资源简介

<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题34 圆的方程
1．（2020·新课标Ⅱ·理）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，
圆的标准方程为 .
由题意可得 ，
可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，
圆心到直线 的距离均为 ；
所以，圆心到直线 的距离为 .
故答案为：B.
2．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（　　）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】设圆心 ，则 ，
化简得 ，
所以圆心C的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
所以 ，所以 ，
当且仅当C在线段 上时取得等号，
故答案为：A.
1．圆的定义和圆的方程
定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方 程 标 准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b)
半径为r
一 般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 M在圆外；
(2)|MC|＝r M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圆上；
(3)|MC|常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
3．圆心在任一弦的垂直平分线上．
考点一　圆的方程
【方法总结】(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
1.(2022·深圳模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为(　　)
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
答案　C
解析　到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，
联立
解得
又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.
考点二　与圆有关的轨迹问题
【方法总结】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
2.已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解　(1)方法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
考点三　与圆有关的最值问题
【方法总结】与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
3.(2022·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则·的最大值为________．
答案　12
解析　由题意，得＝(2－x，－y)，
＝(－2－x，－y)，
所以·＝x2＋y2－4，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，
故x2＝－(y－3)2＋1，
所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4
＝6y－12.
易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
一、单选题
1．（2021·平顶山模拟）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意， 表示圆
故 ，即 或
点A（1，2）在圆C： 外
故 ，即
故实数m的取值范围为 或
即
故答案为：A
2．（2021高三上·桂林月考）圆（x－2）2＋y2＝4关于直线y＝ x对称的圆的方程是（　　）
A．（x－ ）2＋（y－1）2＝4 B．（x－1）2＋（y－ ）2＝4
C．x2＋（y－2）2＝4 D．（x－ ）2＋（y－ ）2＝4
【答案】B
【解析】设圆（x－2）2＋y2＝4的圆心关于直线y＝ x对称的点的坐标为A（a，b），
则 ,
所以a＝1，b＝ ，所以A（1， ），
从而所求圆的方程为（x－1）2＋（y－ ）2＝4.
故答案为：B.
3．（2021高三上·武功月考）过点 与 且圆心在直线 上的圆的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为过点 与 ，
所以线段AB的中点坐标为 ， ，所以线段AB的中垂线的斜率为 ，
所以线段AB的中垂线的方程为 ，
又因为圆心在直线 上，
所以 ，解得 ，所以圆心为 ，
所以圆的方程为 .
故答案为：B
4．（2021·深圳模拟）一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度最接近(　　)
A．13.1米 B．13.7米 C．13.2米 D．13.6米
【答案】C
【解析】解：如图所示，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系.
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，-3)，
设圆的半径长为r，则C(0,-r)，即圆的方程为x2+(y+r)2=r2
将点A的坐标代入上述方程可得，
所以圆的方程为
当水面下降1米后，水面弦的端点为A'，B'，
可设A(x0,-4)(x0>0)，代入，解得，
则此时水面宽度为
故答案为：C
5．（2022·张家口模拟）已知点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为N，动点M满足最小值为3，则点M的轨迹长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当点M在抛物线外部时，，，
点M的轨迹方程为（在抛物线外部的部分），
与联立解得，
∴ 轨迹与抛物线的两个交点为，，则，圆在抛物线外部的弧长为；
当点M在抛物线上或内部时，三点共线时，最小，此时点M的轨迹方程为，其长度为.
所以点M的轨迹长度为.
故答案为：C.
6．（2022·南宁模拟）已知圆，圆，过动点P分别作圆、圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得．
因为两圆的半径均为1，则，
则，即．
所以点P的轨迹方程为．
故答案为：D
7．（2022·黄山模拟）若圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为、，则直线恒过定点，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知：圆的圆心在直线上，
即有 ，
设点 ，则 ，
故以为直径的圆的方程为： ，
将和相减，
即可得直线的方程，即 ，
则直线恒过定点，
故答案为：C
8．（2022·达州模拟）过抛物线焦点F的直线与圆相切于点P，则（　　）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】由题可得，圆，即，圆心为，半径为3，
所以.
故答案为：C.
9．（2022·九江模拟）已知点M为抛物线上的动点，过点M向圆引切线，切点分别为P，Q，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】如图，圆心为抛物线的焦点，
四边形的面积，
∴，
∴当最小时，即点M到准线的距离最小值为2，
∴，
故答案为：：A.
10．已知圆的圆心为抛物线的焦点，直线与圆相切，则该圆的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为抛物线的焦点坐标为.又因为圆心的坐标为，所以依题意可得.又因为直线与圆相切，所以根据圆心到直线的距离等于半径可得.所圆的方程为.故选B.
二、填空题
11．（2022·全国甲卷）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 　 　．
【答案】
【解析】解：双曲线 的渐近线为 ，即x±my=0，不妨取x+my=0，
圆，即x2+(y-2)2=1 ，所以圆心为（0，2），半径r=1，
依题意圆心（0，2）到渐近线x+my=0的距离 ，
解得或（舍去）．
故答案为： ．
12．（2021高三上·湖北月考）已知直线：与圆：相交于，两点，则　 　.
【答案】
【解析】由题意，圆：，可化为，
可得圆心为，半径为，
又由圆心到直线的距离，
所以.
故答案为：.
13．（2022·全国甲卷）设点M在直线 上，点 和 均在 上，则 的方程为　 　．
【答案】
【解析】解：∵点M在直线 上，
∴设点M为（a，1-2a），又因为点 和 均在 上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴ ，
化简得：a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2 ，
解得a=1，
∴M（1，-1） ， ，
则的方程为 .
故答案为：
14．（2022·天津市模拟）圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为　 　．
【答案】
【解析】设圆心，半径为，则由题意知，，，，解得，所以所求圆的方程为，
故填：.
解答题
15．（2021·商丘模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 ．
（1）求圆C的半径以及圆心的直角坐标；
（2）若点P(x，y)在直线l上，且在圆C内部(不含边界)，求 的取值范围．
【答案】（1）解：由圆 的极坐标方程得 ，
所以圆 的直角坐标方程为 ，即 ，
所以圆 的半径为2，圆心为 ．
（2）设 ，
将 代入 ，得
根据直线 的参数方程， 即直线 上的点到点 的距离，
所以 ，即 ，
即 的取值范围是
16．（2018·凉山模拟）在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，以 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，直线 的极坐标方程为 ，曲线 与直线 相交于 两点.
（1）求曲线 的直角坐标方程；
（2）当 时，求 .
【答案】（1）解：由 ，即 ，所以 ，
所以曲线 的直角坐标系方程为
（2）解：解一： 时， .
解二：曲线 的标准方程为 ，直线 的方程为 ，
17．（2022·西安模拟）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中，曲线S的极坐标方程为.
（1）①求直线l的普通方程；
②当曲线S过极坐标系中的点时，求曲线S的直角坐标方程.
（2）若直线l与曲线S交于A、B两点，定点，且.求m的值.
【答案】（1）解：①两式相加消去参数t，得直线l的普通方程为
②将，代入，得，
∴，得
∴曲线S的极坐标方程为，将，代入，
得曲线S的直角坐标方程为.
（2）解：将曲线S的极坐标方程为化为直角坐标方程为.
将直线l的参数方程（t为参数）
转化成标准形式为
将此式代入
整理得
由.
解得或
设A、B在直线l上对应的参数分别是、，则，
由，
∵
∴，
整理得（*）
当时由（*）得或（不满足舍去）
当时由（*）得（舍去）
故.
18．（2022·新疆三模）已知椭圆C：的离心率为，以椭圆C的右顶点A为圆心，作半径为r的圆，设圆A与椭圆C交于点E，F.
（1）求的最小值，并求此时圆A的方程；
（2）设点O是坐标原点，点P是椭圆C上异于E，F的点，且满足直线PE，PF分别与x轴交于M，N两点，证明：为定值.
【答案】（1）解：根据题意，，则，又离心率，则，故，即椭圆的方程为，
设点，则，易得关于轴对称，则，又点，
则，
当时，有最小值为，且，故圆A的方程为；
（2）证明：设点，则，且，，，则，
可得，令，则，，令，则，
所以，
故，为定值.
19．（2022·呼和浩特模拟）拋物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l： 交C于P，Q两点，且 ．已知点M的坐标为 ， 与直线l相切．
（1）求抛物线C和 的标准方程；
（2）已知点 ，点 ， 是C上的两个点，且直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：由已知，设拋物线C的方程为 （ ），
当 时， ，则 ，
所以不妨设 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得
所以抛物线C的 ，
因为 与直线l： 相切， ，
所以 的半径为2，
所以 的方程
（2）解：由已知可得 在抛物线上，设 ，
所以 ，
所以 的点斜式方程为
整理可得 ，
此直线与圆相切，可得 ，
平方后可得
又因为
化简得 ，
同理： 的方程为 ，
所以直线 方程为 ，
所以点M到直线 距离为 ，
所以直线 与 相切<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题34 圆的方程
1．（2020·新课标Ⅱ·理）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为（　　）
A． B． C． D．
2．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（　　）．
A．4 B．5 C．6 D．7
1．圆的定义和圆的方程
定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方 程 标 准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b)
半径为r
一 般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 M在圆外；
(2)|MC|＝r M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圆上；
(3)|MC|常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
3．圆心在任一弦的垂直平分线上．
考点一　圆的方程
【方法总结】(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
1.(2022·深圳模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为(　　)
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
考点二　与圆有关的轨迹问题
【方法总结】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
2.已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
考点三　与圆有关的最值问题
【方法总结】与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
3.(2022·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则·的最大值为________．
一、单选题
1．（2021·平顶山模拟）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2021高三上·桂林月考）圆（x－2）2＋y2＝4关于直线y＝ x对称的圆的方程是（　　）
A．（x－ ）2＋（y－1）2＝4 B．（x－1）2＋（y－ ）2＝4
C．x2＋（y－2）2＝4 D．（x－ ）2＋（y－ ）2＝4
3．（2021高三上·武功月考）过点 与 且圆心在直线 上的圆的方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2021·深圳模拟）一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度最接近(　　)
A．13.1米 B．13.7米 C．13.2米 D．13.6米
5．（2022·张家口模拟）已知点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为N，动点M满足最小值为3，则点M的轨迹长度为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·南宁模拟）已知圆，圆，过动点P分别作圆、圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为（　　）．
A． B．
C． D．
7．（2022·黄山模拟）若圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为、，则直线恒过定点，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·达州模拟）过抛物线焦点F的直线与圆相切于点P，则（　　）
A．3 B． C．4 D．
9．（2022·九江模拟）已知点M为抛物线上的动点，过点M向圆引切线，切点分别为P，Q，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
10．已知圆的圆心为抛物线的焦点，直线与圆相切，则该圆的方程为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·全国甲卷）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 　 　．
12．（2021高三上·湖北月考）已知直线：与圆：相交于，两点，则　 　.
13．（2022·全国甲卷）设点M在直线 上，点 和 均在 上，则 的方程为　 　．
14．（2022·天津市模拟）圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为　 　．
解答题
15．（2021·商丘模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 ．
（1）求圆C的半径以及圆心的直角坐标；
（2）若点P(x，y)在直线l上，且在圆C内部(不含边界)，求 的取值范围．
16．（2018·凉山模拟）在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，以 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，直线 的极坐标方程为 ，曲线 与直线 相交于 两点.
（1）求曲线 的直角坐标方程；
（2）当 时，求 .
17．（2022·西安模拟）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中，曲线S的极坐标方程为.
（1）①求直线l的普通方程；
②当曲线S过极坐标系中的点时，求曲线S的直角坐标方程.
（2）若直线l与曲线S交于A、B两点，定点，且.求m的值.
18．（2022·新疆三模）已知椭圆C：的离心率为，以椭圆C的右顶点A为圆心，作半径为r的圆，设圆A与椭圆C交于点E，F.
（1）求的最小值，并求此时圆A的方程；
（2）设点O是坐标原点，点P是椭圆C上异于E，F的点，且满足直线PE，PF分别与x轴交于M，N两点，证明：为定值.
19．（2022·呼和浩特模拟）拋物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l： 交C于P，Q两点，且 ．已知点M的坐标为 ， 与直线l相切．
（1）求抛物线C和 的标准方程；
（2）已知点 ，点 ， 是C上的两个点，且直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，并说明理由．

展开更多......

收起↑