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<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题35 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．（2022·北京·高考真题）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （　　）
A． B． C．1 D．-1
【答案】A
【解析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标 ，所以由 解得 .
故答案为：A
2．（2020·新课标Ⅲ·理）若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（　　）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
【答案】D
【解析】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .
故答案为：D.
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
几何观点 d>r d＝r d2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
图形 量的关系
外离 d>r1＋r2
外切 d＝r1＋r2
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2|
内含 d<|r1－r2|
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·.
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
考点一　直线与圆的位置关系
【方法总结】判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
1.直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为(　　)
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
C．相交
D．相切
答案　C
解析　方法一　直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，
该直线恒过定点(1,2)．
因为12＋22－2×1－8<0，
所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，
所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．
方法二　圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为＝≤2<3，所以直线与圆相交．
考点二　圆与圆的位置关系
【方法总结】(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
2.(2022·长沙模拟)若圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，则正实数a的取值范围为(　　)
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C. D．(3,4)
答案　A
解析　|C1C2|＝，
因为圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，
所以|a－2|<解得a>3.
拓展视野
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|.
则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，
则A(－m，0)，B(m，0)．
又设P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得＝λ，
两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．
当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；
当λ>0且λ≠1时，2＋y2＝，轨迹为以点为圆心，为半径的圆．
3.已知平面直角坐标系中，A(－2,0)，B(2,0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心坐标为________．
答案　
解析　设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，
得＝2，
整理得2＋y2＝，
所以点P的轨迹的圆心坐标为.
一、单选题
1．（2022·延庆模拟）已知圆截直线所得弦的长度为，则实数的值为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．不存在
【答案】B
【解析】由可知：圆心为，半径为，
所以有。
故答案为：B
2．（2022·湖北模拟）若圆关于直线对称，则从点向圆作切线，切线长最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】由圆，可得，
∴圆心，又圆关于直线对称，
∴，即，
由点向圆所作的切线长为：
，
即切线长最小值为4.
故答案为：C.
3．（2022·湖北模拟）设曲线（为自然对数的底数）在点处的切线及直线和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则（　　）
A．-1 B． C． D．1
【答案】C
【解析】由求导得：，因此曲线在点处的切线l斜率，
因切线l及直线和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，
则切线l及直线垂直，有，解得，
所以.
故答案为：C
4．（2022·兰州模拟）圆的圆心到直线的距离是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】由题意可得：圆的一般方程为，
转化为标准方程：，
即圆的圆心坐标为，
因为直线方程为，
所以圆心到直线的距离为
故答案为：D
5．（2022·湖北模拟）直线与圆的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【答案】C
【解析】直线即，过定点，
因为圆的方程为，
则，
所以点在圆内，则直线与圆相交.
故答案为：C
6．（2022·浙江模拟）过 轴正半轴上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，若 ，则 的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】解：如图，连接AB、PC交于点Q，
易得CP⊥AB，|AQ|=
由|CQ|=，|AB|最小时，|CQ|最大，
又CA⊥AP，sin∠CAQ=sin∠APC可得，
即|CA|2=|CQ|·|CP|=1，|CQ|最大时，|CP|最小，x0最小，
则|CQ|max，
则，
故x0的最小值为1.
故选：A
7．（2022·红桥模拟）过点的直线与圆：交于，两点，当弦取最大值时，直线的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆：化为
所以圆心坐标
要使过点的直线被圆所截得的弦取最大值时，则直线过圆心
由直线方程的两点式得： ，即
故答案为：A
8．（2022·朝阳模拟）过点作圆的切线，则切线方程为（　　）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【解析】由圆心为，半径为，
斜率存在时，设切线为，则，可得，
所以，即，
斜率不存在时，显然不与圆相切；
综上，切线方程为.
故答案为：C
9．（2022·怀化模拟）已知、，，则直线与圆的位置关系是（　　）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定
【答案】C
【解析】，
化为，
圆心，半径为，
圆心到直线的距离为，
，
所以直线与圆相切.
故答案为：C
10．（2022·天津市模拟）过点作圆的切线，则的方程为（　　）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【解析】解：
即 在圆上
则过 点的切线方程为
整理得
故答案为：C
二、填空题
11．（2022·河东模拟）圆与圆的公共弦长为　 　．
【答案】
【解析】两圆方程相减得，即，
原点到此直线距离为，圆半径为，
所以所求公共弦长为．
故答案为：．
12．（2022·湖北模拟）已知圆：，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆：的切线，则切线长的最小值是　 　.
【答案】
【解析】由题，直线的斜率为，故直线的斜率为，故的方程为，即.又到的距离，故切线长的最小值是
故答案为：
13．（2022·新高考Ⅰ卷）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程　 　．
【答案】x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0
【解析】解： 记圆 的圆心为O(0，0)，半径为r1=1，
圆 的圆心为A(3，4)，半径为r2=4，
则|OA|=5=r1+r2，
则两圆外切，作出图象，如图所示，
易得直线l1：x=-1为两圆的切线，
易得直线OA为：，
可得直线l1与直线OA为，
易知两圆的另一公切线l2必过点P，可设l2：，即，
则有，解得，即l2：，即7x-24y-25=0，
另由于两圆外切，所以在公切点处存在公切线l3，由，解得切线l3：3x+4y-5=0.
故答案为：x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0
14．（2022·和平模拟）设直线与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若，则圆C的面积为
【答案】4π
【解析】因为圆心坐标与半径分别为，所以圆心到直线的距离，则，解之得，所以圆的面积，应填答案4π．
15．（2022·天津市模拟）直线l：被圆C：截得的弦长为，则m的值为　 　.
【答案】1或9
【解析】，
圆心C，半径，
圆心C到直线l的距离，
则，即，解得或1．
故答案为：9或1．
三、解答题
16．（2022·福建模拟）已知圆C：．
（1）求圆心C的坐标及半径长；
（2）求直线：被圆C所截得的弦AB的长．
【答案】（1）解：因为圆C：，所以圆心，半径；
（2）解：圆心到直线：的距离为，
所以直线：被圆C所截得的弦AB的长为，
所以直线：被圆C所截得的弦AB的长为.
17．（2021·青海模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2-2 ρsin(θ+ )=0．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）若直线l的参数方程是 (t为参数)，直线l与圆C相切，求k的值．
【答案】（1）解：圆C的极坐标方程为ρ2-2 ρsin(θ+ )=0，
所以ρ2- 2psin θ- 2ρcos θ=0，因为
所以x2+y2-2x-2y=0，故圆C的直角坐标方程为(x- 1)2+(y-1)2=2
（2）因为直线l的参数方程是 (t为参数)，所以直线l的普通方程为y=k(x-4)，
因为直线l与圆C相切，所以
解得k= 或-1．
18．（2022·安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：，点M，的坐标分别为，，且N为该平面内一点，以MN为直径的圆内切于圆O，记点N的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程．
（2）已知P为曲线C上一点，过原点O作以P为圆心，为半径的圆的两条切线，分别交曲线C于A，B两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：设MN的中点为T，依题意，，又，则，
由椭圆定义知，点N的轨迹是以为左右焦点，长轴长为的椭圆，而半焦距为，则短半轴长，
所以曲线C的方程为.
（2）解：设圆心，则有，圆，
当，即点时，圆P与两坐标轴相切，则OA，OB分别为椭圆长半轴、短半轴，
于是有，
当时，设过点O的圆P的切线方程为，其中直线OA，OB的方程分别为，，
由得：，则是此方程的二根，有，
由得，设点，则，，
，
综上得，
所以是定值，此定值为4.
19．（2022·玉林模拟）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．若直线，的交点为，当变化时，点的轨迹是曲线．
（1）求曲线的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，直线，已知点是曲线上的动点，求点到直线的最小值．
【答案】（1）解：直线的参数方程为（为参数），
消参得，①
直线的参数方程为（为参数），消参得．②
由①②两式消得，即曲线的普通方程为．
（2）解：直线可化为普通方程，
过点作直线的垂线交圆于点，垂足为；
由题知点到直线的最小值为
20．（2022·莆田模拟）在平面直角坐标系中，已知点，，C是线段的中点，P是平面内的一动点，且满足，记点P的运动轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）过点B的直线l与曲线E交于M，N两点，若△的面积是△的面积的3倍，求直线l的方程.
【答案】（1）解：令，由题意知：，又，
所以，整理得：.
故曲线E的方程为
（2）解：由知：在曲线E内部，
要使△的面积是△的面积的3倍，即，
当直线l斜率为0时，直线l为，此时△、△的面积均为0，不满足题设；
令直线l为，代入曲线中，整理得：，
所以，，则，
所以，得：，则，
又，整理得：，即，
所以直线l为，即.<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题35 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．（2022·北京·高考真题）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （　　）
A． B． C．1 D．-1
2．（2020·新课标Ⅲ·理）若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（　　）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
几何观点 d>r d＝r d2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
图形 量的关系
外离 d>r1＋r2
外切 d＝r1＋r2
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2|
内含 d<|r1－r2|
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·.
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
考点一　直线与圆的位置关系
【方法总结】判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
1.直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为(　　)
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
C．相交
D．相切
考点二　圆与圆的位置关系
【方法总结】(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
2.(2022·长沙模拟)若圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，则正实数a的取值范围为(　　)
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C. D．(3,4)
拓展视野
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|.
则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，
则A(－m，0)，B(m，0)．
又设P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得＝λ，
两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．
当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；
当λ>0且λ≠1时，2＋y2＝，轨迹为以点为圆心，为半径的圆．
3.已知平面直角坐标系中，A(－2,0)，B(2,0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心坐标为________．
一、单选题
1．（2022·延庆模拟）已知圆截直线所得弦的长度为，则实数的值为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．不存在
2．（2022·湖北模拟）若圆关于直线对称，则从点向圆作切线，切线长最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（2022·湖北模拟）设曲线（为自然对数的底数）在点处的切线及直线和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则（　　）
A．-1 B． C． D．1
4．（2022·兰州模拟）圆的圆心到直线的距离是（　　）
A． B． C．1 D．
5．（2022·湖北模拟）直线与圆的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
6．（2022·浙江模拟）过 轴正半轴上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，若 ，则 的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
7．（2022·红桥模拟）过点的直线与圆：交于，两点，当弦取最大值时，直线的方程为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·朝阳模拟）过点作圆的切线，则切线方程为（　　）
A． B．
C． D．或
9．（2022·怀化模拟）已知、，，则直线与圆的位置关系是（　　）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定
10．（2022·天津市模拟）过点作圆的切线，则的方程为（　　）
A． B．或
C． D．或
二、填空题
11．（2022·河东模拟）圆与圆的公共弦长为　 　．
12．（2022·湖北模拟）已知圆：，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆：的切线，则切线长的最小值是　 　.
13．（2022·新高考Ⅰ卷）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程　 　．
14．（2022·和平模拟）设直线与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若，则圆C的面积为
15．（2022·天津市模拟）直线l：被圆C：截得的弦长为，则m的值为　 　.
三、解答题
16．（2022·福建模拟）已知圆C：．
（1）求圆心C的坐标及半径长；
（2）求直线：被圆C所截得的弦AB的长．
17．（2021·青海模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2-2 ρsin(θ+ )=0．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）若直线l的参数方程是 (t为参数)，直线l与圆C相切，求k的值．
18．（2022·安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：，点M，的坐标分别为，，且N为该平面内一点，以MN为直径的圆内切于圆O，记点N的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程．
（2）已知P为曲线C上一点，过原点O作以P为圆心，为半径的圆的两条切线，分别交曲线C于A，B两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19．（2022·玉林模拟）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．若直线，的交点为，当变化时，点的轨迹是曲线．
（1）求曲线的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，直线，已知点是曲线上的动点，求点到直线的最小值．
20．（2022·莆田模拟）在平面直角坐标系中，已知点，，C是线段的中点，P是平面内的一动点，且满足，记点P的运动轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）过点B的直线l与曲线E交于M，N两点，若△的面积是△的面积的3倍，求直线l的方程.

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