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三角函数二轮复习学案
——奋力争取，静待花开
班级：
姓名：
目录
【重点讲解】——————————————————————3
【创新题试做】—————————————————————8
【参考答案】——————————————————————13
【高考真题练习】————————————————————28
【参考答案】——————————————————————32
【课时作业】——————————————————————37
【参考答案】——————————————————————40
特别提醒：创新题试做部分是难度极大的试题，
仅针对学有余力的学生，或作为共同探讨问题。
请勿轻易尝试！请勿轻易尝试！请勿轻易尝试！
【重点讲解】
重点1：同角三角关系与三角恒等变化
Ⅰ.同角三角函数之间的关系
（1） 。 （2） 。
Ⅱ.诱导公式
公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六
角
正弦
余弦
正切
Ⅲ.和差公式与二倍角公式
① 。
② 。
③ 。
④ 。
⑤ = 。
⑥ （ 且 , ）。
【例1】已知 .
(1)化简；(2)若是第四象限角，且 ，求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)根据诱导公式可得： ,
所以.
(2)由诱导公式可知,则由可得,
又是第四象限角,所以, 所以.
【跟踪训练1】已知为第二象限角，．
(1)求的值；(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)
【解析】（1），因为为第二象限角，∴．
（2）∵，∴
补充：
Ⅰ.辅助角公式：，其中，.
Ⅱ.和差化积公式、积化和差公式与万能公式
cos α·cos β＝；
sin α·sin β＝－；
sin α·cos β＝；
cos α·sin β＝．
sin α＋sin β＝2sin cos ；sin α－sin β＝2cos sin ；
cos α＋cos β＝2cos cos ；cos α－cos β＝－2sin sin ．
sin α＝；cos α＝；tan α＝．
【例2】计算:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°.
【答案】
【详解】
．
【跟踪训练2】 _____．
【答案】
【详解】
．
重点2：三角函数的图像与性质
函数 性质
定义域
图象
值域
对称性 对称轴: （ ）; 对称中心: 对称轴: ; 对称中心: 对称中心:
周期
单调性 单调递增区 ; 单调递减区 单调递增区间 ; 单调递减区间 单调递增区间
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
【例3】已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上单调递增
【答案】C
【详解】由图象可得：A=2，最小正周期为，所以，
又
又,所以，所以.
对于A，，
所以是f(x)的一个对称中心，故A正确；
对于B，，故B正确；对于C，；
对于D，令，
解得：，令，
【跟踪训练3】函数的部分图像如图所示，若，，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：根据函数的部分图象，可得A=1;
因为，，
结合五点法作图可得，，．
因为，，且，
所以，由函数对称性可知，，
所以.
【跟踪训练4】函数的图象为，如下结论中正确的是__________．
（1）图象关于直线对称；（2）图象关于点对称；
（3）函数在区间内单调递增；
（4）由的图象向右平移个单位长度可以得到图象．
【答案】（1）（2）（3）
【详解】因为，
当时，，所以，所以（1）正确；
当时，，所以，所以（2）正确；
令，所以，
取，得，所以（3）正确；
由的图象向右平移个单位长度可以得到，故（4）不正确；
【创新题试做】
一、单选题
1．已知正实数C满足：对于任意，均存在，使得，记C的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，点在所在平面内，对任意，都有恒成立，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，斜三棱柱中，底面是正三角形，分别是侧棱上的点，且，设直线与平面所成的角分别为，平面与底面所成的锐二面角为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列函数中，以为周期且在区间 单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
5．设函数，已知在上有且仅有4个零点，现有下列四个结论：
①的取值范围是；
②的图像与直线在上的交点恰有2个；
③的图像与直线在上的交点恰有2个；
④在上单调递减.其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
6．设等差数列满足：，公差.若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，若，，则的周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．在上，方程的根有3个，方程的根有2个
C．在上单调递增
D．的取值范围是
9．若，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的对称轴方程为，
C．存在实数，使得对任意的，都存在且，满足，
D．若函数，，（是实常数），有奇数个零点，则
10．已知函数，下列说法不正确的是（ ）
A．为奇函数 B．最大值为
C．在上单调递增 D．的最小正周期为
11．已知函数，，动直线l过原点且与曲线相切，切点的横坐标从小到大依次为，，.则下列说法错误的是（ ）
A． B．数列为等差数列
C． D．
12．已知，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件一定能够使为等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．某种信号的波形可以用函数的图像来表达.则下列各结论正确的有___________.
①最小正周期为；②对称轴为，；
③在上有9个零点；④值域.
14．设点是：上的动点，点是直线：上的动点，记，则的最小值是______．
15．已知，，则的最大值为________.
16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最小值为________．
四、解答题
17．若点在函数的图象上，且满足，则称是的点．函数的所有点构成的集合称为的集．
(1)判断是否是函数的点，并说明理由；
(2)若函数的集为，求的最大值；
(3)若定义域为的连续函数的集满足，求证：．
18．已知向量，，函数
(1)求函数的解析式和对称轴方程；
(2)若a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，，试判断这个三角形解的个数，并说明理由；
(3)若时，关于x的方程恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值.
19．已知函数为奇函数，且当时，.
(1)求f（x）的解析式；
(2)将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定n的值，并求的值.
20．已知，，函数
(1)求的周期和单调递减区间；
(2)设为常数，若在区间上是增函数，求的取值范围；
(3)设定义域为，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值
【参考答案】
1．B
【详解】题设等价于对于任意，均存在，使得，将在数轴上表示如下：
当与上述数轴上的点重合时，易得存在使得，又C为正实数，则成立；
当与上述数轴上的点不重合时，假设在相邻的两个点之间，则，当且仅当在相邻的两个点中点时取等，
要使对于任意，均存在，使得，则有，又数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为，此时在相邻的两个点或中点，则.
以下说明数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为，易得数轴上两点之间的距离为，
当或，和为相邻的两点，之间的距离为；当时，则，
即之间必存在点，可得相邻的两点之间的距离小于，综上可得数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为.
故，故.
2．A
【详解】
如图，因为，由可得，即，
两边平方得，化简得，
又，令，
可得，即，整理得对任意恒成立，
故，整理得，即，即，故，要使最大，显然在下方，
如图2所示，设，过作的垂线交的延长线于，由
可得，又，故
， 又，
可得当，即时，有最大值，最大值为，
故的最大值为.
3．B
【详解】
如图：延长EF，AB交于M，延长EG，AC交于N，延长FG，BC交于D，易得MN为平面ABC和平面EFG的交线，
又D在平面ABC和平面EFG上，则D在直线MN上，即M，N，D三点共线，由外角定理可得.
过A作面EFG，垂足为P，过A作，垂足为Q，连接，易得即为直线与平面所成的角，
则，又面EFG，面EFG，则，又，面，，
所以面，面，则，则即为平面与底面所成的锐二面角，则，
又，则，同理可得，则，
又由
，
，
则，
故，A，C错误；
故，由可知，所以，即，整理可得，
即，即，
故，又，故，B正确，D错误.
4．C【详解】对于A选项，由于的周期为 ；
对于Ｂ选项，由于的周期为，故B选项不正确；
对于C选项，由于的最小正周期为，在区间上， 单调递增，故C选项正确；；
对于D选项，由于的最小正周期为，在区间上，单调递减，故D选项不正确．
5．A
【详解】当时，，因为在上有且仅有4个零点，所以，解得，故①正确；
又由以上分析可知，函数在上有且仅有4个零点，
且，则在上，出现两次最大值，
此时函数的大致图像如图示：
即在上两次出现最大值1，即取时，取最大值，
故的图像与直线在上的交点恰有2个，故②正确；
由于当时，，，
当时，取最小值，由于是否取到不确定，
故的图像与直线在上的交点可能是1个或2个，故③错误；
当时，，
因为，所以，，
故的值不一定小于，所以在上不一定单调递减，故④错误.
6．A【详解】由，
得，
由积化和差公式，得，
整理，得，
所以 ，因为公差，所以，
则.所以
，
设，其图像的对称轴方程为.
由题意，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，
所以，解得.
则首项的取值范围是.故B，C，D错误.
7．A【详解】由可得，
两边同乘得，
两边同加得，
即，又，
则，设角对应的边分别为，
由正弦定理得其中，
不妨设，易得当时，取得最大值，此时周长最大值为.
8．CD【详解】由题意，，
由题意，不一定是函数的对称轴，所以A错误；
当时，得，故；
，所以D正确.
因为，则的根分别可由或或求出，共有3个根；
当时，的根分别可由或求出，共2个根；
当时，的根分别可由或或求出，共3个根；所以B错误；
当时，得，
由，得，所以，此时在上单调递增，所以C正确.
9．AD【详解】由题设，
所以，故，
由的最小正周期为，则的最小正周期为，
同理的最小正周期为，则的最小正周期为，A正确；
对于，令，则对称轴方程为且，B错误；
对任意有，，且满足且，而的图象如下：
所以，则，
所以或，无解，即不存在这样的a，C错误；
由可转化为与交点横坐标，而上图象如下：
函数有奇数个零点，由图知：，此时共有9个零点，
、、、、、、，，
所以，D正确.
10．AC【详解】A选项： ， ， 为偶函数，故A错；
B选项：因为，所以
其中 ，所以最大值为 ，故B正确.
C选项：由 得
当 时，在 上单调递增，
所以在 上单调递增，其中.故C错.
D选项：由于 ，所以的周期 ，，所以最小正周期为 ，故D正确.
11．ABC
【详解】，，则，
设切点坐标，则切线斜率
则，
整理得
则选项BC错误；
，则选项D判断正确；
若，则，则，这与题意矛盾，故选项A判断错误.
12．ACD【详解】选项A：由，可得
整理得，则，则为等腰三角形.判断正确；
选项B：由
可得
则
整理得，即或
则为等腰三角形或直角三角形.判断错误；
选项C：由，可得
则，则
又，则，则为等腰三角形.判断正确；
选项D：由，可得，
由（当且仅当时等号成立），可得
则，又，则，则.判断正确.
13．①
【详解】因为，
所以
设的周期为，则，
即
则满足题意，故当时，为最小正周期，故①正确；
因为，
，
当时，，
，
则，此时满足题意；
当时，
，
显然此时，故对称轴不为，，②错误；
令，则或
由得：，所以，
因为，所以，
解得：，则，
由得：，或，
解得：或，
因为，所以或，
解得：，，
以上零点经检验，均不相同，综上：在上有12个零点，③错误；
由于，，，
故，且当时，等号成立，故最大值为3
但由于，当且时，不可能等于-1，故最小值不是-3，故④错误.
14．
【详解】依题意，设，显然圆C与直线l相离，
，当且仅当时取“=”，
当时，，，，
，其中锐角由确定，
此时，当且仅当时取“=”，
当时，，，，
，其中锐角由确定，
此时，当且仅当时取“=”，
显然，因此，当时，，则，所以的最小值是.
15．
【详解】解：，，
，，，
，
即，
，即，
所以，
当且，即，等号成立，取得最大值．
16．【详解】∵，∴，，
又，∴，即，
∴，
∴或(舍去)，∴，∴，
∴，当且仅当，即时取等号，
17．(1)不是，理由见解析；(2)；(3)见解析
【解析】(1)不是函数的点，理由如下：设，则，，因为，所以，所以，所以不是函数的点；
(2)先证明，若，则函数的最小正周期，因为函数的集为，
所以对，是的点，令，则，因为函数的值域为，
所以当时，必有，即对于恒成立，
所以，即的最小正周期，与矛盾；
再证明的值可以等于，令，对，当时，，；
当时，，，所以是的点，
即函数的集为；综上所述，的最大值是；
(3)因为函数的集满足，所以存在，使得且，即，
因为若，则，所以，因为函数的图象是连续不断的，
不妨设，由零点存在定理知，必存在使得，所以存在零点，即.
18．(1)，对称轴方程为
(2)当时，这个三角形解的个数为0；
当时，这个三角形解的个数为1；
当时，这个三角形解的个数为2；
(3)，
【解析】(1)，
令，解得：，故对称轴方程为：
(2)，因为，所以，
故，解得：，
当时，此时，故此时三角形解的个数为0，即不存在这样的三角形；当时，此时，此时三角形解的个数为1，且∠B为直角；
当时，此时，三角形解的个数为2；
当时，此时，这个三角形解得个数为1，
综上：当时，这个三角形解的个数为0；
当时，这个三角形解的个数为1；
当时，这个三角形解的个数为2；
(3)，
即，变形为
所以，
当，有一个解，不妨设解为，
则即有两个不同于的两个解，
因为，故，
且在上单调递增，在上单调递减，
要想有两个不同于的解，需要，
解得：，此时的两根关于对称，即，
所以
19．(1)(2)，
【解析】(1)
因为时，∴，
∴，又为奇函数，∴，即，
∵，∴，∴，
(2)由题意可得，，令，则，
∵，∴，令，则
函数在上的图象如下图所示，
由图可知，与共有5个交点，
∴在上共有5个根，即，
∵
∴
20．(1)，单调递减区间为：(2)
(3)不存在实数的使得上述条件成立
【解析】(1)
则，单调递减区间为：
(2)，所以函数单调增区间为，
因为在区间上是增函数，
所以，，；
(3)因为定义域为，，且，
所以真数所对应二次函数开口向上，且与轴无交点，
对应方程判别式，
即，所以满足条件为，且，
因为对任意，，使得不等式恒成立，
即，因为函数在上，
当时，函数在上单调递增，在单调递减，
所以函数在处取得最大值，
当时，，当时，，
所以此时不满足条件；
当时，函数在上单调递减，在单调递增，
函数最小值为
因为，，，所以不成立.
综上，不存在实数的使得上述条件成立
【高考真题练习】
一、多选题
1．已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线
二、单选题
3．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4．（ ）
A． B． C． D．
5．函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
6．已知向量，，那么等于（ ）
A． B． C．1 D．0
7．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．若，则（ ）
A． B．
C． D．
10．若，则（ ）
A． B． C． D．
11．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
13．已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
14．如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
15．若函数的一个零点为，则________；________．
16．已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
17．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
18．已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
19．若，则__________，_________．
四、解答题
20．设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值
【参考答案】
1．AC
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
2．AD【详解】由题意得：，所以，，
即，又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
3．D【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
4．D
【详解】由题意，
.
5．D【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，又，
所以当时，取最大值.
6．A【详解】，，
.
7．C【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
8．A【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
9．C
【详解】由已知得：,
即：，
即：,所以,
10．A【详解】
，
，，，解得，
，.
11．C
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
12．A【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
13．C【详解】因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
14．A【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
15． 1
【详解】∵，∴
∴，
16．2【详解】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
17．【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
18．【详解】由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.
19．
【详解】，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则．
20．（1）；（2）.
【详解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值
【课时作业】
一、单选题
1．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为
A． B．
C． D．
3．函数f(x)=sin(x+)+cos(x )的最大值为
A． B．1 C． D．
4．设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点③在（）单调递增
④的取值范围是[)，其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
7．已知函数，则
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
12．当时，函数取得最小值，则________．
13．函数（）的最大值是__________．
14．关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
15．函数的最小值为___________．
四、解答题
16．设函数，其中.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值
【参考答案】
1．A【详解】，得，
即，解得或（舍去），
又.
2．D【详解】
由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．
3．A【详解】由诱导公式可得，
则,函数的最大值为.
4．D【详解】当时，，
∵f（x）在有且仅有5个零点，∴，
∴，故④正确，由，知时，
令时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当时，，若f（x）在单调递增，
则 ，即 ，∵，故③正确．
5．B【详解】由题意可得：，
则：，，
从而有：，即.
6．C【详解】
为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．
7．B【详解】根据题意有，
所以函数的最小正周期为，
且最大值为，故选B.
8．A【详解】
，
，，，解得，
，.
9．C【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
10．BC
【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,
不妨令,
当时，，解得：，
即函数的解析式为：
.
而
11．2【详解】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
12．
【详解】由函数，其中，且为锐角，当时，函数取得最小值，所以，即，
所以，令，即，
故
.
13．1【详解】化简三角函数的解析式，
可得
，由，可得，
当时，函数取得最大值1．
14．②③
【详解】对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
15．.
【详解】，
，当时，，故函数的最小值为．
16．(Ⅰ) .(Ⅱ) .
【解析】（Ⅰ）因为，所以
由题设知，所以，.
故，，又，
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以.
因为，
所以，
当，
即时，取得最小值.三角函数创新学案——2023 届高考二轮专题复习
三角函数二轮复习学案
——奋力争取，静待花开
班级：
姓名：
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三角函数创新学案——2023 届高考二轮专题复习
目录
【重点讲解】——————————————————————3
【创新题试做】—————————————————————8
【参考答案】——————————————————————13
【高考真题练习】————————————————————28
【参考答案】——————————————————————32
【课时作业】——————————————————————37
【参考答案】——————————————————————40
特别提醒：创新题试做部分是难度极大的试题，
仅针对学有余力的学生，或作为共同探讨问题。
请勿轻易尝试！请勿轻易尝试！请勿轻易尝试！
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【重点讲解】
重点 1：同角三角关系与三角恒等变化
Ⅰ.同角三角函数之间的关系
sin
（1）sin2 + cos2 = 1 。 （2） = tan 。
cos
Ⅱ.诱导公式
公式一 公式二 公式三公式四 公式五 公式六
角 + π + π π

π+
2 π ∈ 2 2
正弦 sin sin sin sin cos cos
余弦 cos cos cos cos sin sin
正切 tan tan tan tan
Ⅲ.和差公式与二倍角公式
①sin ± = sin cos ± cos sin 。
②cos ± = cos cos sin sin 。
tan ± = tan ±tan ③ 。
1 tan tan
④sin2 = 2sin cos 。
⑤cos2 = cos2 sin2 =2cos2 1 = 1 2sin2 。
⑥tan2 = 2tan π π（ ≠ + 且 ≠ + ππ , ∈ ）。
1 tan2 2 4 2
sin π cos 2π cos 3π
【例 1】已知 f 2 .
cos π

sin π
2
(1)化简 f ( )
1
；(2)若 是第四象限角，且 sin π ，求 f ( ) 的值.
3
【答案】(1) f ( ) cos (2) 2 2
3
【解析】(1)根据诱导公式可得：
sin π cos 2π cos 3π
f 2 sin cos sin co sπ sin sin ,cos 2 sin π
所以 f ( ) cos .
1 1
(2)由诱导公式可知sin( π) sin ,则由 sin π 可得 sin ,
3 3
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又 是第四象限角,所以 cos 2 2 2 2 1 sin2 , 所以 f ( ) cos .
3 3
π 4
【跟踪训练 1】已知 为第二象限角， sin 2 ． 5
cos tan( )cos(2 )(1)求 sin 的值；(2)若 f ( )f ( ) 2 ，求 的值．
tan( 19 )sin(5 )sin( )
3 4
【答案】(1) (2)5 3
【解析】（1）sin

cos
4
，因为
3
2 5 为第二象限角，∴
sin 1 cos2 ．
5
cos

tan cos 2
（2）∵ 2 sin tan cos f -cos = ，
tan 19 sin 5 sin tan sin sin sin
∴ f cos 4 sin 3
补充：
Ⅰ.辅助角公式： a sin x b cos x a2 b2 sin(x ) ，其中
cos a b , sin tan b
a2 b2 a2
， .
b2 a
Ⅱ.和差化积公式、积化和差公式与万能公式
cos α·cos β 1＝ [cos α＋β ＋cos α－β ]；
2
sin α·sin β 1＝－ [cos α＋β －cos α－β ]；
2
sin α·cos β 1＝ [sin α＋β ＋sin α－β ]；
2
cos α·sin β 1＝ [sin α＋β －sin α－β ]．
2
sin α＋sin β＝2sin α＋βcos α－β；sin α－sin β α＋β α－β＝2cos sin ；
2 2 2 2
cos α cos β 2cos α＋βcos α－β cos α cos β 2sin α＋β α－β＋ ＝ ； － ＝－ sin ．
2 2 2 2
2tan α 1 tan2α 2tan α－
sin α＝ 2 ；cos α＝ 2；tan α＝ 2 ．
1 tan2α＋ 1＋tan2α 1－tan2α
2 2 2
【例 2】计算:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°.
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1
【答案】 4
【详解】 sin 20 cos 70 sin10 sin 50
1
sin 20 70 sin 20 70
1
cos 10 50 cos 1 0 50 2 2
1 sin 90 sin 50 1 cos 40 cos 60
2 2
1 1 sin 50 1 cos 40 1 1 1 1 sin 50 sin 50
4 2 2 4 2 2 4
．
【跟踪训练 2】 sin2 20 cos80 cos40 _____．
1
【答案】
4
【详解】 sin2 20 cos80 cos40
1 1 1
sin2 20 cos120 cos40 sin2 20 cos40 2 2 4
sin2 20 1 2cos2 20 1 1 1 1 1 1 2 4 4 ．2 4
重点 2：三角函数的图像与性质
函数 = sin = cos = tan
性质
定义域 { ∣ ≠ π+
π
2 ,
∈ }
图象
值域 [ 1,1] [ 1,1]
对称性 对称轴: 对称轴: 对称中心:
= + π
= π ∈ ; π
π , 0 ∈
2 对称中心: 2
（ ∈ ）;
ππ + , 0 ∈
对称中心: 2
π, 0 ∈
周期 2π 2π π
单调性 单调递增区 单调递增区间 单调递增区间
π π [2 π π, 2 π] π π
[2 π , 2 + ] ∈ π , π +2 2 ; 2 2
∈ ; 单调递减区间 ∈
单调递减区 [2 π, 2 π +π]
π 3π ∈
[2 π + , 2 + ]
2 2
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∈
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
【例 3】已知函数 f x Asin x （其中 A 0， 0， ）的部分图象如
图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A

．函数 f x 的图象关于点 , 0

12
对称

B ． f 2
6

C．函数 f x 的图象关于直线 x 对称
3
2 7
D ．函数 f x 在区间 , 3 6 上单调递增
【答案】C
2 5 2
【详解】由图象可得：A=2，最小正周期为T 4 3 12
，所以 2，

又2sin(2
2
) 4 2, 2k 3 ,k Z ,
3 3 2
π, f x 2sin 又 所以 ，所以 2x


6 6
.

A f

对于 ， 2sin
2 0
12
，
12 6

所以 , 012 是 f(x)的一个对称中心，故 A 正确；
f 对于 B， 2sin
+ =2 f 2sin 2
6 3 6 ，故 B

正确；对于 C， +3 3 6
=1；


对于 D，令 2k 2x 2k ，
2 6 2

解得： k x

k ,k Z 2 7 ，令 k 1， x ,
3 6 3 6
3

【跟踪训练 】函数 f x Asin x A 0, 0, 2 的部分图像如图所示，
x 若x ， 2 ,

1 6 3 ，且
f x1 f x2 ，则 f x1 x2 （ ）

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A．1 B 1 C 2 3． 2 ． D．2 2
【答案】D
π
【详解】解：根据函数 f (x) Asin( x )(A 0, 0,| | ) 的部分图象，可得 A=1;
2
T
因为 2 3
， 2，
6

结合五点法作图可得 2 ( ) 2kπ,k Z

， ， f (x) sin(2x )6 3 3 ．
因为x ， x
, 2 ，且 f x1 f x1 6 3 2 ，

所以，由函数对称性可知， x1 x2 6 3 6 ，
所以 f (x1 x2 ) f (

) sin( ) 3 .
6 3 3 2
2 2
【跟踪训练 4】函数 f x sin 2x 3 cos x sin x 的图象为C，如下结论中正确
的是__________．
11 2π
（1 ）图象C关于直线 x π 2 C ,012 对称；（ ）图象 关于点 3 对称；
（3）函数 f x π 5π 在区间 ,12 12 内单调递增；
π
（4）由 y 2sin 2x的图象向右平移 C3 个单位长度可以得到图象 ．
【答案】（1）（2）（3）
【详解】因为 f x sin 2x 3 cos 2x sin 2x sin 2x 3 cos 2x 2sin 2x π 3 ，
11 3π
当 x π时， 2x
π 11π π 3π
f
12 3 6 3 2 ，所以
1
2 ，所以（1）正确；
2 π 4π π 2π
当 x π 2x π f 0 23 时， ，所以3 3 3 3
，所以（ ）正确；

π π π π 5π
令 2kπ 2x 2kπ,k Z ，所以 kπ x kπ,k Z，
2 3 2 12 12
取 k 0
π x 5π，得 ，所以（3）正确；
12 12
由 y 2sin 2x
π
的图象向右平移 3 个单位长度可以得到
y 2sin 2
x π 2π

3
2sin 2x ，故（4）不正确；
3
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【创新题试做】
一、单选题
1 2
i
．已知正实数 C满足：对于任意 ，均存在 i, j Z,0 i j 255，使得 cos Cj ，
记 C的最小值为 ，则（ ）
A 1 1
1 1
． B． C
1
．
1 1 1
D．
2000 1000 1000 500 500 200 200 100
2．在 ABC中， AB AC 1，点D在 ABC所在平面内，对任意 t R，都有

DC t DB BC 恒成立，且 BD BC ，则 AD 的最大值为（ ）
A．1 2 B．3 2 2 C． 4 3 D． 4 3
3．如图，斜三棱柱 ABC A1B1C1 中，底面 ABC是正三角形， E,F ,G分别是侧棱
AA1,BB1,CC1上的点，且 AE CG BF，设直线CA,CB与平面 EFG所成的角分别为
, ，平面 EFG与底面 ABC所成的锐二面角为 ，则（ ）
A． sin sin sin , cos cos cos
B． sin sin sin , cos cos cos
C． sin sin sin , cos cos cos
D． sin sin sin , cos cos cos
4
π
．下列函数中，以 π为周期且在区间 ，π2 单调递增的是（ ）
A． f x cos2x B． f x sin2x C． f x cos x D． f x sin x
5．设函数 f x cos x
2
0 ，已知 f x 在 0, π 3 上有且仅有 4 个零点，现
有下列四个结论：
19 , 25① 的取值范围是 6 6
；

② f x 的图像与直线 y 1在 0, π 上的交点恰有 2 个；
③ f x 的图像与直线 y 1在 0, π 上的交点恰有 2 个；
④ f x π π 在 ,4 2 上单调递减.其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
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a sin
2 a cos2 a 23 3 cos a3 cos
2 a6 sin
2 a 2
6．设等差数列 满足： 3
sin a6
n 1sin(a2 a7 )
，公差
d ( 1,0) .若当且仅当n 10时，数列 an 的前n项和 Sn取得最大值，则首项 a1的取
值范围是（ ）
(3 , 5 A． )
4 3 [3 , 5 B． ( , ) C． ] D．[
4 , 3 ]
2 3 3 2 2 3 3 2
1 1 1 1
7．在 ABC中，若 AC 2， 1，则 ABC的周长的最大值
sin B tan B sin A tan A
为（ ）
A． 2 5 4 B． 2 7 4 C． 2 5 7 D．2 7 7
二、多选题
8．设函数 g x sin x 0 向左平移 5 个单位长度得到函数
f x ，已知 f x 在

0,2 上有且只有 5 个零点，则下列结论正确的是（ ）
A． f x 的图象关于直线 x 2 对称
B．在 0,2 上，方程 f x 1的根有 3 个，方程 f x 1的根有 2 个

C． f x 在 0,

上单调递增
10
12 , 29D ． 的取值范围是 5 10
9．若 f x sin x 3 cos x 3 sin x cos x ，则下列说法正确的是（ ）
A． f x 的最小正周期是 2
B． f x k 的对称轴方程为 x ， k Z
2 12
5
C ．存在实数 a，使得对任意的 x R ，都存在 x1, x2 ,012 且
x1 x2 ，满足

f x
2
af x f x k 1 0， k 1, 2
D．若函数 g x 2 f x b 25 ， x 0, 12 ，（b是实常数），有奇数个零点
x1, x2 , , x2n , x
50
2n 1 n N ，则 x1 2 x2 x3 x2n x2n 1 3
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10．已知函数 f (x) sin x 2 cos x ，下列说法不正确的是（ ）
A． f (x)为奇函数 B． f (x)最大值为 3
f (x) C． 在[0， ]上单调递增 D． f (x)的最小正周期为
2
11．已知函数 f x sin x cos x， x 0, ，动直线 l过原点且与曲线 y f x 相
切，切点的横坐标从小到大依次为x ，x x， ，x， 1 2， 3 n .则下列说法错误的是（ ）
A． f xn 1 B．数列 xn 为等差数列
π 2x22
C． xn tan
n
xn D． f xn 4 x2n 1
12．已知 ABC，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，则下列条件一定能够使 ABC
为等腰三角形的是（ ）
A． a cos B b cos A B 2 2． a b sin A B a2 b2 sin A B
cos B cosC 1 cos A a bC． D． 2c
2 sin B sin A
三、填空题
13．某种信号的波形可以用函数 f (x) cos x cos 2x cos3x的图像来表达.则下列各
结论正确的有___________.
kπ
①最小正周期为 2π；②对称轴为 x k Z2 ， ；
③在 0,3π 上有 9 个零点；④值域 3,3 .
14．设点P x1, y1 是 C：x2 y2 1上的动点，点Q x2 , y2 是直线 l：2x 3y 6 0上
的动点，记 LPQ x1 x2 y1 y2 ，则 LPQ的最小值是______．
15

．已知 , 0, ， sin 2 2sin ，则 tan 2 的最大值为________.
16．在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 sin2 B sin2 C sin AsinC，
则 2tan
B + 1
2 tanC的最小值为________．
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四、解答题
17．若点 x0 , y0 在函数 f x 的图象上，且满足 y0 f y0 0，则称 x0 是 f x 的
点．函数 f x 的所有 点构成的集合称为 f x 的 集．
4
(1)判断 是否是函数 f x tan x的 点，并说明理由；
3
(2)若函数 f x sin x 0 的 集为R，求 的最大值；
(3)若定义域为R的连续函数 f x 的 集D满足D R ，求证： x f x 0 ．

18 3 1

．已知向量m (sin 2x,cos 2x)， n ( , ) ，函数 f (x) m n
2 2
(1)求函数 f (x)的解析式和对称轴方程；
(2) a
1 5
若 ，b，c分别为 ABC三个内角 A，B，C的对边， f (A) 1，b 2 ，a , 2 2 ，
试判断这个三角形解的个数，并说明理由；
π 2π
(3) 若 x , 时，关于 x的方程 f (x
π
) ( 1)sin x ( R)
6 3 6 恰有三个不同的
实根x ， x2 ,， x1 3，求实数 的取值范围及 x1 x2 x3 的值.
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2 x 19 ．已知函数 f (x) 3 sin( x ) 2sin 1( 0,0 π)2 为奇函数，且当
f x1 f (x) f x
π
2 时， x1 x2 min .2
(1)求 f（x）的解析式；
(2) 1将函数 f（x）的图象向右平移 6 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 2 （纵
坐标不变），得到函数 y g(x)的图象，记方程 g x 4
π
在 x ,
4π
3 6 3
上的根从小到

大依次为 x1, x2 , xn，试确定 n的值，并求 x1 2x2 2x3 2xn 1 xn的值.

20．已知 a 2sin x, cos x sin x ，b 1 sin x, cos x sin x ，函数 f x a b
(1)求 f x 的周期和单调递减区间；

(2) 0 设 为常数，若 f x 在区间 , 2 3 上是增函数，求 的取值范围；
3
(3) g x log ax
2 x 1 x1 a ,设 定义域为 R，若对任意 6 4 ， x2 R ，不等式
g x2 f x1 恒成立，求实数 a的取值
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【参考答案】
1．B
【详解】题设等价于对于任意 x 0,1 ，均存在 i, j i Z,0 i j 255，使得 x Cj ，
i
将 j 在数轴上表示如下：
i
当 x与上述数轴上的点重合时，易得存在 i, j Z,0 i j 255使得 x 0j ，又 C
为正实数，则 x
i
C
j 成立；
i1 i2
当 x与上述数轴上的点不重合时，假设在相邻的两个点 ,j j 之间，则1 2
x i 1 1 i2 i 1
i
x 1
i2
j 2 j j ，当且仅当 在相邻的两个点
,
j j 中点时取等，1 2 1 1 2
要使对于任意 x 0,1 ，均存在 i, j Z,0 i j 255 x i ，使得 Cj ，则有
C 1 i i 2 1 1 254 1
2 j j ，又数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为
0 1
2 1 255 255 255
，
x 1 254 1 1 1此时 在相邻的两个点0, 或 ,1中点，则C .
255 255 2 255 510
1
以下说明数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为 255，易得数轴上
k , k 1 k Z, 0 k 254 1
255 255 两点之间的距离为 255，
1 254 1
当 k 0或 k 254，0, 和 ,1255 为相邻的两点，之间的距离为
1 k 253
255 255
；当 时，
k k k 1
则 255 254 255 ，
k , k 1 k 1即 255 255 之间必存在点 254 ，可得相邻的两点之间的距离小于 255，综上可得
1
数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为 .255
1 1 1
故 ，故 .
510 1000 500
2．A
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【详解】

如图，因为DC DB BC，由 DC t DB BC 可得 DB BC t DB BC ，即

BC 1 t DB BC ，
2 2 2
两边平方得 BC 2 1 t BC DB 1 t 2DB BC ，化简得
2
2 1 t BC DB 1 t 2 DB 0，
2
又BC DB BC BD BC BDcos CBD BD cos CBD，令 cos CBD m，
2 2 2
可得 2 1 t m BD 1 t DB 0，即 2 1 t m 1 t 2 0 ，整理得
t2 (2m 2)t 1 2m 0对任意 t R恒成立，
故 2m 2 2 4(1 2m) 0，整理得m2 0，即m 0，即 cos CBD 0，故 CBD ，2

要使 AD 最大，显然D在 BC下方，
如图 2所示，设 ABC ,0


2 ，过
A 作 BD的垂线交 BD的延长线于 E，由
EAB ABC
可得 AE AB cos cos ,BE AB sin sin ，又 BD BC 2AE 2cos ，故
AD 2cos sin 2 cos 2 4cos 2 4sin cos 1
4 1 cos 2 4 sin 2 1 2cos 2 2sin 2 3 2 2 sin 2
2 2
3 ， 又
4
0 , 2 5
2 4 4 4 ，
2
2
可得当 ，即 时，AD有最大值，最大值为
4 2 8 2 2 3 2 1 2 1 ，

故 AD 的最大值为1 2 .
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3．B
【详解】
如图：延长 EF，AB交于 M，延长 EG，AC交于 N，延长 FG，BC交于 D，易
得 MN为平面 ABC和平面 EFG的交线，
又 D在平面 ABC和平面 EFG上，则 D在直线 MN上，即 M，N，D三点共线，

由外角定理可得 ANM CDN .3
过 A作 AP 面 EFG，垂足为 P，过 A作 AQ MN，垂足为 Q，连接 PQ,PN，易
得 ANP即为直线CA与平面 EFG所成的角 ，
sin AP则 ，又 AP 面 EFG，MN 面 EFG，则 AP MN，又 AQ MN，AP, AQ AN
面 APQ， AP AQ A，
所以MN 面 APQ，PQ 面 APQ，则MN PQ，则 AQP即为平面 EFG与底面 ABC
AP
所成的锐二面角 ，则 sin AQ，
又 sin ANM
AQ
，则 sin sin sin ANM ，同理可得 sin sin sin CDNAN ，则
sin sin sin sin ANM sin CDN ，
又由
sin ANM sin( ANM CDN ANM CDN )
2 2
sin( ANM CDN ) cos( ANM CDN ) cos( ANM CDN )sin( ANM CDN )
2 2 2 2 ，
sin CDN sin( ANM CDN ANM CDN )
2 2
sin( ANM CDN ) cos( ANM CDN ) cos( ANM CDN )sin( ANM CDN ，)2 2 2 2
则
sin ANM sin CDN 2sin( ANM CDN) cos( ANM CDN)
2 2
2sin( ANM CDN ) 2sin 1
2 6 ，
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故 sin sin sin sin ANM sin CDN sin ，A，C 错误；
2 故 cos 1 sin2 1 sin sin 2 ，由 , 0, 可知 2
,
2 2 ，所以
1 2cos 0，即1 2cos cos 2sin sin 0，整理可得
sin 2 cos2 sin 2 cos2 2cos cos 2sin sin 1 0 ，
即 sin sin 2 cos cos 2 1 0 ，即 cos cos 2 1 sin sin 2 ，
cos2 1 sin2 1 sin sin 2故 cos cos 2，又 cos ,cos ,cos 0，故
cos cos cos ，B 正确，D错误.
1 2π π
4．C【详解】对于 A 选项，由于 f x cos2x 的周期为 · ；
2 2 2
对于Ｂ选项，由于 f x sin2x 1·2π π的周期为 ，故 B选项不正确；
2 2 2
对于 C选项，由于 f x cosx 1 π 的最小正周期为 ·2π π2 ，在区间 ，π 2 上，
f x cosx cos x单调递增，故 C选项正确；；
f x sinx 1 D ·2π π 对于 选项，由于 的最小正周期为 2 ，在区间 ， 2 上，
f x sinx sinx单调递减，故 D选项不正确．
5．A
2π 2π
【详解】当 x 0, π 时，πx [ , π 2π ]，因为 f x 在 0, π 3 3 3 上有且仅有 4 个
5π 2π 7π 19 25
零点，所以 π ，解得 ①6 6 ，故 正确；2 3 2
2π 2π
又由以上分析可知，函数 y cos x在[ , π ]3 3 上有且仅有
4 个零点，
5π 2π 7π 2π 7π
且 π ，则在[ , )上， y cos x出现两次最大值，
2 3 2 3 2
此时函数 y cos x的大致图像如图示：
y f x 0, π 2π即 在 上两次出现最大值 1，即 πx 取0, 2π 时， y f x 取最大值，
3
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故 y f x 的图像与直线 y 1在 0, π 上的交点恰有 2个，故②正确；
x (0, π) πx 2π ( 2π由于当 时， , π
2π) 5π π 2π 7π
3 3 3 ， ，2 3 2
2π
当 πx π y f x πx 2π时， 取最小值 1，由于 是否取到 3π3 不确定，3
故 y f x 的图像与直线 y 1在 0, π 上的交点可能是 1个或 2 个，故③错误；
x , x 2π π 2π , π 2π当

4 2 时，

3

4 3 2 3
，

19 25 π 2π 11π π 2π 17π因为 ，所以 0 6 6 ， ，4 3 12 2 3 12
π 2π π π
故 的值不一定小于 π，所以 f x 在
2 3
,
4 2 上不一定单调递减，故④错误.
sin2 a3 cos
2 a cos23 a3 cos
2 a6 sin
2 a sin2 a
6．A【详解】由 3 6 1sin(a2 a7 )
，
cos 2a3 cos(a3 a6) cos(a3 a6)
得 1sin(a2 a7)
，
1 cos 2a 13 cos 2a6 cos 2a由积化和差公式，得 2 2 3 1，
sin(a2 a7 )
1 (cos 2a cos 2a 1
整理，得 2 6 3
) ( 2)sin(a a )sin(a
2 6 3 6
a3 )
1，
sin(a2 a7 ) sin(a6 a3 )
所以 sin（3d） 1 ，因为公差 d ( 1,0) ，所以3d ( 3,0) ，
则3d

,d .
2 6 所以

S na n(n 1)d
n(n 1)( )
na 6 n2 ( a ) n ，n 1 2 1 2 12 1 12
设 f (n)

n 2 (a )n 6 1 ，其图像的对称轴方程为 n (a1 )12 12 12
.
由题意，当且仅当n 10时，数列 an 的前 n项和 Sn取得最大值，
19 6 21 3 5
所以 (a ) ，解得 a
2 1 12 2 2 1
.
3
3 5
则首项 a1的取值范围是 ( , ) .故 B C D2 3 ， ， 错误.
1 1 1 1 1 cosB 1 cos A
7．A【详解】由 1可得 1
sin B tan B sin A tan A sin B sin B sin A sin A ，
两边同乘 sin Asin B得 sin A sin Acos B sin B sin B cos A sin Asin B，
两边同加 sin B cos A得 sin A sin Acos B sin B cos A sin B 2sin B cos A sin Asin B，
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即 sin A sin A B sin B 2sin B cos A sin Asin B，又 sin A B sin C sinC，
则 sin A sinC sin B 1 2cos A sin A ，设角 A,B,C对应的边分别为 a,b,c，
由正弦定理得a c b 1 2cos A sin A 2 1 2cos A sin A 2 1 5 sin A 其中
sin 2 5 ,cos 5 ，
5 5

不妨设 0,

2 ，易得当
A
2 时，
a c取得最大值 2 2 5 ，此时周长最大值

为2 2 2 5 4 2 5.

8．CD【详解】由题意， f (x) sin (x ) sin( x

) ，
5 5

由题意， x 2 不一定是函数的对称轴，所以 A错误；
x [0,2 ] 当 时，得 x [ , 2 ] 5 2 6 5 5 5 ，故 ；5
12 29

5 10 ，所以
D正确.
5
因为5 2 6 ，则 f (x) 1的根分别可由 x 或 x 或
5 5 2 5 2
x 9 求出，共有 3个根；
5 2
当5 2
11
时， f (x) 1的根分别可由 x
3 x 7 或 求出，共
5 2 5 2 5 2
2个根；
11 3 7
当 2 6 时， f (x) 1的根分别可由 x 或 x 或
2 5 5 2 5 2
x 11 3
5 2 求出，共 个根；所以
B 错误；
x (0, ) x ( , 当 时，得 )，
10 5 5 10 5
12 29 [11 , 49 ) 由 f x (0, )5 10 ，得 ，所以 ，此时 在 上单调10 5 25 100 10 5 2 10
递增，所以 C正确.
9．AD【详解】由题设 f (x) 2 | sin(x

) | 2 | cos(x ) |
3 3 ，
所以 f 2 (x) 4(1 | sin(2x
2
) |) 4(1 | cos(2x ) |)，故 f (x) 2 1 | cos(2x ) |3 6 ，6
由 y cos 2x

的最小正周期为 ，则 y | cos 2x |的最小正周期为 2 ，
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y 2 1 同理 cos(2x ) 的最小正周期为 ，则 f (x)

的最小正周期为 2 ，
A 正确；
6
对于 f (x)，令 2x
k k
，则对称轴方程为 x 且 k Z B4 12 ， 错误；6 2
5
对任意 x有 f (x) [2,2 2]， a R ， x

1, x2 ,0

且 x1 x12 2 满足
af (xk ) f (x)
1
[5 9 2
5
, ]且 k 1, 2 ，而 x ,0 的 f (x)f (x) 12 图象如下：2 4
所以 af (xk ) (2a, 6a] [( 3 1)a, 2 2a) [
5 , 9 2，则 ] (2a, 6a] [( 3 1)a, 2 2a)，
2 4
5
2a ( 3
5
1)a
2 2
所以 或 ，无解，即不存在这样的 a，C错误；
6a 9 2 2 2a 9 2 4 4
由 g(x) 0
b
可转化为 f (x)与 y 交点横坐标，而 x
25
2
0,
12 上
f (x)图象如下：

b
函数有奇数个零点，由图知： 6 3 12 ，此时共有
9个零点，
x1 x2 x2 x3 5 x3 x4 2 x4 x5 11 x5 x6 7 x x 17 、 、 、 、 1 2
2 6 2 12 2 3 2 12 2 6 、 2 12 、
x7 x8 5 x8 x9 23
2 3 ， 2 12 ，
所以 x1 2 x
50
2 x3 ... x 8 x 9 ，D3 正确.
10．AC【详解】A 选项： f x sin x 2 cos x ，
f x sin x 2 cos x sin x 2 cos x f x ， f x 为偶函数，故 A 错；
B 选项：因为 f x sin x 2 cos x ，所以
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sin x 2 cos x 3 sin x x

， 2kπ 2kπ+
π
，
2

sin x 2 cos x 3 sin x ， x 2kπ+
π
，2kπ+π
f x 2

sin x 2 cos x 3 sin x ， x

2kπ+π，2kπ+
3π
2


sin x 2 cos x 3 sin x
3π
x ，

2kπ+ ，2kπ+2π
2
其中 tan 2 ，所以 f x 最大值为 3 ，故 B 正确.
π π π π
C选项：由 2kπ- x 2kπ- ，k Z 得 2kπ- x 2kπ+ 2 2 2 2
x 2k 2k π当 π， π+

时， f x 在2k
π
π x 2kπ+
2 2 上单调递增，
f x 所以 在 0,
π

2 上单调递增，其中 tan 2 .故 C 错.
D选项：由于 f x kπ f x ，所以 f x 的周期T kπ ， k Z，所以最小正周
期为 π ，故 D正确.
11．ABC
【详解】 f x sin x cos x， x 0, ，则 f x cos x+sin x ， x 0,
设切点坐标 xn，f xn ，则切线斜率 k f xn cosxn +sinxn
sin xn cos xn 0
则 cos xn+sin xx 0 n，n
x sin xn cos xn tan xn 1 tan π 整理得 n x cos xn+sin xn 1 tan x
n 4 n
则选项 BC 错误；
2
f xn sin xn cosx
2
n 2sin
2 π
xn 4
2sin 2 π xn 2 tan
2 x π n 2x2
4 4 n 2 ，则选项 D判断正确；
sin 2 x π n cos
2 x π 1 tan 2 x π 1 xn
4 n 4 n 4
2x2
若 f x 1，则 nn 1 x2 1，则 xn 1，这与题意矛盾，故选项 A 判断错误.n
2 2 2 2 2 2
12 ACD a c b b c a． 【详解】选项 A：由 a cos B b cos A，可得a b
2ac 2bc
整理得a2 b2，则 a b，则 ABC为等腰三角形.判断正确；
2 2 2 2
选项 B：由 a b sin A B a b sin A B
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可得 a2 b2 sin A cosB cosA sinB a2 b2 sinC
a2 c2 b2 2 2 2
则 a2 b2 a b c a b a2 b2 c
2ac 2bc


整理得 a2 b2 a2 b2 c2 0，即 a2 b2 c2或 a b
则 ABC为等腰三角形或直角三角形.判断错误；
cos B cosC 1 cos A选项 C：由 ，可得 2cos BcosC 1 cos(B C)
2
则2cosBcosC 1 cosBcosC sin BsinC，则 cos(B C) 1
又 π B C π，则 B C，则 ABC为等腰三角形.判断正确；
a b sin A sin B
选项 D：由 2c 2sinCsin B sin A ，可得 ，sin B sin A
sin A sin B
由 2（当且仅当 A B时等号成立），可得 2 2sinC
sin B sin A
sinC π
π
则 1，又0 C π，则C 2 ，则
A B .判断正确.
4
13．①
【详解】因为
cos3x cos 2x x cos 2xcos x sin 2xsin x cos 2xcos x 2sin2 xcos x
cos 2xcos x 1 cos 2x cos x 2cos 2xcos x cos x，
所以 f (x) cos x cos 2x cos3x cos x cos 2x 2cos 2x cos x cos x
cos 2x 2cos 2xcos x cos 2x 1 2cos x
设 f (x)的周期为 t，则 f (x t) f x ，
即 cos 2 x t 1 2cos x t cos 2x 1 2cos x
则 t 2kπ,k Z 满足题意，故当 k 1时， t 2π为最小正周期，故①正确；
f x kπ 因为 cos 2x k π

1 2cos
x k π
2


，
2
f x kπ

cos

2x k π 1 2cos
x k π
2 2 ，
当 k 2m m Z
kπ
时， f x f x mπ cos 2 x 1 2cos x mπ 2 ，
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f x kπ f x m π cos 2x 1 2cos x m π ， 2
f x kπ f x kπ 则 2 2 ，此时满足题意；
当 k 2m 1 m Z 时， f x
kπ π


f

x m π+ cos 2x 1 2sin x m π 2 2
f x kπ π f x mπ+ cos 2x 1 2sin x mπ cos 2x 1 2sin x mπ 2 2 ，
f x kπ f x kπ x kπ显然此时 k Z
2 2
，故对称轴不为 2 ， ，
②错误；

令 f x cos 2x 1 2cos x 0，则cos 2x 0或1 2cos x 0
由 cos 2x 0得： 2x
π
kπ,k Z π kπ，所以 x ,k Z，
2 4 2
x 0,3π π kπ因为 ，所以 0,3π 4 2 ，
1 11
解得： k ,k Z2 2 ，则
k 0,1,2,3,4,5，
2π
由1 2cos x 0得： 2x 2k1π,k1 Z ，或 2x
2π
2k π,k Z，
3 3 2 2
π π
解得： x k1π,k1 Z或 x k3 3 2
π,k2 Z，
因为 x 0,3π π π，所以 k1π 0.3π 或 k2π 0.3π ，3 3
解得： k1 1,2,3， k2 0,1, 2，
以上零点经检验，均不相同，综上：在 0,3π 上有 12个零点，③错误；
由于 y1 cos x 1,1 ， y2 cos 2x 1,1 ， y3 cos3x 1,1 ，
故 f (x) cos x cos 2x cos3x 3，且当 x 0时，等号成立，故
f (x) cos x cos 2x cos3x最大值为 3
但由于 cos 2n 1 π= 1,n Z，当 y1 cos x 1且 y3 cos3x 1时，y2 cos 2x不可能
等于-1，故 f (x) cos x cos 2x cos3x最小值不是-3，故④错误.
14． 2 13
3
【详解】依题意，设 P(cos , sin ),0 2π，显然圆 C与直线 l相离，
LPQ x1 x2 y1 y2 (x x )
2
1 2 (y1 y2 )
2 2 x1 x2 y1 y2
| PQ |2 2 x1 x2 y1 y2 PQ ，当且仅当 x1 x2 y1 y2 0时取“=”，
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当 x1 x2 0时， x2 x1 cos
2
， y2 2 cos ， y1 sin ，3

sin
2

PQ y1 y2 sin
2
cos 2 13 sin( ) 2 13
3 3 ，其中锐角
由 确定，
cos 3
13
此时 PQ 2 13 sin( ) 2 13 ，当且仅当 sin( ) 1时取“=”，
3 3
y 3当 1 y2 0时， y2 y1 sin ， x2 3 sin ， x1 cos ，2
sin 2
PQ x x cos 3 sin 3 13

1 2 sin( ) 3
13
2 2 ，其中锐角
由 3 确定， cos
13
13 13
此时 PQ 3 sin 3 ，当且仅当 sin( ) 1时取“=”，
2 2
13 13
显然3 2 ，因此，当 x1 x2 y1 y2 0时， | PQ |
13
2 3 min
2 ，则
3
(L ) 13 13PQ min 2 ，所以 LPQ的最小值是 2 .3 3
15 3．
3
【详解】解： ,

0,

， sin 2 2sin 2 ，
sin 2sin ， tan 0， tan 0，
sin cos cos sin 2 sin cos cos sin ，
即3cos sin sin cos ，
tan 3tan ，即 tan
tan tan
3tan
1 tan tan ，
tan 2 tan 2 2 3
所以 1 3tan 2 1 3tan 3 ，
tan 2
1 3tan
tan
1
当且 3 tan ，即 tan 3 tan 3 ，等号成立， 取得最大值 ．
tan 3 3
16．2 2 【详解】∵ sin2 B sin2 C sin AsinC，∴b2 c2 ac，b2 c2 ac，
又b2 a2 c2 2ac cosB，∴ c2 ac a2 c2 2ac cosB ，即 c a 2ccosB，
∴ sinC sin A 2sinC cosB sin B C 2sinC cosB sinBcosC sinC cosB sin B C ，
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∴C B C或C B C
B B
(舍去)，∴C ，∴ tanC tan 0 ，
2 2
B 1 B 1 B 1
∴ 2tan + 2 2tan 2 2 ，当且仅当 tan C ,B 2 tanC 2 tanC 2 tanC，即 4 2 时取等号，
17．(1)不是，理由见解析；(2) ；(3)见解析
4
【解析】(1) 不是函数 f x tan x 4 4 的 点，理由如下：设 x0 ，则 y0 tan 33 3 3 ，
f y 4 0 tan 3 ，因为 3 ，所以 f y2 0 tan 3 0 ，所以
y0 f y0 0，所以 3
不是函数 f x tan x的 点；
2
(2)先证明 ，若 ，则函数 f x 的最小正周期T 2，因为函数

f x sin x 0 的 集为R，
所以对 x0 R， x0是 f x 的 点，令 y0 f x0 ，则 y0 f y0 0，因为函数
f x sin x 0 的值域为 1,1 ，
所以当 y0 0,1 时，必有 f y0 0，即 f x sin x 0 对于 x 0,1 恒成立，
T
所以 1 0，即 f x 2 的最小正周期T 2，与T 2矛盾；
再证明 的值可以等于 ，令 f x sin x，对 x0 R，当 y0 f x0 0,1 时，
f y0 0,1 ， y0 f y0 0；
当 y0 f x0 1,0 时， f y0 1,0 ， y0 f y0 0，所以 x0 是 f x 的 点，
即函数 f x sin x 0 的 集为R；综上所述， 的最大值是 ；
(3)因为函数 f x 的 集D满足D R ，所以存在 x0 R ，使得 y0 f x0 且
y0 f y0 0，即 f x0 f y0 0，
因为若 x y
2
0 0 ，则 f x0 f y0 f y0 0，所以 x0 y0 ，因为函数 f x 的图象是
连续不断的，
不妨设 x0 y0 ，由零点存在定理知，必存在 x1 x0 , y0 使得 f x1 0，所以 f x 存
在零点，即 x f x 0 .
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18．(1) f (x) sin

2x
π
，对称轴方程为 x x
π
kπ,k Z
6

6
1
(2)当a ,12 时，这个三角形解的个数为 0；
当 a
2, 5 2
1 时，这个三角形解的个数为 1；

当a 1,2 时，这个三角形解的个数为 2；
(3) 3 1,3 3π， x1 x2 x3 2
3 1
【解析】(1) f (x) m n sin 2x cos 2x π sin 2x

2 2 6
，

π π π π
令 2x 2kπ,k Z，解得：x kπ,k Z，故对称轴方程为： x x kπ,k Z6 2 6 6
(2) f (A) sin 2A
π 1 π π 13π ，因为 A 0, π 2A
,
6 ，所以 6 6 6 ，
故 2A
π π
A π
6 2 ，解得： 6 ，
a 1 ,1 当 2 时，此时
a bsin 30 ，故此时三角形解的个数为 0，即不存在这样的三

角形；当 a 1时，此时a bsin 30 ，此时三角形解的个数为 1，且∠B为直角；
当a 1,2 时，此时b sin 30 a b，三角形解的个数为 2；
a 2, 5当

2 时，此时
a b，这个三角形解得个数为 1，

1
综上：当a ,12 时，这个三角形解的个数为 0；
5
当 a

2,

1 2 时，这个三角形解的个数为 1；
当a 1,2 时，这个三角形解的个数为 2；
(3) f (x
π
) sin π 2x cos 2x 1 2sin
2x
6 2 ，
即1 2sin 2 x ( 1)sin x ，变形为2sin2 x ( 1)sin x 1 0
所以 2sin x ( 1) sin x 1 0，
x π , 2π π当 ，sin x 1 0有一个解，不妨设解为 x1 ， 6 3 2
则 2sin x ( 1) 0
1 π
即 sin x 2 有两个不同于
x1 2 的两个解，
π 2π
因为 x ,

，故 y sin x
1 ,1

6 3 2
，

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x π , π π 2π 且在 6 2 上单调递增，在
x ,2 3 上单调递减，
1 3
要想 sin x
1 π
有两个不同于 x1 的解，需要 ,12 2 2 2
，

解得： 3 1,3 1 π，此时 sin x x 2 的两根关于 2 对称，即 x2 x3 π ，
3π
所以 x1 x2 x3 2
19．(1) f x 2sin2x 20π(2)n 5，
3
【解析】(1) f x 3sin x cos x 2sin x
π
6
因为 f x1 f x f x x x
π T 2 π π 2π2 时， 1 2 min 2 ∴
，
2
∴ 2，又 f x π为奇函数，∴ kπ,k Z，即 π kπ,k Z6 6 ，
∵0 π
π
，∴ ，∴ f x 2sin2x，
6
π π 4 π 2(2) 由题意可得， g x 2sin 4x ，令 g x 2sin 4x ，则 sin 4x
3 3 3 3 3
，

x π , 4π π π π∵ ，∴ 4x
π
,5π ，令 t 4x

，则 t ,5π

6 3 3 3 3 3
函数 y sint在 t
π
,5π

3 上的图象如下图所示，
2
由图可知， y sint与 y 共有 5个交点，
3
4 π 4π∴ g x 3 在
x , 上共有 5个根，即 n 5 6 3
，

∵ t1 2t2 2t3 2t
5π 5π 9π
4 t5 t1 t4 2 t2 t3 t4 t5 2 2 2 2 24π2 2 2
∴ x1 2x 2x
1
2 3 2x4 x5 t1 2t2 2t3 2t4 t 8
π 20π
5 4 12 3
3
20．(1)T 2

，单调递减区间为： 2k , 2k k
3
Z (2) 1,

2 2 2
(3)不存在实数 a的使得上述条件成立

【解析】(1) f x a b 2sin x 1 sin x cos2 x sin2 x
2sin x 2sin2 x cos2 x sin2 x 1 2sin x
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3 T 则 2 ，单调递减区间为： 2k , 2k k Z
2 2
(2) f x 2sin x 1 2k , 2k ，所以函数单调增区间为 k Z 2 2 ，
因为 f x 在区间 ,2 3 上是增函数，
3
所以

， 1,

2 2 2 3
， 2
；
(3)因为 g x loga ax2 x 1 定义域为R ， 0 a 1，且a 1，
所以真数所对应二次函数 y ax2 x 1开口向上，且与 x轴无交点，
对应方程ax2 x 1 0判别式Δ 0 ，
1
即1 4a 0，所以 a满足条件为 a a 14 ，且 ，
3
因为对任意 x1 , ， x2 R ，使得不等式 g x2 f x 6 4 1 恒成立，
即 g x f x
3
min max ，因为函数 f x 在 , 6 4 上，
f x 3
max
a 1 ,1 g x , 1 1当 时，函数 在 , 4 2a 上单调递增，在 2a 单调递减，
x 1所以函数在 2a处取得最大值，
当 x 时， g x ，当 x 时， g(x) ，
所以此时不满足条件；
a 1, 1 1 g x , , 当 时，函数 在 2a 上单调递减，在 单调递增， 2a
1 1 2 1 1
函数 g x 最小值为 g log a( ) ( ) 1 log 1 3
2a a 2a 2a a 4a
3 1 1因为 a 0， a 1 0， 0，所以 a3 1 04a 不成立.4a
综上，不存在实数 a的使得上述条件成立
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三角函数创新学案——2023 届高考二轮专题复习
【高考真题练习】
一、多选题
1．已知O为坐标原点，点P1 cos ,sin ，P2 cos , sin ，P3 cos ,sin ，
A(1,0)，则（ ）

A． OP1 OP2 B． AP1 AP2 C．OA OP3 OP1 OP2 D．OA OP1 OP2 OP3
2．已知函数 f (x) sin(2x )(0
2π
π) 的图像关于点 ,03 中心对称，则（ ）
5π π 11π
A． f (x)

在区间 0,
f (x) ,
12
单调递减 B． 在区间 12 12 有两个极值点
x 7πC．直线 是曲线 y f (x) 36 的对称轴 D．直线 y x是曲线
y f (x)的切线
2
二、单选题
π
3 ．为了得到函数 y 2sin 3x的图象，只要把函数 y 2sin 3x 5 图象上所有的点
（ ）
π π
A．向左平移 5 个单位长度 B．向右平移 5 个单位长度
C π π．向左平移15 个单位长度 D．向右平移15 个单位长度
cos2 π cos2 5π4． （ ）
12 12
A 1 B 3 2 3． 2 ． C． D．3 2 2
5．函数 f (x) cos x cos 2x 是
A．奇函数，且最大值为 2 B．偶函数，且最大值为 2
9 9
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
8 8
5π 6．已知向量 a cos ,sin
5π
，b cos
π ,sin π
12 12 12 12
，那么a b等于（ ）

A 1 3． 2 B． C．1 D．02
π π
7 ．将函数 f (x) sin x ( 0)3 的图像向左平移 2 个单位长度后得到曲线 C，
若 C关于 y轴对称，则 的最小值是（ ）
1 1
A． B
1 1
． C． D．
6 4 3 2
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y 3x 3 x cos x π π8．函数 在区间 ,

2 2 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．若sin( ) cos( ) 2 2 cos

sin ，则（ ）
4
A． tan 1 B． tan 1
C． tan 1 D． tan 1
10．若 0,

, tan 2
cos
tan
2 2 sin ，则 （ ）
A 15 B 5 C 5 D 15． ． ． ．
15 5 3 3
11．设函数 f (x) sin x
π
在区间 (0, π)3 恰有三个极值点、两个零点，则
的取

值范围是（ ）
5 ,13 5 ,19 13 8 13 19A ． 3 6 B． 3 6 C．
, D． , 6 3 6 6

12 ．记函数 f (x) sin x b( 0)
2
4 的最小正周期为 T．若
T y f (x)
3
，且
3
的图象关于点 , 22 中心对称，则
f （ ）
2
3 5
A．1 B． C． D2 ．32
13．已知函数 f (x) cos 2 x sin 2 x ，则（ ）
A f (x)

． 在 , 2 6 上单调递减 B．
f (x)在 ,
4 12
上单调递增

7
C． f (x)

在 0, 3 上单调递减 D． f (x)在 , 4 12
上单调递增

14．如图是下列四个函数中的某个函数在区间[ 3,3]的大致图像，则该函数是
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（ ）
3 3 2sin x
A y x 3x． 2 B． y
x x
C． y
2x cos x

2 2 Dx 1 ．
y
x 1 x 1 x2 1
三、填空题

15．若函数 f (x) Asin x 3cos x的一个零点为 3 ，则 A ________；
f 12 ________．
16．已知函数 f x 2cos( x )的部分图像如图所示，则满足条件

f (x) f
7 f (x) f
4 0的最小正整数 x为________．
4 3

17 3．记函数 f x cos x ( 0,0 π)的最小正周期为 T，若 f (T ) ，x
2 9
为 f (x)的零点，则 的最小值为____________．
18．已知函数 f x 2cos x 的部分图像如图所示，则
f 2
_______________.

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19．若3sin sin 10,

，则 sin __________， cos 2 _________．
2
四、解答题
20．设函数 f x sin x cos x(x R) .
2
（1）求函数 y f x 2 的最小正周期；
y f (x) f x

0,


（2）求函数 4 在 2 上的最大值
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【参考答案】
1．AC

【详解】A：OP1 (cos ,sin )，OP2 (cos , sin )，所以 |OP | cos21 sin
2 1，

|OP 22 | (cos ) ( sin )
2 1，故 |OP1 | |OP2 |，正确；

B： AP1 (cos 1,sin )， AP2 (cos 1, sin )，所以

| AP1 | (cos

1)2 sin2 cos2 2cos 1 sin2 2(1 cos ) 4sin2 2 | sin |
2 2

，同理 | AP2 | (cos 1)
2 sin2 2 | sin |，故 | AP1 |, | AP2 |2 不一定相等，错误；

C：由题意得：OA OP3 1 cos( ) 0 sin( ) cos( )，

OP1 OP2 cos cos sin ( sin ) cos( )，正确；

D：由题意得：OA OP1 1 cos 0 sin cos ，

OP2 OP3 cos cos( ) ( sin ) sin( )

cos β α β cos α 2β ，故一般来说OA OP1 OP2 OP3 故错误；
f 2π2 AD ． 【详解】由题意得： sin
4π 0 4π ，所以 kπ， k Z ，
3 3 3
4π 2π即 kπ,k Z，又0 π ，所以 k 2时， ，故 f (x) sin

2x
2π
．
3 3 3
5π 2π 2π 3π
对 A，当 x 0,

时， 2x
, ，由正弦函数 y sin u图象知 y f (x) 12 3 3 2
在


0,
5π
12 上是单调递减；
x π ,11πB
2π π 5π
对 ，当 12 12 时，
2x , y sin u y f (x)
3 2 2
，由正弦函数 图象知 只

1 2π 3π
5π 5π
有 个极值点，由 2x 3 2 ，解得
x x
12 ，即 12 为函数的唯一极值点；
7π 2π 7π
对 C，当 x 时， 2x 3π ， f ( ) 0 x
7π

6 6 ，直线 6 不是对称轴；3
D
2π 2π 1
对 ，由 y 2cos 2x 3
1得：cos 2x 3 2，
解得2x
2π 2π
2kπ 2x 2π 4π 2kπ,k Z π,
3 3 或 从而得：
x kπ或 x kπ,k Z ,
3 3 3
3 2π
所以函数 y f (x)在点 0, 2 处的切线斜率为
k y 2cos 1
x 0 ，
3
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切线方程为： y 3 3 (x 0)即 y x．
2 2
π π π
3 ．D【详解】因为 y 2sin 3x 2sin 3 x 15 5 ，所以把函数
y 2sin 3x 5 图象
π
上的所有点向右平移 个单位长度即可得到函数 y 2sin 3x的图象．
15
4．D
cos2 cos2 5 cos2 cos2 【详解】由题意， cos2

sin2
12 12 12 2 12 12 12
cos 3 .
6 2
5．D【详解】由题意， f ( x) cos x cos 2x cos x cos 2x f x ，所以该函数
f (x) cos x cos 2x 2cos2 x cos x 1 2 cos x 1
2 9
为偶函数，又

，
4 8
所以当cos x
1
时， f (x)
9
取最大值 .4 8

a cos 5π ,sin 5π b cos π6 A ,sin
π
． 【详解】
12 12
，
12 12
，

a

b cos 5π cos π sin 5π sin π cos π 1 .
12 12 12 12 3 2
7．C【详解】由题意知：曲线C为 y

sin

x

sin( x )2 3 2 3 ，又
C关


于 y轴对称，则 k , k Z，
2 3 2
1 1
解得 2k ,k Z ，又 0，故当 k 0时， 的最小值为 3 .3
f x 3x 3 x cos x, x , 8．A【详解】令 2 2 ，
则 f x 3 x 3x cos x 3x 3 x cos x f x ，
所以 f x 为奇函数，排除 BD；

又当 x x x 0, 时，3 3 0,cos x 02 ，所以
f x 0，排除 C.

9．C
【详解】由已知得：sin cos cos sin cos cos sin sin 2 cos sin sin ,
即： sin cos cos sin cos cos sin sin 0，
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三角函数创新学案——2023 届高考二轮专题复习
即： sin cos 0 ,所以 tan 1,
cos
10．A【详解】 tan 2
2 sin
tan 2 sin 2 2sin cos cos 2 ，cos 2 1 2sin 2 sin
0, 2sin 1 sin 1 cos 0
2
， ， ，解得 ，
1 2sin 2 2 sin 4
cos 1 sin 2 15 ， tan sin 15 .
4 cos 15
11．C
【详解】解：依题意可得 0，因为 x 0, ，所以 x , 3 3 3 ，
要使函数在区间 0, 恰有三个极值点、两个零点，又 y sin x，x ,3
3
的图象

如下所示：
5 13 8
13 8
则 3

，解得 ，即 , ．
2 3 6 3 6 3
2 2 2
12．A【详解】由函数的最小正周期 T满足 T ，得 3 3 ，解得2 3，
3 3
又因为函数图象关于点 , 22 对称，所以
k ,k Z
2 4 ，且
b 2，

5
所以
1 2
k ,k Z 5，所以 f (x) sin
x 2
6 3 2
， 2 4 ，
f sin 5所以


2 4 4
2 1.

13．C【详解】因为 f x cos2 x sin2 x cos 2x .

对于 A选项，当 x 时， 2x ，则 f x 2 6 在
,
2 6 上单调递增；3

对于 B 选项，当 x 时， 2x ，则 f x 在 ,
4 12 2 6 4 12
上不单调，B 错；

2
对于 C选项，当0 x 时，0 2x ，则 f x 在
3 3
0,
3 上单调递减，C对；
7 7 7
对于 D选项，当 x 时， 2x ，则 f x , 4 12 2 6 在 4 12 上不单调，D 错.
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三角函数创新学案——2023 届高考二轮专题复习
3
14 x x．A【详解】设 f x f 1 0
x2
，则 ，故排除 B;
1
2x cos x π
设 h x 2 ，当 x 0,x 1 2 时，0 cos x 1，
所以 h x 2xcos x 2x 2 2 1，故排除 C;x 1 x 1
设 g x 2sin x 2 ，则 g 3
2sin 3
0
x 1 ，故排除
D.
10
15． 1 2
f ( π 3 3【详解】∵ ) A 0 ，∴ A 1
3 2 2
f (x) sin x 3 cos x 2sin(x π) f ( π ) 2sin( π π π∴ ， ) 2sin 2
3 12 12 3 4
3 13 3
16．2【详解】由图可知 T ，即T
2
，所以 2；
4 12 3 4

由五点法可得 2 ，即 ；所以 f (x) 2cos
2x
3 2 6 6
.

f ( 7 因为 ) 2cos


1 f ( ) 2cos
4 3 ，
0 ；
3 2
所以由 ( f (x) f (
7
))( f (x) f (4 )) 0可得 f (x) 1或 f (x) 0；
4 3
因为 f 1 2cos 2

2cos


1
6
，所以，
2 6

方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 f (x) 0，即 cos 2x 06 ，
5
解得 k x k ,k Z，令 k 0，可得 x 3 6 ，3 6
可得 x的最小正整数为 2.

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足 f (x) 0，又 f (2) 2cos 4 0 ，
6
符合题意，可得 x的最小正整数为 2.
17．3【详解】解： 因为 f x cos x ，（ 0，0 π）
2π 2π 3
所以最小正周期T ，因为 f T cos


cos 2 π cos ，
2
又0
π
π π ，所以 ，即 f x cos x 6 6 ，
π
又 x 为 f x π π π的零点，所以 kπ,k Z，解得 3 9k ,k Z9 6 2 ，9
因为 0，所以当 k 0时 min 3；
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三角函数创新学案——2023 届高考二轮专题复习
3 13 3 2
18． 3 【详解】由题意可得： T , T , 2，
4 12 3 4 T
x 13 x 2 13 2k , 2k 13当 时， k Z 12 ，12 6
令 k

1可得： 6 ，

据此有： f x 2cos 2x , f

2cos

2

2cos
5
3 .
6 2 2 6 6
4
19 3 10．
10 5

【详解】 ，∴ sin cos 2 ，即3sin cos 10，

10 3 10

即 sin
10
cos 1010 10 ，令 sin
10
， cos 3 10 ，
10 10
则 10 sin 10 ，∴ 2k ，k Z，即 2k ，
2 2
∴ sin sin

2k cos
3 10
，
2 10
cos 2 4则 2cos2 1 2sin2 1 ．
5
20．（1） ；（2）1 2 .
2
【详解】（1）由辅助角公式得 f (x) sin x cos x 2 sin x

4 ，
2 2

则 y f x 2 sin

x
3
2sin
2
x
3
1 cos

2x
3
1 sin 2x，
2 4 4 2
2
所以该函数的最小正周期T ;
2

（2）由题意， y f x f x 2 sin

x

2 sinx 2sin
x

sinx
4 4 4

2sin x 2 sin x
2
cos x 2 sin
2 x 2 sin xcos x
2 2
2 1 cos 2x 2 sin 2 x 2 sin 2 x 2 cos 2 x 2 sin 2 x 2 ，
2 2 2 2 2 4 2
x 0, 2x 3 由

2 可得
, 4 4 4
，

2x 3 2 x 1
所以当 4 2 即 8 时，函数取最大值 2
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【课时作业】
一、单选题
1．已知 (0, π)，且3cos2 8cos 5，则 sin （ ）
A 5 B 2 1 5． ． 3 C． 3 D．3 9
f x sin x x2．函数 ( )= [—π π]cos x 在 ， 的图像大致为 x2
A． B．
C． D．
1
3．函数 f(x)= sin(x+ )+cos(x 3 6 )的最大值为5
6 3 1
A． B5 ．1 C． D5 ． 5
4．设函数 f x =sin（ x ）( ＞0)，已知 f x 在 0,2 有且仅有 5 个零点，下
5
述四个结论：① f x 在（0, 2 ）有且仅有 3 个极大值点
② f x 在（0, 2 ）有且仅有 2 个极小值点③ f x 在（0,10 ）单调递增
12 29
④ 的取值范围是[ ， )5 10 ，其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
5 sin sin ．已知
π
=1，则 sin


π

3 6
= （ ）

A 1 3 2 2． 2 B． C． 3 D．3 2
6．关于函数 f (x) sin | x | | sin x |有下述四个结论：

①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ , 2 ）单调递增
③f(x)在[ , ]有 4个零点 ④f(x)的最大值为 2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
7 2 2．已知函数 f x 2cos x sin x 2 ，则
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A． f x 的最小正周期为 ，最大值为3
B． f x 的最小正周期为 ，最大值为4
C． f x 的最小正周期为 2π，最大值为3
D． f x 的最小正周期为 2π，最大值为4
cos 8．若 0, , tan 2 2 2 sin ，则
tan （ ）

A 15 5 5 15． B． C． D．
15 5 3 3
sin 1 sin 2
9．若 tan 2 ，则 （ ）
sin cos
A 6 2
2 6
． B5 ．
C
5 ．
D
5 ． 5
二、多选题
10．下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)= （ ）
A π π． sin(x ） B． sin( 2x) C． cos(2x π 5π ） D． cos( 2x)3 3 6 6
三、填空题
11．已知函数 f x 2cos( x )的部分图像如图所示，则满足条件

f (x) f
7 f (x) f 4 4 3
0的最小正整数 x为________．

12．当 x 时，函数 f (x) 2sin x cos x取得最小值，则 sin



3
________．

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三角函数创新学案——2023 届高考二轮专题复习

13．函数 f x sin2x 3cosx 3 （ x 0,

4 2
）的最大值是__________．

1
14．关于函数 f（x）= sin x 有如下四个命题：
sin x
①f（x）的图象关于 y 轴对称．②f（x）的图象关于原点对称．

③f（x）的图象关于直线 x= ④f x 22 对称． （ ）的最小值为 ．
其中所有真命题的序号是__________．
15．函数 f (x) sin(2x
3π
) 3cos x的最小值为___________．
2
四、解答题
16．设函数 f (x) sin( x

) sin( x ) ，其中0 3 .已知 f ( ) 0 .6 2 6
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）将函数 y f (x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍（纵坐标不变），

[ , 3 ]
再将得到的图象向左平移 4 个单位，得到函数 y g(x)的图象，求 g(x)在 4 4
上的最小值
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【参考答案】
1．A【详解】3cos2 8cos 5，得6cos2 8cos 8 0，
即3cos2 4cos 4 0，解得 cos
2
或cos 23 （舍去），
(0, ), sin 1 cos2 5又 .
3
2．D【详解】
f ( x) sin( x) ( x) sin x x由 2 f (x) f (x)cos( x) ( x) cos x x 2 ，得 是奇函数，其图象关于原点对

1 4 2
称．又 f ( ) 2 2 1, f ( )

0
2 2 ．故选 D．( )2 1
2
π π π 3．A

【详解】由诱导公式可得 cos x cos x sin x
π

6 2 3 3
，

1
则 f x sin x
π
sin
x π 6 π

sin
6
5 3 3 5
x ,函数 f x 的最大值为 .
3 5
4．D【详解】当 x [0,2 ] x
, 2 时， 5 5 5 ，
f x ∵ （ ）在[0, 2 ]有且仅有 5 个零点，∴5 2 6 ，
5
12 29 5 2 ∴ ，故④正确，由 6 ，知 x



, 2


5 10 5 5 5 时，5
x 5 令 , ,
9
5 2 2 2 时取得极大值，
①正确；
极小值点不确定，可能是 2个也可能是 3 个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
( 2)
当 x 0, 时， x 10 5
,
5 10 ，若 f（x）在
0,
10 单调递增，
( 2)
则 ，即 <3
12
，∵
29

5 10 ，故
③正确．
10 2
5．B 1【详解】由题意可得： sin sin 3 cos 1，
2 2
3 3 3 1 3
则： sin cos 1 ， sin cos ，
2 2 2 2 3
3
从而有： sin cos cos sin 3 ，即 sin .
6 6 3 6 3
6．C【详解】
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三角函数创新学案——2023 届高考二轮专题复习
f x sin x sin x sin x sin x f x , f x 为偶函数，故①正确．当

x 时， f x 2sin x，它在区间 , 单调递减，故②错误．当0 x 2 2 时，
f x 2sin x，它有两个零点：0 ；当 x 0时， f x sin x sin x 2sin x，
它有一个零点： ，故 f x 在 , 有3个零点： 0 ，故③错误．当
x 2k , 2k k N 时， f x 2sin x；当 x 2k , 2k 2 k N 时，
f x sin x sin x 0，又 f x 为偶函数， f x 的最大值为 2，故④正确．综上
所述，①④ 正确，故选 C．
1 cos2x 3
7．B【详解】根据题意有 f x cos2x 1 2 cos2x 5 2 2 2 ，
所以函数 f x 2 的最小正周期为T ，
2
3 5
且最大值为 f x 4max B.2 2 ，故选
cos
8．A【详解】 tan 2
2 sin
tan 2 sin 2 2sin cos cos ，
cos 2 1 2sin2 2 sin
0,
2sin 1 1
2 ，
cos 0， ，解得 sin ，
1 2sin 2 2 sin 4
15 sin 15
cos 1 sin 2 ， tan .
4 cos 15
9．C【详解】将式子进行齐次化处理得：
sin 1 sin 2 sin sin2 cos2 2sin cos
sin sin cos
sin cos sin cos
sin sin cos tan2 tan 4 2 2
．
sin2 cos2 1 tan2 1 4 5
10．BC
T 2 2 2
【详解】由函数图像可知： 2 A,2 3 6 2 ，则 T ，所以不选
不妨令 2 ,
2 5 y 1 2 5 3 当 x 3 6 时， 2k k Z ，解得： 2k
2
k Z ，
2 12 12 2 3
即函数的解析式为：
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三角函数创新学案——2023 届高考二轮专题复习
y sin 2x
2
2k sin

2x

cos

2x

sin

2x

.
3 6 2 6 3
而 cos

2x

cos(
5
2x)
6 6
3T 13 3 T 2 11．2【详解】由图可知 ，即 ，所以 2；
4 12 3 4

由五点法可得 2 ，即 ；所以 f (x) 2cos

3 2 6
2x
6 .
f ( 7 因为 ) 2cos



4
1 ， f ( ) 2cos 0
3 3 2
；

( f (x) 7 4 所以由 f ( ))( f (x) f ( )) 0可得 f (x) 1或 f (x) 0；
4 3
因为 f 1 2cos 2
2cos 16 2 6 ，所以，

方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 f (x) 0，即 cos 2x 0 ，
6
k 解得 x k ,k Z，令 k
5
0，可得 x
3 6 3 6
，
可得 x的最小正整数为 2.

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足 f (x) 0，又 f (2) 2cos 4 0
6
，

符合题意，可得 x的最小正整数为 2.
故答案为：2.
12 2 5 15．
10
2 1
【详解】由函数 f (x) 2sinx cos x 5 sin(x )，其中 cos ,sin ，且 5 5 为
锐角，当 x 时，函数取得最小值，所以 5 sin( ) 5 ，即 sin( ) 1，
所以 cos( ) 0，令
3
，即
3

2 2 ，
3
故 sin( ) sin( ) cos( ) 1 3 cos sin
3 2 3 3 2 2
1 2 3 1 2 5 15
.
2 5 2 5 10
13．1【详解】化简三角函数的解析式，
可得 f x 1 cos2 x 3 cos x 3 cos2 x 3 cos x 1 4 4

(cos x 3 )2 1，由 x [0, ]，可得 cos x [0,1]，
2 2
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3
当 cos x 时，函数 f (x)取得最大值 1．
2
14．②③
f 1 2 5 f 1 2 5 ① f f 【详解】对于命题 ， 6 2 2 ， 6 2 2 ，则 6 6 ，
所以，函数 f x 的图象不关于 y轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数 f x 的定义域为 x x k ,k Z ，定义域关于原点对称，
f x sin 1 1 1 x sin x sin x f x
sin x sin x sin x ，
所以，函数 f x 的图象关于原点对称，命题②正确；
f x

sin
1
x

cosx
1

对于命题③， 2 2 sin x cos x，
2
f x sin x 1 cos x
1

f 2 2 sin x f x x
cos x，则 ，
2 2 2
所以，函数 f x 的图象关于直线 x 2 对称，命题③正确；
1
对于命题④，当 x 0时， sin x 0，则 f x sin x 0 2sin x ，
命题④错误.
15． 4 .
【详解】
f (x) sin(2x 3 ) 3cos x cos 2x 3cos x 2cos2 x 3cos x 1 2(cos x 3)2 17
4 8 ，2
1 cos x 1， 当 cos x 1时， fmin (x) 4，故函数 f (x)的最小值为 4．
3
16．(Ⅰ) 2 .(Ⅱ) .
2
【解析】（Ⅰ）因为 f (x) sin( x

) sin( x )
6 2 ，所以
f (x) 3 sin x 1 cos x cos x 3 sin x 3 cos x
2 2 2 2
3(1 sin x 3 cos x) 3(sin x

)
2 2 3

由题设知 f ( ) 06 ，所以
k ， k Z .
6 3
故 6k 2， k Z，又0 3 ，
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所以 2 .

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f (x) 3 sin(2x )
3
所以 g(x) 3 sin(x

) 3 sin(x ) .
4 3 12
3
因为 x [ , ]，
4 4
x [ , 2 所以 ]，
12 3 3
x 当 ，
12 3
即 x
3
时， g(x)取得最小值 .
4 2
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