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<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题36 椭圆
1．（2022·全国甲卷）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：依题意易知A（-a，0） ，
设P（x1，y1） ，则Q（-x1，y1），
则 ，
故 ，
又 ，则 ，
所以，
即，
所以椭圆C的离心率 .
故选：A.
2．（2022·全国甲卷）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：因为离心率，解得，则b2=a2 ，
记A1，A2分别为C的左右顶点，则A1（-a，0），A2（a，0），
又B为上顶点，所以B（0，b），
所以 ，
因为
所以-a2+b2=-1，将b2=a2代入，解得a2=9，b2=8，
故椭圆的方程为 .
故选：B.
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a) B1(－b，0)， B2(b，0)
轴长 短轴长为2b，长轴长为2a
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率 e＝(0a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
常用结论
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．
(2) ＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
3．直线与椭圆的位置判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交 Δ>0；直线与椭圆相切 Δ＝0；直线与椭圆相离 Δ<0.
4．弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝
或|AB|＝|y1－y2|＝，k为直线斜率且k≠0.
常用结论
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)．
(1)通径的长度为.
(2)过左焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；过右焦点弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e为椭圆的离心率)
(3)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则.
(4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M 为AB的中点，则kOM·kAB＝－.
(5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－.
(6)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1.
考点一　椭圆的定义及其应用
【方法总结】椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
1．△ABC的两个顶点为A(－3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
答案　A
解析　由题知点C到A，B两点的距离之和为10，故C的轨迹为以A(－3,0)，B(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16.所以方程为＋＝1.
又A，B，C三点不能共线，
所以＋＝1(y≠0)．
考点二　椭圆的标准方程
【方法总结】根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
2 .已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.
∵|AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.
又|AF2|＝2|F2B|，
∴|AB|＝|AF2|，
∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.
又|AF1|＋|AF2|＝2a，
∴|AF2|＝a，∴A为椭圆的短轴端点．
如图，不妨设A(0，b)，
又F2(1,0)，＝2，
∴B.
将B点坐标代入椭圆方程＋＝1，
得＋＝1，
∴a2＝3，b2＝a2－c2＝2.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
考点三　椭圆的几何性质
【方法总结】求椭圆离心率或其范围的方法
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解．
(3)构造a，c的齐次式．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
3 .(2022·湛江模拟)已知F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆C的下顶点且斜率为的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　过椭圆C的下顶点(0，－b)且斜率为的直线方程为y＝x－b，即x－y－b＝0，
F(c，0)，由点到直线距离公式，
得c＝，
即c2＝－bc＋b2，即(2c－b)(c＋2b)＝0，
则2c－b＝0，b＝2c.
又a2＝b2＋c2，即a2＝(2c)2＋c2＝5c2，
解得＝.
考点四　直线与椭圆的位置关系
【方法总结】判断直线与椭圆位置关系的方法
(1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
4 .已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点．
解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组
消去y并整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
考点五　弦长及中点弦问题
【方法总结】解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
5 .(2022·百校联盟开学考)在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点P(2,1)，且离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．若|AB|＝，求直线l的方程．
解　(1)∵e2＝＝＝，
∴a2＝4b2.
又椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点P(2,1)，
∴＋＝1，
∴a2＝8，b2＝2.
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)设l的方程为y＝x＋m，
点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
∴Δ＝4m2－8m2＋16＞0，解得|m|＜2.
∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.
则|AB|＝×
＝＝，
解得m＝±.
所求直线l的方程为y＝x±.
考点六　直线与椭圆的综合问题
【方法总结】(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．
(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
6 .已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为(O为坐标原点)，求直线l的方程．
解　(1)由题意可得
解得a2＝4，b2＝1.
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知直线的斜率不为0，
则设直线的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，
B(x2，y2)．
联立
整理得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，
Δ＝(2m)2－4(m2＋4)×(－3)＝16m2＋48>0，
则y1＋y2＝－，
y1y2＝－，
故|y1－y2|＝
＝
＝，
因为△ABO的面积为，
所以|OP||y1－y2|＝×1×
＝＝，
设t＝≥，
则＝，
整理得(3t－1)(t－3)＝0，
解得t＝3或t＝(舍去)，即m＝±.
故直线的方程为x＝±y＋1，即x±y－1＝0.
一、单选题
1．（2022·湖北模拟）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上．若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则的标准方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：依题意设抛物线方程为（），
双曲线的渐近线方程为，
因为抛物线的焦点到渐近线的距离为1，
则，即，
所以的标准方程是，
故答案为：B．
2．（2022·柯桥模拟）已知椭圆，则该椭圆的离心率（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：因为椭圆的方程为，即，
故，又，故.
故答案为：C.
3．（2022·安徽模拟）已知椭圆）的左 右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接，延长交轴于，则
，又，，
所以，
故，即，
又，
所以，即.
故答案为：D.
4．（2022·唐山模拟）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上项点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（　　）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【解析】椭圆的面积，即①.
因为点P为椭圆C的上项点，所以.
因为直线与椭圆C交于A，B两点，不妨设，则且，所以.
因为的斜率之积为，所以，把代入整理化简得：②
①②联立解得：.
所以椭圆C的长轴长为2a=6.
故答案为：B
5．（2022·秦皇岛二模）椭圆的左 右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以.
因为的周长为，所以，所以，
所以椭圆的离心率为，
故答案为：B.
6．（2022·滨州二模）已知椭圆 和双曲线 有相同的左、右焦点 ， ，若 ， 在第一象限内的交点为P，且满足 ，设 ， 分别是 ， 的离心率，则 ， 的关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ，所以
所以 ，
记椭圆长半轴长为 ，双曲线实半轴长为 ，
则由椭圆和双曲线定义可得： …①
…②
①2+②2可得
由勾股定理知， ，代入上式可得
整理得 ，即
所以
故答案为：D
7．（2022·枣庄模拟）已知点分别为椭圆的左、右焦点，点P为直线上一个动点．若的最大值为，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：根据对称性，不妨设点在第一象限且坐标为，如图，
记直线与轴的交点为，设，则，
由于，故，
所以，，
所以，
因为，，当且仅当时等号成立，即时等号成立，
所以，
整理得，
所以，解得，
所以，即椭圆C的离心率为.
故答案为：D
8．（2022·江阴模拟）设是椭圆的左，右焦点，过的直接l交椭圆于A，B两点，则的最大值为（　　）
A．14 B．13 C．12 D．10
【答案】A
【解析】由椭圆的定义，知，，
所以的周长为，
所以当最小时，最大.
又当时，最小，此时，
所以的最大值为.
故答案为：A.
9．（2022·云南模拟）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，点在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为的直线与椭圆E交于A、B两点．若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线方程为，则，解得，故双曲线方程为，焦点为；
设椭圆方程为，则椭圆焦点为焦点为，故，设，则，
两式相减得，整理得，即，解得，故，椭圆方程为。
故答案为：D.
10．（2022·湖南模拟）已知椭圆的左 右焦点分别为 ，点 均在椭圆上，且均在轴上方，满足条件，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设，，则椭圆通径为，又，
所以在上，即通径上，故轴，
又，易知：.
故答案为：C
二、填空题
11．（2022·辽宁模拟）已知分别为椭圆的左，右焦点，直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为　 　．
【答案】
【解析】解：由题可知，为直角三角形，，直线过原点，，故，
又，则，
在中，，即，
又，解得：或（舍去）.
故答案为：.
12．（2022·黄浦模拟）已知椭圆的左焦点为F，若A B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为　 　.
【答案】12
【解析】如图.设与x轴相交于点C，椭圆右焦点为，
连接，
所以周长为
故的周长的最大值为12，
故答案为：12.
13．（2022·焦作模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于A，B两点，满足且，则　 　．
【答案】
【解析】因为，，所以，．设，根据椭圆定义可得，所以．因为，所以，所以，即，解得．所以，则，，所以。
故答案为：。
14．（2022·陕西模拟）已知椭圆的离心率是，若以为圆心且与椭圆有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆的方程是　 　．
【答案】
【解析】由已知，所以，则，
设椭圆上的任一点的坐标为，
则
，
若，则当时，，由得，满足题意，
此时，椭圆方程为，
若，则时，，则，即，但时，，无解．
综上，椭圆方程为．
故答案为：．
15．（2022·湖南模拟）在△ABC中，.BC=7，，点A在以B，C为焦点的椭圆上，同时点A在以B，C为焦点的双曲线上，若，的离心率分别为，，且，则角　 　.
【答案】60°
【解析】解：设，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，则，，且.
因为点A在以B，C为焦点的椭圆上，所以.
又因为点A在以B，C为焦点的双曲线上，所以.
因为，所以.所以或.
所以.因为，所以.
故答案为：60°.
三、解答题
16．（2021·江西模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，上顶点为M， ，且原点O到直线 的距离为 .
（1）求椭圆C的方程：
（2）己知斜率为 的直线l交椭圆C于A、B两点，求 的取值范围.
【答案】（1）由题设条件及椭圆对称性知， ，而 ，则 ，如图：
直线 ： ，即 ，由点到直线距离公式得 ，则b=1，
点 ，即椭圆半焦距 ，于是有 ，
所以曲线C的方程为 ；
（2）设直线l的纵截距为m，则l的方程为 ，
由 消去y化简整理得 ，
因为直线l交椭圆于A，B两点，从而有 ，解得 ，
设 ，则有 ， ，
，
则 ，
所以 的取值范围 .
17．（2021·包头模拟）已知椭圆 ： （ ）短轴的两个顶点与右焦点 的连线构成等边三角形，离心率和长半轴的比值为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 过椭圆 的左焦点 ，与 交于 ， 两点，当 的面积最大时，求直线 的方程．
【答案】（1）解： 离心率和长半轴的比值为 ， …①，
短轴的两个顶点与右焦点 的连线构成等边三角形， …②，
又 …③，由①②③可解得： ， ， ，
椭圆 的标准方程为：
（2）解：由题意可知： ，直线 倾斜角不为零，可设 ，
由 得： ，
设 ， ，则 ， ，
，
令 ，则 ， ，
（当且仅当 ，即 时取等号），
，此时 ，解得： ，
直线 的方程为： ，即
18．（2022·马鞍山模拟）已知椭圆C：（）经过，，，，五个点中的三个．
（1）求椭圆C的方程．
（2）直线l与椭圆C交于P，Q两点，且与圆O：相切，证明：为直角三角形．
【答案】（1）解：由椭圆的对称性可得点，都在椭圆上或都不在椭圆上，，最多有1个点在椭圆上，，最多有1个点在椭圆上，因为椭圆经过，，，，五个点中的三个，
所以，都在椭圆上，不在椭圆上，因为，，所以不在椭圆上，在椭圆上，所以，，所以．所以椭圆的方程为．
（2）证明：当直线的斜率不存在时，的方程为．
当时，，，所以，所以；
当时，同理得．
当直线的斜率存在时，设其方程为，设，，
因为直线与圆相切，所以，即．
由得，，
所以，
所以．
综上所述，所以，所以为直角三角形．
19．（2022·四川模拟）在直角坐标系xOy中，长为3的线段AB的两端点A，B分别在x，y轴上滑动，动点M满足
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）设过点的动直线l与（1）中的轨迹E交于C，D两点，是否存在定实数t，使得为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设
由，得，即
而，即．所以，即．
（2）解：假设存在满足题意的直线，设．
当直线l的斜率存在时，设其方程为．
由，消去y，得．
则．
所以，，
则
当且仅当，即时，
当直线l的斜率不存在时，，若
则．
综上，存在实数，使得为定值为5．
20．（2022·安徽模拟）已知椭圆：过点，且点A到椭圆的右顶点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为坐标原点，直线：与交于M，N两点，记线段MN的中点为P，连接OP并延长交于点Q，直线交射线OP于点R，且，求证；直线过定点.
【答案】（1）解：由题意得，，解得或（舍去），
则椭圆的方程为
将代入：得，，解得，
则椭圆的方程为.
（2）解：设，，：，
联立，得，
由得，∴，∴.
由斜率公式可知，∴：，∴.
联立，得，即.
∵，∴，
∴，∴，此时满足，
则直线为：，则直线过定点.<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题36 椭圆
1．（2022·全国甲卷）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·全国甲卷）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（　　）
A． B． C． D．
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a) B1(－b，0)， B2(b，0)
轴长 短轴长为2b，长轴长为2a
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率 e＝(0a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
常用结论
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．
(2) ＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
3．直线与椭圆的位置判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交 Δ>0；直线与椭圆相切 Δ＝0；直线与椭圆相离 Δ<0.
4．弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝
或|AB|＝|y1－y2|＝，k为直线斜率且k≠0.
常用结论
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)．
(1)通径的长度为.
(2)过左焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；过右焦点弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e为椭圆的离心率)
(3)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则.
(4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M 为AB的中点，则kOM·kAB＝－.
(5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－.
(6)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1.
考点一　椭圆的定义及其应用
【方法总结】椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
1．△ABC的两个顶点为A(－3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
考点二　椭圆的标准方程
【方法总结】根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
2 .已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点三　椭圆的几何性质
【方法总结】求椭圆离心率或其范围的方法
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解．
(3)构造a，c的齐次式．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
3 .(2022·湛江模拟)已知F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆C的下顶点且斜率为的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
考点四　直线与椭圆的位置关系
【方法总结】判断直线与椭圆位置关系的方法
(1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
4 .已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点．
考点五　弦长及中点弦问题
【方法总结】解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
5 .(2022·百校联盟开学考)在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点P(2,1)，且离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．若|AB|＝，求直线l的方程．
考点六　直线与椭圆的综合问题
【方法总结】(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．
(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
6 .已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为(O为坐标原点)，求直线l的方程．
一、单选题
1．（2022·湖北模拟）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上．若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则的标准方程是（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·柯桥模拟）已知椭圆，则该椭圆的离心率（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·安徽模拟）已知椭圆）的左 右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·唐山模拟）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P为椭圆C的上项点．直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的长轴长为（　　）
A．3 B．6 C． D．
5．（2022·秦皇岛二模）椭圆的左 右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·滨州二模）已知椭圆 和双曲线 有相同的左、右焦点 ， ，若 ， 在第一象限内的交点为P，且满足 ，设 ， 分别是 ， 的离心率，则 ， 的关系是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2022·枣庄模拟）已知点分别为椭圆的左、右焦点，点P为直线上一个动点．若的最大值为，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·江阴模拟）设是椭圆的左，右焦点，过的直接l交椭圆于A，B两点，则的最大值为（　　）
A．14 B．13 C．12 D．10
9．（2022·云南模拟）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，点在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为的直线与椭圆E交于A、B两点．若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（　　）
A． B． C． D．
10．（2022·湖南模拟）已知椭圆的左 右焦点分别为 ，点 均在椭圆上，且均在轴上方，满足条件，，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·辽宁模拟）已知分别为椭圆的左，右焦点，直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为　 　．
12．（2022·黄浦模拟）已知椭圆的左焦点为F，若A B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为　 　.
13．（2022·焦作模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于A，B两点，满足且，则　 　．
14．（2022·陕西模拟）已知椭圆的离心率是，若以为圆心且与椭圆有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆的方程是　 　．
15．（2022·湖南模拟）在△ABC中，.BC=7，，点A在以B，C为焦点的椭圆上，同时点A在以B，C为焦点的双曲线上，若，的离心率分别为，，且，则角　 　.
三、解答题
16．（2021·江西模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，上顶点为M， ，且原点O到直线 的距离为 .
（1）求椭圆C的方程：
（2）己知斜率为 的直线l交椭圆C于A、B两点，求 的取值范围.
17．（2021·包头模拟）已知椭圆 ： （ ）短轴的两个顶点与右焦点 的连线构成等边三角形，离心率和长半轴的比值为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 过椭圆 的左焦点 ，与 交于 ， 两点，当 的面积最大时，求直线 的方程．
18．（2022·马鞍山模拟）已知椭圆C：（）经过，，，，五个点中的三个．
（1）求椭圆C的方程．
（2）直线l与椭圆C交于P，Q两点，且与圆O：相切，证明：为直角三角形．
19．（2022·四川模拟）在直角坐标系xOy中，长为3的线段AB的两端点A，B分别在x，y轴上滑动，动点M满足
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）设过点的动直线l与（1）中的轨迹E交于C，D两点，是否存在定实数t，使得为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
20．（2022·安徽模拟）已知椭圆：过点，且点A到椭圆的右顶点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为坐标原点，直线：与交于M，N两点，记线段MN的中点为P，连接OP并延长交于点Q，直线交射线OP于点R，且，求证；直线过定点.

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