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<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题33 两条直线的位置关系
1．（2022·全国乙卷）设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若 ，则 （　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】易知抛物线的焦点为 ，则 ，
即点A到准线 的距离为2，所以点A的横坐标为1，
不妨设点A在x轴上方，代入得， ，
所以
故选：B
2．（2021·北京）已知圆 ，直线 ，当 变化时， 截得圆 弦长的最小值为2，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由题意可设弦长为n，圆心到直线l的距离为d，
则，
则当n取最小值2时，d取得最大值为，
则
当k=0时，d取得最大值为，
则
解得
故答案为：C
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且 A1C2－A2C1≠0
垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
相交 v1与v2 不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝.
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.
常用结论
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
考点一　两条直线的平行与垂直
【方法总结】判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
1．已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点．当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行时，m＝或m＝－；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－.所以实数m的取值集合为.
考点二　两直线的交点与距离问题
【方法总结】利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．
2．经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．
【答案】4x＋3y－6＝0
【解析】由方程组得
即P(0,2)．
因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－，
所以直线l的方程为y－2＝－x，
即4x＋3y－6＝0.
3．直线l1经过点(3,0)，直线l2经过点(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是________．
【答案】(0,5]
【解析】当直线l1，l2都与过(3,0)，(0,4)两点的直线垂直时，
dmax＝＝5；
当直线l1和l2都经过(3,0)，(0,4)两点时，两条直线重合．
所以0＜d≤5.
题型三　对称问题
【方法总结】对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
4．过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
【答案】x＋4y－4＝0
【解析】设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
5．若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.
【答案】
【解析】由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的垂直平分线，
于是
解得故m＋n＝.
6．直线2x－4y－1＝0关于x＋y＝0对称的直线方程为(　　)
A．4x－2y－1＝0 B．4x－2y＋1＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．4x＋2y－1＝0
【答案】A
【解析】设直线2x－4y－1＝0上一点P(x0，y0)关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为P′(x，y)，
则
整理可得
∴－2y＋4x－1＝0，
即直线2x－4y－1＝0关于x＋y＝0对称的直线方程为4x－2y－1＝0.
一、单选题
1．（2022·凉山模拟）已知直线，，且，点到直线的距离（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，解得，故
故答案为：D
2．（2022·顺义模拟）已知圆截直线所得弦的长度为2，那么实数的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆圆心为半径为
点到直线的距离为
则弦长为，得
解得
故答案为：D．
3．（2022·吉林模拟）已知两点到直线的距离相等，则（　　）
A．2 B． C．2或 D．2或
【答案】D
【解析】因为两点到直线的距离相等，
所以有，或，
故答案为：D
4．（2022·唐山二模）F为抛物线的焦点，点在C上，直线MF交C的准线于点N，则（　　）
A． B． C．5 D．12
【答案】B
【解析】点在抛物线上，则，解之得，则
又抛物线的焦点F，准线
则直线MF的方程为，则N
则
故答案为：B
5．（2022·安阳模拟）已知抛物线与圆交于A，B两点，则（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得，
则，将代入可得，则。
故答案为：C.
6．（2022·长春模拟）当圆截直线所得的弦长最短时，m的值为（　　）
A． B． C．-1 D．1
【答案】C
【解析】直线过定点，
圆的圆心为，半径，
当时，圆截直线所得的弦长最短，
由于，所以，即.
故答案为：C
7．（2022·岳阳模拟）已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图：圆心为，经过原点，
可得
则圆心在单位圆上，原点到直线的距离为
延长BO交于点C，以C为圆心，OC为半径作圆C，BC延长线交圆C于点D，
当圆心在C处时，点到直线的距离最大为
此时，圆上点D到直线的距离最大为
故答案为：B
8．（2022·岳阳模拟）已知点A（2，0），B（0，﹣1），点是圆x2+（y﹣1）2＝1上任意一点，则 面积最大值为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，
要使的面积最大，只要点P到直线的距离最大．
由于AB的方程为1，即x﹣2y﹣2＝0，
圆心（0，1）到直线AB的距离为d，
故P到直线AB的距离最大值为1，
所以面积的最大值为，
故答案为：D．
9．（2022·邯郸模拟）已知抛物线的焦点为F，点A在C上，点B满足（O为坐标原点），且线段AB的中垂线经过点F，则＝（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】由题设知：，而，则，
又AB的中垂线经过点F，则，
不妨设且，则，可得，故，
所以，
综上.
故答案为：B
10．（2022·潮州二模）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（　　）．
A．5 B． C．45 D．
【答案】B
【解析】因为点关于直线的对称点为，
所以即为“将军饮马”的最短总路程，
则“将军饮马”的最短总路程为．
故答案为：B．
二、填空题
11．（2022·海淀模拟）已知圆，则圆的半径为　 　；若直线被圆截得的弦长为1，则　 　．
【答案】1；
【解析】第一空：将化为标准式得，故半径为1；
第二空：圆心到直线的距离为，由弦长为1可得，解得.
故答案为：1；.
12．（2022·衡阳模拟）圆的圆心到直线的距离为　 　.
【答案】
【解析】圆的圆心为：，
所以圆心到直线的距离为.
故答案为：
13．（2022·嵊州模拟）已知直线，则过坐标原点且与l垂直的直线方程是　 　，点到l的距离是　 　．
【答案】4x-3y=0；1
【解析】直线的斜率为，所以可设与l垂直的直线方程为，把代入，求得c=0，所以过坐标原点且与l垂直的直线方程是；
点到l的距离为.
故答案为：4x-3y=0；1．
14．（2022·佛山模拟）已知点，，若，则点P到直线l：的距离的最小值为　 　．
【答案】
【解析】设点P的坐标为，
，
即P的轨迹是以为圆心，半径为的圆
点到直线l的最短距离为，则可得点P到直线l的距离的最小值为．
故答案为：
15．（2022·天津市模拟）若直线l∶截圆所得的弦长为2，则k的值为　 　.
【答案】
【解析】由题意得，圆心到直线的距离为，则，即，解得.
故答案为：
三、解答题
16．（2022·安阳模拟）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）写出C的普通方程和一个参数方程；
（2）若直线和分别与C交于与O不重合的点A，B，求．
【答案】（1）解：由可得，化为普通方程为，即；参数方程为（为参数）
（2）解：将和分别代入，得，解得；，解得；
则，又，则，则
【解析】（1）利用已知条件结合极坐标与直角坐标的互化公式，再结合参数方程与普通方程的转化方法，进而得出曲线C的普通方程和一个参数方程。
（2） 将和分别代入，解得的值，再利用，解得的值，再利用两点距离公式得出OA的长，再结合，则，再利用勾股定理得出AB的长。
17．（2021·资阳模拟）在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为（t为参数，），以为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值．
【答案】（1）解：C1的参数方程为消参得普通方程为x－y－a＋1＝0，
C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，
两边同乘ρ得ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，得y2＝4x．
所以曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x．
（2）解：曲线C1的参数方程可转化为(t为参数，a∈R)，代入曲线C2：y2＝4x，
得＋1－4a＝0，由Δ＝，得a>0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
由|PA|＝2|PB|得|t1|＝2|t2|，即t1＝2t2或t1＝－2t2，
当t1＝2t2时，解得a＝；
当t1＝－2t2时，解得a＝，
综上，或．
【解析】（1）利用已知条件结合参数方程与普通方程的转化方法，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，进而得出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程。
（2） 利用曲线和曲线交于两点，联立二者方程得出A,B两点的坐标，再利用结合两点距离公式，从而得出实数的值。
18．（2021高三上·合肥月考）已知极坐标的极点与直角坐标系的原点 极轴与x轴非负半轴重合，曲线C的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （t为参数）
（1）将直线 的参数方程化为极坐标方程；
（2）设直线 与曲线C交于A B两点，求 .
【答案】（1）解：由 （t为参数）消去t得 ，
所以，直线 的斜率为 ，所以 的倾斜角为
所以 的极坐标方程为 .
（2）设 ，将 代入 整理得， ，
,
.
【解析】（1）利用参数方程与普通方程的转化方法结合极坐标与直角坐标的互化公式，进而将直线 的参数方程化为极坐标方程。
（2）利用直线与曲线相交于A,B两点，联立二者方程求出交点坐标，再利用两点距离公式求出两点A,B的距离。
19．（2022·四川模拟）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半箱为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为，直线l的极坐标方程为．
（1）求点M的直角坐标和直线l的直角坐标方程；
（2）若N为曲线C上的动点，求的中点P到直线l的距离的最小值及此时点P的极坐标．
【答案】（1）解：由，所以点M的直角坐标为，
化简得：，即，
（2）解：设，则，
所以的中点P到直线l的距离
，
当，即，时，，
此时，所以，
由，，可知P点的极坐标为
所以的中点P到直线l的距离的最小值为，此时点P极坐标为.
【解析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式进行求解；
（2）先设，进而表达出的中点P的坐标，用点到直线距离和三角函数的有界性求出最小值及点P的极坐标.
20．（2022·呼和浩特模拟）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
（2）求曲线 上的点到直线 距离的最小值.
【答案】（1）解：由 （ 为参数），消去参数得 ，
所以曲线 的普通方程为 ，
把 代入直线 的极坐标方程 得： ，
所以直线 的直角坐标方程为 .
（2）解：由（1）知，曲线 的参数方程为 （ 为参数），
设 为曲线 上一点， 到直线 的距离为 ，
则 ，其中锐角 由 确定，
因此，当 时， 取到最小值 ，
所以曲线 上的点到直线 距离的最小值为 .
【解析】（1）消去曲线C的参数方程中的参数即可得解，利用极坐标与直角坐标互化得直线的直角坐标方程作答.
（2）设出曲线C上任意一点的坐标，利用点到直线距离公式及辅助角公式求解作答.<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题33 两条直线的位置关系
1．（2022·全国乙卷）设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若 ，则 （　　）
A．2 B． C．3 D．
2．（2021·北京）已知圆 ，直线 ，当 变化时， 截得圆 弦长的最小值为2，则 （　　）
A． B． C． D．
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且 A1C2－A2C1≠0
垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
相交 v1与v2 不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝.
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.
常用结论
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
考点一　两条直线的平行与垂直
【方法总结】判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
1．已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　)
A. B.
C. D.
考点二　两直线的交点与距离问题
【方法总结】利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．
2．经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．
3．直线l1经过点(3,0)，直线l2经过点(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是________．
题型三　对称问题
【方法总结】对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
4．过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
5．若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.
6．直线2x－4y－1＝0关于x＋y＝0对称的直线方程为(　　)
A．4x－2y－1＝0 B．4x－2y＋1＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．4x＋2y－1＝0
一、单选题
1．（2022·凉山模拟）已知直线，，且，点到直线的距离（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·顺义模拟）已知圆截直线所得弦的长度为2，那么实数的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·吉林模拟）已知两点到直线的距离相等，则（　　）
A．2 B． C．2或 D．2或
4．（2022·唐山二模）F为抛物线的焦点，点在C上，直线MF交C的准线于点N，则（　　）
A． B． C．5 D．12
5．（2022·安阳模拟）已知抛物线与圆交于A，B两点，则（　　）
A．2 B． C．4 D．
6．（2022·长春模拟）当圆截直线所得的弦长最短时，m的值为（　　）
A． B． C．-1 D．1
7．（2022·岳阳模拟）已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·岳阳模拟）已知点A（2，0），B（0，﹣1），点是圆x2+（y﹣1）2＝1上任意一点，则 面积最大值为（　　）
A．2 B． C． D．
9．（2022·邯郸模拟）已知抛物线的焦点为F，点A在C上，点B满足（O为坐标原点），且线段AB的中垂线经过点F，则＝（　　）
A． B．1 C． D．
10．（2022·潮州二模）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（　　）．
A．5 B． C．45 D．
二、填空题
11．（2022·海淀模拟）已知圆，则圆的半径为　 　；若直线被圆截得的弦长为1，则　 　．
12．（2022·衡阳模拟）圆的圆心到直线的距离为　 　.
13．（2022·嵊州模拟）已知直线，则过坐标原点且与l垂直的直线方程是　 　，点到l的距离是　 　．
14．（2022·佛山模拟）已知点，，若，则点P到直线l：的距离的最小值为　 　．
15．（2022·天津市模拟）若直线l∶截圆所得的弦长为2，则k的值为　 　.
三、解答题
16．（2022·安阳模拟）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）写出C的普通方程和一个参数方程；
（2）若直线和分别与C交于与O不重合的点A，B，求．
17．（2021·资阳模拟）在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为（t为参数，），以为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值．
18．（2021高三上·合肥月考）已知极坐标的极点与直角坐标系的原点 极轴与x轴非负半轴重合，曲线C的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （t为参数）
（1）将直线 的参数方程化为极坐标方程；
（2）设直线 与曲线C交于A B两点，求 .
19．（2022·四川模拟）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半箱为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为，直线l的极坐标方程为．
（1）求点M的直角坐标和直线l的直角坐标方程；
（2）若N为曲线C上的动点，求的中点P到直线l的距离的最小值及此时点P的极坐标．
20．（2022·呼和浩特模拟）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
（2）求曲线 上的点到直线 距离的最小值.

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