资源简介

直线和圆的方程
2.2　直线的方程
【考点梳理】
考点一　直线的点斜式方程和斜截式方程
类别 点斜式 斜截式
适用范围 斜率存在
已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b
图示
方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b
截距 直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距
考点二：直线的两点式方程和截距式方程
名称 两点式 截距式
条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b( a≠0，b≠0)
示意图
方程 ＝ ＋＝1
适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点
考点三　直线的一般式方程
关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(1)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．
(2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.
考点四　直线的五种形式的方程
形式 方程 局限
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线
斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线
两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2
截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 无
考点五　直线各种形式方程的互化
【题型归纳】
题型一：与直线点斜式方程有关的问题
1．与直线y＝x的斜率相等，且过点(－4，3)的直线方程为（ ）
A．y－3＝－ (x＋4) B．y＋3＝ (x－4)
C．y－3＝ (x＋4) D．y＋3＝－ (x－4)
2．已知，，，则过点且与线段垂直的直线方程为（ ）．
A． B．
C． D．
3．若直线：与互相平行，且过点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型二：与直线的斜截式方程有关的问题
4．若直线：与：平行，则直线在轴上的截距为（ ）
A．2或 B．或 C．2 D．
5．两直线与(其中a为不为零的常数)的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．直线过点，且与轴正半轴围成的三角形的面积等于的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：直线的两点式方程
7．下列说法的正确的是（ ）
A．经过定点的直线的方程都可以表示为
B．经过定点的直线的方程都可以表示为
C．不经过原点的直线的方程都可以表示为
D．经过任意两个不同的点的直线的方程都可以表示
8．经过两点、的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射到轴上的点，又被轴反射，这时反射线恰好过点，则所在直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
题型四：直线的截距式方程
10．一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是
A． B．
C． D．
11．已知直线过点，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
12．在平面直角坐标系内，经过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于两点，则面积最小值为( )
A．4 B．8 C．12 D．16
题型五：直线的一般方程定点问题
13．不论为何值，直线恒过定点
A． B． C． D．
14．已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
15．若直线与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点（ ）
A． B． C． D．
题型六：由一般方程判断直线的平行问题
16．已知直线的方程为，直线的方程为，若，则　　
A．或 B． C． D．
17．若直线和直线平行，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
18．“”是“直线与直线平行”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
题型七：由一般方程判断直线的垂直问题
19．已知直线:，直线:，若，则（ ）
A． B． C． D．
20．“”是“直线与直线互相垂直”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
21．已知直线：和直线：，下列说明正确的是
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
【双基达标】
一、单选题
22．直线和直线的位置关系是（ ）
A．相交且垂直 B．平行 C．相交且不垂直 D．不确定
23．已知直线l经过点，且与直线的倾斜角互补，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
24．经过两点，的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
25．直线过定点（ ）
A． B． C． D．
26．已知直线经过点，且与直线垂直，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
27．已知点，.若直线与线段相交，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
28．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
29．是直线与直线互相垂直的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
30．一条光线沿直线入射到轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）.
A． B．
C． D．
31．已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一：单选题
32．在x轴，y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
33．已知直线经过点.则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
34．直线经过直线和直线的交点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
35．已知直线与直线分别过定点，B，且交于点，则的最大值是（ ）
A． B．5 C．8 D．10
36．直线不过第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
37．若直线与垂直，则的方程的截距式为（ ）
A． B．
C． D．
38．已知三个顶点分别为则边上的高所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
39．设直线l的方程为．若不经过第一象限，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
40．下列说法正确的是（ ）
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程能表示平行y轴的直线
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点的直线方程为
41．若直线在轴上的截距为，则实数可能为（ ）
A． B．
C． D．
42．直线y＝ax＋可能是（ ）
A． B． C． D．
43．已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．直线一定不与坐标轴垂直
C．直线与直线一定平行
D．直线与直线一定垂直
44．下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点（2，1）
B．直线在轴上的截距为－2
C．直线的倾斜角为120°
D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
三、填空题
45．已知直线l：过定点P，则点P的坐标为________．
46．的三顶点分别是，，，则边上的高所在的直线的一般式方程是_______．
47．如图，射线，分别与轴正半轴成和角，过点作直线分别交，于，两点，当的中点恰好落在直线上时，则直线的方程是______．
48．下列命题：
①当直线经过两点，，时，直线的斜率为
②直线与轴交于一点，则直线在轴上的截距为
③在轴和轴上截距相等的直线方程为
④方程表示过点和的直线．
其中说法中正确的命题番号是______．
四、解答题
49．求适合下列条件的直线方程：
（1）经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等；
（2）直线经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半；
（3）在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，求直线MN的方程．
50．求经过直线ll∶ 2x-y+4=0与直线l2∶ x-y+5=0的交点M，且满足下列条件的直线方程.
（1）与直线x-2y-1=0平行；
（2）与直线x+3y+ 1=0垂直.
51．已知直线：
（1）求证：不论为任何实数，直线恒过一定点，并求出定点坐标；
（2）过点作一条直线，使夹在两坐标轴之间的线段被点平分，求直线的方程.
52．已知直线
（1）求证：直线l经过定点．
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．
（3）若直线l不经过第四象限，求实数k的取值范围．
【答案详解】
1．C
2．D
【详解】
解：因为，
所以与垂直的直线的斜率为，
所以过点且与线段垂直的直线方程为
，即，
故选：D
3．C
【详解】
由题意，的斜率为，则的斜率为，又过点，所以的方程为：.
故选：C.
4．D
【详解】
因为，所以且，解得，
所以，即.
所以直线在轴上的截距为.
故选：D
5．B
【详解】
直线方程可化为，可得直线的斜率为，
直线方程可化为，可得直线的斜率为，
由此可知两直线的斜率为同号，
结合选项可得，只有选项B适合.
故选：B.
6．A
【详解】
设所求直线方程为：，
由题意得，且解得
故，即.
故选：A.
7．D
【详解】
A中的方程表示有斜率的直线，但过定点不一定有斜率，错误；
B中的方程表示有斜率的直线，但过定点不一定有斜率，错误；
C中的方程表示横、纵截距不为0的直线，不过原点但可能垂直坐标抽，所以错误；
D、经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示，说法正确．
故选：D
8．D
【详解】
经过两点、的直线的方程为，即.
故选：D.
9．A
【详解】
解：根据题意，做出如图的光线路径，
则点关于轴的对称点，
点关于轴的对称点，
则所在直线的方程即为直线方程，
由两点是方程得直线方程为：，整理得：
故选：A.
10．B
【详解】
由题得点关于y轴的对称点在反射光线所在的直线上，再根据点也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为，即，故选B.
11．D
【详解】
根据题意，直线分2种情况讨论：
①当直线过原点时，又由直线经过点，所求直线方程为，整理为，
②当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点的坐标得，解得，此时直线的方程为，整理为．
故直线的方程为或.
故选D．
12．C
【详解】
解:由题意设直线方程为 , .
由基本不等式知 ,
即 (当且仅当 ,即 时等号成立).
又
答案为C
13．B
【详解】
恒过定点，恒过定点，由解得即直线恒过定点.
14．B
【详解】
已知直线整理得：，
直线恒过定点，即.
点也在直线上，
所以，整理得：，
由于，均为正数，则,
取等号时，即，
故选：B.
15．B
【详解】
直线恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2).
16．C
【详解】
因为，故，整理得到，
解得或．
当时，，，两直线重合，舎；
当时，，，两直线平行，符合；
故，选C．
17．A
【详解】
直线和直线平行，
可得，得.
故选：A.
18．C
【详解】
当时，直线，直线．此时，两条直线平行．
当，当时两条直线重合，舍弃．因此．所以为充要条件．
故选择C
19．B
【详解】
因为l1⊥l2，所以，
所以tanα=2，
所以.
故选：B．
20．C
【详解】
若直线与直线互相垂直，
则，解得.
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，选C.
21．C
【详解】
若，则选项B、D都不成立；若，，则直线是一条直线，故选项A不正确；只有C正确．
22．A
解：当时，
当时，，，
则，则．
综上，知，
故选：A．
23．A
【详解】
因为与直线的倾斜角互补，而直线的斜率为，
所以直线l的斜率为，则直线l的方程为，即．
故选：A
24．D
【详解】
，
直线的方程为，
故选：D
25．C
【详解】
直线方程可化为，由，解得，
因此，直线过定点.
故选：C.
26．C
【详解】
直线与直线垂直，且直线的斜率为，
所以直线的斜率为，
又因为直线经过点，所以直线的方程为，
化简得.
故选：C．
27．D
【详解】
直线恒过点，
如图，直线l从经过点A时的直线CA绕点C逆时针旋转到经过点B时的直线CB时，直线l与线段AB都相交，并且斜率逐渐增大，
即直线l斜率最小值为直线CA斜率，直线l斜率最大值为直线CB斜率，
所以的取值范围是.
故选：D
28．C
【详解】
直线与直线垂直，设直线的方程为，
直线经过点，，即.
直线的方程为.
故选：C
29．A
【详解】
因为直线与直线互相垂直，
所以，
解得或，
所以是直线与直线互相垂直的充分不必要条件.
故选：A.
30．B
【详解】
令得，所以直线与轴的交点为，
又直线的斜率为，所以反射光线所在直线的斜率为，
所以反射光线所在的直线方程为，即.
故选：B.
31．D
【详解】
将代入得，
将代入得，
所以A，B不在直线l上，
又上，
所以点p在线段AB上，
直线AB的方程为：，
由，解得，
直线方程，即为，
设直线的倾斜角为，
则，
因为，
所以，
则，
所以，
即，
因为，
所以，
故选：D
32．A
A：时，，即；时，，即，故正确；
B：时，，即；时，，即，故错误；
C：时，，即；时，，即，故错误；
D：时，，即；时，，即，故错误；
故选：A.
33．C
【详解】
由题意知：，即，
∴，而，
∴，则当且仅当时等号成立，
∴的最小值为8.
34．A
【详解】
联立，解得，
直线与直线垂直，则直线直线的斜率为，
所以直线的方程为，
整理可得.
故选：A.
35．D
【详解】
因为，故，
因为，故，
因为，故，故，
因为，故，
当且仅当时等号成立，
故的最大值为，
故选：D.
36．C
【详解】
若，可得，直线的方程为，该直线不过第二象限，合乎题意；
若，可得，直线的斜截式方程为，
若直线不过第二象限，则，解得.
综上所述，.
故选：C.
37．C
因为与垂直，所以，
解得，
则的方程为，即.
故选：C.
38．A
由已知可得，则边上的高所在的直线斜率，
则可得直线的方程为，即.
故选：A.
39．B
【详解】
解：将直线方程化为斜截式方程得，
因为不经过第一象限，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是
故选：B
40．BD
解：对于A，截距相等为0的直线都不可以用方程表示，故错误；
对于B，当时，方程表示平行y轴的直线，故正确；
对于C，经过点，倾斜角为的直线方程不能写成，故错误；
对于D，，直线的斜率存在，可写成，故正确；
故选：BD．
41．BC
【详解】
由题意可知，当，即且时，
令，得在轴上的截距为，
即，
所以或，
故选：BC.
42．AB
【详解】
因为a≠0，所以C错；
当a＞0时，＞0，不过第四象限，故A对；
当a＜0时，＜0，不过第一象限，故D错，B对．
故选：AB
43．AD
【详解】
对于A:整理为：，恒过定点(-1,0)，故A正确；
当时，直线与轴垂直，故B错误；
当时，两直线重合，故C错误；
因为，故直线与直线一定垂直，故D正确，
故选：AD.
44．ACD
【详解】
，所以点在直线上，A正确；
对，令，得，直线在轴上截距为2，B错误；
直线的斜率为，倾斜角为，C正确；
设直线方程为，沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后得，即它就是，
所以，所以，D正确．
故选：ACD．
45．
化为，
因直线l恒过定点，即无论m取何值等式都成立，
即与同时成立，由，解得，
所以点P的坐标为．
故答案为：
46．
【详解】
设BC边上的高为AD，则，，，
，解得．边上的高所在的直线方程为，即．
故答案为：．
47．
由题意可得，，
所以直线的方程：，直线的方程：，
设，，所以的中点，
由点在直线上，且三点共线得：
解得：，所以
又，所以，
所以直线的方程是：，即，
故答案为：.
48．①④
对于①，因为直线经过两点，，时，所以直线的斜率为，故①正确；
对于②，截距不是距离，是点的纵坐标，其值可正可负．故②不正确；
对于③，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为，故③不正确；
对于④，此方程即直线的两点式方程变形，即，故④正确．
故答案为：①④.
49．（1）2x－3y＝0或x＋y－5＝0；（2）x－y＋6＝0；（3）5x－2y－5＝0.
【详解】
（1）由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，
设直线方程为y－2＝k(x－3)，
令y＝0，得x＝3－，
令x＝0，得y＝2－3k，
由已知3－＝2－3k，
解得k＝－1或k＝，
∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝ (x－3)，
即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
（2）由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为.
又直线过点A(－，3)，所以所求直线方程为y－3＝ (x＋)，即x－y＋6＝0.
（3）设C(x0，y0)，则
M，N
因为点M在y轴上，所以，
所以x0＝－5.
因为点N在x轴上，所以，
所以y0＝－3，即C(－5，－3)，
所以M，N(1，0)，
所以直线MN的方程为，
即5x－2y－5＝0.
50．（1）；（2）.
（1）设所求直线为，
故，
因为此直线与直线，故，故，
故所求直线为.
（2）设所求直线为，
故，
因为此直线与直线，故，故，
故所求直线为.
51．
（1）直线： 即为，
由可得，故直线过定点且定点坐标为.
（2）由题设可得直线的横截距和纵截距均存在且不为零，
设直线，则该直线与轴交点的坐标为，
与轴交点的坐标为，故即，
故直线.
52．
（1）直线，化为，
令，可得
由题意得出直线l经过定点；
（2）由l的方程得，，
由题知：，且，
，
，
当且仅当，，即时，面积取最小值4，
此时直线的方程是：．
（3）直线即不经过第四象限，
则，解得k0．即实数k的取值范围为k0．
试卷第1页，总3页

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