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函数二轮复习学案
——奋力争取，静待花开
班级：
姓名：
目录
【重点讲解】——————————————————————3
【创新题试做】—————————————————————10
【参考答案】——————————————————————16
【高考真题练习】————————————————————34
【参考答案】——————————————————————37
【课时作业】——————————————————————42
【参考答案】——————————————————————44
特别提醒：创新题试做部分是难度极大的试题，
仅针对学有余力的学生，或作为共同探讨问题。
请勿轻易尝试！请勿轻易尝试！请勿轻易尝试！
【重点讲解】
重点1：分段函数
【例1】已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为，
当时，的取值集合为，的值域，不符合题意，当时，函数在上单调递减，其函数值集合为，
因函数的值域为，则有，解得，
所以实数的取值范围为.
【跟踪训练1】已知函数无最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题可知，当时，，其对称轴为，
当时，函数有最大值为，
当时，函数有最大值为，
当时，，在单调递减，故，
因为函数无最大值，故当时，需满足，解得，不符合题意，
当时，需满足，解得，（舍去）.
综上，实数a的取值范围是.
重点2：函数的单调性、对称性、奇偶性、周期性
1、奇偶性
奇偶性 条件 图象特点
偶函数 对于函数 的定义域 内任意一个 ，都有 ,且 关于 轴对称
奇函数 对于函数 的定义域 内任意一个 ,都有 ,且 关于原点对称
2、周期性
对于函数 ,如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期。
3、补充知识
Ⅰ.周期性
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
Ⅱ.对称性
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称；
(3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)
或f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
（4）若 恒成立，则 的图象关于直线 对称
（5）若 ，则 的图象关于点 对称。特别地，若 ，则 的图象关于点 对称。
【例2】已知，若成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：函数的定义域为，关于原点对称，
，函数为偶函数，
当时，，，
则函数在上为增函数，由得，
由偶函数的性质得，
由于函数在上为增函数，则，即，
整理得，解得，因此，实数的取值范围是.
【跟踪训练2】已知定义在R上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意知，在上单调递减且；由可得或，则或，解得或.
【例3】已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，故函数是周期函数，且周期为，则，，，
因为奇函数在区间上是增函数，则该函数在区间上也为增函数，
故函数在区间上为增函数，所以，即.
【跟踪训练3】已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则的值为_________.
【答案】1
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，
因为，所以，
所以，所以的周期为4，
因为当时，，所以
，
重点3：函数与方程
【例4】已知函数，若满足，则的取值范围为_______．
【答案】
【详解】画出的图象，易得，且当时，的最大值为，当时解得，故，故
【跟踪训练4】已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【详解】令，，则，即，
分别作出函数和直线的图象，如图所示，
由图象可得有两个交点，横坐标设为，，
则，，
对于，分别作出函数和直线的图象，如图所示，
由图象可得，
当时，即方程有两个不相等的根，
当时，函数和直线有三个交点，
即方程有三个不相等的根，
综上可得的实根个数为，
即函数的零点个数是5.
重点4：函数图像
【例5】函数在上的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，
所以是奇函数，可排除BD，因为，所以可排除C，
【跟踪训练5】函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，所以的定义域是，
又，
所以是奇函数，图象关于原点对称，且.
【跟踪训练6】函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】定义域为，又，
为定义域上的偶函数，图象关于轴对称，可排除BC；
当时，，，，可排除A.
重点5：指数函数与对数函数
1、对数函数
底数 a>1 0图象
性质 定义域为，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0,1)
当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有00时，恒有01
在定义域R上为增函数 在定义域R上为减函数
（1）对数的性质： , , （ ，且 , ）。
（2）对数的运算性质
如果 ，且 , , ，那么：
① ；
② ;
③ 。
（3）换底公式3: （ ，且 , , ，且 ）。
logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0)．
【例6】已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为为减函数，所以，即；
因为为增函数，所以，即；
因为为增函数，所以，即；所以.
【跟踪训练7】若，，，则，，的大小关系为________．
【答案】
【详解】解：因为，，
又，即，所以；
【创新题试做】
一、单选题
1．关于的方程有两个正根，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．的取值范围是 D．的取值范围是
2．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，有以下结论：①；②；③；④，则其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知定义在上的偶函数，满足对任意的实数都成立，且值域为.设函数，（），若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则对于任意函数都有2个零点
B．若，则对于任意 函数 都有4个零点
C．若，则存在 使得函数 有2个零点
D．若，则存在 使得函数 有2个零点
8．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，其中为自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．已知函数，下列关于说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为π
B．对任意的实数a，为函数的一个对称中心
C．对任意的实数a，直线为函数的对称轴
D．存在实数a及正整数n，使得函数在区间上有2022个零点
11．已知函数的定义域为，其图象关于直线对称，且，当时，，则下列结论中正确的是（ ）
A．为偶函数 B．在上单调递减
C． D．在上无零点
12．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．的一个周期是 B．的对称中心是
C．在上的最大值是
D．在内的所有零点之和为
13．当时，恒成立，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
14．已知函数及其导函数的定义域均为R，记．若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
15．已知函数若存在实数t（且），使得成立，则实数k的取值范围是________．
16．已知偶函数满足，且当时，，若关于的方程在上有个解，则实数的取值范围是_____.
17．若关于的方程无解，则实数的范围为______.
18．19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，若，则n的最大值为______．
19．已知，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得时，都有，则的最大值为___________.
20．设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是_____________．
21．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则________.
四、解答题
22．已知函数．若函数有两个不同零点，，
(1)求实数a的取值范围；(2)求证：．
23．设实数a、bR，.
(1)解不等式:；
(2)若存在，使得，，求的值；
(3)设常数，若，，.求证:.
24．已知函数，，其中，.
(1)求函数在上的最小值；
(2)若函数恰好存在三个零点、、，且，求的取值范围.
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点，连接、，其中，．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，求的最大值，并写出此时点的坐标；
(3)如图2，设点是原抛物线的顶点，轴上有一点，将原抛物线沿轴正方向平移恰好经过点时停止，得到新抛物线，点为的对称轴上任意一点，连接，当是等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标
【参考答案】
1．D【详解】由有两不相等实数根，
得，解得,
令，
对于A选项，由，，所以，故A正确；
对于B选项，由，，所以，故B正确；
对于C选项，因为，所以的取值范围是，故C正确；
对于D选项，由
所以取值范围是，故D错误.
2．D【详解】构造，，，
在时为减函数，且，
所以在恒成立，
故在上单调递减，所以，
即，所以，即.
3．A【详解】因为，所以．
设，则，
令，则．
当时，，，，
所以，所以当时，，
所以在上单调递增，从而，
因此，即．综上可得．
4．C【详解】设，，则在上恒成立，
所以在上单调递增，因为，
所以，即，
因为单调递增，所以，①正确；，即，
因为单调递增，所以，②错误；
因为，所以，④正确；因为单调递增，
所以，所以，③正确.
5．D【详解】作函数与的图像如下：
方程有4个不同的根，，，，且，
可知关于对称，即，且，
则，即，则，即，则；
当得或，则；；
故，；
则函数，在上为减函数，在上为增函数；
故取得最小值为，而当时，函数值最大值为.
即函数取值范围是.
6．D【详解】变形为，
所以或，即或，因为为偶函数，且值域为，
所以，因为，所以，
在同一坐标系中画出两者的函数图象，如下图：
要想满足若对任意的，存在，使得成立，
则当时，，所以，
且时，的图象要位于的下方，
故只需，即，解得：，综上：实数的取值范围是.
7．B【详解】易得定义域为R，又，则为偶函数；当时，，，
当时，则，则在上单增，，又为偶函数，则在R上，；
对于A，若，则，故在R上有，令，则，易得，则无零点，故A错误；
对于B，若，则，又，故在上有1个零点，又为偶函数，
则在上有另一个零点，则零点的个数等价于以及解的个数，又，易得有2个解，
又，令，则，则单增，即，
则，可得，即，即，则有2个解，综上可得对任意，以及有4个解，即有4个零点，故B正确；C错误；
若，则，则有唯一零点0，则零点的个数等价于解的个数，显然只有1个解0，即对任意，只有1个零点，
8．C【详解】构造函数，则，
在上恒成立，则在上单调递减，故，则，
，则，
由对于函数，恒成立，
所以， 即在上恒成立.
所以，（注： ）所以，
9．B【详解】令，，
令，，
当时，，单调递增，
又，所以，又，
所以，在成立，所以即，
令，，在为减函数，所以，即，令，，在为减函数，所以，即，所以，成立，
令，则上式变为，所以
所以，所以.
10．ACD【详解】对于A，
，所以函数的一个周期为π，
下面研究函数在上的情况，
当时，；
当时，；
所以函数的最小正周期为π，故A正确；
，故B错误；
对于D，令，当 时，
，
显然当 时， ；
当 时， ，
= ，
，
仅当 时， ，当 时， ，是增函数，
当 时， ，是减函数， ，
，仅当 时等号成立，
∴ 在一个周期内有2个零点，即仅有 是函数的零点，
∴当n=1011时，在开区间 上有2021个零点，
11．AC【详解】对A，因为图象关于直线对称，故，且，故，即，故为偶函数，对B，当时，为减函数，又为偶函数，故在其对称区间上为增函数，故B错误；
对C，由可得的周期为4，故，又为偶函数，故，故C正确；
对D，当时，为减函数，且，，故在上有零点，故D错误；
12．BD【详解】选项A：，所以不是的一个周期，A错误.
选项B：的对称中心是，也是的对称中心，所以的对称中心是，B正确.
选项C：，当时，；令解得.
所以当即时，单调递减；即时，单调递增.
所以，C错误.
选项D：在所有零点即与图像所有交点的横坐标，根据B选项关于中心对称和C选项中的单调性可画出简图：
显然是一个交点，
又因为也关于中心对称，所以图像交点关于对称.
故零点和为，D正确.
13．AC【详解】当时，在上恒成立，
可取，验证可知符合题意，此时，B错误；
当时，在上恒成立，
可取，验证可知符合题意，故D错误；
对于A选项，令，必有，
即，
则，
解得：，则的对称轴，
同理：，
所以，解得：，
于是要满足，
由①知：，因为，故④，
因为所以⑤，综合④⑤，可知：，
解得：，此时，解得：，
所以，经验证满足题意，
且，A正确；对于C选项，令，
由，可得：
，故，
则，所以恒成立，
即，易知：即可，
14．BD【详解】对于A，令，定义域为R，则，，，
又，则，显然也满足题设，即上下平移均满足题设，显然的值不确定，A错误；
对于B，，则，即，
，令可得，则，B正确；
对于C，由即，则，令，
显然满足要求，则关于对称，又可得关于对称，则，C错误；
对于D，由可得关于对称，则；由可得关于对称，
则 ，D正确.
15．
【详解】不妨设，（1）当时，，，不存在实数t（且），使得成立．
（2）当时，若存在实数t（且），使得成立，
则方程，即有大于1的实数根．
令，则．
①若，则，在上单调递增，则，此时方程无解．
②若，则当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故只需，
令，则，，
所以在上单调递减，又，所以，即时，
所以不等式恒成立．
综上可知，实数的取值范围是．故答案为：
16．【详解】因为函数是偶函数，所以，
可得函数是以为周期的周期函数，
因为关于的方程在上有个解，
所以关于的方程在上有个解，
画出函数在区间上的图象，如图所示，
令，由图象可知：当时，只有解，
当或时，有解，当时，有解，
当时，有解．
所以关于的方程在和上各有解或和上各有解，
若方程的一解为，则方程的另一解为，不符合题意．
所以关于的方程在和上各有解，
所以，解得，所以实数的取值范围为．
故答案为：．
17．
【详解】无解，
当时，此时只需即可，所以时，方程有解，舍去；
即，则方程可化为无解，
令，则，当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
且当时，恒成立，
在处取得极大值，也是最大值，
，令，为过点的直线，
画出与的图象如下：
求出与相切的两切线，当斜率位于两切线之间时，
两函数无交点，即方程无解，设切点为，
则，解得：或，当时，，此时；
当时，，解得：，故实数的范围为
18．3【详解】由可得，，
所以，又，所以，，即
所以，则n的最大值为.
19．【详解】，当，即时，要使在上恒成立，要使取得最大值，则只能是的较小的根，即；
当，即时，要使取得最大值，则只能是的较大的根，即
当时，，
当时，，所以的最大值为.
20．
【详解】作出函数的图象如图，
令，则当，方程有个不同的实数解，
则方程化为，
使关于的方程恰好有六个不同的实数解，
则方程在内有两个不同的实数根，
令，所以,解得:，
所以实数的取值范围为故答案为
21．##0.75
【详解】由为奇函数，可得，函数关于点对称，又定义域为R，则有；
又为偶函数，可得，函数关于直线对称，则，
又，则，则，函数周期为4，则；
由上可得，则，解得，则，则.
22．(1)(2)证明见解析
【解析】(1)函数有两个不同零点，，
等价于方程有两个不同的实根．
设，即方程有两个不同的实根．
设，，
令，则在恒成立
所以函数在上单调递增，注意到，
所以当时，，当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
当时，，当时，，
又，则只需即方程有两个不同的实根．
则实数a的取值范围是．
(2)注意到，，要证，只需证．
由（1）知，，故有，即．
下面证明：．设，
则，
所以函数在上单调递减，所以，
所以，故有．
又，，且在上单调递减，
所以，即得．因此，结论得证．
23．(1)；(2)；(3)证明见解析.
【解析】(1)由题设，又在定义域上递增且，
所以，则，故解集为.
(2)由题设，，，
由，，则，，
所以分别是与、的交点横坐标，
而与关于对称，即互为反函数，所以，即.
(3)由，，
由题设有，
又，与关于对称，且在定义域上均递增，
当时，，则，此时；
当时，，则，此时；
当时，，则，此时；
综上，.
24．(1)答案见解析(2)
【解析】(1)解：因为，
所以，函数在、上单调递增，在上单调递减，
当时，即当时，；
当时，即当时，.
综上所述，函数在上的最小值为.
(2)解：，不妨设，
因为，
①当时，即当时，
由可得，即为方程的一根，
由可得，即为方程的一根，
由可得，即为方程的一根，
由图象可知、是方程的两根，是方程的较大根，
则由韦达定理与求根公式可知，，
则，
可得，
令，而，
则，
因为函数在上单调递减，
当时，，则；
②由可得，，可得，
且当时，即当时，由可得，
由图象可知、是方程的两相异根，是方程的较大根，
由韦达定理以及求根公式可得，，
所以，，
可得，
令，而，
则.
由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，
且当时，，
则在上单调递增，
当时，.
综上所述，，
又满足，故，即.
25．(1)(2)最大值，此时
(3)，，，
【解析】
(1)解：在直角中，，所以，即，
将，代入，可得解得，
所以该抛物线的解析式为.
(2)解：如图，过点作交于点，
令，解得，可得点坐标为，
设直线的解析式为，可得，解得，
即直线的解析式为，
设，，所以，
因为，所以，可得，
所以，
所以，
当时，取最大值，此时.
(3)解：由（1）知，
因为轴上有一点，将原抛物线沿轴正方向平移恰好经过点时停止，
得到新抛物线为，因为，可得，所以，则的对称轴为，
设，因为，，
设直线的解析式为，可得，解得，
所以直线的解析式为，则，
，当时，可得，解得，
当时，可得，解得，
当时，可得，解得，，
因为直线的解析式为，当时，， 即在直线上，
此时不能构成三角形，
所以，，，.
【高考真题练习】
一、单选题
1．函数在区间的图象大致为（ ）
A． B． C．D．
2．如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
4．已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A．25 B．5 C． D．
7．己知函数，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
8．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
9．设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上
的零点个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
10．函数的定义域是_________．
11．已知，函数若，则___________.
12．已知，，，则、、的大小关系为_____________.
13．化简____________
14．已知函数的反函数为，则________
15．若，则实数的值是______.
16．已知函数，若至少有个零点，则的取值范围是______.
17．若函数的一个零点为，则________；________．
三、双空题
18．设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
19．已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
20．若是奇函数，则_____，______．
【参考答案】
1．A【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
2．A【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
3．A【详解】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．
4．D【详解】因为的图像关于直线对称，所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以因为，所以.
所以5．B【详解】当时，，所以在上递减，
是偶函数，所以在上递增.注意到，
6．C【详解】因为，，即，所以．
7．C【详解】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
8．B【详解】由题知：，解得且.所以函数定义域为.
9．B【详解】因为当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，所以当x∈[1,2]时，2－x∈ [0,1]，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3.
当x∈时，g(x)＝xcos (πx)；当x∈时，g(x)＝－xcos(πx)，注意到函数f(x)，g(x)都是偶函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)，g＝g＝0，作出函数f(x)，g(x)的大致图象，函数h(x)除了0,1这两个零点之外，分别在区间，，，上各有一个零点，共有6个零点，故选B.
10．
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；故答案为：
11．2【详解】，故，
12．##
【详解】因为，故.
13．2【详解】原式，
14．【详解】由可得，故，因此，.
15．【详解】，即，解得：.
16．【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.
17． 1
【详解】∵，∴∴
故答案为：1，
18． 0（答案不唯一） 1
【详解】解：若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，当时，单调递减，，
当时，
∴或，解得，
综上可得；故答案为：0（答案不唯一），1
19． ##
【详解】由已知，，所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.故答案为：，.
20． ； ．
【详解】因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
【课时作业】
一、单选题
1．函数在的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
2．若，则（ ）
A． B． C．1 D．
3．已知，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
4．已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称
5．已知，，若成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
6．函数在的图像大致为
A． B．C． D．
7．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是
A． B． C． D．
8．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
A． B． C． D．
9．设，则（ ）
A． B． C． D．
10．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知函数是偶函数，则______.
12．已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
13．已知，若同时满足条件：①或；②.则m的取值范围是________________.
三、解答题
14．设函数是定义R上的奇函数．
（1）求k的值；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围；
（3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值．
15．已知向量，，函数．
（1）当时，求的值域；
（2）若对任意，，求实数的取值范围
【参考答案】
1．B【详解】由，
得或，，
．在的零点个数是3，
2．C【详解】，，
.
3．A【详解】；；
．故．
4．C【详解】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
5．B【详解】函数的定义域为，关于原点对称，
，函数为偶函数，
当时，，，
则函数在上为增函数，
由得，
由偶函数的性质得，
由于函数在上为增函数，则，即，
整理得，解得，因此，实数的取值范围是，故选B.
6．B【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
7．B【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．
8．C【详解】详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
9．C【详解】设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
10．D【详解】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．所以．
11．1【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，故，
12．-3【详解】因为是奇函数，且当时，．
又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
13．
【详解】根据可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在是必须是，当m=0时，不能做到f(x)在时，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为，为保证条件成立，只需，和大前提m<0取交集结果为；
又由于条件2的限制，，
可分析得出在，
因此-4应该在两个根之间，当时，，解得交集为空，舍．
当m=-1时，两个根同为，舍．
当时，，解得，所以
综上所述，．
14．（1）1；（2）；（3）最小值为，此时.
【详解】（1）因为是定义域为R上的奇函数，
所以，所以，解得，所以，
当时，，所以为奇函数，故；
（2）有解，所以有解，
所以只需，
因为（时，等号成立），所以；
（3）因为，所以，
可令，可得函数t在递增，即，
则，可得函数，，
由为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以时，取得最小值，此时，解得，
所以在上的最小值为，此时．
15．（1）（2）
【详解】（1）

当时，，，
所以的值域为．
（2）令，，由（1）得，问题等价于，恒成立，当时，；
当时，，恒成立，
因为，，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为2，故，综上，实数的取值范围为．函数创新学案——2023 届高考二轮专题复习
函数二轮复习学案
——奋力争取，静待花开
班级：
姓名：
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函数创新学案——2023 届高考二轮专题复习
目录
【重点讲解】——————————————————————3
【创新题试做】—————————————————————10
【参考答案】——————————————————————16
【高考真题练习】————————————————————34
【参考答案】——————————————————————37
【课时作业】——————————————————————42
【参考答案】——————————————————————44
特别提醒：创新题试做部分是难度极大的试题，
仅针对学有余力的学生，或作为共同探讨问题。
请勿轻易尝试！请勿轻易尝试！请勿轻易尝试！
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函数创新学案——2023 届高考二轮专题复习
【重点讲解】
重点 1：分段函数
3 x x a
【例 1】已知函数 f x 2 ，若函数 f (x)的值域为R，则实数 a的取值范 x (x a)
围为（ ）
A． ( 1,0) B． ( 1,0] C．[ 1,0) D．[ 1,0]
【答案】D
【详解】函数 y 3 x 在[a, )上单调递减，其函数值集合为 ( , 3 a]，
当 a 0时，y = x2的取值集合为[0, )， f x 的值域 ( , 3 a] [0, ) R ，不符合
题意，当 a 0时，函数 y = x2在 ( ,a)上单调递减，其函数值集合为 (a2 , )，
因函数 f (x)的值域为R，则有 3 a a2，解得 1 a 0，
所以实数 a的取值范围为[ 1,0].
1 3
x
2 x ,x a
【跟踪训练 1】已知函数 f x 2 2 无最大值，则实数 a的取值范
2x, x a
围是（ ）
A． 1, B． 1,0 C． 0, D． , 1
【答案】D
1 3
【详解】解：由题可知，当 x a时， f (x) x 2 x ，其对称轴为 x 1，
2 2
1 3
当a 1时，函数 f (x) x 2 x 有最大值为 f ( 1) 2，
2 2
f (x) 1 3当 a 1时，函数 x 2 x 有最大值为 f (a)
1 3
a 2 a ，
2 2 2 2
当 x a时， f (x) 2x，在 (a, )单调递减，故 f (x) f (a) 2a，
因为函数 f (x)无最大值，故当a 1时，需满足2 2a，解得 a 1，不符合题意，
1 3
当 a 1时，需满足 a 2 a 2a ，解得 a 1，a 3（舍去）.
2 2
综上，实数 a的取值范围是 ( , 1) .
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重点 2：函数的单调性、对称性、奇偶性、周期性
1、奇偶性
奇偶性 条件 图象特点
偶函数 对于函数 的定义域 内任意一关于 轴对称
个 ，都有 ∈ ,且 =
奇函数 对于函数 的定义域 内任意一关于原点对称
个 ,都有 ∈ ,且 =
2、周期性
对于函数 = ,如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任
何值时，都有 + = ，那么就称函数 = 为周期函数，称 为
这个函数的周期。
3、补充知识
Ⅰ.周期性
(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0)；
1
(2)若 f(x＋a)＝ ，则 T＝2a(a>0)；
f x
1
(3)若 f(x＋a)＝－ ，则 T＝2a(a>0)．
f x
Ⅱ.对称性
(1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a对称；
(2)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称；
(3)若对于 R上的任意 x都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)
或 f(a＋x)＝f(a－x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a对称．
+
（4）若 + = 恒成立，则 = 的图象关于直线 = 对称
2
（5）若 + + = ，则 = + , 的图象关于点 对称。特
2 2
别地，若 + + = 0 = 2 ，则 = 的图象关
于点 , 0 对称。
【例 2】已知 f x 2 x cos x, x R ，若 f 1 t f 1 2t 0成立，则实数 t的取值
范围是（ ）
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2
A 0, B
2
． ． 0, C． ,0
2 2
3 3
, D． ,0 0,
3 3
【答案】B
【详解】解：函数 y f x 的定义域为R，关于原点对称，
Q f x 2 x cos x 2 x cos x f x ， 函数 y f x 为偶函数，
当 x 0时， f x 2x cos x， f x 2 sin x 0，
则函数 y f x 在 0, 上为增函数，由 f 1 t f 1 2t 0得 f 1 t f 1 2t ，
由偶函数的性质得 f 1 t f 1 2t ，
由于函数 y f x 在 0, 上为增函数，则 1 t 1 2t 1 t 2，即 1 2t 2，
2 2
整理得3t 2 2t 0，解得0 t 3，因此，实数
t的取值范围是 0, 3
.

【跟踪训练 2】已知定义在 R 上的奇函数 f (x)在 ( , 0]上单调递减，若 f ( 2) 1，
则满足 f 2x 1的 x的取值范围是（ ）
A．[ 1,1] B．[ 2,2]
C． ( , 1] [1, ) D． ( , 2] [2, )
【答案】C
【详解】由题意知， f (x)在 0, 上单调递减且 f (2) f 2 1；由 f 2x 1可
得 f 2x 1或 f 2x 1，则 2x 2或2x 2，解得 x 1或 x 1.
【例 3】已知定义在R上的奇函数 f x 满足 f x 4 f x ，且在区间 0,2 上是
增函数，则（ ）
A． f 16 f 17 f 18 B． f 18 f 16 f 17
C． f 16 f 18 f 17 D． f 17 f 16 f 18
【答案】D
【详解】由题意可知 f x 8 f x 4 f x ，故函数 f x 是周期函数，且周期
为8，则 f 16 f 0 ， f 17 f 1 ， f 18 f 2 ，
因为奇函数 f x 在区间 0,2 上是增函数，则该函数在区间 2,0 上也为增函数，
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故函数 f x 在区间 2,2 上为增函数，所以 f 1 f 0 f 2 ，即
f 17 f 16 f 18 .
1
【跟踪训练 3】已知函数 f (x)是定义在R上的奇函数， f (x)满足 f (x 2) f (x) ，
且当 x (1,3)时， f (x) log 2 x，则 f (2020) f (2022)的值为_________.
【答案】1
【详解】因为函数 f (x)是定义在R上的奇函数，所以 f (0) 0，
1 1
因为 f (x 2) f (x)，所以
f (x 4)
f (x 2)，
所以 f (x 4) f (x)，所以 f (x)的周期为 4，
因为当 x (1,3)时， f (x) log 2 x，所以 f (2020) f (2022)
f (4 505) f (4 505 2) f (0) f (2) 0 log 2 2 1，
重点 3：函数与方程
2
f x x 2x, x 0【例 4】已知函数 ，若 f (x)满足 f (x1) f (x2 ) f (x3)，则 x x x x, x 0 1 2 3
的取值范围为_______．
【答案】 (1, 2)
【详解】画出 f x 的图象，易得 x2 x3 2 1 2，且当 x 0时， f x 的最大值为
f 1 1，当 x 0时 f x 1解得 x 1，故 x1 1,0 ，故 x1 x2 x3 2 x1 1,2
x e 2,x 1
【跟踪训练 4】已知函数 f x g x f f x 2 f x 1
ln x
，则函数 的
1 , x 1
零点个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
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【答案】B
【详解】令 t f x ， g x 0，则 f t 2t 1 0，即 f t 2t 1，
分别作出函数 y f t 和直线 y 2t 1的图象，如图所示，
由图象可得有两个交点，横坐标设为 t1， t2 ，
则 t1 0，1 t2 2，
对于 t f x ，分别作出函数 y f x 和直线 y t2 的图象，如图所示，
由图象可得，
当 f x t1 0时，即方程 f x 0有两个不相等的根，
当 t2 f x 时，函数 y f x 和直线 y t2 有三个交点，
即方程 t2 f x 有三个不相等的根，
综上可得 g x 0的实根个数为5，
即函数 g x f f x 2 f x 1的零点个数是 5.
重点 4：函数图像
ln e x 1
【例 5】函数 f x 1 在 2,2 上的图像大致为（ ）
x 2
A． B． C． D．
【答案】A
ln e x 1 1 ln ex 1 x 1 ln e
x 1
【详解】因为 f 1 x f x ，
x 2 x 2 x 2
所以 f x 是奇函数，可排除 BD，因为 f 1 ln e 1 1 0，所以可排除 C，
2
【跟踪训练 5】函数 f x 2x 2 x ln x2 0.01的图像大致是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 f x 2x 2 x ln x2 0.01，所以 f x 的定义域是R，
又 f x 2 x 2x ln ( x) 2 0.01 2x 2 x ln x 2 0.01 f x ，
f x 1 所以 是奇函数，图象关于原点对称，且 f 2 4 ln 4.01 0
4
.

ex e x
【跟踪训练 6】函数 sin xf x 的大致图象是（ ）
2
A． B． C． D．
【答案】D
x x x x
f x e e sin x e e sinx【详解】 定义域为R，又 f x f x ，
2 2
f x 为定义域上的偶函数，图象关于 y轴对称，可排除 BC；
当 x 0, 时， sin x 0， ex e x 0， f x 0，可排除 A.
重点 5：指数函数与对数函数
1、对数函数
底数 a>1 0图象
定义域为R，值域为(0，＋∞)
性质 图象过定点(0,1)
当 x>0时，恒有 y>1；当 x<0时，恒有 当 x>0时，恒有 0第 8 页 共 48 页
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01
在定义域 R 上为增函数 在定义域 R上为减函数
（1）对数的性质：log 1 = 0 ,log = 1 , log = （ > 0 ，且 ≠ 1 , > 0 ）。
（2）对数的运算性质
如果 > 0 ，且 ≠ 1 , > 0 , > 0 ，那么：
①log = log + log ；

②log = log log ;
③log = log ∈ 。
log
（3）换底公式 3:log = （ > 0 ，且 ≠ 1 , > 0 , > 0 ，且 ≠ 1 ）。log
logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c 均大于 0 且不等于 1，d>0)．
【例 6】已知a log1 2,b log2 3,c 2
0.3
，则 a，b，c的大小关系是（ ）
3
A． a b c B．b a c C．c a b D．b c a
【答案】D
【详解】因为 y log1 x为减函数，所以 a log1 2 log1 1 0，即 a 0；
3 3 3
因为 y log2 x为增函数，所以b log2 3 log 2 2 1，即b 1；
因为 y 2x为增函数，所以0 c 2 0.3 20 1，即0 c 1；所以b c a .
1
【跟踪训练 7】若 a 20.01，b log2 ，c 1.1 0.1，则 a，b，c的大小关系为________．3
【答案】 a c b
【详解】解：因为 a 20.01 20 1，b log
1
2 log 1 03 2 ，
又0 1.1 0.1 1.10 1，即0 c 1，所以 a c b；
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【创新题试做】
一、单选题
1．关于 x的方程 x2 m 4 x 2m 20 0有两个正根 x1, x2 x1 x2 ，下列结论错误
的是（ ）
A．0 x1 2 B．2 x2 6
x x
C 1 2． 的取值范围是{x∣0 x 1} D．x21 x2x x 2 的取值范围是{x∣4 x 40}1 2
2．已知a 810，b 99， c 108，则 a，b， c的大小关系为（ ）
A．b c a B．b a c C． a c b D． a b c
3．设 a e0.02 1，b 2 e0.01 1 ， c sin 0.01 tan 0.01，则（ ）
A． a b c B． a c b C．c a b D．b c a
ab ab ab
4．已知1 a b e，有以下结论：① ab ba；②ba e e ；③ aa e e ；④ ab e e ，
则其中正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4 个
x 1 , x 0
5．已知函数 f x f x k x x x x
log x , x 0
，若方程 有 4 个不同的根 1， 2， 3， 4，4
4
且 x1< x2< x3< x4，则 2 x4 x1 x2 x 的取值范围是（ ）3x4
A． 4 2,6 B． 2,4 2 C． 2,4 2 D． 4 2,9
6．已知定义在R上的偶函数 f (x)，满足[ f (x)]3 [ f (x)]2 x2 f (x) x2 0对任意的实
数 x都成立，且值域为[0,1] .设函数 g(x) x m x 1，（m 1），若对任意的
x ( 2, 11 )，存在 x2 x1，使得 g(x2 ) f (x1)成立，则实数m的取值范围为（ ）2
5 1
A．[ 6,1) B．[ , ] C．[0,1) D 1．[ ,0]
2 2 2
7．若函数 f x e x ax 2 b ，则下列说法正确的是（ ）
A．若b 1，则对于任意 a 0函数 f f x 都有 2 个零点
B．若b 1，则对于任意 a 0 函数 f f x 都有 4 个零点
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C．若b 1，则存在a0 0 使得函数 f f x 有 2 个零点
D．若b 1，则存在 a0 0 使得函数 f f x 有 2 个零点
1
8．已知a ln

，b 2 2， c sin 0.04 12 3 ，则 a，b，c的大小关系是3 3
（ ）
A． c b a B． a b c C．b a c D． a c b
9．已知a e0.2 1, b ln1.2, c tan 0.2，其中e 2.71828 为自然对数的底数，则（ ）
A． c a b B． a c b C．b a c D． a b c
二、多选题
10．已知函数 f x a sin x | cos x | sin 2x 1，下列关于 y f x 说法正确的是
（ ）
A．函数 y f x 的最小正周期为π

B ．对任意的实数 a， ,a 1

2 为函数
y f x 的一个对称中心


C．对任意的实数 a，直线 x 为函数 y f x 的对称轴
4
D．存在实数 a及正整数 n，使得函数 y f x 在区间 0,n 上有 2022个零点
11．已知函数 f x 的定义域为R，其图象关于直线 x 2对称，且 f x 2 f x 2 ，
1
当 x 2,4 时， f (x) log1 x x 16 ，则下列结论中正确的是（ ）3
A． f x 为偶函数 B． f x 在 4, 2 上单调递减
C． f 2025 1 D． f x 在R2 上无零点
12．已知函数 f x 8sin x tan x，下列说法正确的有（ ）
A． f (x)的一个周期是 B． f (x)的对称中心是 k ,0 k Z

C． f (x)在 ( , )上的最大值是
2 4 3
D． y f x x 在 (0,2 )内的所有零点之和为3
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13 2．当 1 x 1时， ax bx c 1恒成立，则（ ）
A．当 a 2时， | b | | c | 1 B．当a 2时， | b | | c | 2
C．当b 1时， | a c | 0 D．当b 1时， | a | | c | 0
14．已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域均为 R，记 g x f x 3 ．若 f x2 ，
g 2 x 均为偶函数，则（ ）
f 3A
3
． 0 B． g 0 C． f x 1 f x D． g 2 x g x
2 2
三、填空题
x 1, x 1,
15．已知函数 f (x)
1
若存在实数（t t 0 t 且 1k ln x, 0 x 1, ），使得
f f (t)
t
成

立，则实数 k的取值范围是________．
16．已知偶函数 f x 满足 f 3 x f 3 x ，且当 x [0,3]时， f x x2 2x 1，若
2
关于 x的方程 f x tf x 3 0在[ 150,150]上有300个解，则实数 t的取值范围是
_____.
17 x．若关于 x的方程 e 2x 1 a x 1 无解，则实数 a的范围为______.
18．19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以 1开头
的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从
实际生活得出的大量数据中，以 1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期
1
望值 9的 3 倍，并提出本福特定律，即在大量 b进制随机数据中，以 n开头的数
n 1
出现的概率为Pb n logb ，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该
n
定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的
n
真实性．根据本福特定律，若 P10 i 2 3，则 n的最大值为______．i 1
19 f x ax 2．已知 8x 3，对于给定的负数 a，有一个最大的正数M a ，使得
x 0,M a 时，都有 f x 5，则M a 的最大值为___________.
3x 1, x 020 2．设函数 f x log x , x 0，若关于
x的函数g x f x a 2 f x 3恰好有
4
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六个零点，则实数 a的取值范围是_____________．
21．设函数 f x 的定义域为 R，f x 1 2为奇函数，f x 2 为偶函数，当 x 1,2
时， f x ax2 b .若 f 1 2023 f 0 1，则f ________.
2
四、解答题
22．已知函数 f x ln x a x 2x a R ．若函数 f x 有两个不同零点x1，
x2 x1 x2 ，
2
(1)求实数 a的取值范围；(2) a求证： x1 x 22 ．4
23 x．设实数 a、b R， f x,a,b a 2 b log2 x x .
(1)解不等式: f x,1,1 3；
(2)若存在 x1, x2 R，使得 f x1,2,0 9， f x2 ,0,1 10，求 x1 x2的值；
(3)设常数 a 0，若u 0，v 0， f u,a,0 f v,0,1 t . u求证: v a 2 t log2 a 0 .
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24．已知函数 f x x x 2a ， g x ax b ，其中 a 0，b 0 .
(1)求函数 f x 在 1,1 上的最小值；
1 1 1
(2)若函数h x f x g x 恰好存在三个零点x1、x2、x3，且 1x ，求 a1 x2 x3
的取值范围.
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25．如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y x 2 bx c与 x轴分别交于 A,B两点，
与 y轴交于点C，连接 AC、 BC，其中 A 2,0 ， tan ACO 1 ．
3
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点 P是直线 BC上方抛物线上一点，过点 P作 PM y轴交直线 BC于点M ，求
PM的最大值，并写出此时点 P的坐标；
Q 3 , 0
(3)如图 2，设点D是原抛物线的顶点，x轴上有一点 4 ，将原抛物线沿 x轴
正方向平移恰好经过点Q时停止，得到新抛物线 y1，点 E为 y1的对称轴上任意一
点，连接DQ，当V DQE是等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点 E的坐标
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【参考答案】
1．D 2【详解】由 x m 4 x 2m 20 0有两不相等实数根，
Δ (m 4)2 4 2m 20 m2 64 0

得 x1 x2 m 4 0 ，解得 10 m 8 ,

x1x2 2m 20 0
令 f (x) x2 m 4 x 2m 20，
对于 A选项，由 f (0) 2(m 10) 0， f (2) 4(m 8) 0，所以0 x1 2，故 A 正确；
对于 B 选项，由 f (2) 4(m 8) 0， f (6) 8(m 10) 0，所以2 x2 6，故 B 正确；
x1x2 2m 20 12 x x
对于 C选项，因为 2 (0,1) 1 2x x m 4 m 4 ，所以1 2 x1 x
的取值范围是
2
{x∣0 x 1}，故 C正确；
对于 D选项，由 x21 x22 x x
2 2x 2 21 2 1x2 (m 4) 2 2m 20 (m 2) 28
所以 x2 21 x2取值范围是{x∣8 x 36}，故 D错误.
2．D【详解】构造 f x 18 x ln x， x 8， f x 18 ln x 1，
x
f x 18 ln x 1在 8, 时为减函数，且
x
f 8 ln 8 9 1 5 ln8 5 ln e2 5 2 0，
4 4 4 4
18
所以 f x ln x 1 0在 8, 恒成立，
x
故 f x 18 x ln x在 8, 上单调递减，所以 f 8 f 9 f 10 ，
即10ln8 9ln9 8ln10，所以810 99 108，即 a b c .
3．A【详解】因为a b e0.02 2e0.01
2
1 e0.01 1 0，所以 a b．
设 f (x) 2 ex 1 sin x tan x，则 f (x) 2ex cos x 1 cos2 x，
令 g(x) f (x) ，则 g (x) 2ex sin x
2sin x
．
cos3 x
π
x 0, π 2sin x
2sin 8 3
当 6 时， 2e
x 2， sin x 0， 3
6
π 2 cos x cos3 9
，
6
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g (x) π所以 0

，所以当 x 0, 时， f (x) f (0) 0，
6
所以 f x 在 x
π
0, 6 上单调递增，从而
f (x) f (0) 0，

因此 f (0.01) 0，即b c．综上可得 a b c．
ln x 1 ln x
4．C【详解】设 f x x ，
x 1,e ，则 f x 2 0在 x 1,e 上恒成立，x
f x ln x所以 x 在
x 1,e 上单调递增，因为1 a b e，
ln a ln b
所以 b ln a a lnba b ，即 ，
y ln x b a ln b ln e 1 ab因为 单调递增，所以 a b ，①正确； a ln b b e e，即 e ，
因为 y ln x
ab
单调递增，所以ba因为 ab
ab
ba x，所以abab
所以aa ab，所以aa5．D【详解】作函数 y f (x)与 y k的图像如下：
方程 f x k有 4个不同的根x x x x x < x1， 2， 3， 4，且 1 2< x3< x4，
可知 x1, x2关于 x 1对称，即 x1 x2 2，且0 x3 1 x4 2，
则 log4 x3 log4 x4 ，即 log4 x3 log4 x4，则 log4 x3 log4 x4 0，即 log4 x3x4 0，则 x3x4 1；
1
当 log4 x 1得 x 4或 ，则1 x4 4
1
； x 14 3 ；4
4
故 2 x1 x2 x
4
4 2 x4 ，1 x 4x3x4 x
4 ；
4
则函数 y
4
2x4 x ，在1 x4 2上为减函数，在 2 x4 4上为增函数；4
故 x4 2取得最小值为 y 4 2，而当 x4 4时，函数值最大值为 y 8 1 9 .
即函数取值范围是 4 2,9 .
6 D 2 2． 【详解】[ f (x)]3 [ f (x)]2 x2 f (x) x2 0变形为[ f (x) x ] f (x) 1 0，
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所以 f (x) 1或 f 2 (x) x2 ，即 f (x) 1或 f (x) x ，因为 f x 为偶函数，且值域为[0,1]，
1, x 1 m 1, x m
所以 f x x , 1 x 1，因为m 1，所以 g(x) x m x 1 2x m 1,m x 1，

1, x 1 m 1, x 1
在同一坐标系中画出两者的函数图象，如下图：
1
要想满足若对任意的 x1 ( 2, )，存在 x2 2
x1，使得 g(x2 ) f (x1)成立，
则当 x 1时， g x m 1 1，所以m 0，
1
且 x

,

2 时，
g x 的图象要位于 f x 的下方，

g 1 1 1 1 1故只需 f ，即 m ，解得：m ，综上：实数m2 2 的取值范围是[ ,0] . 2 2 2
7 B R x． 【详解】易得定义域为 ，又 f x e ax 2 b f x ，则 f x 为偶函数；
当 x 0时， f x ex ax 2 b， f x ex 2ax，
当 a 0时，则 f x ex 2ax 0，则 f x 在 0, 上单增，f x f 0 1 b，又 f x
为偶函数，则在 R 上， f x 1 bmin ；
对于 A，若b 1，则 f x 1 b 0 f x 0min ，故在 R 上有 ，令 t f x ，则 t 0，
易得 f t 0，则 f f x 无零点，故 A 错误；
对于 B，若b 1，则 f x 1 b 0，又 x , f x ，故 f x 在 0, min 上
有 1个零点x1，又 f x 为偶函数，
则在 ,0 上有另一个零点 x1，则 f f x 零点的个数等价于 f x x1以及
f x x1解的个数，又 x1 > 0，易得 f x x1有 2 个解，
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又 ex1 ax21 b 0，令 g x ex ax2 x 1(x 0)，则 g x ex 2ax 1 0 ，则 g x 单
增，即 g x g 0 0，
则 ex ax2 x 1 0，可得 ex1 ax21 x1 1 0，即 b x1 1 0，即b 1 x1，则 f x x1
有 2个解，综上可得对任意 a 0， f x x1以及 f x x1有 4 个解，即 f f x 有
4个零点，故 B 正确；C错误；
若b 1，则 f x 1 b 0 f xmin ，则 有唯一零点 0，则 f f x 零点的个数等价
于 f x 0解的个数，显然只有 1个解 0，即对任意 a 0，f f x 只有 1 个零点，

8．C【详解】构造函数 f x 2lnx 2 x 1 2 lnx x
π
1 ，则a b f ，
3
f x 2 1 1 0在 1, 上恒成立，则 y f x x 在 1, 上单调递减，故

a b f π 3
f 1 0，则b a 0，

π
1 x x 0 ，则 1 π 3 0.12 x 1 0.043 3 3 ，
π
由对于函数 g x sinx -x 0 x ， g x cosx-1 0 ,
π
2
0 x
2 恒成立，
所以， g x sinx -x g 0 0 π 即 sinx < x在 0, 2 上恒成立.
sin0.04 1 1 x 1 sinx 1 1所以， 1 x 1 sinx x x
1 1
x x x
2 2 2 2 2
（0注：

0.04 x 0.09,0.2 x 0.3 0.5 ）所以，b a c
cos xex 9．B【详解】令 f (x) ex 1 tan x cos x sin x ，0 x ，
cos x 4
令 g(x) cos xex cos x sin x，g (x) ( sin x cos x) ex sin x cos x ( ex 1) (cos x sin x) ，
当0 x

时， g (x) 0， g(x)单调递增，
4
又 g(0) 1 1 0，所以 g(x) 0，又 cos x 0，
所以 f (x) 0

，在 (0, )成立，所以 f (0.2) 0即 a c，
4
1 x
令 h(x) ln(x 1) x ，h (x) 1 h(x) x (0, ) h(x) h(0) 0x 1 x 1， 在 2 为减函数，所以 ，
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ln(x 1) x m(x) x tan x m (x) 1 1即 ，令 ， ，m(x)2 在 x

(0, )
cos x 2 为减函数，所以
m(x) m(0) 0，即 x tan x，所以 ln(x 1) x tan x， x (0,
)
2 成立，
令 x 0.2，则上式变为 ln(0.2 1) 0.2 tan 0.2，所以b 0.2 c
所以b c，所以b c a .
10．ACD【详解】对于 A， f x a sin x cos x sin 2 x 1
a sin x cos x sin 2x 1 f x ，所以函数 y f x 的一个周期为π，
下面研究函数在 0, π 上的情况，
当 x
0, π 时， f x a sin x cos x sin 2x 1

2asin x 2sin2 x
2
；
4 4
x π当 , π

时， f x a sin x cos x sin 2x 1 2asin x

2sin
2 x
2
；
4 4
所以函数 y f x 的最小正周期为π，故 A 正确；
f x f x a sin x cos x sin 2 x 1 a sin x cos x sin 2x 1
2a sin x cos x 2 2a 2，故 B 错误；

f x a sin

x
cos x
2 2 2
sin2 x 1 a sin x cos x sin2x 1 f x
2

对于 D，令 a 1，当 x 0, 2 时，
f x sin x cos x sin 2x 1 sin x cos x sin 2x 1
sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x 1 2 sin
x

4
，

显然当 x 0 时， f (x) = 0 ；
x , 当 时， f x sin x cos x sin 2x 1 2 ，
f ' x cos x sin x 2cos2x cos x sin x 2 sin x cos x cos x sin x
cos x sin x 1 2 cos x sin x 2 sin x =

4
1 2 cos x sin x ，

x , , cos x 0,sin x 0,1 2 cos x sin x 1 2 ，
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3 '
仅当 x 时， f (x 0
3
)= ，当 x '时， f x 0 ，是增函数，
4 2 4
3
x '

当 4 时，
f x 0 ，是减函数， f 0, f 0
2
，

f x 0 ，仅当 x 2 时等号成立，
∴ f x k 在一个周期内有 2 个零点，即仅有 x k Z 是函数的零点，
2
∴当 n=1011时，在开区间 0,1011 上有 2021个零点，
11．AC【详解】对 A，因为 f x 图象关于直线 x 2对称，故 f x 2 f x 2 ，
且 f x 2 f x 2 ，故 f x 2 f x 2 ，即 f x f x ，故 f x 为偶函数，
1
对 B，当 x 2,4 时， f (x) log 1 x x 16 为减函数，又 f x 为偶函数，故在其对3
称区间 4, 2 上为增函数，故 B 错误；
对 C，由 f x 2 f x 2 可得 f x 的周期为 4，故 f 2025 f 506 4 1 f 1 ，
f 1 f 1 f 3 log 3 1 3 1 1又 f x 为偶函数，故 1 ，故 C 正确；
3 6 2
对 D，当 x 2,4 时， f (x) log
1
1 x x 1
1
6 为减函数，且
f 3 0
3 2
，
f 2 log 2 2 2 1 log 2 13 3 3 2 3log3 2
1
log3 9 log3 8 0，故 f x 在 2,3 3 3 上有零3
点，故 D错误；
12．BD【详解】选项 A： f (x ) 8sin(x ) tan(x ) 8sin x tan x f (x)，所以
不是 f (x)的一个周期，A 错误.
选项 B： sin x的对称中心是 (k , 0)(k Z )，也是 tan x的对称中心，所以 f (x)的对称
中心是 (k , 0)(k Z )，B 正确.
1 1
选项 C：f (x) 8cos x 2 ，当 x ( , )时，cos x ( 1,0)；令 f (x) 0解得 cos x .cos x 2 2
1 2 1
所以当 cos x ( 1, )即 x ( , )时 f (x) 0， f (x)2 3 单调递减；
cos x ( ,0)
2 即
x ( , 2 )时 f (x) 0， f (x)2 3 单调递增
.
2
所以 fmax (x) f ( ) 3 33 ，
C错误.
选项 D：y f (x) x 在 (0,2 )所有零点即 y f (x)与 y x 图像所有交点的横坐
标，根据 B选项 y f (x)关于 ( ,0)中心对称和 C选项中的单调性可画出简图：
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显然 x 是一个交点，
又因为 y x 也关于 ( ,0)中心对称，所以 f (x) x 图像交点关于 ( ,0)对称.
故零点和为 2 3 ，D正确.
13．AC 2【详解】当a 2时， 2x bx c 1在 1 x 1上恒成立，
可取b 0,c 1，验证可知符合题意，此时 b c 2，B 错误；
2
当b 1时， ax x c 1在 1 x 1上恒成立，
a 1 ,c 1可取 4 4，验证可知符合题意，故
D 错误；
A f x 2x2对于 选项，令 bx c，必有 f 1 1, f 1 1，
即 2 b c 1, 2 b c 1，
则2 2 b c 2 b c 2 b c 2 b c 2 b，
b 1
解得： 1 b 1

，则 f x 的对称轴 x ,1

4 ， 4
同理：2 2 b c 2 b c 2 b c 2 b c 2 2 c ，
所以 2 c 1，解得： 3 c 1，
b 2
f 1
8c b
1①
4 8

于是 f x 1要满足 f 1 1 2 b c 1②，

f 1 1 2 b c 1③

由①知：8c b2 8，因为 1 b 1，故8c b2 8 8④，
因为 3 c 1所以8c 8⑤，综合④⑤，可知：8c 8，
解得： c 1，此时b2 8 8，解得：b 0，
所以 f x 2x2 1，经验证满足题意，
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且 | b | | c | 1 A 2， 正确；对于 C 选项，令 g x ax x c，
由 g 1 a 1 c 1， g 1 a 1 c 1可得：
2 a c 0
，故 a c 0
0 a c 2
，
则 g x ax2 x a，所以 1 ax2 x a 1恒成立，
1 1
即 1 x ax2 a 1 x，易知： a 即可，
2 2
14．BD【详解】对于 A，令 h x f x c,c R，定义域为 R，则 h x f x g x ，
h 3 x

f
3 3 3
x

c h

， x f x

2
c ，
2 2 2
3 3 3 3
又 f x f x ，则 h x

h

x

，显然 h x f x c2 2 2 2 也满足题设，即
f x 3 上下平移均满足题设，显然 f 2 的值不确定，A 错误；
3
B f x

对于 ， f
3 x ，则 3 3 f x

f

x

，即 f
3 x f 3 x
2 2
，
2 2 2 2
g 3 x g 3 x g 3 g 3 x 0 g
3 0
2 2
，令 可得 ，则 ，B正确；
2 2 2
对于 C，由 g 2 x g 2 x 即 f 2 x f 2 x ，则 f 2 x f 2 x ，令
f 2 x f 2 x ，
显然满足要求，则 f x 关于 2,0 3 3对称，又 f x f x
3
2 2 可得
f x 关于 x 对
2
称，则 f x f 3 x f 1 x ，C 错误；
对于 D，由 g 2 x g 2 x 可得 g x 关于 x 2对称，则 g 1 x g 3 x ；由
g 3 x 3 3 g

x
g x ,0
2 可得 关于 对称， 2 2
则 g x g 3 x g 1 x g 2 x g x 2 ，D 正确.
15． ( , 1)
1 1
【详解】不妨设 t 1，（1）当 k 0时， f (t) t 1 0， f k ln 0t t ，不存在实数
1
t（ t 0且 t 1 ），使得 f f (t)t 成立．
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2 k 0 t t 0
1
（ ）当 时，若存在实数 （ 且 t 1），使得 f f (t)t 成立，
则方程 t 1 k ln
1
t，即
t 1 k ln t 0有大于 1的实数根．
令 g(t) t 1 k ln t(t 1) g (t)
t k
，则 t ．
①若 1 k 0，则 g (t) 0，g (t)在 (1, )上单调递增，则 g(t) g(1) 0，此时方程
t 1 k ln t 0无解．
②若 k 1，则当1 t k时， g (t) 0，当 t k时， g (t) 0，
所以 g (t)在 (1, k)上单调递减，在 ( k, )上单调递增，
故只需 g( k) k 1 k ln( k) 0，
令m k，则h(m) m 1 m lnm(m 1)，h (m) lnm 0，
所以 h(m)在 (1, )上单调递减，又 h(1) 0，所以m >1，即 k 1时，
所以不等式 g( k) k 1 k ln( k) 0恒成立．
综上可知，实数 k的取值范围是 ( , 1)．故答案为： ( , 1)
1 1
16． ( , )【详解】因为函数 f x 是偶函数，所以 f 3 x f 3 x f x 3 2 2 ，
可得函数 f x 是以6为周期的周期函数，
2
因为关于 x的方程 f x tf x 3 0在[ 150,150]上有300个解，
x f 2所以关于 的方程 x tf x 3 0在[ 3,3]上有6个解，
画出函数 f x 在区间 ( 3,3]上的图象，如图所示，
令 f x m，由图象可知：当m 2时， f x m只有1解，
当 2 m 1或m 2时， f x m有 2解，当m 1时， f x m有3解，
当1 m 2时， f x m有4解．
所以关于m的方程m2 tm 3 0在 2 和 (1, 2)上各有1解或 ( 2,1)和 (1, 2)上各有1解，
3
若方程的一解为m 2，则方程的另一解为m (1, 2)，不符合题意．
2
所以关于m的方程m2 tm 3 0在 ( 2,1)和 (1, 2)上各有1解，
1 2t 0

所以 2 t 0
1 1 1 1
，解得 t ，所以实数 t的取值范围为 ( , )．
2 2 2 2
1 2t 0
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1
故答案为： ( ,
1)
2 2 ．
3
17． 1,4e2

【详解】 ex 2x 1 a x 1 无解，
1
当 a 0时，此时只需 x 即可，所以 a 0时，方程有解，舍去；
2
x 1 2x 1
即a 0，则方程可化为 x 无解，e a
f x x 1令 x ，则 f e x
2 x
x ，当 x 2时， f x 0e ，当 x 2时， f
x 0，
f x x 1即 , 2ex 在 上单调递增，在 2, 上单调递减，
且当 x 1时， f x x 1 ex 0恒成立，
f x x 1
ex 在 x 2处取得极大值，也是最大值，
f x f 2 1 g x 2x 1 1 max 2 ，令 a ，为过点e
,0 的直线，
2
画出 f x x 1ex 与 g x
2x 1

a 的图象如下：
g x 2x 1求出 与 f x x 1a ex 相切的两切线
l1, l2，当斜率位于两切线 l1, l2之间时，
两函数无交点，即方程 ex 2x 1 a x 1 x 1 无解，设切点为 x0 , 0
ex0
，

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x0 1
2 x0 ex0 x 0 3 x 0 2 2则 x 1 ，解得： 0 或 ，当 0 时， 0 ，此时 a 1e 0 x 2 e a
；
0 2
3 2
3 3
3
当 x0 时， 2 2 ，解得： a 4e2，故实数 a的范围为 1,4e
2
2 3
e 2 a
n 118 3
i 1
． 【详解】由Pb n logb n 可得， P10 i log10 lg i 1 lg i， i
n n
所以 P10 i lg n 1 ，又 P10 i 2 ，所以， lg n 1 2 33 3，即 n 1 100i 1 i 1
所以，n 1,2,3则 n的最大值为3 .
2
19 5 1 f x ax2 8x 3 a x 4 3 16 3
16
． 【详解】 ，当 5，即 8 a 0时，2 a a a
要使 f x 5在 x 0,M a 上恒成立，要使M a 取得最大值，则M a 只能是
ax2 8x 3 5的较小的根，即M a 2a 16 4 ；
a
3 16当 5，即 a 8时，要使M a 取得最大值，则M a 只能是 ax2 8x 3 5的
a
2 4 2a 4
较大的根，即M a
a
8 a 0 M a 2a 16 4 2 1当 时， ，
a 2a 16 4 2
当 a 8时，M a 2 4 2a 4 4 4 5 1 ，所以M a 的最大
a 4 2a 2 20 2 2
5 1
值为 .
2
3
20 ． 2 3 2,

2
3x 1, x 0【详解】作出函数 f x log x , x 0的图象如图， 4
令 f x t，则当 t 1,2 ，方程 f x t有3个不同的实数解，
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f 2则方程 x a 2 f x 3 0化为 t2 a 2 t 3 0，
2
使关于 x的方程 f x a 2 f x 3 0恰好有六个不同的实数解，
2
则方程 t a 2 t 3 0在 1,2 内有两个不同的实数根，
Δ a 2 2 12 0

a 2
令 g t t2 a 2 t 3 1 2 3，所以 2 ,解得: 2 3 2 a ，
g 1 0 2
g 2 0
a 3 3 所以实数 的取值范围为 2 3 2, .故答案为 2 3 2, . 2 2
3
21． ##0.75
4
【详解】由 f x 1 2为奇函数，可得 f x 1 2 f x 1 2，函数 f x 关于点
1,2 对称，又定义域为 R，则有 f 1 2；
又 f x 2 为偶函数，可得 f x 2 f x 2 ，函数 f x 关于直线 x 2对称，则
f x 4 f 2 x 4 f 2 x ，
又 f 2 x 4 f x ，则 f x f x ，则 f x 2 f x 2 f x 2 ，函数 f x
f 2023 周期为 4，则 f 1012
1 1 1 3
f f 4 f
2 2 2 2 2
；

a b 2
由上可得 f 1 f 1 a b, f 0 4 f 2 4 4a b，则
a b 4 4a b 1
，解得
a 1 f 3 9 1 13 2023 3 3 b 1，则 2
f
4 4 ，则
4 f .
2 2 4
22．(1) 2, (2)证明见解析
【解析】(1)函数 f x ln x a x 2x a R 有两个不同零点x1， x2 x1 x2 ，
2ln x
等价于方程a 2 x (x 0)有两个不同的实根．
x
a ln t
设 t x，即方程 t 2 t 有两个不同的实根．
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2
设 g t t ln t (t 0)， g t 1 1 ln t t ln t 1 ，t t 2 t 2
令u t t2 ln t 1(t 0)，则u t 2t 1 0在 (0, )恒成立
t
所以函数u t 在 0, 上单调递增，注意到u 1 0，
所以当0 t 1时，u t 0，当 t 1时，u t 0．
所以 g t 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增．
当 t 0时， g t ，当 t 时， g t ，
g t 1 a a ln t又 ，则只需 1即 a 2方程 t
2 2 t 有两个不同的实根．
则实数 a的取值范围是 2, ．
2
(2)注意到 t1 x1 ， t2 x
a a
2 ，要证 x 2
2
1 x2 ，只需证 t t 4 1 2 2
．
a ln t2 a
由（1）知，0 t1 1 t2，故有 t2 2

t ，即
t2
2 2
．
ln 1
1 ln t2

t t 1 h t g t 1 t 1
1
下面证明：1 2 ．设 2 2 g t
t2 t
2 t2 t2 ln t2，
2 2 t 12 t 2
t2
t2
则h t2
1 1
1 2 1 2 ln t
1 1 1

t t 2
t2 1 2 lnt2 0t ，2 2 2 t2 t2
所以函数h t2 在 1, 上单调递减，所以h t2 h 1 0，
g t g 1 0 g 1 所以 2 ，故有 g t2 g tt 1 ． 2 t2
又0
1
1，0 t1 1t ，且
g t 在 0,1 上单调递减，
2
1
所以 t
a
t 1，即得
t 21 t2 1．因此 t1 t2 2，结论得证．2
23．(1) (1, )；(2)9；(3)证明见解析.
【解析】(1) x由题设 f x,1,1 2 log2 x x 3，又 f x,1,1 在定义域上递增且 f 1,1,1 3，
所以 f x,1,1 f (1,1,1)，则 x 1，故解集为 (1, ) .
(2) x 1由题设， f x,2,0 2 x， f x,0,1 log2 x x，
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由 f x1,2,0 9， f x2 ,0,1 10，则 2x1 1 9 x1， log2 x2 1 9 x2 ，
所以 x1, x2分别是 y 9 x与 y 2x 1、 y log2 x 1的交点横坐标，
而 y 2x 1与 y log2 x 1关于 y x对称，即互为反函数，所以 x1 9 x2 ，即 x1 x2 9 .
(3)由 f u,a,0 a 2u u， f v,0,1 log2 v v，
v
由题设有 f u,a,0 f v,0,1 log2 a a 2u u log2 v t loga 2 a，
又 a 0， y a 2x y
x
与 log2 关于 y x对称，且在定义域上均递增，a
u u log v当v a 2 时， 2 ，则 t log2 a 0
u
a ，此时
v a 2 t log2 a 0；
u u log v当v a 2 时， 2 ，则 t log2 a 0
u
a ，此时
v a 2 t log2 a 0；
当v a 2u u log
v
时， 2 ，则 t log2 a 0
u
a ，此时
v a 2 t log2 a 0；
u
综上， v a 2 t log2 a 0 .
24 (1) (2) a 2 10 10． 答案见解析
9
x2 2ax, x 0
【解析】(1)解：因为 f x 2 ，
x 2ax, x 0
所以，函数 f x 在 ,a 、 0, 上单调递增，在 a,0 上单调递减，
1
当2a 1时，即当 a 时， f x f 0min 02 ；
1
当 1 2a 0时，即当 a 0时， f x f 1 2a 1
2 min
.
1
0,a
综上所述，函数 f x 在 1,1 上的最小值为 f x 2min .
2a 1, 1 a 0
2
(2)解： h x 0 f x g x ，不妨设 x1 x2 x3，
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ax b, x
b

因为 g x ax b a ，
ax b, x b
a
b
①当 2a时，即当0 b 2a2时，a
由 ax b x2 2ax可得 x2 ax b 0，即x1为方程 x2 ax b 0的一根，
由 ax b x2 2ax可得 x2 3ax b 0，即x 为方程 x22 3ax b 0的一根，
由 ax b x2 2ax可得 x2 ax b 0，即 x 为方程 x23 ax b 0的一根，
由图象可知x x 2 x1、 3是方程 x ax b 0的两根， 2是方程 x2 3ax b 0的较大根，
1 1 x1 x3 a 2
则由韦达定理与求根公式可知 3a 9a 4bx1 x
， x2 ，
3 x1x3 b 2
1 2 2 3a 9a2 4b 3a 9a2 4b
则 x ，2 3a 9a2 4b 3a 9a2 4b 3a 9a2 4b 2 b
1 1 1 a 9a2 4b
可得 ，
x1 x2 x3 2b
2 2
令 t a 9a 2 4b 4a , 2a 9a a t，而b ，
4
1 1 1 2t 2

则 x x x 9a21 2 3 a t 2 2 t 8a 2a，
t
8a2
因为函数 y t 2a在 4a, 2a 上单调递减，
t
2 1 1 1 2 1
当 t 4a, 2a 8a ,时， t 2a 4a, 0 ，则 x1 x2 x3 t 8a
2
2a 2a

；t t
② 9a
2
由 ax b x2 2ax可得 x2 3ax b 0， 9a2 4b 0，可得b ，
4
b 2
且当 2a时，即当 2a2 b
9a
时，由 ax b x2 2ax可得 2
a x ax b 0，4
由图象可知 x1、x2是方程 x2 3ax b 0的两相异根， x3是方程 x2 ax b 0的较大
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根，
1 1 x1 x 3a 22
由韦达定理以及求根公式可得 ， x a a 4bx x x x b 3 ，1 2 1 2 2
1 2 2 a2 4b a a2 4b a
所以， x a a2 ， 4b a23 4b a a2 4b a 2 b
1 1 1 5a a2 4b
可得 ，
x1 x2 x3 2b
2 2
令 s 5a a 2 4b 2a, 5 10 a s 5a a ，而b ，4
1 1 1 2 s 2

则 x1 x2 x3 s
2 10as 24a 2 s 24a
2
10a .
s
24a2
由双勾函数的单调性可知，函数 y s 10a在 2a, 5 10 a 上单调递减，s
2
且当 s 2a, 5 10 a s 24a时， 10a 0，s
p s 2
则 s 24a
2 在 2a, 5 10 a 10a 上单调递增，
s
2 1 10 2 10
当 s 2a, 5 10 a p s 2 时， , .s 24a 10a 2a 9a
s
1 1 1 10 2 10
综上所述， x x x
, ，
1 2 3 9a
1 1 1 10 2 10 2 10 10
又满足 1x x x ，故 1 ，即 a .1 2 3 9a 9
25．(1) y -x2
9 3
+x 6 (2) 最大值 ，此时 P ,
21
8 2 4

(3) E
7 ,0 7 11 7 5 22 7 5 221 4 ，
E2 , E ,4 4 ， 3 4 4 ，
E4 ,
4 4
【解析】
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1
(1)解：在直角△AOC中 tan ACO ， A 2,0 ，所以OC 3OA 6，即C 0,6 ，
3
6 c b 1
将 A 2,0 ，C 0,6

代入 y x 2 bx c，可得
0 4 2b c
解得 ，
c 6
所以该抛物线的解析式为 y -x2 +x 6.
(2)解：如图，过点 P作 PF AB交 BC于点 F，
令 x2 x 6 0，解得 x1 3, x2 2，可得 B点坐标为 3,0 ，
3k b1 0
设直线 BC的解析式为 y kx b1，可得 ，解得 k 2,b1 6b ， 1 6
即直线 BC的解析式为 y 2x 6，
设 P t, t 2 t 6 0 t 3 ，F t, 2t 6 ，所以 PF t 2 3t，
因为CO AB,PF AB，所以CO∥PF，可得 OCB PFM ，
所以 tan OCB tan PFM
BO 3 1
，
CO 6 2
2
所以 PM
1
PF 1 t 2 3 t 1 t
3

9
，
2 2 2 2 2 8
3 9 3 21
当 t 时，PM2 取最大值 ，此时
P ,8
.
2 4
2
(3) 1 25解：由（1）知 y x2 x 6 x ，
2 4
因为 x
3
轴上有一点Q , 04 ，将原抛物线沿
x轴正方向平移恰好经过点Q时停止，

5
得到新抛物线为 y1，因为 A 2,0 ，可得 AQ 4，所以
1 5 2y x 25
2
7 25 y x 71 x ，则 1的对称轴为 ，
2 4 4 4 4 4
E 7 m 1 25 3 设 ，4 ，因为
D , ，Q , 0 ，
2 4 4
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25 1
t s
设直线DQ的解析式为 y tx s
4 2 15
，可得 ，解得 t 5, s ，
0 3 t s 4
4
DQ y 5x 15 QD2 1 3
2
25
2

325
所以直线 的解析式为 ，则
4 2 4
，
4 8
7 3 2 25 7 1 2 2QE 2 m2 m2 ,DE 2 25 m 25 25
2


m

4 4 4 4 2 4 16 4
m2 25m 325 ED EQ 25 m2 m2 25m 325 11 ，当 时，可得 ，解得m ，
2 8 4 2 8 4
QD QE 25 m2 325当 时，可得 m 5 22 ,m 5 22，解得 ，
4 8 1 4 2 4
DE DQ 325 25 325 25当 时，可得 m2 m ，解得m1 0，m8 2 8 2
，
2
15 7 25 7 25
因为直线DQ的解析式为 y 5x ，当 x 时，y = ，即 E , QD4 4 2 4 2
在直线 上，

此时不能构成三角形，
E 7 ,0 E 7 ,11

E 7 5 22
7 5 22
所以 1 4 ， 2 4 4 ， 3
, E ,
4 4
， 4 .
4 4
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【高考真题练习】
一、单选题
1 x x．函数 y 3 3 cos x π在区间 ,
π
2 2
的图象大致为（ ）

A． B． C． D．
2．如图是下列四个函数中的某个函数在区间[ 3,3]的大致图像，则该函数是
（ ）
x3A y 3x
3 2sin x
． 2 B y
x x C y 2x cos x． ． D． y
x 1 x2 1 x2 1 x2 1
22
3．已知函数 f (x)的定义域为 R，且 f (x y) f (x y) f (x) f ( y), f (1) 1，则 f (k)
k 1
（ ）
A． 3 B． 2 C．0 D．1
4．已知函数 f (x), g(x)的定义域均为 R，且 f (x) g(2 x) 5, g(x) f (x 4) 7．若
22
y g(x)的图像关于直线 x 2对称， g(2) 4，则 f (k) （ ）
k 1
A． 21 B． 22 C． 23 D． 24
5．已知函数 y f x 是偶函数，当 x (0, ) x时，y a 0 a 1 ，则该函数在 ( , 0)
上的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
6．已知2a 5,log8 3 b，则4a 3b （ ）
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A．25 B．5 C
25 D 5． 9 ． 3
7 f (x) 1．己知函数 1 2x ，则对任意实数 x，有（ ）
A． f (- x)+ f (x) = 0 B． f ( x) f (x) 0
C． f ( x) f (x) 1 D． f ( x) f (x)
1

3
8．函数 f x
1

lg x的定义域是（ ）
A． 0, B． 0,1 1, C． 0,1 U 1, D． 1,
9．设函数 f(x) (x R)满足 f( x )=f(x)，f(x)=f(2 x)，且当 x [0,1]时，f(x)=x3.又函数
1 3
g(x)=|xcos ( x) |，则函数 h(x)=g(x)-f(x)在[ , ]2 2 上
的零点个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
f (x) 110．函数 1 xx 的定义域是_________．
x2 4, x 211．已知 a R，函数 f (x) 若 f f 6 3，则a ___________.
x 3 a, x 2,
1 0.712．已知 a 20.7，b ，c log
1
2 3，则
a、b、c的大小关系为_____________.
3
13．化简 (2 log 4 3 log8 3)(log3 2 log9 2)= ____________
14．已知函数 f x x3 1 1的反函数为 y f x ，则 f 27 ________
15．若 log2 x log1 4 0，则实数 x的值是______.
2
16 2．已知函数 f x min x 2, x ax 3a 5 ，若 f x 至少有3个零点，则 a的取
值范围是______.

17．若函数 f (x) Asin x 3cos x的一个零点为 ，则 A ________3 ；
f 12
________．

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三、双空题
ax 1, x a,
18．设函数 f x 2 若 f (x)存在最小值，则 a的一个取值为________；
x 2 , x a.
a的最大值为___________．
x2 2, x 1,
1
19 ．已知函数 f x
x 1
则 f
1, x 1,
f 2 ________；若当
x [a,b]时，
x
1 f (x) 3，则b a的最大值是_________．
20．若 f x ln a
1
b
1 x 是奇函数，则
a _____，b ______．

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【参考答案】
1 A f x 3x x． 【详解】令 3 cos x, x , ， 2 2
f x 3 x x则 3 cos x 3x 3 x cos x f x ，
所以 f x 为奇函数，排除 BD；
又当 x
0, x x 2 时，
3 3 0,cos x 0 ，所以 f x 0，排除 C.

3
2 x x．A【详解】设 f x ，则 f 1 02 ，故排除 B;x 1
h x 2x cos x π 设 x2 ，当
x 0, 时，0 cos x 1，
1 2
h x 2xcos x 2x所以 1x2 1 x2 1 ，故排除 C;
g x 2sin x设 2 ，则 g 3
2sin 3
0
x 1 ，故排除
D.
10
3．A【详解】因为 f x y f x y f x f y ，令 x 1, y 0可得，2 f 1 f 1 f 0 ，
所以 f 0 2，令 x 0可得， f y f y 2 f y ，即 f y f y ，所以函数 f x
为偶函数，令 y 1得， f x 1 f x 1 f x f 1 f x ，即有
f x 2 f x f x 1 ，从而可知 f x 2 f x 1 ， f x 1 f x 4 ，故
f x 2 f x 4 ，即 f x f x 6 ，所以函数 f x 的一个周期为6．
因为 f 2 f 1 f 0 1 2 1， f 3 f 2 f 1 1 1 2 ，
f 4 f 2 f 2 1， f 5 f 1 f 1 1， f 6 f 0 2，所以
一个周期内的 f 1 f 2 f 6 0．由于 22除以 6余 4，
22
所以 f k f 1 f 2 f 3 f 4 1 1 2 1 3 ．
k 1
4．D【详解】因为 y g(x)的图像关于直线 x 2对称，所以 g 2 x g x 2 ，
因为 g(x) f (x 4) 7，所以 g(x 2) f (x 2) 7，即 g(x 2) 7 f (x 2)，
因为 f (x) g(2 x) 5，所以 f (x) g(x 2) 5，
代入得 f (x) 7 f (x 2) 5，即 f (x) f (x 2) 2，
所以 f 3 f 5 f 21 2 5 10，
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f 4 f 6 f 22 2 5 10 .
因为 f (x) g(2 x) 5，所以 f (0) g(2) 5，即 f 0 1，所以 f (2) 2 f 0 3 .
因为 g(x) f (x 4) 7，所以 g(x 4) f (x) 7，又因为 f (x) g(2 x) 5，
联立得， g 2 x g x 4 12，
所以 y g(x)的图像关于点 3,6 中心对称，因为函数 g(x)的定义域为 R，
所以 g 3 6因为 f (x) g(x 2) 5，所以 f 1 5 g 3 1 .
所以
22
f (k) f 1 f 2 f 3 f 5 f 21 f 4 f 6 f 22 1 3 10 10 24
k 1
5．B【详解】当 x (0, ) x时， y a 0 a 1 ，所以 f x 在 0, 上递减，
f x 是偶函数，所以 f x 在 , 0 上递增.注意到 a0 1，
4a 2a 2 52 25
6．C【详解】因为2a 5，b log 3
1
log 3 3b 4a 3b8 ，即 ，所以 3 2 2 3 43b 23b 2 32 9
．
x
7．C【详解】 f x f x 1 1 2 1 x x x x 1，故 A 错误，C 正确；1 2 1 2 1 2 1 2
x
f x f x 1 1 2 1 2
x 1 2
x 1 ，不是常数，故 BD 错误；1 2 1 2x 1 2x 1 2x 2x 1 2x 1
x 0
8．B【详解】由题知： ，解得 x 0且 x 1 .所以函数定义域为 0,1 1,
lg x 0
.

9．B【详解】因为当 x∈[0,1]时，f(x)＝x3，所以当 x∈[1,2]时，2－x∈ [0,1]，f(x)
＝f(2－x)＝(2－x)3.
0, 1 1 , 3当 x∈ 2 时，g(x)＝xcos (πx)

；当 x∈
2 2
时，g(x)＝－xcos(πx)，注意到函数

1
f(x) g(x) f(0) g(0) f(1) g(1) g
3
， 都是偶函数，且 ＝ ， ＝ ， 2 ＝g 2 ＝0，作出函数 f(x)，
1
g(x) 1 的大致图象，函数 h(x)除了 0,1这两个零点之外，分别在区间 ,0 2 ，
0,
2
，

1 3

,1 1,
2 ， 2 上各有一个零点，共有 6 个零点，故选 B.
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10． ,0 0,1
1 1 x 0
【详解】解：因为 f x 1 x，所以 ，解得 x 1x 0 且 x 0 ，x
故函数的定义域为 ,0 0,1 ；故答案为： ,0 0,1
11．2【详解】 f f 6 f 6 4 f 2 2 3 a 3，故a 2，
12． a b c## c b a
1 0.7
【详解】因为20.7 0 log
1
21 log2 ，故 a b c .
3 3
13．2【详解】原式 (2
1
log 12 3 log2 3)(log3 2
1
log 2) 4 log 3 3 log 2 2，
2 3 2 3 3 2 2 3
14．3【详解】由 y x3可得 x 3 y ，故 f 1 x 3 x，因此， f 1 27 3 27 3 .
1 1
15． 【详解】 log2 x log 1 4 0 log2 x log2 4 0 ，即 log2 x 2，解得： x .4 2 4
16．a 10【详解】设 g x x 2 ax 3a 5， h x x 2，由 x 2 0可得 x 2 .
要使得函数 f x 至少有3个零点，则函数 g x 至少有一个零点，则
a2 12a 20 0，解得a 2或a 10 .
①当 a 2时， g x x2 2x 1，作出函数 g x 、h x 的图象如下图所示：
此时函数 f x 只有两个零点，不合乎题意；
②当 a 2时，设函数 g x 的两个零点分别为x1、 x2 x1 x2 ，
要使得函数 f x 至少有3个零点，则 x2 2，
a
2
所以， 2 ，解得 a ；
g 2 4 5a 5 0
③当 a 10时， g x x 2 10x 25，作出函数 g x 、h x 的图象如下图所示：
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函数创新学案——2023 届高考二轮专题复习
由图可知，函数 f x 的零点个数为3，合乎题意；
④当 a 10时，设函数 g x 的两个零点分别为 x3、 x4 x3 x4 ，
要使得函数 f x 至少有3个零点，则 x3 2，
a
2
可得 2 ，解得 a 4，此时a 10 .
g 2 4 a 5 0
综上所述，实数 a的取值范围是 10, .故答案为： 10, .
17． 1 2
π
【详解】∵ f ( π) 3 A 3 0 ，∴ A 1∴ f (x) sin x 3 cos x 2sin(x )
3 2 2 3
f ( π ) 2sin( π π ) 2sin π 2故答案为：1，
12 12 3 4 2
18． 0（答案不唯一） 1
1 , x 0
【详解】解：若 a 0时， f (x) { f (x) 0(x 2)2 , x 0 ，∴ min ；
若 a 0时，当 x a时， f (x) ax 1单调递增，当 x 时， f (x) ，故 f (x)没
有最小值，不符合题目要求；
若 a 0时，当 x a时， f (x) ax 1单调递减， f (x) f (a) a2 1，
0 (0 a 2)
当 x a时， f (x)min {(a 2)2 (a 2)
∴ a2 1 0或 a2 1 （a 2）2，解得0 a 1，
综上可得0 a 1；故答案为：0（答案不唯一），1
37
19． ##28 3 3 3+3
1 1 2 7 7 7 4 37 f f (1 37【详解】由已知 f ( ) 2 ， f ( ) 1 ，所以 ) ，2 2 4 4 4 7 28 2 28
当 x 1时，由1 f (x) 3可得1 x2 2 3，所以 1 x 1，
1
当 x 1时，由1 f (x) 3可得1 x 1 3，所以1 x 2 3，x
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1 f (x) 3等价于 1 x 2 3 ，所以[a,b] [ 1, 2 3]，
37
所以b a的最大值为3 3 .故答案为： .28，3 3
1
20． 2； ln 2．
【详解】因为函数 f x ln a
1
b
1 x 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由a
1
0 a 1 1可得， 1 x a 1 ax 0 ，所以 x 1a ，解得：a 1 x 2，即函数
的定义域为 , 1 1,1 1, ，再由 f 0 0可得，b ln 2．即
f x ln 1 1 ln 2 ln 1 x
2 1 x 1 x，在定义域内满足
f x f x ，符合题意．

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【课时作业】
一、单选题
1．函数 f (x) 2sinx sin2x在 0,2 的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
1 1
2．若 2a 5b 10，则 （ ）
a b
A． 1 B． lg 7 C．1 D． log710
3．已知 a log2 7，b log 8， c 0.30.23 ，则 a,b,c的大小关系为
A． c b a B．a b c C．b c a D．c a b
4．已知函数 f (x) lnx ln(2 x)，则
A． f (x)在（0，2）单调递增 B． f (x)在（0，2）单调递减
C． y = f (x)的图像关于直线 x=1 对称 D． y = f (x)的图像关于点（1，0）对称
5．已知 f x 2 x cosx， x R ，若 f 1 t f 1 2t 0成立，则实数 t的取值范围
是
A 0,
2 2B 0, C ,0 2． ． ． ,

D． ,0 U 0
2
，
3 3 3 3
3
6 2x．函数 y 在 6,6x x 的图像大致为2 2
A． B． C． D．
7．设函数 f (x)的定义域为 R，满足 f (x 1) 2 f (x)，且当 x (0,1]时， f (x) x(x 1) .
8
若对任意 x ( ,m]，都有 f (x) 9，则 m的取值范围是
A
9
, , 7 5 8． B． C． ,

4 D

． ,

3 2 3
8．已知 f (x)是定义域为 ( , )的奇函数,满足f(1 x) f(1 x).若 f (1) 2，则
f (1) f (2) f (3) f (50)
A． 50 B． 0 C． 2 D．50
9．设 a 0.1e0.1,b
1
，c ln 0.9，则（ ）
9
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A． a b c B． c b a C． c a b D． a c b
10．设函数 f x 的定义域为 R， f x 1 为奇函数， f x 2 为偶函数，当 x 1,2
9
时， f (x) ax 2 b．若 f 0 f 3 6，则 f 2 （ ）
9 3 7 5
A． B． C． D4 ．2 4 2
二、填空题
11 f x x3 a 2x 2 x．已知函数 是偶函数，则a ______.
12．已知 f (x)是奇函数，且当 x 0时， f (x) eax .若 f (ln 2) 8，则a __________.
13．已知 f (x) m(x 2m)(x m 3), g(x) 2 x 2 ，若同时满足条件：① x R, f (x) 0
或 g(x) 0；② x ( , 4), f (x)g(x) 0 .则 m的取值范围是________________.
三、解答题
14．设函数 f (x) k 2x 2 x是定义 R 上的奇函数．
（1）求 k 的值；（2）若不等式 f (x) a 2 x 1有解，求实数 a 的取值范围；
（3）设 g(x) 4 x 4 x 4 f (x) ，求 g(x)在[1, )上的最小值，并指出取得最小值时
的 x 的值．
15．已知向量m (sin x 3 cos x,1)， n (2sin x,4cos 2 x) ，函数 f (x) m n．
x [0, （1）当 ]时，求 f (x)的值域；
2
x [0, ] 2
（2）若对任意 2 ， f (x) (a 2) f (x) a 2 0，求实数 a的取值范围
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【参考答案】
1．B【详解】由 f (x) 2sin x sin 2x 2sin x 2sin x cos x 2sin x(1 cos x) 0，
得 sin x 0或cos x 1， x 0, 2 ，
x 0、 或2 ． f (x)在 0,2 的零点个数是 3，
2．C【详解】 2a 5b 10， a log2 10,b log510，
1 1 1 1
lg 2 lg5 lg10 1
a b log210 log
.
510
3．A【详解】 c 0.30.2 0.30 1； log2 7 log2 4 2 ；
1 log38 log39 2 ．故 c b a．
4．C【详解】由题意知，f (2 x) ln(2 x) ln x f (x)，所以 f (x)的图象关于直线 x 1
对称，故 C正确，D 错误；又 f (x) ln[x(2 x)]（0 x 2），由复合函数的单调性
可知 f (x)在(0,1)上单调递增，在 (1, 2)上单调递减，所以 A，B 错误，故选 C．
5．B【详解】函数 y f x 的定义域为 R，关于原点对称，
Q f x 2 x cos x 2 x cos x f x ， 函数 y f x 为偶函数，
当 x 0时， f x 2x cos x， f x 2 sin x 0，
则函数 y f x 在 0, 上为增函数，
由 f 1 t f 1 2t 0得 f 1 t f 1 2t ，
由偶函数的性质得 f 1 t f 1 2t ，
由于函数 y f x 在 0, 2 2上为增函数，则 1 t 1 2t ，即 1 t 1 2t ，
整理得3t 2
2 2
2t 0，解得0 t 3，因此，实数
t的取值范围是 0, ，故选 B. 3
2x3 2( x)3 2x36．B【详解】设 y f (x) x x ，则 f ( x) f (x)2 2 2 x 2x 2x 2 x
f (x) ，所以
2 43
是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项 C．又 f (4) 4 4 0, 排除选项2 2
D f (6) 2 6
3
； 6 6 7，排除选项 A，故选 B．2 2
7．B【详解】 x (0,1]时， f (x)=x(x 1)， f (x+1)=2 f (x)， f (x) 2 f (x 1)，即 f (x)
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函数创新学案——2023 届高考二轮专题复习
右移 1个单位，图像变为原来的 2 倍．
8
如图所示：当2 x 3时， f (x)=4f (x 2)=4(x 2)(x 3)，令 4(x 2)(x 3) 9，整
理得：9x2
7 8
45x 56 0， (3x 7)(3x 8) 0, x1 , x2 （舍）， x ( ,m]时，3 3
7
f (x) 8 7
9成立，即
m ， m , 3 ，故选 B．3
8．C【详解】详解：因为 f (x)是定义域为 ( , )的奇函数，且f(1 x) f(1 x)，
所以 f (1 x) f (x 1) f (3 x) f (x 1) f (x 1) T 4 ,
因此 f (1) f (2) f (3) f (50) 12[ f (1) f (2) f (3) f (4)] f (1) f (2)，
因为 f (3) f (1)，f (4) f (2)，所以 f (1) f (2) f (3) f (4) 0，
f (2) f ( 2) f (2) f (2) 0，从而 f (1) f (2) f (3) f (50) f (1) 2，选 C.
9．C【详解】设 f (x) ln(1 x) x(x 1)，因为 f (x)
1 1 x ，
1 x 1 x
当 x ( 1,0)时， f (x) 0，当 x (0, )时 f (x) 0，
所以函数 f (x) ln(1 x) x在 (0, )单调递减，在 ( 1,0)上单调递增，
f (1) f (0) 0 ln 10 1 1 10所以 ，所以 0，故 ln ln 0.9，即b c9 9 9 9 9 ，
1 1

所以 f (
1
) f (0) 0 9，所以 ln +
1
0 9 e 10 1 1，故 ，所以 e10 ，
10 10 10 10 10 9
故 a b，设 g(x) x e x ln(1 x)(0 x 1) ，则 g (x) x+1 ex 1 x
2 1 ex 1
,
x 1 x 1
令h(x) ex (x2 1)+1，h (x) ex (x2 2x 1)，
当0 x 2 1时， h (x) 0，函数 h(x) ex (x2 1)+1单调递减，
当 2 1 x 1时， h (x) 0，函数h(x) ex (x2 1)+1单调递增，
又 h(0) 0，所以当0 x 2 1时， h(x) 0，
所以当0 x 2 1时， g (x) 0，函数 g(x) x e x ln(1 x) 单调递增，
所以 g(0.1) g(0) 0，即0.1e0.1 ln 0.9，所以 a c
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10．D【详解】因为 f x 1 是奇函数，所以 f x 1 f x 1 ①；
因为 f x 2 是偶函数，所以 f x 2 f x 2 ②．
令 x 1，由①得： f 0 f 2 4a b ，由②得： f 3 f 1 a b ，
因为 f 0 f 3 6，所以 4a b a b 6 a 2，
令 x 0，由①得： f 1 f 1 f 1 0 b 2 ，所以 f x 2x2 2．
f 9 f 5 2 f 5 2 f 1 思路一：从定义入手．
2 2 2 2
f 1 f 3 1 3 5 f
1 f
2 2 2 2
f 5 f 1 1 3 9 3 5 2

f

2
= f 所以 f f
2 2 2
．
2 2 2 2
思路二：从周期性入手
9 1 3 5
由两个对称性可知，函数 f x 的周期T 4．所以 f f f
2 2
．
2 2
11 1 3 x x 3 x x． 【详解】因为 f x x a 2 2 ，故 f x x a 2 2 ，
因为 f x 为偶函数，故 f x f x ，
x3 a 2x 2 x时 x3 a 2 x 2x x x，整理得到 a 1 2 +2 =0，故 a 1，
12．-3【详解】因为 f (x)是奇函数，且当 x 0时 x 0， f (x) f ( x) e ax．
又因为 ln 2 (0,1)， f (ln 2) 8，
所以 e a ln 2 8，两边取以 e为底的对数得 a ln 2 3ln 2，所以 a 3，即 a 3．
13．m 4, 2
【详解】根据 g(x) 2x 2 0可解得 x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致 f(x)
在 x 1是必须是 f (x) 0，当 m=0 时， f (x) 0不能做到 f(x)在 x 1时 f (x) 0，所以
舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故 m<0,且此时 2个根为
1
x1 2m 1

m x1 2m, x2 m 3，为保证条件成立，只需 x m 3 1
2 ，和大前提 m<0
2 m 4
取交集结果为 4 m 0；
又由于条件 2的限制， g(x) 0, x ( , 4)，
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可分析得出在 x ( , 4), f (x) 0，
因此-4应该在两个根之间，当m ( 1,0)时， m 3 4 2m，解得交集为空，舍．
当 m=-1时，两个根同为 2，舍．
当m ( 4, 1)时， 2m 4 m 3，解得m 2，所以m ( 4, 2)
综上所述，m ( 4, 2)．
5
14．（1）1；（2） a 4；（3）最小值为 2，此时
x log2 (1 2) .
【详解】（1）因为 f (x) k 2 x 2 x是定义域为 R 上的奇函数，
所以 f 0 0，所以 k 1 0，解得 k 1，所以 f (x) 2 x 2 x，
当 k 1时， f ( x) 2 x 2x f (x)，所以 f x 为奇函数，故 k 1；
2
（2） f (x) a 2 x 1 1 1有解，所以 a x 1有解， 2 2x
2
a 1 1

所以只需 1 ，
2
x 2x max
1 2 1 1 1 2
因为 1
5 5
（ x 1时，等号成立），所以 a
5
；
2x 2x 2x 2 4 4 4
（3）因为 g(x) 4 x 4 x 4 f (x) ，所以 g(x) 4x 4 x 4 2x 2 x ，
3
可令 t 2x 2 x，可得函数 t 在 1, 递增，即 t 2，
3
则 t 2 4x 4 x 2，可得函数 g(x) h(t) t 2 4t 2 ， t 2，
由h t 3为开口向上，对称轴为 t 2 2的抛物线，
所以 t 2时，h t 取得最小值 2，此时 2 2 x 2 x ，解得 x log2 (1 2)，
所以 g x 在 1, 上的最小值为 2，此时 x log2 (1 2)．
15．（1）[1,4]（2） ( , 2]
【详解】（1） f x 2sin2 x 2 3sinxcosx 4cos2 x 2 2cos 2x 2 3sinxcosx

3 cos2x 3sin2x 2cos 2x 3
3

x 0, 2x , 4 1 当 2 时， 3 3 3 ，
cos 2x 3
1,
2 ，
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所以 f x 的值域为 1,4 ．
（2）令 t f x ， x 0,

，由（1）得 t 1,4
2
2 ，问题等价于
t a 2 t a 2 0，

t 1,4 恒成立，当 t 1时， a R；
t 1 1当 时， a t 1 ， t 1,4 恒成立，
t 1
因为 t 1,4 ， t 1 1 1 2 t 1 2，当且仅当 t 2时，等号成立，
t 1 t 1
所以 t 1 1 的最小值为 2t 1 ，故a 2，综上，实数
a的取值范围为 , 2 ．

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