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<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题32 直线的方程
1．（2022·全国甲卷）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：依题意易知A（-a，0） ，
设P（x1，y1） ，则Q（-x1，y1），
则 ，
故 ，
又 ，则 ，
所以，
即，
所以椭圆C的离心率 .
故选：A.
2．（2020·新课标Ⅲ·文）点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
即为 .
故答案为：B.
1．直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.
4．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
【常用结论】
直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
【牢记口诀】
1．“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．
考点一　直线的倾斜角与斜率
1．直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的变化范围是(　　)
A.　　 B.
C.　　 D.
【答案】B
【解析】直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.
由于α∈，
所以≤cos α≤，
因此k＝2cos α∈[1，]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．
由于θ∈[0，π)，
所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.
考点二　求直线的方程
【方法总结】求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
2．已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为(　　)
A．y－3＝－(x＋4) B．y＋3＝(x－4)
C．y－3＝(x＋4) D．y＋3＝－(x－4)
【答案】C
【解析】方法一　因为直线l的一个方向向量为
n＝(2,3)，
所以直线l的斜率k＝，
故直线l的方程为y－3＝(x＋4)．
方法二　设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于A)，则＝(x＋4，y－3)，
因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，
所以3(x＋4)－2(y－3)＝0，
即直线l的方程为y－3＝(x＋4)．
考点三　直线方程的综合应用
【方法总结】直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．
3．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
【答案】方法一　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，
则A，B(0,1－2k)，
S△AOB＝(1－2k)·
＝≥×(4＋4)＝4，
当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．
故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
方法二　设直线l：＋＝1，
且a>0，b>0，
因为直线l过点M(2,1)，
所以＋＝1，
则1＝＋≥2，故ab≥8，
故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，
当且仅当＝＝时取等号，
此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为＋＝1，
即x＋2y－4＝0.
一、单选题
1．（2022·门头沟模拟）若点为圆的弦的中点，则直线的方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆的标准方程方程为，，即点在圆内，
圆心，，由垂径定理可知，则，
故直线的方程为，即.
故答案为：C.
2．（2022·福建模拟）直线经过第一、二、四象限，则（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】因为直线经过第一、二、四象限，则该直线的斜率，可得，
该直线在轴上的截距，可得。
故答案为：C.
3．（2021高三上·浙江期末）已知点A（1，-1），B（1，2），则直线AB的倾斜角为（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角为.
故选：D
4．（2022·重庆模拟）已知 ，直线 与曲线 相切，则 （　　）
A． B．-1 C．-2 D．
【答案】B
【解析】因为直线 与曲线 相切，所以设切点为 ，
则 ，因为 ，所以 ，
则切线方程为： ，因为过点 ，代入可得：
.
令 ，则 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，且 ，所以切点为 ，则 .
故答案为：B.
5．（2022·济南模拟）过与的交点，且平行于向量的直线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，所以交点坐标为，
又因为直线平行于向量，所以所求直线方程为，
即.
故答案为：C.
6．（2021高三上·永州月考）过圆 的圆心且与直线 垂直的直线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆 的圆心为 ，与直线 垂直的直线的斜率为1
所以所求直线为 ，即
故答案为：C
7．（2022·潍坊二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点，在角的终边上，且，则（　　）
A．2 B． C．-2 D．
【答案】C
【解析】由已知得，因为点，在角的终边上，所以直线的斜率为，所以，明显可见，在第二象限，。
故答案为：C
8．（2022·淄博模拟）若圆的弦MN的中点为，则直线MN的方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圆方程可知圆心，则，由题可知，所以，又MN过点，根据点斜式公式可知直线MN的方程是。
故答案为：B.
9．（2022·深圳模拟）过抛物线的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于（　　）
A．30 或150 B．45 或135 C．60 或120 D．与p值有关
【答案】C
【解析】如图所示，
由抛物线的焦点为，准线方程为，
分别过A，B作准线的垂线，垂足为，，直线l交准线于，如图所示：
则，，，
所以，，
所以，即直线l的倾斜角等于，
同理可得直线l的倾斜角为钝角时即为120 。
故答案为：C．
10．（2021·蚌埠模拟）过点 的直线与 轴正半轴相交于点 ，与 轴正半轴相交于点 ，则 的最小值为（　　）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【解析】解：由题得直线的方程为
因为直线过点P(11)，所以
则由题得，(当且仅当时等号成立)
所以 的最小值为
故答案为：B
11．（2021·遂宁模拟）已知过点 的直线 与圆心为 的圆 相交于 ， 两点，当 面积最大时，直线 的方程为（　　）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】A
【解析】 的面积 ，当仅当 时“ ”成立，此时点 到
直线 的距离为 .
当直线 的斜率不存在时，即 ： ，此时圆心到直线 的距离为 ，不满足题意；
当直线 的斜率存在时，设 ： ，则 ，解得 ，所以方程为 .
故答案为：A
12．（2021·鹤壁模拟）已知曲线 与直线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：曲线 整理得 ，则该曲线表示圆心为 ，半径为1的圆的上半部分，直线 过定点 ，如图，当 时，曲线与直线有两个不同的交点，
由 ，得 或 ，所以 ，
，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：A．
13．（2020高三上·安徽月考） 和 是平面上圆C上两点，过A，B两点作圆C的切线交于x轴上同一点，则圆C的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设切线交于x轴上的点为 ，
由题意可知 中垂线为 ，可得 中点 ，
，则 ，
则直线 方程为： ，故 ，
在 中， ，
， ，
∵ ，故 ，
，故圆C面积为 ．
故答案为：C.
二、填空题
14．（2022·黄浦模拟）若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为　 　（结果用反三角函数值表示）.
【答案】
【解析】因为是直线的一个方向向量，所以，所以的倾斜角的大小为.
15．（2021高三上·桂林月考）已知函数f(x)=x3+ax+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2，7)，则a=　 　．
【答案】1
【解析】由题设， ，则 ，故切线方程为 ，
而 ，由切线过 ，则 ，解得 .
故答案为：1
16．（2022·海宁模拟）直线的倾斜角为　 　，若位于第一象限的动点在直线上，则的最大值为　 　．
【答案】；
【解析】由题意可知直线的斜率为，设直线的倾斜角为，因为，故，
因为位于第一象限内的动点在直线上，则，且，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，的最大值为.
故答案为：；.
17．（2022·石嘴山模拟）已知直线将圆平分，且与直线垂直，则的方程为　 　．
【答案】2x-y+2=0
【解析】圆 ，圆心在直线上，与直线 ，所以设直线为 ，代入点 后得 ，解得： ，所以直线的方程为2x-y+2=0 .
18．在平面直角坐标系中，设，直线与直线交于点．圆，则的最大值为　 　．
【答案】
【解析】直线过定点，直线的方程为，直线过定点，
因为，所以，，所以，，
由勾股定理可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
故答案为：.<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题32 直线的方程
1．（2022·全国甲卷）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2020·新课标Ⅲ·文）点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．2
1．直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.
4．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
【常用结论】
直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
【牢记口诀】
1．“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．
考点一　直线的倾斜角与斜率
1．直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的变化范围是(　　)
A.　　 B.
C.　　 D.
考点二　求直线的方程
【方法总结】求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
2．已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为(　　)
A．y－3＝－(x＋4) B．y＋3＝(x－4)
C．y－3＝(x＋4) D．y＋3＝－(x－4)
考点三　直线方程的综合应用
【方法总结】直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．
3．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
一、单选题
1．（2022·门头沟模拟）若点为圆的弦的中点，则直线的方程是（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·福建模拟）直线经过第一、二、四象限，则（　　）
A．， B．， C．， D．，
3．（2021高三上·浙江期末）已知点A（1，-1），B（1，2），则直线AB的倾斜角为（　　）
A．0 B． C． D．
4．（2022·重庆模拟）已知 ，直线 与曲线 相切，则 （　　）
A． B．-1 C．-2 D．
5．（2022·济南模拟）过与的交点，且平行于向量的直线方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（2021高三上·永州月考）过圆 的圆心且与直线 垂直的直线方程为（　　）
A． B． C． D．
7．（2022·潍坊二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点，在角的终边上，且，则（　　）
A．2 B． C．-2 D．
8．（2022·淄博模拟）若圆的弦MN的中点为，则直线MN的方程是（　　）
A． B． C． D．
9．（2022·深圳模拟）过抛物线的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于（　　）
A．30 或150 B．45 或135 C．60 或120 D．与p值有关
10．（2021·蚌埠模拟）过点 的直线与 轴正半轴相交于点 ，与 轴正半轴相交于点 ，则 的最小值为（　　）
A．6 B． C． D．
11．（2021·遂宁模拟）已知过点 的直线 与圆心为 的圆 相交于 ， 两点，当 面积最大时，直线 的方程为（　　）
A． B． 或
C． D． 或
12．（2021·鹤壁模拟）已知曲线 与直线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
13．（2020高三上·安徽月考） 和 是平面上圆C上两点，过A，B两点作圆C的切线交于x轴上同一点，则圆C的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
14．（2022·黄浦模拟）若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为　 　（结果用反三角函数值表示）.
15．（2021高三上·桂林月考）已知函数f(x)=x3+ax+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2，7)，则a=　 　．
16．（2022·海宁模拟）直线的倾斜角为　 　，若位于第一象限的动点在直线上，则的最大值为　 　．
17．（2022·石嘴山模拟）已知直线将圆平分，且与直线垂直，则的方程为　 　．
18．在平面直角坐标系中，设，直线与直线交于点．圆，则的最大值为　 　．

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