部图象如图所示，则函数 的解析
式为（ ）．
A. B. C. D.
9.已知函数 ，且此函数的图象如图所示，则点 的坐标
是（ ）．
第 28 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
A. B. C. D.
10.为得到函数 的图像，只需将函数 的图像（ ）．
A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
11.为得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）．
A. 向左平移 个长度单位 B. 向右平移 个长度单位
C. 向左平移 个长度单位 D. 向右平移 个长度单位
12.已知函数 ，要得到 的图象，只需将函数 的图象
( )
A. 向右平移 个单位 B. 向右平移 个单位
C. 向左平移 个单位 D. 向左平移 个单位
13.曲线 ， ，则下面结论正确的是（ ）
A. 把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长
度，得到曲线
B. 把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长
度，得到曲线
C. 把 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，
得到曲线
D. 把 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，
得到曲线
第 29 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
14.若 与 是锐角， ， ，则 ________ ．
15.已知 ， ，且 ， ，则 ( )
A. B. 、 、 C. D. 、
16.已知 ， ， 均为锐角，且 ， ， ，
则 ________ ．
第 30 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【三角函数】参考答案
1.【答案】B
【解析】函数 ，令 在区间 上单调递减，
即 只有最小值而无最大值．
2.【答案】B
【解析】解： 函数 ，
，
又 ，
当 时，函数取得最大值为 ，
当 时，函数取得最小值为 ．
3.【答案】见解析
【解析】解：令 ， ，
则 ，
而函数 在 上是增函数，
时， 取最大值 ．
即 ， ， ．
4.【答案】
【解析】解： ， ，
， ，
，
时， 的最大值为 ，
第 31 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
故答案为 ．
5.【答案】
【解析】 ，
单调递增区间 ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ．
6.【答案】 ，
【解析】解：函数 ，
令 ， ，
解得 ， ，
的单调递减区间为 ， ．
故答案为： ， ．
7.【答案】 ，
【解析】解：函数
令 ， ，
解得 ， ．
即函数 的单调递减区间是 ， ．
8.【答案】D
【解析】∵ ，
∴ ，
第 32 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
又由图象可得： ，可得： ，
∴ ，
∴ ， ．
∴ ，
又∵ ，
∴当 时， ，可得： ．
故选 ．
9.【答案】B
【解析】由图象可得函数的周期 ，
∴ ，得 ，
将 代入 可得 ，
∴ （注意此点位于函数减区间上）
∴ ， ，
由 可得 ，
∴点 的坐标是 ．
故选 ．
10.【答案】C
【解析】∵ ，
∴要得到 ，
只需将 向左平移 个单位长度．
故选 ．
11.【答案】A
第 33 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【解析】方法一：将函数 的图象向左平移 个单位长度，可得
的图象，
故选： ． 方法二：由 得到 ，
只需原函数的 ，所以只需将图象向左平移 个单位长度．
故选 ．
12.【答案】D
【解析】解：将函数 的图象向左平移 个单位，
可得 的图象，
故选：D．
13.【答案】D
【解析】 ，将横坐标缩短到原来的 ，变为 ，再向左
平移 个单位长度，变为 ．故选 D．
14.【答案】
【解析】 为锐角， ， ，
，
当 时， ，不符合题意，所以舍去．
当 时， ， ．
15.【答案】C
【解析】解： ，
，
根据 ，可得 ， ， ，
第 34 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
可得 ， ，可得 ，故选 C．
16.【答案】
【解析】 ， ，
，
，
又 ， ， ，
， ， ，
， ．
第 35 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【解三角形】
1.已知 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，根据下列条件解三角形：
① ， ， ；② ， ， ；③ ， ， ；
④ ， ， ，其中有唯一解的是（ ）．
A. ① B. ② C. ③ D. ④
2.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， ．则
的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
3. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，
，则 等于( )
A. B. C. 或 D. 或
4.在 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）．
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
5.在 中，角 ， ， 所对的边为 ， ， ，若 ，且边 ， ，
则边 ( )
A. 或 B. C. 或 D.
6、在 中，“ ”是“ ”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7、对于 ，下列说法中正确的是（ ）．
A. 若 ，则 为等腰三角形
B. 若 ，则 为直角三角形
C. 若 ，则 为钝角三角形
D. 若 ， ， ，则 的面积为 或
8、 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ，则 的形
状是( )
第 36 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
9.在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若
，则 为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 正三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
10.已知 的三条边的边长分别为 米、 米、 米，将三边都截掉 米后，剩余的部分组
成一个钝角三角形，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.若 是钝角三角形的三边,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. 或 D.
12. 在锐角 中， 、 、 分别为 、 、 所对的边，且
（1）确定 的大小．
（2）若 ，求 周长的取值范围．
第 37 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【解三角形】参考答案
1.【答案】A B D
【解析】① ，又∵ ∴有唯一解；
② ，∴有唯一解；
③ ，∴有两解；
④ ，∴有唯一解．
故选 ．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意，在 中， ， ，则有 ，
又由 ，则 ，则 ，
则有 ，
又由余弦定理可得： ，
解得 或 ；
，
时， ，舍去；
时， ，满足题意，
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
第 38 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
解得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
故选： ．
4.【答案】D
【解析】由三角形全等的相关知识易知 、 中三角形是唯一的；
中，因为 ， ， ．所以由正弦定理
，又 ，所以 ，所以角 只有一解，
不合题意；
中，因为 ， ， ，所以由正弦定理
，因为 ，所以 ，所以 有两
解，符合题意．
故选 ．
5.【答案】A
【解析】解：因为 ，边 ， ，
所以由余弦定理得 ，
即 ，
解得边 或 ．
故选：A．
6.【答案】 B
【解析】 在 中，由 知 ，或 ，
即 ，或 ，推不出 ，
因此“不充分”．由 知 ，
因此“必要”．
故选 ．
7.【答案】 C;D
第 39 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【解析】 A 选项 : 若 ，则 或 ，即 或 ，
∴ 为等腰三角形或直角三角形，
故 项错误；
B 选项 : 若 ，
又∵ ， ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
∴ 为钝角三角形或直角三角形，
故 项错误；
C 选项 : 在 中，由正弦定理 可化为 ，
∴由余弦定理可得 ，
∴ ，
∴ 为钝角三角形，
故 项正确；
D 选项 : 令 ， ，
由正弦定理得 ，
∵ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
第 40 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
∴ 的面积为 或 ，
故 项正确．
8.【答案】 C
【解析】 由 ，可得 ，
由正弦定理，可得
即
或
当 时， 的形状是等腰三角形，
当 时，即 ，那么 ， 的形状是直角三角形．
故选： ．
9.【答案】D
【解析】方法一： ，
，
．
由正弦定理得： ，
，
，
，
或 ，
即 或 ，
或 ，
为等腰三角形或直角三角形．方法二： ，
，
．
由正弦定理及余弦定理得： ，
，
第 41 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
，
或 ，
为等腰三角形或直角三角形．方法三：找等腰三角形、直角三角形特殊三角形代入验证．
10.【答案】C
【解析】解：根据题意得：截取后三角形的三边长为 米， 米， 米，且长为
米所对的角为 ， 为钝角，
，
整理得： ，
解得： ，
， ， ，且 ，
，
则 的取值范围为 ．
故选：C．
11.【答案】B
【解析】解: 是钝角三角形的三边, , 且此时, ,
是最长的边,设其对应的角为 , 要使三角形为钝角三角形, 则 , 即
, , 即 , 当
时,不等式 恒成立. 即三角形恒为钝角三角形, 此时只需满足两边之和大于第
三边即可, 即 成立, 解得 . 故选:B.
12.（1）【答案】 ．
【解析】由 ，
由正弦定理，得 ，
又 ，
则 ，
或 ，
为锐角三角形，
舍去．
．
12.（2）【答案】 ．
第 42 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【解析】 ，
由正弦定理得： ，
即 ， ，
又 ，即 ，
，
是锐角三角形，
，
，
则 周长的取值范围是 ．
第 43 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【导数】
1. 函数 = ( )的导函数 = ′( )的图象如图所示，则函数 = ( )的图象可能是（ ）．
A. B.
C. D.
2. 函数 ( )的图象如图所示，则其导函数 ′( )的图象可能为（ ）．
A. B.
C. D.
3. 函数 ( ) = 4 2 3的图象在点(1, (1))处的切线方程为（ ）．
A. = 2 1 B. = 2 + 1 C. = 2 3 D. = 2 + 1
第 44 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
4. 已知曲线 = 2 3，则过点(1,2)的切线的斜率是（ ）．
3
A. 2 B. 6或 C. 4 D. 8
2
5. 函数 ( )在 = 0处导数存在，若 ：
′( 0) = 0， ： = 0是 ( )的极值点，则（ ）．
A. 是 的充分必要条件
B. 是 的充分条件，但不是 的必要条件
C. 是 的必要条件，但不是 的充分条件
D. 既不是 的充分条件，也不是 的必要条件
6. 函数 ( )的定义域为开区间( , )，导函数 ′( )在( , )内的图象如图所示，则函数 ( )在
( , )内的极大值点共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 已知函数 ( ) = 3 + 2 + + 2在 = 1处有极值10，则 (2)等于( )．
A. 11或18 B. 11 C. 18 D. 17或18
8. 已知函数 ( ) = 3 + 2 + + 2在 = 1处的极值为10，则数对( , )为（ ）．
A. ( 3,3) B. ( 11,4) C. (4, 11) D. ( 3,3)或(4, 11)
9. 已知函数 ( ) = 3( 3 + 2)在 = 1时有极大值3．
(1) 求 ， 的值．
(2) 求函数 ( )在[ 1,3]上的最值．

10. 已知 > 0且 ≠ 1，函数 ( ) = ( > 0)．

当 = 2时，求 ( )的单调区间．
11. 已知函数 ( ) = + ln ， ( ) = 2e ， ∈ ．
求函数 ( )的单调区间．
12. 设函数 ( ) = ( 1)e 2，求函数 ( )的单调区间．
第 45 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
1
13. 设函数 ( ) = ，则函数 ( )的单调减区间为 ．
ln
14. 已知函数 ( ) = ( 2)e + ( 1)2，讨论 ( )的单调性．
第 46 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
【导数】参考答案
1 . 【答案】 D;
【解析】 不妨设导函数 = ′( )的零点依次为 1， 2， 3，其中 1 < 0 < 2 < 3，
由导函数图象可知， = ( )在( ∞, 1)上为减函数，在( 1, 2)上为增函数，在( 2, 3)上为减函
数，在( 3, +∞)上为增函数，
从而排除A，C． = ( )在 = 1， = 3处取到极小值，在 = 2处取到极大值，
又 2 > 0，排除B，故选D．
2 . 【答案】 C;
【解析】 由 ( )的图象可知，
函数 ( )的单调递增区间为(1,4)，
单调递减区间为( ∞, 1)和(4, +∞)，
因此，当 ∈ (1,4)时， ′( ) > 0，
当 ∈ ( ∞, 1)或 ∈ (4,+∞)时， ′( ) < 0，
结合选项可知选C．
故选C．
3 . 【答案】 B;
【解析】 由函数 ( ) = 4 2 3可知：
′( ) = 4 3 6 2， (1) = 1 2 = 1，
∴ ′(1) = 4 6 = 2，
∴函数 ( )在点(1, 1)处的切线斜率为 2，
∴切线方程为 + 1 = 2( 1)，即 = 2 + 1．
故选B．
4 . 【答案】 B;
【解析】 ∵ ′ = 6 2，
设切点坐标为( , 2 3)，
第 47 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
则切线方程为 2 3 = 6 2( )，
∵切线过点 (1,2)，
∴2 2 3 = 6 2(1 )，
1
∴ = 1或 = ．
2
3
则切线斜率为6或 ．
2
故选：B．
5 . 【答案】 C;
【解析】 解：函数 ( )在 = 0处导数存在，
由 = 0是 ( )的极值点
′( 0) = 0．
反之不成立，例如函数 ( ) = 3，则 ′( ) = 3 2， ′(0) = 0，但是 = 0不是函数 ( )的极值
点．
∴ 是 的必要不充分条件．故选C．
6 . 【答案】 B;
【解析】 解：导函数 ′( )在( , )内的图象如图所示，
可得函数 ( )在( , )内的极大值点为 ， ，共有2个．
故选：B．
7. 【答案】 C;
【解析】 ∵ ( ) = 3 + 2 + + 2，
∴ ′( ) = 3 2 + 2 + ．
∵ ′(1) = 0， (1) = 10，
第 48 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
3 + 2 + = 0①
∴{ 2 ，由①得 = 3 2 ，代入②化简， 1 + + + = 10②
得 2 12 = 0，解得 = 4或 = 3，
= 4 = 3
∴{ 或{ ，
= 11 = 3
= 3
当{ 时， ′( ) = 3( 1)2 0，
= 3
∴ ( )在( ∞, +∞)上单调递增，
∴ ( )在 = 1处不存在极值；
= 4
当{ 时， ′( ) = 3 2 + 8 11 = (3 + 11)( 1)，
= 11
11
∴当 ∈ ( , 1)时， ′( ) < 0；
3
当 ∈ (1,+∞)时，
′( ) > 0，符合题意，
= 4,
∴{
= 11,
∴ ( ) = 3 + 4 2 11 + 16， (2) = 8 + 16 22 + 16 = 18．
故选C．
8 . 【答案】 C;
【解析】 ′( ) = 3 2 + 2 + ；在 = 1处极值为10，
′(1) = 0
即{ ，
(1) = 10
( 3,3)
解得 = 4或 3， = 11，即( , ) = { ，( 3,3)代入无极值点舍去．
(4, 11)
故选C．
9 . 【答案】 (1) = 2， = 3．
;
(2) 最大值15，最小值 81．
;
【解析】 (1) 由函数 ( ) = 3( 3 + 2)，可得 ′( ) = 9 2 + 6 ，
第 49 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
由题意可知：
(1) = 3 3 + 3 = 3
{ { = 2，
′(1) = 0 9 + 6 = 0
= 3．
(2) 由（1）知，
( ) = 6 3 + 9 2，
∴ ′( ) = 18 2 + 18 = 18 ( 1)，
令 ′( ) = 0得 = 0或 = 1，
′( ) > 0时，0 < < 1，
′( ) < 0时， 1 < < 0或1 < < 3，
所以函数 ( )在( 1,0)和(1,3)上单调递减，
在(0,1)上单调递增，
因为 ( 1) = 6 + 9 = 15， (1) = 6 + 9 = 3，
(0) = 0， (3) = 81，
最大值为 ( 1) = 15，最小值为 (3) = 81．
2 2
10 . 【答案】 ( )在( , +∞)上单调递减，在(0, )上单调递增．
ln 2 ln 2
;
2
【解析】 由题意得 ( ) = 2 = 2
，
2
则 ′( ) = 22 ln 2 + 2 2
= 2 (2 2ln 2)，
′ 2令 ( ) > 0，得 ∈ (0, )，
ln 2
2
令 ′( ) < 0，得 ∈ ( ,+∞)，
ln 2
2 2
故 ( )在( , +∞)上单调递减，在(0, )上单调递增．
ln 2 ln 2
11 . 【答案】 当 0时， ( )的单调递增区间为(0, +∞)，无单调递减区间；当 < 0时，函数
( )的单调递增区间为( ,+∞)，单调递减区间为(0, )．
第 50 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
;
【解析】 由题意知函数 ( )的定义域为(0, +∞)，
因为 ( ) = + ln ， ∈ ，
+
所以 ′( ) = 1 + = ，

①当 0时， ′( ) > 0在区间(0, +∞)上恒成立，
所以函数 ( )的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；
②当 < 0时，
令 ′( ) > 0，得 > ，
令 ′( ) < 0，得0 < < ，
所以函数 ( )的单调递增区间为( ,+∞)，单调递减区间为(0, )．
12 . 【答案】 函数 ( )的递减区间为(0, ln 2),递增区间为( ∞, 0),(ln 2, +∞)．
;
【解析】 ( ) = ( 1)e 2, ′( ) = e + ( 1)e 2 = e 2 = (e 2)．
令 ′( ) = 0,得 1 = 0, 2 = ln 2．
当 变化时, ′( ), ( )的变化如下表：
由表可知，函数 ( )的递减区间为
(0, ln 2),递增区间为( ∞, 0)，(ln 2, +∞)．
1
13 . 【答案】 ( , 1)，(1,+∞);
e
1 ln 1
【解析】 ∵ ( ) = ，
′( ) =
ln ( ln )2
，
令 ′
1
( ) < 0，解出 > ，又 ≠ 1，
e
1
∴ ( )的单调减区域为( , 1) , (1,+∞)．
e
14 . 【答案】 见解析．
第 51 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
;
【解析】 方法一 : ′( ) = ( 1)(e + 2 )，
(i)设 0，则当 ∈ ( ∞, 1)时， ′( ) < 0；
当 ∈ (1,+∞)时， ′( ) > 0．
所以 ( )在( ∞, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增．
(ii)设 < 0，由 ′( ) = 0得 = 1或 = ln ( 2 )．
e
① = ，则
2
′( ) = ( 1)(e e)，
所以 ( )在( ∞, +∞)上单调递增．
e
②若 > ，则ln ( 2 ) < 1，
2
故当 ∈ ( ∞, ln ( 2 )) ∪ (1,+∞)时， ′( ) > 0；
当 ∈ (ln ( 2 ),1)时， ′( ) < 0．
所以 ( )在( ∞, ln ( 2 ))，(1, +∞)上单调递增，
在(ln ( 2 ),1)上单调递减．
e
③若 < ，则ln ( 2 ) > 1，
2
故当 ∈ ( ∞, 1) ∪ (ln ( 2 ), +∞)时， ′( ) > 0；
当 ∈ (1, ln ( 2 ))时， ′( ) < 0．
所以 ( )在( ∞, 1)，(ln ( 2 ), +∞)上单调递增，
在(1, ln ( 2 ))上单调递减．
方法二 : 由已知得： ′( ) = ( 1)e + 2 ( 1) = ( 1)(ex + 2a) ，
①若 0 ，那么e + 2 e > 0 ，
( )， ′( )的变化情况如下：
e
②若 < < 0 ，则ln ( 2 ) < ln e = 1，
2
第 52 页，共 53 页
高二升高三数学易错题集（全国）
( )， ′( )的变化情况如下：
e
③若 = ，那么ln ( 2 ) = 1 ，
2
当 < 1 = ln ( 2 ) 时， 1 < 0 ，e + 2 < eln( 2 ) + 2 = 0，即 ′( ) > 0 ， ( ) 单调递
增，
当 > 1 = ln ( 2 ) 时， 1 > 0 ，e + 2 > eln( 2 ) + 2 = 0 ，即 ′( ) > 0， ( )单调递
增．
故 ( )在( ∞, +∞)上单调递增．
e
④若 < ，则ln ( 2 ) > 1 ，
2
当 < 1 时， 1 < 0 ，e + 2 < e1 + 2 < eln( 2 ) + 2 = 0，即 ′( ) > 0 ， ( )单调递
增，
当1 < < ln ( 2 ) 时， > 0 ，e + 2 < eln( 2 ) + 2 = 0 ，即 ′( ) < 0 ， ( )单调递
减，
当 > ln ( 2 ) 时， 1 > ln ( 2 ) 1 > 0 ，e + 2 < eln( 2 ) + 2 = 0 ，即 ′( ) > 0 ，
( )单调递增．
( )， ′( )的变化情况如下：
第 53 页，共 53 页

展开更多......

收起↑