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<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题37 双曲线
1．（2022·全国乙卷）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，
所以 ，因为 ，所以 在双曲线的右支，
所以 ， ， ，设 ， ，
由 ，即 ，则 ， ， ，
在 中，
，
由正弦定理得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，即 ，所以双曲线的离心率 .
故选：C
2．（2021·北京）双曲线 过点 ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：由得c=2a，则b2=c2-a2=3a2
则可设双曲线方程为：，
将点 代入上式，得
解得a2=1,b2=3
故所求方程为：
故答案为：A
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
【常用结论】
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2.
(5)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
考点一　双曲线的定义及应用
1．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
【答案】B
【解析】如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，
所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，
所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||
＝|MF2|＝2<|F1F2|，
所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．
2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．
【答案】2
【解析】不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝
＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.
考点二　双曲线的标准方程
【方法总结】求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
3．过双曲线C：－＝1(a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】A
【解析】因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1.
4．经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________．
【答案】－＝1
【解析】设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
∴
解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
考点三　双曲线的几何性质
【方法总结】(1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
(2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2.
(3)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
5．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解析】由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x.
因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，
所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，
所以S△ODE＝×a×|DE|＝×a×2b＝ab＝8，
所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16(当且仅当a＝b时等号成立)，
所以c≥4，所以2c≥8，
所以C的焦距的最小值为8.
6．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，|AF2|＝2|AF1|，则双曲线E的离心率为(　　)
A. B.
C. D．7
【答案】C
【解析】点A在双曲线E的左支上，左、右焦点分别为F1，F2，
设|AF1|＝m，
由|AF2|＝2|AF1|知|AF2|＝2m，
由双曲线定义得
|AF2|－|AF1|＝2m－m＝m＝2a，
在△AF1F2中，
|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，
由余弦定理知，
|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos 120°
＝4a2＋16a2＋8a2＝28a2，
∴|F1F2|＝2a，
又|F1F2|＝2c，
∴2a＝2c，e＝＝.
一、单选题
1．（2022·安徽模拟）已知双曲线C：的焦距为4，则C的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可得，，
由，且，得
C的渐近线方程为
故答案为：A
2．（2022·安徽模拟）已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线左支的一个交点为P，若，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设双曲线的右焦点为，由题意得，直线l的倾斜角为，且经过双曲线的左焦点，当点P位于第三象限时，，又，连接，此时为正三角形，不符合题意，则点P位于第二象限，故，连接，由双曲线的定义知，
为等腰三角形，，
．
故答案为：A．
3．（2022·浙江模拟）双曲线的左焦点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设，，故左焦点的坐标为.
故答案为：D．
4．（2022·温州模拟）已知双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合，则p的值等于（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】的右焦点为，即
故答案为：C.
5．（2022·天津市模拟）若双曲线的实轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴，∴双曲线的渐近线方程为。
故答案为：D
6．（2022·浙江模拟）已知双曲线的左 右焦点分别为，M为右支上一点，的内切圆圆心为Q，直线交x轴于点N，，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，设内切圆Q与的三边分别切于三点，过作轴于点，
易得，
又由双曲线定义得，即，又，
故，即点横坐标为，又，则，故直线的方程为，代入，
解得，即，又，则，故，
又，则，，在中，由余弦定理得，
即，化简得，即，解得或，又离心率大于1，故离心率为.
故答案为：A.
7．（2022·海宁模拟）已知双曲线C的渐近线方程为，且焦距为10，则双曲线C的标准方程是（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】渐近线方程为的双曲线为，即，故，故，
故答案为：C．
8．（2022·柯桥模拟）已知圆的圆心为，过点的直线交圆于两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹是（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】C
【解析】将化为，
即该圆的圆心为，半径为，
因为，所以，
又，所以，
则，即，
所以，
所以点的轨迹是双曲线.
故答案为：C.
9．（2022·成都模拟）设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵双曲线，
∴，又点P在双曲线C的右支上，，
所以，，即，
又，
∴面积为.
故答案为：B.
10．（2022·南开模拟）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为
所以，
又因为双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，
所以
所以，
故答案为：A.
二、填空题
11．（2022·湖北模拟）在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为　 　.
【答案】
【解析】因为在线段的垂直平分线上，所以，所以，
由双曲线的定义知点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线，则，，得，所以曲线的方程为，
故答案为：
12．（2022·毕节模拟）已知，是双曲线的左、右焦点，为右支上一点，若，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围为　 　．
【答案】
【解析】由题意得，而，
解得，即，故
故答案为：
13．（2022·四川模拟）设双曲线的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为A，B，以AB为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，若为等腰三角形，则直线的倾斜角的大小为　 　．
【答案】
【解析】解：以AB为直径的圆的方程为，
双曲线过第一象限的渐近线方程为．
由，得．
由为等腰三角形，得点P在线段的中垂线上，即．
由，得，
即，得，
所以．而，
则，
故直线倾斜角为，
故答案为：．
14．（2022·河南模拟）若 是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为　 　.
【答案】
【解析】因为△ABF2为等边三角形，可知，
A为双曲线上一点，，
B为双曲线上一点，则 ，即，
∴
由，则，已知，
在△F1AF2中应用余弦定理得：，
得c2=7a2，则e2＝7 e＝
故答案为：
15．（2022·上海市模拟）如图，为双曲线的右焦点，过作直线与圆切于点，与双曲线交于点，且恰为线段的中点，则双曲线的渐近线方程是　 　.
【答案】y=±2x
【解析】解：设左焦点为，由题设知，，，，
，
，
，
双曲线的渐近线方程是y=±2x．
故答案为y=±2x．
三、解答题
16．（2022·广东模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为线段的中点，过的直线与的右支交于两点，延长分别与交于点两点，若的离心率为为上一点.
（1）求证：；
（2）已知直线和直线的斜率都存在，分别记为，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）证明：由题意得：，解得，
所以双曲线的 方程为，
则，
当直线的斜率不存在时，则，
此时，
当直线的斜率存在时，
因为，即，
整理得，
综上所述，
（2）解：因为点为线段的中点，所以，
显然直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，
联立，消整理得，
又，所以，
所以，
设，则，所以，
代入，得，即，
同理，
所以，
又因，
所以，即是定值.
【解析】 (1) 由题意得： ，求出a，b，c，可得双曲线的方程和焦点坐标，再分斜率存在与不存在时进行讨论，斜率不存在时有 ， 代入左边即可验证得到右边；斜率存在时，由 ，得， 化简整理即可得证；
(2) 设直线的方程为， 与双曲线方程联立求得P点坐标，同理得到Q点坐标，进而表示出k2，结合(1)的结论即可求得k2 = 7k1.
17．（2022·成都模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求直线 l 的直角坐标方程与曲线C的普通方程；
（2）已知点P的直角坐标为，直线 l 与曲线C相交于不同的两点A，B，求的值．
【答案】（1）解：由曲线C的参数方程得．
∴曲线C的普通方程为．
直线 l 的极坐标方程化简为．
由极坐标与直角坐标的互化关系，，
得直线 l 的直角坐标方程为．
（2）解：设直线 l 的参数方程为（m为参数）．
将直线 l 的参数方程代入曲线C的普通方程，
整理可得．
．
设，是方程的两个实数根．
则，．
∴．
【解析】（1）由曲线的参数方程消去即可得曲线的普通方程；由直线的极坐标方程为及 ，，，即可得直线的直角坐标方程；
（2）根据题意得直线的标准参数方程为（为参数），把它代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数的几何意义解题即可.
18．（2022·枣庄模拟）已知双曲线的实轴长为2．点是抛物线的准线与C的一个交点．
（1）求双曲线C和抛物线E的方程；
（2）过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A，B．求面积的取值范围．
【答案】（1）解：由题，，又点在双曲线上，故，解得，
故双曲线方程为；
又点过抛物线的准线，故，即，
故
（2）解：显然直线斜率存在，故设直线方程为，，
联立有，
故，又，，
故切线 ，结合整理得，
同理切线，
联立解得，即，故.
又
，且，即，故，
又在双曲线上故，故，
故面积的取值范围为
【解析】 (1)代入点 ，结合双曲线 的实轴长为2可得双曲线C方程，根据抛物线的准线方程可得抛物线E的方程；
(2) 设直线方程为，，根据几何意义求得切线AP， BP的方程，联立可得P的坐标，代入双曲线方程，结合面积表达式求解 面积的取值范围．
19．（2022·临沂模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，为的左顶点，且．
（1）求的方程；
（2）若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、．求证：点与点的横坐标之积为定值．
【答案】（1）解：易知点、、，，，
所以，，解得，，则，
所以，双曲线的方程为.
（2）证明：分以下两种情况讨论：
①当直线轴时，直线的方程为，此时点、的横坐标之积为；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由题意可知直线不与双曲线的渐近线平行或重合，即，
设点、，
联立可得，
则，可得，则，
不妨点、分别为直线与直线、的交点，
联立可得，联立可得，
此时，.
综上所述，点与点的横坐标之积为定值.
【解析】（1）根据已知条件可得出关于的方程组，解出这两个量的值，可求得的值，进而可得出双曲线的方程；
（2）分两种情况讨论：直线轴、直线的斜率存在，在第一种情况下， 、的横坐标之积为；在第二种情况下，设直线 的方程为， 将直线的方程与双曲线的方程联立，由可得出，求出点 、的横坐标，结合可证得结论成立.
20．（2022·遵义模拟）已知为双曲线左右焦点，，且该双曲线一条渐近线的斜率为，点M和N是双曲线上关于x轴对称的两个点，为双曲线左右顶点．
（1）求该双曲线的标准方程；
（2）设和交点为P，则的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：依题意，
，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）解：的面积不存在最大值，理由如下：
设，则，
因为在双曲线上，所以，
，
所以所在直线的斜率为，
直线的方程为①，
同理可求得直线的方程为②，
①②得③，
将代入③得：，
化简得，
令①②，化简得，
经检验，当时，上式也满足.
故点的轨迹为椭圆去掉上下两个顶点.
因为，当点到轴的距离最大时，三角形的面积最大，
因为，故三角形的面积最大值不存在.
【解析】（1）根据已知条件求得c，a，b，由此求得双曲线的标准方程；
（2）先求得P点的轨迹，然后对的面积是否存在最大值进行判断即可。<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题37 双曲线
1．（2022·全国乙卷）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2021·北京）双曲线 过点 ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
【常用结论】
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2.
(5)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
考点一　双曲线的定义及应用
1．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．
考点二　双曲线的标准方程
【方法总结】求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
3．过双曲线C：－＝1(a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
4．经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________．
考点三　双曲线的几何性质
【方法总结】(1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
(2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2.
(3)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
5．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)
A．4 B．8 C．16 D．32
6．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，|AF2|＝2|AF1|，则双曲线E的离心率为(　　)
A. B.
C. D．7
一、单选题
1．（2022·安徽模拟）已知双曲线C：的焦距为4，则C的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽模拟）已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线左支的一个交点为P，若，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江模拟）双曲线的左焦点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·温州模拟）已知双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合，则p的值等于（　　）
A． B．2 C． D．4
5．（2022·天津市模拟）若双曲线的实轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江模拟）已知双曲线的左 右焦点分别为，M为右支上一点，的内切圆圆心为Q，直线交x轴于点N，，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2022·海宁模拟）已知双曲线C的渐近线方程为，且焦距为10，则双曲线C的标准方程是（　　）
A． B．
C．或 D．或
8．（2022·柯桥模拟）已知圆的圆心为，过点的直线交圆于两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹是（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
9．（2022·成都模拟）设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（　　）．
A． B． C． D．
10．（2022·南开模拟）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·湖北模拟）在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为　 　.
12．（2022·毕节模拟）已知，是双曲线的左、右焦点，为右支上一点，若，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围为　 　．
13．（2022·四川模拟）设双曲线的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为A，B，以AB为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，若为等腰三角形，则直线的倾斜角的大小为　 　．
14．（2022·河南模拟）若 是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为　 　.
15．（2022·上海市模拟）如图，为双曲线的右焦点，过作直线与圆切于点，与双曲线交于点，且恰为线段的中点，则双曲线的渐近线方程是　 　.
三、解答题
16．（2022·广东模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为线段的中点，过的直线与的右支交于两点，延长分别与交于点两点，若的离心率为为上一点.
（1）求证：；
（2）已知直线和直线的斜率都存在，分别记为，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
17．（2022·成都模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求直线 l 的直角坐标方程与曲线C的普通方程；
（2）已知点P的直角坐标为，直线 l 与曲线C相交于不同的两点A，B，求的值．
18．（2022·枣庄模拟）已知双曲线的实轴长为2．点是抛物线的准线与C的一个交点．
（1）求双曲线C和抛物线E的方程；
（2）过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A，B．求面积的取值范围．
19．（2022·临沂模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，为的左顶点，且．
（1）求的方程；
（2）若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、．求证：点与点的横坐标之积为定值．
20．（2022·遵义模拟）已知为双曲线左右焦点，，且该双曲线一条渐近线的斜率为，点M和N是双曲线上关于x轴对称的两个点，为双曲线左右顶点．
（1）求该双曲线的标准方程；
（2）设和交点为P，则的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

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