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凹凸函数与琴生不等式
当函数 f(x)二阶可导时，x D
f"(x)>0 f(x)在区间 D上严格下凸，下凸函数也称凸函数
f"(x)<0 f(x)在区间上严格上凸，上凸函数也称凹函数
琴生不等式的相关结论：（网上可查出详细证明）
(1)f(x)为凸函数
x1 x2 x 1(i) f n ·[f(x )+f(x )+……+f(x )],当且仅当 x =x =……x 时，
n n 1 2 n 1 2 n
取等号
（ii） 1, 2,……， n 0(不含为 0)，推广至一般的形式
f 1x1 2x2 nxn 1 f (x1) 2 f (x2 ) n f (x ) n
1 2 n 1 2 n
n
(特别地, k 1)
k 1
(2) f(x)为凹函数，将上述“ ”改为“ ”即可
2011 2012 a b b分析 、 年的湖北理数压轴题，均有 1 a 2 a bnn 这样的形式，且提供的答案中有1 2
abk一些步骤很难想到，所以用常规方法求证是有一定困难的。然而，用构造函数 g(x)=lnx, 可得到 k ，
再借助琴生不等式的相关结论，求证将十分简便，没有较大的障碍。
1.（2011, 湖北）
（Ⅰ）已知函数 f x ln x x 1, x 0, 求函数 f x 的最大值；
（Ⅱ）设 ak ,bk k 1,2, ,n 均为正数，证明：
（i）若 a1b1 a2b2 a b b
b1 b2
n n 1 b2 bn ，则 a1 a2 a
bn
n 1
（ii）若b1 b2 b
1
n 1
b b b 2 2 2
，则 b 1b 2 b n b
n 1 2 n 1
b2 bn 。
解：（Ⅰ） f x max=f(1)=0
（Ⅱ）证明
1
（i）令 g(x)=lnx(x>0), 则 g”(x)= 2 0, g (x) 在（0，+ ）上是凹函数，对于 ak (0, + ),x
(k=1,2,…，n)，由琴生不等式：
n n
bk ln ak bk ak n n
k 1 ln( k 1n n ) ln1 0( akbk bk )
bk b k 1 k 1k
k 1 k 1
n n
bk ln ak 0 故 ab kk 1
k 1 k 1
(ii) 由(i)知，g(x)=lnx在 0, 上是凹函数，由琴生不等式：
n
10 对于 bk (0,1), 且 bk 1
k 1
n n
bk lnbk b2k n n
k 1 ln( k 1 ) bbk 2n n k bk
bk b k 1 k 1 （*）k
k 1 k 1
n
20对于bk ,
1
(0, ),且
b bk 1k k 1
n 1 n bk ln 1 bk
k 1 bk ln( k 1 bkn n ) ln n,
1
从而ln n ln n
b b bbkk k k
k 1 k 1 k 1
n 1
故ln bbkk (**)
k 1 n
由（*）、（**）综合，可得出原不等式成立。
对于 2011 的压轴题，原题没有给定限制，完全可以脱离原函数，重新构造函数。但对于 2012
的压轴题，原题对解题方法有所限制，这里把它看做无限制，用以上类似的方法求证。
2.(2012，湖北 22 题)
（Ⅰ）已知函数 f (x) rx x r (1 r) (x 0) ，其中 r 为有理数，且 0 r 1 . 求 f (x)的
最小值；
（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：
设 a1 0, a2 0 ，b1, b2 为正有理数. 若b1 b2 1，则 a
b1
1 a
b2
2 a1b1 a2b2 ；
（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数．学．归．纳．法．证明你所推广的命题.
注：当 为正有理数时，有求导公式 (x ) x 1 .
解析： (I) f (x)min f (1) 0
（II） 证明：令 g(x)=lnx(x>0), 则 g(x) 在 (0, )上为凹函数（1题已证）
10 当 a1， a2中至少有一个为 0时，则 a
b1a b21 2 a1b1 a2b2 成立；
20 若 a1， a2 >0时，由琴生不等式：
b1 ln a1 b2 ln a2 ln(a b 1 1 a2b2 )
b1 b2 b1 b2
b1 b2 1 ln ln a
b1ab21 2 ln(a
b1 b2
1b1 a2b2 ) a1 a2 a1b1 a2b2
综上，原不等式成立。
（III） 命题形式：
n n n
设 ak 0,bk为正有理数, (k=1,2, ,n),若 b 1, abkk 则 k akbk
k 1 k 1 k 1
证明：10 当 a1 , a2……an中至少有一个为 0时，原不等式显然成立。
20 当 ak>0(k=1,2, ,n)时，由琴生不等式：
n n
bk ln ak akbk n n
k 1
n ln(
k 1 bk
n ) ak akbk
bk b k 1 k 1k
k 1 k 1
综上，原不等式成立。

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