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<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题38 抛物线
1．（2021·新高考Ⅱ卷）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （　　）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】解：抛物线的焦点坐标为，则其到直线x-y+1=0的距离为，解得p=2或p=-6(舍去)，故p=2.
故答案为：B
2．（2020·新课标Ⅲ·理）设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（　　）
A．（ ，0） B．（ ，0） C．（1，0） D．（2，0）
【答案】B
【解析】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故答案为：B.
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
对称轴 x轴 y轴
顶点 (0,0)
离心率 e＝1
【常用结论】
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
考点一　抛物线的定义和标准方程
1．已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．
【答案】42或22
【解析】当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，
①　　　　　　　　②
则|PF|＝|PD|，
|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42.
当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得＝41，
解得p＝22或p＝58.
当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去．
综上，p＝42或p＝22.
2．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
【答案】B
【解析】根据抛物线的定义可得|AD|＝|AF|＝4，
又∠DAF＝60°，
所以|AD|－p＝|AF|cos 60°＝|AF|，
所以4－p＝2，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
考点二　抛物线的几何性质
3．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　)
A．p＝4 B.＝
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
【答案】ABC
【解析】如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°.
因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，
由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，
则△AEF为等边三角形，
所以∠EFP＝∠AEF＝60°，
则∠PEF＝30°，
所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，
故A正确；
因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，
所以F为AD的中点，则＝，故B正确；
因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，
所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；
因为|BD|＝2|BF|，
所以|BF|＝|DF|＝|AF|＝，故D错误．
考点三　直线与抛物线
【方法总结】(1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则可用弦长公式．
4．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
【答案】设直线l：y＝x＋t，
A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得F，
故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋.
又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.
由
可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
则x1＋x2＝－.
从而－＝，得t＝－.
所以l的方程为y＝x－.
(2)由＝3可得y1＝－3y2.
由可得y2－2y＋2t＝0，
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，
故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝，
即A(3,3)，B.
故|AB|＝.
一、单选题
1．（2022·浙江模拟）抛物线的焦点到准线的距离为（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】由，焦点到准线的距离是，
故答案为：D.
2．（2022·四川模拟）如图，抛物线的焦点为F，准线与y轴交于点D，O为坐标原点，P是抛物线上一点，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，过P作PH垂直轴于H，过P作PB垂直准线于B，
设，则因为，结合抛物线的基本性质有，，.所以
故答案为：C
3．（2022·淄博模拟）已知抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】由题，圆与抛物线都关于x轴对称，故所截得的弦AB与x轴垂直，圆心为原点，圆半径为2，则有，解得，故，得，
故答案为：C
4．（2022·山东模拟）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，且，则M点到轴的距离为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，所以准线为，
又因为，设点的坐标为，
则有，解得：
将代入解析式得：，
所以M点到x轴的距离为．
故答案为：D．
5．（2022·聊城模拟）抛物线的准线方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：因为抛物线方程为，即，所以，即，所以抛物线的准线为
故答案为：C
6．（2022·郑州模拟）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】B
【解析】由题意，，设，
若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，
联立，即，，
又因为，，，
则，
当且仅当时取等号.
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，则，此时.
综上，的最小值为9。
故答案为：： B.
7．（2022·佛山模拟）已知抛物线C：的焦点为F，过焦点且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B（A在B的上方）两点，若，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】设直线l的倾斜角为，根据条件可得，则可得．
过A作准线于，过B作准线于，过B作于.
由抛物线定义可得：.
因为，所以.
而.
在直角三角形ABC中，，解得：．
故答案为：C
8．（2022·天津市模拟）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作，垂足为A'，若四边形AA'PF的面积为14，且，则抛物线C的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出图形如下所示，过点F作，垂足为F'.设，
因为，故，，由抛物线定义可知，，则，故，四边形的面积，解得，故抛物线C的方程为.
故答案为：C
9．（2022·湖南模拟）已知抛物线的准线与轴交于点，点到直线的距离为，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．6
【答案】D
【解析】由已知抛物线的准线与轴的交点坐标为，其到直线的距离，解得（舍去）.
故答案为：D.
10．（2022·安丘模拟）已知P为抛物线 上一个动点，Q为圆 上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解析】连接PF，
根据抛物线定义可知：点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点 的距离，连接圆心 与焦点 ，交圆于 点，交抛物线于点 ，如图所示，此时点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和最小即为 的长度，其中 ，故 ，
故答案为：C
二、填空题
11．（2022·吉林模拟）抛物线的焦点F关于其准线的对称点坐标是　 　．
【答案】（0，-3）
【解析】抛物线的焦点，准线方程为，
所以焦点F关于准线的对称点坐标是（0，-3）.
故答案为：（0，-3）
12．（2022·朝阳模拟）抛物线的准线方程是　 　
【答案】x=-1
【解析】对于抛物线，，，
又抛物线开口向右，准线方程为x=-1.
故答案为：x=-1.
13．（2022·广州模拟）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为　 　．
【答案】1
【解析】由抛物线可知其焦点为，
由抛物线的定义可知，
故点到点的距离与到轴的距离之和为，
即点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为1.
故答案为：1.
14．（2022·湖北模拟）过抛物线的焦点的直线，交抛物线的准线于点，与抛物线的一个交点为，且，若与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线离心率的取值范围是　 　．
【答案】
【解析】过作抛物线准线的垂线，垂足为，如图，
则，又，
所以，，
所以直线的斜率等于，
显然直线与渐近线垂直，所以，
，而，所以，即，
，，
所以.
故答案为：.
15．（2022·内江模拟）抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．如图，抛物线方程为，一平行x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后经过抛物线的焦点F射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行x轴方向射出．若抛物线的方程为，则在每次反射过程中，与x轴平行的两条光线间的最小距离为　 　．
【答案】4
【解析】设，，设两条平行光线的距离为，
由题意可知，
因为，直线过点，所以可设直线的方程为，，
由，消去得，
则，，
则，当时取得等号
所以两条平行关系的最小距离为4，
故答案为：4
三、解答题
16．（2021高三上·洛南月考）已知抛物线 ，（ ）的焦点与椭圆 的右焦点重合.
（1）求抛物线 的方程.
（2）直线 与抛物线 交于 ， 两点，当 为何值时，以 为直径的圆，恒过原点 .
【答案】（1）由题意，椭圆 的右焦点为 ，抛物线 的焦点为 ，
所以 ，解得 ，所以抛物线的方程为 .
（2）因为直线 与抛物线 交于 ， 两点，设 ，
联列方程组 ，可得 ，
所以 ， ，
由 ，解得 ，
以 为直径的圆，恒过原点 ，则 ，可得 ，
又由 ， ，
可得
，解得 或 ，
所以当 或 时， 为直径的圆，恒过原点 .
【解析】(1)根据题意由椭圆、抛物线的简单性质即可求出焦点的坐标，由此求出点P的坐标，从而得出抛物线的方程。
(2)由设而不求法设出点的坐标,并由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，然后由数量积的坐标公式代入整理即可得到关于m的方程，计算出m的值由此得出直线的方程，结合直线的性质即可求出直线过的定点。
17．（2022·安徽模拟）已知抛物线，点在抛物线上.
（1）求抛物线的准线方程；
（2）过点的直线与抛物线交于两点，直线交轴于点，直线交轴于，记直线的斜率分别为，求证：为定值.
【答案】（1）解：将代入，解得，
的准线方程为.
（2）解：设，直线，
联立，整理得，
由题意，，即或，
且，
因为三点共线，由，整理得，
同理得，
【解析】（1） 将代入 可得答案；
（2）设 ，直线，由三点共线可得，，直线与抛物线联立，利用韦达定理代入可得答案.
18．（2022·浙江模拟）已知抛物线：经过点，焦点为F，PF=2，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．
（1）求抛物线C的方程
（2）求直线的斜率的取值范围；
（3）设为原点，，，求证：为定值．
【答案】（1）解：抛物线：经过点，
PF=1+2
解得，故抛物线方程为：
（2）解：由题意，直线的斜率存在且不为，
设过点的直线的方程为，
设，
联立方程组可得，
消可得，
，且，
解得，且，
则，，
又、要与轴相交，
直线不能经过点，即，
故直线的斜率的取值范围是；
（3）证明：设点，，
则，，
因为，所以，
故，同理，
直线的方程为
，
令，得，同理可得，
因为
，
，
为定值．
【解析】 (1)根据抛物线的定义求出p的值，进而得到抛物线C的方程；
(2)显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ， 与抛物线方程联立，根据△> 0结合题目条件即可求出直线的斜率的取值范围；
(3) 设， 由(2)可知 ，， 求出直线PA的方程，进而得到M的坐标，同理可得N的坐标，再结合 ，， 表达出的值，再把，代入 的表达式中化简，即可证得 为定值.
19．（2022·海宁模拟）已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．
（1）求p的值和抛物线的焦点坐标；
（2）设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．
【答案】（1）解：因为抛物线的准线是，所以抛物线的焦点坐标，所以
（2）解：因为点M是抛物线的准线上的动点，设．
（ⅰ）若直线l的斜率不存在，则．
由得，
因为，所以，
即，所以，
因为，所以；
因为，所以，
即，所以，
所以因为，所以①．
（ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则．设．
由得，所以，
且，所以（*），
因为，所以，即，所以，
所以，得，
因为，所以，
即，所以，
所以
则
所以，得，
所以②，
代入（*）得，，所以③，
由②得，所以④，
所以，所以，⑤
由④，⑤知，
综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是．
【解析】（1）由抛物线的准线方程求出抛物线的焦点坐标，可得p；
（2）设，分直线l的斜率不存在和直线l的斜率不存在 ，分别与抛物线的方程联立求解可得直线l在x轴上截距b的取值范围 。
20．（2022·新昌模拟）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点（在的上方）.
（1）若过抛物线的焦点，且垂直于轴时，，求此时抛物线的方程；
（2）若直线的斜率，过点作直线的垂线交抛物线于另外一点，当，且的重心落在直线上时，求直线的斜率.
【答案】（1）解：抛物线的焦点为，联立，可得，
所以，，此时抛物线的方程为.
（2）解：设、、，
由可得，所以，
得到，同理得到.
①当时，，
.
由可得，
整理可得.
因为，所以
，
整理可得，
因为，所以；
②当时，，
.
由可得，
整理可得.
所以，
整理可得：，令，，
，则在上单调递增，
因为，，所以，函数在单调递减，且，
所以在无零点.
综上.
【解析】 (1)依题意， ，求得p的值，进而得到抛物线的方程；
(2) 设、、， 将直线与抛物线方程联立，易得 ， ，然后分 和 讨论得出直线的斜率 .<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题38 抛物线
1．（2021·新高考Ⅱ卷）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （　　）
A．1 B．2 C． D．4
2．（2020·新课标Ⅲ·理）设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（　　）
A．（ ，0） B．（ ，0） C．（1，0） D．（2，0）
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
对称轴 x轴 y轴
顶点 (0,0)
离心率 e＝1
【常用结论】
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
考点一　抛物线的定义和标准方程
1．已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．
2．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
考点二　抛物线的几何性质
3．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　)
A．p＝4 B.＝
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
考点三　直线与抛物线
【方法总结】(1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则可用弦长公式．
4．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
一、单选题
1．（2022·浙江模拟）抛物线的焦点到准线的距离为（　　）
A． B． C．1 D．2
2．（2022·四川模拟）如图，抛物线的焦点为F，准线与y轴交于点D，O为坐标原点，P是抛物线上一点，且，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·淄博模拟）已知抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则（　　）
A．1 B． C．2 D．4
4．（2022·山东模拟）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，且，则M点到轴的距离为（　　）
A．2 B． C． D．
5．（2022·聊城模拟）抛物线的准线方程是（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·郑州模拟）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
7．（2022·佛山模拟）已知抛物线C：的焦点为F，过焦点且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B（A在B的上方）两点，若，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
8．（2022·天津市模拟）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作，垂足为A'，若四边形AA'PF的面积为14，且，则抛物线C的方程为（　　）
A． B． C． D．
9．（2022·湖南模拟）已知抛物线的准线与轴交于点，点到直线的距离为，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．6
10．（2022·安丘模拟）已知P为抛物线 上一个动点，Q为圆 上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题
11．（2022·吉林模拟）抛物线的焦点F关于其准线的对称点坐标是　 　．
12．（2022·朝阳模拟）抛物线的准线方程是　 　
13．（2022·广州模拟）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为　 　．
14．（2022·湖北模拟）过抛物线的焦点的直线，交抛物线的准线于点，与抛物线的一个交点为，且，若与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线离心率的取值范围是　 　．
15．（2022·内江模拟）抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．如图，抛物线方程为，一平行x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后经过抛物线的焦点F射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行x轴方向射出．若抛物线的方程为，则在每次反射过程中，与x轴平行的两条光线间的最小距离为　 　．
三、解答题
16．（2021高三上·洛南月考）已知抛物线 ，（ ）的焦点与椭圆 的右焦点重合.
（1）求抛物线 的方程.
（2）直线 与抛物线 交于 ， 两点，当 为何值时，以 为直径的圆，恒过原点 .
17．（2022·安徽模拟）已知抛物线，点在抛物线上.
（1）求抛物线的准线方程；
（2）过点的直线与抛物线交于两点，直线交轴于点，直线交轴于，记直线的斜率分别为，求证：为定值.
18．（2022·浙江模拟）已知抛物线：经过点，焦点为F，PF=2，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．
（1）求抛物线C的方程
（2）求直线的斜率的取值范围；
（3）设为原点，，，求证：为定值．
19．（2022·海宁模拟）已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．
（1）求p的值和抛物线的焦点坐标；
（2）设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．
20．（2022·新昌模拟）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点（在的上方）.
（1）若过抛物线的焦点，且垂直于轴时，，求此时抛物线的方程；
（2）若直线的斜率，过点作直线的垂线交抛物线于另外一点，当，且的重心落在直线上时，求直线的斜率.

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