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最全归纳平面向量中的范围与最值问题
【考点预测】
一．平面向量范围与最值问题常用方法：
(1)定义法
第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步:得出结论
(2)坐标法
第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步: 将平面向量的运算坐标化
第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
(3)基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
(4)几何意义法
第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹
第二步: 根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
二．极化恒等式
(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
|a+ b|2+ |a - b|2= 2(|a |2+ |b|2)

证明：不妨设AB= a,AD= b ，则AC = a + b，DB= a - b
2 2
AC 2= 2AC = a + b = a 2+ 2a b+ b ①
2
DB 2=DB2= a - b = a 2- 2a b+ b 2 ②
①②两式相加得：
2 2 2 AC + DB = 2 a + b
2 2 2
= 2 AB + AD
(2)极化恒等式：
1 2 a + b - a
2
上面两式相减，得：4 - b ----极化恒等式
1
①平行四边形模式：a b= 4 AC
2- DB 2
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方
1
差的 4 .
a b= AM 2- 1②三角形模式： DB 24 (M为BD的中点)
三.矩形大法
矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一
点，证明：OA2+OC 2=OB2+OD2。
【证明】(坐标法)设AB= a,AD= b，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系 xoy，
则B(a,0),D(0,b),C(a,b)，设O(x,y)，则
OA2+OC 2= (x2+ y2) + [(x- a)2+ (y- b)2]
OB2+OD2=[(x- a)2+ y2]+ [x2+ (y- b)2]
∴OA2+OC 2=OB2+OD2
四.等和线
(1)平面向量共线定理

已知OA= λOB+ μOC，若 λ+ μ= 1，则A,B,C三点共线；反之亦然。
(2)等和线

平面内一组基底OA,OB及任一向量OP，OP= λOA+ μOB(λ,μ∈R)，若点P在直线AB上或者在平
行于AB的直线上，则 λ+ μ= k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等
和线。
①当等和线恰为直线AB时，k= 1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈ (0,1)；
③当直线AB在点O和等和线之间时，k∈ (1,+∞)；
④当等和线过O点时，k= 0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值 k互为相反数；
【题型归纳目录】
题型一：三角不等式
题型二：定义法
题型三：基底法
题型四：几何意义法
题型五：坐标法
题型六：极化恒等式
题型七：矩形大法
题型八：等和线
【典型例题】
题型一：三角不等式

例1.(2022· · 河南 洛宁县第一高级中学高一阶段练习)已知向量 a,b,c满足 |a| = 2,|b| = 1,|c- a- b| = 1，若

对任意 c，(c- a)2+ (c- b)2≤ 11恒成立，则 a b 的取值范围是___________.

例2.(2022 · 安徽省舒城中学三模 (理 ) )已知平面向量 e1，e2，a， e1 = e2 = 1，若 a e1+ e2 ≥ 2，
- a e1 e2 ≥ 1，则 a 的最小值是________.

例3.(2022·浙江湖州·模拟预测)已知平面向量 a ,b,c 满足 |b| |c| = 1，若 |3a- (b+ c )| = |a b| |c | ，则-a2+

2b2+ c 2的最小值是_____________．

例4.(2022·浙江·模拟预测)已知平面内两单位向量 e1,e2,

e , e = π c c e - c 1 2 3 ，若 满足
2
1 e2= c , c

e1 +
c e ≥ 1 2 2 ，则 c
2的最小值是___________.

例5.( 浙江省绍兴市柯桥区 2022届高三下学期 5月第二次适应性考试数学试题)已知平面向量 a、b c 、 满

足：a 与 b 2π 的夹角为 3 , c- a

c - b = 0, a + b = 2 ，记M是 c- a - b 的最大值，则M的最小值是
__________．

例6.(2022· 全国·高三专题练习)已知非零平面向量 a,b满足 a + b = a b ，则 a b 的最小值是 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

例7.(2022·湖北·华中师大一附中高一阶段练习)已知圆C的半径为 2，点A满足 AC = 4，E，F分别是C

上两个动点，且 EF = 2 3，则AE AF的取值范围是 ( )
A. [6，24] B. [4，22] C. [6，22] D. [4，24]

例8.(2022· 1 浙江·高三专题练习)已知平面向量 a，b，c满足 a = c = 2 b = 1， a b ≤ 1．若 d= b + c

，则
a

c + b d 的最大值是______．

例9.(2022·全国·高一课时练习)已知在三角形ABC中，BC= 4， AB = 2 AC ，则AB AC的取值范围是
( )
A. - 329 ,32 B. -
32
9 ,32

C. 0,32 D. 0,32

例10.(2022· · ) a 全国 高一专题练习 已知 = 2， b = 1 ，a与 b的夹角为 60°，若向量 c满足 c- 2a- 4b =
2 3，则 c 的取值范围是 ( )
A. 4- 2 3,4+ 2 3 B. 3,5 3
C. 2 3,6 3 D. 5- 2 3,5+ 2 3

例11.(2022· · 1 浙江宁波 高三期末)已知平面向量 a，b，c，其中 a，b是单位向量且满足 a b= 2 ，4c
2- 4a c
- 4b c= 1，若 c= xa + yb x,y∈R ，则 x+ y的最小值为___________.

例12.(2022· 全国·高三专题练习)已知向量 a，b是平面内的两个非零向量，则当 a+ b + a- b 取最大值

时，a 与 b夹角为________．
题型二：定义法

例13.(2022· 全国·高三专题练习)已知向量 a，b满足 a = 2， b = 3，则 a + b + a - b 的最大值为____
__.
例14.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC中，角B,C的边长分别为 b,c，点O为△ABC的外心，若 b2+ c2

= 2b，则BC AO的取值范围是 ( )
A. - 1 4 ,0 B. 0,2 C.
1
- 4 ,+∞ D. -
1
4 ,2
例15.(2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试)如图，正六边形ABCDEF的边长为 2，动点M从顶点B出

发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点 F，若 FD AM 的最大值和最小值分别是m，n，则m+ n=
( )
A. 9 B. 10
C. 11 D. 12

例16.(2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测 (理))已知 OA = OB = 2，点C在线段AB

上，且 OC 的最小值为 3，则 OA+ tOB (t∈R)的最小值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
例17.(2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测 (文))已知A，B为圆O:x2+ y2= 4上的两动点，|AB| =

2 3，点P是圆C:(x+ 3)2+ (y- 4)2= 1上的一点，则 |PA+PB|的最小值是 ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
例18.(2022·黑龙江·哈九中二模 (理))窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象
征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有
圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P

是圆O内部一点，若 OA = 2，且OA AP=-2，则 OA+OP 的最小值是 ( )
A. 3 B. 4 C. 9 D. 16

例19.(2022·全国·三模 (理)) 已知平面向量 a，b，c均为单位向量，且 a- b = 1 a - 2b a - c ， 的取值范
围是 ( )
A. - 3, 3 B. -2,2 C. - 7, 7 D. -3,3
题型三：基底法

例20.(2022·天津河北·二模)已知菱形ABCD的边长为 2，∠BAD= 120°，点E，F分在边BC，CD上，BE

= λBC，DF = μDC．若 λ+ μ= 23 ，则AE AF的最小值为___________．
例21.(2022· π山西省长治市第二中学校高三阶段练习 (理))菱形ABCD中，AB= 1,A∈ 3 ,
π
2 ，点E是线

段AD上的动点 (包括端点)，则ED EB的最小值为__________.
例22.(2022·全国·高一)在矩形ABCD中，AB= 2BC= 2，动点M在以点C为圆心且与BD相切的圆上，则

AM BD的取值范围为 ( )
A. [-5,-1] B. [-5,1] C. [-3+ 5,-1] D. [-3+ 5,3- 5]

例23.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足AN = λAB

+ μAC，则 λ2+ μ2的最小值为 ( )
A. 1 1 116 B. 4 C. 8 D. 1
例24.(2022·全国·高三专题练习)已知在△ABC中，AB=AC= 2，BC= 3，点 E是边BC上的动点，则当

EA EB取得最小值时， EA = ( )
A. 374 B.
37 10
2 C. 2 D.
14
2

例25.(2022· π全国·高三专题练习)如图，已知两个模都为 10的向量OA,OB，它们的夹角为 2 ，点C在以O

为圆心，10为半径的AB上运动，则CA CB的最小值为 ( )
A. 100- 100 2 B. - 100
C. 100 2- 100 D. - 100 2
例26.(2022·吉林长春·模拟预测 (理))已知△ABC中，A= π3 ，AC= 2，AB= 5，点P为边

AB上的动点，则PB PC的最小值为 ( )
A. - 4 B. - 2 C. 2 D. 4
例27.(2022·全国·高三专题练习)在凸四边形ABCD中，AB=BC= 2，∠ABC= 120°，且△ACD为等边三

角形，若点E在四边形ABCD上运动，则EB ED的最小值是 ( )
A. - 4 B. - 3 C. - 1 D. 3
题型四：几何意义法

例28.(2022· 全国·高三专题练习 (理))已知平面向量 a，b，c满足 a b=-3， a- b = 4，c- a与 c- b的夹
π
角为 3 ，则 c- a
- b 的最大值为___________．

例29.(2022·上海市建平中学高一阶段练习) α β α 已知平面向量 ≠ 0,α ≠ β 满足 β = 2 ，且 α与 β- α的
夹角为 135 ，则 α 的取值范围是___________.

例30.(2022· 全国·高三专题练习)在平面内，若有 |a| = a b= 1, b = 2 (c - a ， ) (2c - a - b) = 0 ，则 c b的
最大值为________．

例31.(2022· 北京朝阳·高三期末)已知平面向量 a，b满足 a = 2，a与 a- b的夹角为 120°，记m= ta+

1- t b t∈R ， m 的取值范围为 ( )
A. 3,+∞ B. 2,+∞ C. 1,+∞ D. 1 2 ,+∞
例32.(2022·江苏·高二)飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们在酒吧日常休闲的必备
活动．某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四边形拼成．
在四边形ABCO中，OA⊥OC，OA=OC= 4，AC⊥BC，AC=BC，点P是八边形ABCDEFGH内

(不含边界)一点，则OA AP的取值范围是 ( )
A. (-16,48) B. (-48,16)
C. (-16 5,48 5) D. (-48 5,16 5)
例33.(2022·湖南·模拟预测)已知直线 l与圆O：x2+ y2= 9相交于不同两点P，Q，点M为线段PQ的中点，

若平面上一动点C满足CP= λCQ λ> 0 ，则OC OM 的取值范围是 ( )
A. 0,3 B. 0,3 2 C. 0,9 D. 0,6 2
例34.(2022·浙江绍兴·高三期末)已知MN为圆C：x2+ y2- 2x- 4y= 0上长度为 4的动弦，点P是直线 l：

x- y+ 3= 0上的动点，则 |NP+MP|的最小值为 ( )
A. 2 2- 2 B. 2 2 C. 2 2+ 2 D. 2 2- 5
例35.(2022·福建厦门·高三阶段练面四边形 ABCD中，AB= 1，AC= 3，AC⊥ AB，∠ADC=
2π
3 ，则AD AB的最小值为 ( )
A. - 3 B. - 1 C. - 3 12 D. - 2

例36.(2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测 (理))已知△ABC的外接圆半径长为 1，则AB AC的最小值为
( )
A. - 1 B. - 1 12 C. - 3 D. -
1
4

例37.(2022· 北京工业大学附属中学三模)已知向量 a,b满足 b = 2，a与 b的夹角为 60 ，则当实数 λ变化

时，|b- λa |的最小值为 ( )
A. 3 B. 2 C. 10 D. 2 3

例38.(2022· · 内蒙古 海拉尔第二中学高三期末 (理))已知平面向量 a、b a≠ b 满足 a = 1 a ，且 与 b - a的

夹角为 150 c ，若 = 1- t a+ tb t∈R ，则 c 的最小值为 ( )
A. 1 B. 14 C.
1
2 D.
3
2
例39.(2022·江苏·高二)如图，已知四边形ABCD为直角梯形，AB⊥ BC，AB DC，AB= 1，AD= 3，
∠BAD= 2π

3 ，设点P为直角梯形ABCD内一点 (不包含边界)，则AB AP的取值范围是 ( )
A. - 3 3 2 ,1 B. - 2 ,1
C. 0, 3 3 2 D. 0, 2

例40.(2022·全国·高三专题练习) 已知两个不相等的非零向量 a,b，满足 a = 1 a ，且 与 b - a 的夹角为 60°，

则 b 的取值范围是 (　　)
A. 0 3 B. 3， ，1 C. 32 2 2 ，+∞ D. (1，+∞)
题型五：坐标法

例41.(2022· 全国·高三专题练习)已知向量 a，b满足 2a+ b = 3， b = 1，则 a + 2 a+ b 的最大值为___
________.

例42.(2022·全国·高三专题练习)已知 a,b是平面上的单位向量，则 a- 2b + a+ b 的最大值是_____
_____.

例43.(2022·浙江·效实中学模拟预测)已知平面向量 a,b,c满足 a = 1， b- 2a = b = 2， c- b b= 0，则
c + a + c - a 的最小值为___________.
例44.(2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测)已知半径为 1的圆O上有

三个动点A，B，C，且 AB = 2，则AC BC的最小值为_____
_．

例45.(四川省泸县第四中学 2022 届高三下学期高考适应性考试数学 (理)试题)已知 a,b是平面内两个互
c

相垂直的单位向量，若向量 满足 a- c b- 2c = 0 ，则 c 的最大值是_________．

例46.(2022·北京市第十二中学三模)△ABC为等边三角形，且边长为 2，则AB与BC的夹角大小为 120 ，若

BD = 1，CE=EA，则AD BE的最小值为___________.

例47.(江苏省泰州市 2022 届高三下学期第四次调研测试数学试题)平面向量 a,b,c满足 a = 1, b = 2 ，a

与 b的夹角为 60 ，且 c- 2a c - b = 0则 |c |的最小值是___．

例48.(2022·全国·高三专题练习)点M是边长为 2的正六边形ABCDEF内或边界上一动点，则AB AM
的最大值与最小值之差为 (　　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
例49.(2022·全国·高三专题练习)如图，在矩形ABCD中，AB= 4,AD= 3，M，N分别为线段BC，DC上的

动点，且MN= 2，则AM AN 的最小值为 ( )
A. 25- 7 2 B. 15
C. 16 D. 17
例50.(2022·全国·高三专题练习)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD= 120°,AB

=AD= 2.若点E为边CD上的动点，则AE BE的最小值为 ( )
A. 78 B. 2
C. 21 D. 218 4
例51.(2022·四川·成都七中模拟预测 (理))在等腰梯形ABCD中，AB DC,AB= 2BC= 2CD= 2,P是腰

AD上的动点，则 |2PB-PC|的最小值为 ( )
A. 7 B. 3 C. 3 32 D.
27
4
例52.(2022·全国·高三专题练习)已知△ABC是边长为 2的正三角形，点M为△ABC所在平面内的一点，

且 AB AM AC AM = 2，则AM长度的最小值为 ( )
A. 64 B.
6
3 C.
6
2 D. 6
例53.(2022·全国·高三专题练习)等边△ABC的面积为 9 3，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足

MN = 1，则NA NB的最小值为 ( )
A. - 5- 2 3 B. - 5- 4 3 C. - 6- 2 3 D. - 6- 4 3
例54.(2022·辽宁沈阳·一模)如图，在直角梯形ABCD中，AD BC，AB⊥BC，AD= 1，BC= 2，P是线

段AB上的动点，则 PC + 4PD 的最小值为 ( )
A. 3 5 B. 6
C. 2 5 D. 4
例55.(2022 ·全国 ·高三专题练习 ) 已知 ABCD 是边长为 2 的正方形，P 为平面 ABCD 内一点，则

PA+PB PC的最小值是 ( )
A. - 2 B. - 52 C. - 3 D. - 4
例56.(2022·全国·高三专题练习)四叶回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB

= 4，CD= 2，∠A= 45°，M为线段HL上一动点，则AF GM 的最小值为
( )
A. - 8 B. - 16
C. - 24 D. - 32

例57.(2022·四川·射洪中学模拟预测 (文))△ABC是等腰直角三角形，AB=BC= 4，CD= 12 (CA+CB)，

AE= xAD+ yAC，其中 2x+ y= 1，则EA EB的最小值是 ( )
A. - 209 B. -
84
25 C. - 3 D. - 4
例58.(2022·山东潍坊·模拟预测)折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面
的能折叠的扇子，如图 1.其平面图如图 2的扇形AOB，其中∠AOB= 120°，OA= 2OC= 2，点E在弧

CD上，则EA EB的最小值是 ( )
A. - 1 B. 1 C. - 3 D. 3
例59.(2022·湖南·临澧县第一中学高三阶段练习)在 △ABC中，AB = 1，AC = 2，∠BAC = 60°，P是

△ABC的外接圆上的一点，若AP=mAB+nAC，则m+n的最小值是 ( )
A. - 1 B. - 12 C. -
1
3 D. -
1
6
例60.(2022 ·山西 ·二模 (理 ) ) 在菱形 ABCD 中，AB = AC = 2，点 P 在菱形 ABCD 所在平面内，则

PA+PB PC的最小值为 ( )
A. - 3 B. - 3 C. - 32 D. -
7
4
例61.(2022·陕西·西安中学模拟预测 (文))在直角三角形ABC中，∠ABC= 90 ,AB= 6,BC= 2 3，点M

N是线段AC上的动点，且 MN = 2，则BM BN 的最小值为 ( )
A. 12 B. 8 C. 6 3 D. 6

例62.(2022·广东惠州·高三阶段练习)已知平面向量 a b c a ，， 满足 = b = a b= 2，且 b- c 3b- c =
0，则 c - a 最小值为 ( )
A. 2 2+ 1 B. 3 3- 3 C. 7- 1 D. 2 3- 2
63.(2022· · ) e ,e e - e 例 山东 胜利一中模拟预测 已知 1 2为单位向量，满足 1 2 = 2e - a 1 = 1 ，则 a- e2 的最小
值为 ( )
A. 3- 1 B. 3 C. 7- 1 D. 7
例64.(2022·全国·高三专题练习 (文))已知梯形ABCD AD∥BC ∠B= π中， ， 3 ，AB= 2，BC= 4，AD= 1，

点P，Q在线段BC上移动，且PQ= 1，则DP DQ的最小值为 ( )
A. 1 B. 11 C. 132 2 D.
11
4

例65.(2022·全国·高三专题练习)如图，已知两个单位向量OA，OB π，且它们的夹角为 3 ，点C在以O为圆

心，1为半径的AB上运动，则CA·CB的最小值为 ( )
A. 32 - 3 B. 0
C. 3 3 32 - 2 D. - 2
例66.(2022·全国·高三专题练习)骑行是目前很流行的一种绿色健身和环保出行方式，骑行属于全身性有氧
活动 能有效地锻炼大脑 心脏等人体器官机能，它带给人们的不仅是简单的身体上的运动锻炼，更是
心灵上的释放.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为
3，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为 4的等边三角形.设点P为后轮上一点，则在骑行该自行车的

过程中，AC BP的最小值为 ( )
A. 4 3 B. 12
C. 12 3 D. 24
题型六：极化恒等式
例67.(2022·山东师范大学附中模拟预测)边长为 1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P

为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM PN 的取值范围是_________.
例68.(2022·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为

6 的可移动的线段，AD= 4，AB= 8 3，BC= 12 ，则BE BF的取值范围为 __
______________ .
例69.(2022·全国·高一)设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B= 14 AB，且对于边AB上任一点

P，恒有PB PC≥P0B P0C，则三角形ABC形状为___________.
例70.(2022 ·全国 ·高三专题练习)已知直线 l :y = x + 2a与圆 C : x- a 2+ y 2= r 2 r> 0 相切于点

M -1,y0 ，设直线 l与 x轴的交点为A，点P为圆C上的动点，则PA PM 的最大值为______．
例71.(2022·全国·高三专题练习)如图，在边长为 2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，

以MN为边作等边△PMN，使得点A，P位于直线MN的两侧，则 PN PB
的最小值为______．
例72.(2022·陕西榆林·三模 (文))四边形ABCD为菱形，∠BAC= 30°，AB= 6，P是菱形ABCD所在平面

的任意一点，则PA PC的最小值为________.
例73.(2022·重庆八中模拟预测)△ABC中，AB= 3，BC= 4，AC= 5，PQ为△ABC内切圆的一条直径，M

为△ABC边上的动点，则MP MQ的取值范围为 ( )
A. 0,4 B. 1,4 C. 0,9 D. 1,9

例74.(2022·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高一阶段练习)半径为 2的圆O上有三点A,B,C满足OA+

AB+AC = 0，点P是圆内一点，则PA PO+PB PC的取值范围为 ( )
A. -4,14 B. -4,14 C. -4,4 D. -4,4
2 y2
例75.(2022· x黑龙江·佳木斯一中高二期中)已知P为椭圆 + 225 24 = 1上任意一点，EF为圆N :(x- 1) +

y2= 4任意一条直径，则PE PF的取值范围为 ( )
A. [8，12] B. [12,20] C. [12,32] D. [32,40]
例76.(2022·四川凉山·三模 (理))已知下图中正六边形ABCDEF的边长为 4，圆O的圆心为正六边形的中

心，直径为 2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则PM PN 的取值范围是 ( )
A. 11,16 B. 11,15
C. 12,15 D. 11,14
例77.(2022·全国·高三专题练习)如图，在△ABC中,∠ABC= 90 ,AB= 2,BC= 2 3，M点是线段AC上一

动点.若以M为圆心 半径为 1的圆与线段AC交于P,Q两点，则BP BQ的最小值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

例78.(2022·福建莆田·模拟预测)已知P是边长为 4的正三角形ABC所在平面内一点，且AP= λAB+ (2

- 2λ)AC(λ∈R)，则PA PC的最小值为 ( )
A. 16 B. 12 C. 5 D. 4
例79.(2022·全国·高三专题练习)已知直线 l：x+ y- 1= 0与圆C： x- a 2+ y+ a- 1 2= 1交于A，B两

点，O为坐标原点，则OA OB的最小值为 ( )．
A. - 12 B.
2
2 C. 2 D.
1
2
例80.(2022·北京·人大附中模拟预测)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．
图 1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图 2中正六边形ABCDEF的边长为 4，圆O的
圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为 2，圆O的直径MN ∥ CD，点 P在正六边形的边上运动，则

PM PN 的最小值为 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

例81.(2022·江西·二模 (理))已知△ABC是面积为 4 3的等边三角形，且AD= xAB+ yAC，其中实数 x，y
+ y

满足 x 2 = 1，则DA DC的最小值为 ( )
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
题型七：矩形大法
例82.( 贵州省贵阳市第一中学 2022届高三上学期高考适应性月考卷 (三)数学 (文)试题)已知平面向量 a，

b c

，，满足 a = b = a b= 2 ，且 a- 2c b- c = 0 ，则 a- c 的最小值为 ( )
A. 3- 1 B. 7- 3 C. 32 2 2 D.
7
2

例83.(北京市人大附中朝阳学校 2019- 2020 学年度高一下学期期末模拟数学试题 (1))设向量 a，b，c满
|a

足 | = |b| = 1，a b= 12 ，(a
- c ) (b- c )= 0 ，则 |c|的最小值是 ( )
A. 3+ 1 B. 3- 12 2 C. 3 D. 1
例84.(四川省资阳市 2021- 2022 学年高三第一次诊断考试数学 (理)试题)已知 e为单位向量，向量 a满

足： a- e a- 5e = 0，则 a+ e 的最大值为 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
题型八：等和线
例85.(2022·全国·高三专题练习)在矩形ABCD中，AB= 4，AD= 3，M，N分别是AB，AD上的动点，且

满足 2AM+AN= 1，设AC = xAM + yAN，则 2x+ 3y的最小值为 ( )
A. 48 B. 49 C. 50 D. 51

例86.(2022·山东烟台·三模)如图，边长为 2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若AP=

xAB+ yAC，则 2x+ 2y的最大值为 ( )
A. 83 B. 2
C. 43 D. 1

例87.(2022·全国·高一期末)在 △ABC中，M为 BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若AN =

λAB+ μAC(λ，μ∈R)，则 λ+ μ的取值范围是 ( )
A. 1 0, 3 B.
1 , 1 3 2 C. [0,1] D. [1,2]
例88.(2022·江苏·高二)如图，已知点P在由射线OD、线段OA，线段BA的延长线所围成的平面区域内 (包

括边界)，且OD与BA平行，若OP= xOB+ yOA 1，当 x=- 2 时，y的取值范围是 ( )
A. 0,1 B. -
1
2 ,1


C. - 1 3 1 3 2 , 2 D. 2 , 2
例89.(2022·宁夏·银川一中一模 (文))在直角△ABC中，AB⊥AC，AB=AC= 2，以BC为直径的半圆上

有一点M (包括端点)，若AM = λAB+ μAC，则 λ+ μ的最大值为 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 2

例90.(2022·上海·高三专题练习)已知△ABC的外接圆圆心为O，∠A= 120 ，若AO= xAB+ yAC(x，y∈
R)，则 x+ y的最小值为 ( )
A. 12 B.
2
3 C.
3
2 D. 2

例91.(2022·全国·高三专题练习)已知O是ΔABC内一点，且OA+OB+OC = 0，点M在ΔOBC内 (不含

边界)，若AM = λAB+ μAC，则 λ+ 2μ的取值范围是
A. 1, 52 B.
2 1
1,2 C. 3 ,1 D. 2 ,1
例92.(2022·全国·高三专题练习)在矩形ABCD中，AB= 1，AD= 2，动点P在以点C为圆心且与BD相切

的圆上．若AP= λ AB+ μAD，则 λ+ μ的最大值为
A. 3 B. 2 2 C. 5 D. 2

例93.(2022·四川绵阳·高一期中)在扇形OAB中，∠AOB= 60 ，C为弧AB上的一动点，若OC = xOA+

yOB，则 3x+ y的取值范围是_________．
例94.(2022·上海·模拟预测)在直角△ABC中，∠A为直角，AB= 1,AC= 2，M是△ABC内一点，且AM=
1
2 ，若AM = λAB+ μAC，则 2λ+ 3μ的最大值为_________．
例95.(2022·山东菏泽·高一期中)如图，在边长为 2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为 1，圆心Q在

线段CD(含端点)上运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量AP=mAB+ nAF(m，n为实数)，则
m+n的最大值为______．

例96.(2022·全国·高一期末)如图，扇形的半径为 1，且OA OB= 0，点C在弧AB上运动，若OC = xOA+

yOB，则 2x+ y的最大值是__________.最全归纳平面向量中的范围与最值问题
【考点预测】
一．平面向量范围与最值问题常用方法：
(1)定义法
第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步:得出结论
(2)坐标法
第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步: 将平面向量的运算坐标化
第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
(3)基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
(4)几何意义法
第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹
第二步: 根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
二．极化恒等式
(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
|a+ b|2+ |a - b|2= 2(|a |2+ |b|2)

证明：不妨设AB= a,AD= b ，则AC = a + b，DB= a - b
2 2
AC 2= 2AC = a + b = a 2+ 2a b+ b ①
2
DB 2=DB2= a - b = a 2- 2a b+ b 2 ②
①②两式相加得：
2 2 2 AC + DB = 2 a + b
2 2 2
= 2 AB + AD
(2)极化恒等式：
1 2 a + b - a
2
上面两式相减，得：4 - b ----极化恒等式
1
①平行四边形模式：a b= 4 AC
2- DB 2
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方
1
差的 4 .
a b= AM 2- 1②三角形模式： DB 24 (M为BD的中点)
三.矩形大法
矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一
点，证明：OA2+OC 2=OB2+OD2。
【证明】(坐标法)设AB= a,AD= b，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系 xoy，
则B(a,0),D(0,b),C(a,b)，设O(x,y)，则
OA2+OC 2= (x2+ y2) + [(x- a)2+ (y- b)2]
OB2+OD2=[(x- a)2+ y2]+ [x2+ (y- b)2]
∴OA2+OC 2=OB2+OD2
四.等和线
(1)平面向量共线定理

已知OA= λOB+ μOC，若 λ+ μ= 1，则A,B,C三点共线；反之亦然。
(2)等和线

平面内一组基底OA,OB及任一向量OP，OP= λOA+ μOB(λ,μ∈R)，若点P在直线AB上或者在平
行于AB的直线上，则 λ+ μ= k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等
和线。
①当等和线恰为直线AB时，k= 1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈ (0,1)；
③当直线AB在点O和等和线之间时，k∈ (1,+∞)；
④当等和线过O点时，k= 0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值 k互为相反数；
【题型归纳目录】
题型一：三角不等式
题型二：定义法
题型三：基底法
题型四：几何意义法
题型五：坐标法
题型六：极化恒等式
题型七：矩形大法
题型八：等和线
【典型例题】
题型一：三角不等式

例1.(2022· · 河南 洛宁县第一高级中学高一阶段练习)已知向量 a,b,c满足 |a| = 2,|b| = 1,|c- a- b| = 1，若

对任意 c，(c - a )2+ (c - b)2≤ 11 a 恒成立，则 b 的取值范围是___________.
【答案】 1 -2,- 2

【解析】由条件可得S= c-
2
a 2+ c - b = 1+ c 2- 2a b，由向量性质可得 c - a + b ≤ |c - a - b| ≤ c
+ a+ b ，从而 a + b - 1≤ c ≤ 1+ a + b ，然后代入结合 a b≥- a b 可得出答案.
【详解】
解析：因为 c - a 2

+ 2

c- b - - -
2
c a b = c 2- 2a b，
2
则S= c- a 2+ c - b = 1+ c 2- 2a b， 因为 a + b ∈ 1,3 ，

由 c - a + b ≤ |c - a - b| = c - a + b ≤ c + a + b ，
由 1= c - a

+ b ≤ c + a + b ，即 c ≥ 1- a + b ，由 a + b ∈ 1,3 ，则 c ≥ 1- a+ b 恒成立.
由 c

- a + b ≤ c - a + b = 1,即 a + b - 1≤ c ≤ 1+ a + b

则Smax= 1+ (|a + b|+1)2- 2a b= 1+ a 2+ b2+ 1+ 2 a 2+ b2+ 2a b

= 7+ 2 5+ 2a b ≤ 11，

解得 a b≤- 1 ，又 a 2 b≥- a
b =-2

所以 a b∈ -2,-
1
2 .
故答案为： -2,- 1 2
( · ( ) ) 例2. 2022 安徽省舒城中学三模 理 已知平面向量 e1，e2，a ， e1 = e2 = 1，若 a e1+ e2 ≥ 2，
a e1-

e2 ≥ 1，则 a 的最小值是________.
【答案】32 ##1.5
【解析】令 = u e1+ e2，v = e1- e2，即可得到u ⊥ v 且 |u |2+ |v |2= 4，令u = (2cosα,0)，v = (0,2sinα)，|a | = r，
a = (rsinβ,rcosβ)，根据数量积的坐标表示及三角不等式计算可得；
【详解】
解：令 = + u e e ，v = e 2 1 2 1- e2，则u v= e1 - e2 2= 0，故u⊥ v，且 |u|2+ |v|2= 2(|e1|2+ |e2|2) = 4，
令u = (2cosα,0)，v = (0,2sinα)，|a | = r，a = (rsinβ,rcosβ)，
a u = 2r cosα sinβ ≥ 2
所以根据已知条件有 ， a v = 2r sinα cosβ ≥ 1
所以 2r≥ 2r cosα sinβ + 2r sinα cosβ ≥ 3，
即 r≥ 32，
当且仅当 sinα= 33 ，β=
π
2 - α，r=
3
2 时等号成立，
所以 |a |的最小值是 32
故答案为：32
3.(2022· · ) a

,b,c

|b| |c | = 1 |3a

例 浙江湖州 模拟预测 已知平面向量 满足 ，若 - (b+ c)| = |a b| |c |，则-a 2+

2b2+ c 2的最小值是_____________．
【答案】 21- 12

【解析】利用绝对值三角不等式 |3a |-|(b+ c )|≤ |3a - (b+ c )|，及三角函数的有界性可进行化简分析.
【详解】
设< a

,b>= α,< b,c >= β，由 |3a - (b+ c )| = |a b| |c |，根据三角不等式，有
|3a|-|(b+ c)| ≤ |3a- (b+ c)| = |a b| |c | = |a ||b|cosα| |c | = |a cosα| ≤ |a |，
得 |2a

|≤ |b+ c |，
故-a2+ 2b2+ c 2≥- 1 |b+ c |24 + 2|b|
2+ |c |2= 74 |b|
2+ 34 |c
|2- 12 b c

7 = 4 |b|
2+ 3 |c 24 | -
1
2 |b||c
|cosβ≥ 2 7 |b|2 3 |c |2- 1 = 21- 14 4 2 2 .
故答案为： 21- 12 .
例4.(2022·浙江· ) 模拟预测 已知平面内两单位向量 e1,e2, e1,e = π c c e - c e = c ，若 满足 2, c 2 3 1 2 e1 +
c e ≥ 1 c 22 2 ，则 的最小值是___________.
【答案】1 - 62 6
【解析】设出 e = 11 2 ,
3 , 2 e2= -
1
2 ,
3
2 ,c
= (x,y)得到 x= x2+ y2，由不得关系得到 c e1+

e 12 max≥ 2
y2≥ 112，从而得到最小值.
【详解】
由题意,可以设 e = 1 3 1 3 1 2 , 2 ,e2= - 2 , 2 ,c= (x,y)，
则由 c e1- c

e = c 22 得 x= x2+ y2，
由 c e + c e ≥ 1 c 1 2 11 2 2 e1+ e2 max≥ 2 y ≥ 12，
所以 x= x2+ y2≥ x2+ 1 ，解得：1 - 612 2 6 ≤ x≤
1
2 +
6
6
即 c 2的最小值是 1 62 - 6 .

例5.( 浙江省绍兴市柯桥区 2022届高三下学期 5月第二次适应性考试数学试题)已知平面向量 a、b、c满
2π
足：a与 b的夹角为 3 , c

- a c - b = 0, a + b = 2 M c - a ，记 是 - b 的最大值，则M的最小值是
__________．
【答案】 3+ 12

【解析】设OA= a ,OB= b,OC = c ,E为AB中点，令 |a | = x,|b| = y,|AB| = 2r,|OE| = t，结合图形，利用向量
的线性运算求出M= |c- a- b|max= |EO|+|EC|，转化为函数求最小值即可.
【详解】
如图，
设OA= a,OB= b,OC = c ,E为AB中点，令 |a | = x,|b| = y,|AB| =
2r,|OE| = t，
则∠AOB= 2π3 ,x+ y= 2 ①，

因为OE= 1

2 (OA+OB),AB=OB-OA，

故有OA OB= |OE|2- 1 2 1 2 24 |AB| - 2 xy= t - r ，
x2+ y2- 4r2
cos∠AOB= 2xy -xy= x
2+ y2- 4r2 4r2= (x+ y)2-
xy ②，
由①②得 r2= 1- xy4 ，从而 t
2= r2- 12 xy= 1-
3
4 xy,xy∈ (0,1]，

因为 c - a c - b = 0，所以AC⊥BC，即点C在以AB为直径的圆E上.

∵ |c - a - b| = |c - (a + b)| = |OE+EC - 2OE| = |EO+EC| ≤ |EO|+|EC|，
∴M= |c - a

- b|max= |EO|+|EC| = t+ r= 1- 34 xy+ 1-
1 xy≥ 1+ 34 2 ，

当且仅当 |a | = |b| = 1时，即 xy= 1时等号成立.
故答案为： 3+ 12
6.(2022· · ) a

例 全国 高三专题练习 已知非零平面向量 ,b满足 a+ b = a b，则 a b 的最小值是 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A

【解析】把给定等式两边平方，利用平面向量数量积性质转化为 a b 的不等式即可得解.
【详解】
依题意，a
b> 0， a+ b = a b (a + b)2= (a b)2 a 2+ 2a b+ b2= (a b)2，
|a

|2+ |b|2= (a b)2- 2a b (|a |-|b|)2+ 2|a | |b|+1= (a b- 1)2，

当 0< a b≤ 1时，上述最后等式不成立，从而有 a b> 1，
a b- 1= (|a|-|b|)2+ 2|a | |b|+1≥ 2|a | |b|+1，当且仅当 |a | = |b|时取“=”，

又 a b≤ |a | |b|，当且仅当 a 与 b同方向时取“=”，

则有 2|a | |b|+1≤ a b- 1≤ |a | |b|-1 2|a | |b|+1≤(|a | |b|-1)2，解得 |a | |b| ≥ 4，当且仅当 a = b时取
“=”，
所以 a

b 的最小值是 4.
故选：A

例7.(2022·湖北·华中师大一附中高一阶段练习)已知圆C的半径为 2，点A满足 AC = 4，E，F分别是C

上两个动点，且 EF = 2 3，则AE AF的取值范围是 ( )
A. [6，24] B. [4，22] C. [6，22] D. [4，24]
【答案】C

【解析】借助于垂径定理处理，结合向量整理可得AE AF = |AC +CM |2- 3，再根据向量的加法可得 3≤

AC +CM ≤ 5．
【详解】
取EF的中点M，连接CM，则CM= 22- 3 2= 1，
2 2
AE AF = AM +ME AM +MF = AM +ME AM -ME =AM -ME2=AM - 3= |AC +

CM |2- 3，

又 ||AC|-|CM || ≤ |AC +CM | ≤ |AC|+|CM |，所以 3≤ AC +CM ≤ 5，

所以 6≤AE AF≤ 22，

当且仅当向量AC与CM 共线同向时，AE AF取得最大值 22；向量AC与CM 共线反向时，AE AF取得
最小值 6，
故选：C．

例8.(2022·浙江·高三专题练习) 已知平面向量 a，b，c满足 a = c = 12 b = 1， a
b ≤ 1．若 d= b + c ，则
a c + b d 的最大值是______．
【答案】4+ 7

【解析】将 d= b+ c 代入所求，可得到 a c + 4+ b c ，分情况讨论 a c ，4+ b c 同号和异号两种情况，利
用向量模的平方等于向量的平方计算可得和的最大值.
【详解】
a c + b d = a c + b b+ c = a c + b2+ b c = a c + 4+ b c
当 a

c，4+ b c 同号时，

a c + 4+ b c = a c + b c + 4 = a + b c + 4 ≤ a + b c + 4 ，
而 a

+ 2b = a 2+ b2+ 2a b ≤ 1+ 4+ 2= 7，则 a c + b d ≤ 4+ 7．
当 a c

，4+ b c 异号时，
a c + 4+ b c = a c

- b c

- 4 = a - b c - 4 ≤ a - b c + 4 ，
而 a

- 2

b = a 2+ b2- 2a b ≤ 1+ 4+ 2= 7，则 a c + b d ≤ 4+ 7．
因此 a

c + b d 的最大值为 4+ 7．
故答案为：4+ 7．

例9.(2022·全国·高一课时练习)已知在三角形ABC中，BC= 4， AB = 2 AC ，则AB AC的取值范围是
( )
A. - 329 ,32 B. -
32
9 ,32 C. 0,32 D. 0,32
【答案】A
【解析】根据三角形三边关系得到 AC 的取值范围，再利用余弦定理表示出 cos∠CAB，最后根据平面向量
数量积的定义计算可得；
【详解】
= = AB + AC > 4 2 AC + AC > 4解：因为 ， BC 4 AB 2 AC ，所以 - ，即 ，解得
4 < AC < 4，由余弦
AB AC < 4 2 AC - AC < 4 3
AC 2+AB2-BC 2 定理 cos∠CAB= ，所以AB AC = AB2AC AB AC cos∠CAB= AB AC
AC 2+AB2-BC 2 2 2 2
=
AC +AB -BC
2AC AB 2
= 5 AC
2- 16 2
，因为 4 < AC < 4，所以 16 < AC 2< 16，所以- 32 < 5 AC - 16

2 3 9 9 2 < 32，即AB AC ∈
- 329 ,32 ；
故选：A

例10.(2022· 全国·高一专题练习)已知 a = 2， b = 1，a与 b的夹角为 60°，若向量 c满足 c- 2a- 4b =
2 3 c ，则 的取值范围是 ( )
A. 4- 2 3,4+ 2 3 B. 3,5 3
C. 2 3,6 3 D. 5- 2 3,5+ 2 3
【答案】C
【解析】根据平面向量数量积运算性质及三角不等式计算判断．
【详解】

因为 |a | = 2，|b| = 1，a 与 b的夹角为 60°，

所以 a 2= 4，b2= 1，a b= 2 1 cos60° = 1，

所以满足 |2a + 4b| = 2|a + 2b| = 2 a 2+ 4 a b+ 4 b2= 2 4+ 4 1+ 4 1= 4 3，

因为 ||c |-|2a + 4b|| ≤ |c - 2a - 4b|，

所以 |2a + 4b|-|c - 2a - 4b| ≤ |c |≤ |2a + 4b|+|2a + 4b|，
所以 2 3≤ |c |≤ 6 3，
故选：C

例11.(2022· · ) a 浙江宁波 高三期末 已知平面向量 ，b，c ，其中 a ，b 是单位向量且满足 a b= 1 ，4c22 - 4a
c

- 4b c = 1

，若 c= xa + yb x,y∈R ，则 x+ y的最小值为___________.
【答案】3- 2 33

【解析】根据已知条件将向量 c 代入 4c 2- 4a c - 4b c = 1整理可得关于 x、y的二元二次方程，然后通过换
元，利用方程有解Δ≥ 0可得.
【详解】
∵ c

= xa + yb

∴ 4c 2- 4a c - 4b c = 4c (c - a - b) = (xa + yb) [(x- 1)a + (y- 1)b]

= 4[x(x- 1)a 2+ (2xy- x- y)a b+ y(y- 1)b2]
又∵ a

，b是单位向量且 a b= 12
∴上式= 4[(x+ y)2- (x+ y) - xy]= 1
令 x+ y= t，y= t- x代入上式整理得：4x2- 4tx+ 4t2- 6t- 1= 0
∵关于 x的方程 4x2- 4tx+ 4t2- 6t- 1= 0有实数解
∴Δ= 16t2- 16(4t2- 6t- 1)≥ 0
整理得：3t2- 6t- 1≤ 0，解得 3- 2 3 ≤ t≤ 3+ 2 33 3
故答案为：3- 2 33 .

12.(2022· · ) a b a + b + a

例 全国 高三专题练习 已知向量 ， 是平面内的两个非零向量，则当 - b 取最大值

时，a与 b夹角为________．
【答案】π2 ##90°
2 2
【解析】根据 a + b - a - b ≥ 0，结合平面向量数量积的运算性质推出 a + b + a - b ≤ 2 a 2+ b ，再
根据题意以及等号成立条件，即可求解.
【详解】

∵向量 a ，b是平面内的两个非零向量，
∴ a

+ b - a - b 2 = a
2 2 + b + a- b - 2 a+ b a- b ≥ 0，当且仅当 a + b = a - b 时取等号，
∴

+ 2

a b + a - 2b ≥ 2 a + b a - + 2b ，即 2 a b + 2 a - 2b ≥ + 2a b + a - 2b + 2 a + b a - b =
a+ b +
2
a - b ，
2 2 ∴ a+ b + a- b ≤ 2 a + b + 2 a - b
2= 4 a 2+
2
4 b ，即 a + b + a - b ≤ 2 a 2+ 2b ，当且仅当 a + b

= a - b 时取等号，即 a b= 0，则 a 与 b夹角为 π2，
∴当 a

+ b + a - b 取最大值时，a 与 b夹角为 π2 .
故答案为：π2 .
题型二：定义法

例13.(2022· 全国·高三专题练习)已知向量 a，b满足 a = 2， b = 3，则 a+ b + a- b 的最大值为____
__.
【答案】2 13

【解析】先求得 |a + b| = 5+ 4cosθ、|a - b| = 5- 4cosθ，进而平方，计算即得结论．
【详解】
设向量 a,b的夹角为 θ，
|a

+ b| = 22+ 32+ 2× 2× 3× cosθ= 13+ 12cosθ，
|a

- b| = 22+ 32- 2× 2× 3× cosθ= 13- 12cosθ，

则 a + b| + a - b = 13+ 12cosθ+ 13- 12cosθ，
令 y= 13+ 12cosθ+ 13- 12cosθ，
则 y2= 26+ 2 169- 144cos2θ ∈ 36,52 ，

据此可得： a + b| + a - b max= 52= 2 13，
即 a

+ b| + a - b 的最大值是 2 13
故答案为：2 13.
例14.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC中，角B,C的边长分别为 b,c，点O为△ABC的外心，若 b2+ c2

= 2b，则BC AO的取值范围是 ( )
A. 1 1 - 4 ,0 B. 0,2 C. - 4 ,+∞ D.
1
- 4 ,2
【答案】D
2
【解析】作出辅助线，对数量积进行转化得到BC AO= b- 1 - 12 4，求出 b的取值范围，进而求出答案.
【详解】

取BC的中点D，则OD⊥BC，所以BC·AO=BC· AD+DO =BC·AD+

BC·DO=BC· 2 2AD= AC -AB 12 AC +AB =
1
2 AC -AB =
1
b2
2
2 - c
2 1 = b22 - 2b- b
2 = b2- b= b- 12 -
1
4 .
因为 c2= 2b- b2> 0，则 b b- 2 < 0，即 0< b< 2.

所以- 14 ≤BC AO< 2，
故选：D.
例15.(2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试)如图，正六边形ABCDEF的边长为 2，动点M从顶点B出

发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点 F，若 FD AM 的最大值和最小值分
别是m，n，则m+n= ( )
A. 9 B. 10
C. 11 D. 12
【答案】D

【解析】连接AC，根据正六边形的特征可得FD=AC，从而可得FD AM =AC AM =

AC AM cos AC,AM ，再根据当M在BC上运动时， AM 与 cos AC,AM 均逐渐增大，当M从D移动

到F时， AM 与 cos AC,AM 均逐渐减小，即可求得m，n，从而得出答案.
【详解】

解：连接AC，在正六边形ABCDEF中，FD=AC，

∴FD AM =AC AM = AC AM cos AC,AM ，

∵正六边形ABCDEF的边长为 2，∴ AC = 2 3，

因为当M在BC上运动时， AM 与 cos AC,AM 均逐渐增大，当M从D移

动到F时， AM 与 cos AC,AM 均逐渐减小，

所以当M在CD上运动时， AM cos AC,AM 取得最大值，为 2 3，

当M移动到点F时， AM cos AC,AM 取得最小值，为 0．
∴m= 2 3 × 2 3= 12，n= 2 3 × 0= 0，∴m+n= 12．
故选：D.

例16.(2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测 (理))已知 OA = OB = 2，点C在线段AB

上，且 OC 的最小值为 3，则 OA+ tOB (t∈R)的最小值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
【答案】B

【解析】由 OC 取得最小值得点C为线段AB的中点，由 OC = 32 OA 得∠AOB=
π
3，
2 2 由 OA+ tOB = t2OB + 22tOA OB+OA = 4t2+ 4t+ 4配方可得答案.
【详解】

当OC⊥AB时， OC 取得最小值，因为 OA = OB = 2，
所以此时点C为线段AB的中点，

因为 OC = 32 OA ，所以∠A=
π
3，故∠AOB=
π
3，

则OA OB= OA OB cos π3 = 2，

因为 + 2
2 2
OA tOB = t2OB + 2tOA OB+OA = 4t2+ 4t+ 4= 2t+ 1 2
+ 3≥ 3，

故 OA+ tOB ≥ 3．
故选：B.
例17.(2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测 (文))已知A，B为圆O:x2+ y2= 4上的两动点，|AB| =

2 3，点P是圆C:(x+ 3)2+ (y- 4)2= 1上的一点，则 |PA+PB|的最小值是 ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】根据向量的运算律将题意转化为圆上的点到AB的中点M的距离最值问题即可得解.
【详解】
设M是AB的中点，因为 |AB| = 2 3，所以 |OM | = 4- 3= 1，
即M在以O为圆心，1为半径的圆上，

PA+PB=PM +MA+PM +MB= 2PM，所以 |PA+PB| = |2PM |．
又 |PO|min= |OC|-1= 32+ 42- 1= 4，所以 |PM |min= |PO|min- 1= 4- 1= 3，

所以 |PA+PB|min= 2× 3= 6．
故选：C .
例18.(2022·黑龙江·哈九中二模 (理))窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象
征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有
圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P

是圆O内部一点，若 OA = 2，且OA AP=-2，则 OA+OP 的最小值是 ( )
A. 3 B. 4 C. 9 D. 16
【答案】A

【解析】利用向量的线性运算，结合数量积OA AP=-2，可求得 OP = 1∠ ，确定其取值范围，再根cos AOP

据 OA+OP 平方后的式子，即可求得答案.
【详解】

因为 = - ，所以 = - = - 2AP OP OA OA AP OA OP OA OA OP OA =-2，

所以OA OP= 2，即 OA OP cos∠AOP= 2，则 OP = 1cos∠ ．AOP

因为点P是圆O内部一点，所以 OP = 1 < 2，所以 1∠ 2 < cos∠AOP≤ 1，cos AOP
2 2 则 OA+OP =OA +
2
2OA OP+OP = 8+ 1
cos2∠ ≥ 9，AOP

当且仅当 cos∠AOP= 1时，等号成立，故 OA+OP 的最小值是 3,
故选：A.

例19.(2022·全国·三模 (理))已知平面向量 a，b，c均为单位向量，且 a - b = 1 a ， - 2b a - c 的取值范
围是 ( )
A. - 3, 3 B. -2,2 C. - 7, 7 D. -3,3
【答案】A

【解析】通过数量积与模长的关系可得 a - 2b a = 0， a - 2b = 3，再根据数量积的运算律以及概念即可
得结果.
【详解】

a - 2b a- c = a- 2b a- a- 2b c ，
因为 a

- b = 1，所以 a 2- 2a b+ b2= 1，所以 a b= 12，
所以 a

- 2b a

= a2- 2a b= 0， a - 2b = a 2- 4a b+ 4b2= 3，
设 a

- 2b与 c 的夹角为 θ，

故 a - 2b a - c =- 3cosθ，

因为 cosθ∈ -1,1 ，所以 a - 2b a - c ∈ - 3, 3 ，
故选：A.
题型三：基底法

例20.(2022·天津河北·二模)已知菱形ABCD的边长为 2，∠BAD= 120°，点E，F分在边BC，CD上，BE

= λBC DF = μDC 2

， ．若 λ+ μ= 3 ，则AE AF的最小值为___________．
【答案】49

【解析】由题意画出图形，把AE AF用AB,AD表示，最后转化为含有 λ，μ的代数式，再结合 λ+ μ= 23 及基

本不等式求得AE AF的最小值．
【详解】
解：如图，

∵BE= λBC，DF = μDC，且 λ+ μ= 23，

∴AE AF = (AB+BE) (AD+DF)，

= (AB+ λBC) (AD+ μDC) = (AB+ λAD) (AD+ μAB)

= (1+ λμ)AB AD+ λ|AD|2+ μ|AB|2
= (1+ λμ) × 2× 2× - 12 + 4(λ+ μ) =-2(1+ λμ) +
8
3．
由题意可得，λ，μ> 0，
∵ λ+ μ= 23，
2
∴ λμ≤ λ+ μ 12 = 9，则-2(1+ λμ)≥-
20
9 ，
∴-2(1+ λμ) + 83 ≥
4
9 (当且仅当 λ= μ=
1
3 时等号成立)，

∴AE AF的最小值为 49．
故答案为：49．
例21.(2022·山西省长治市第二中学校高三阶段练习 (理))菱形ABCD中，AB= 1,A∈ π π 3 , 2 ，点E是线

段AD上的动点 (包括端点)，则ED EB的最小值为__________.
【答案】- 14 ##-0.25

【解析】设AE= λAD，运用向量的线性运算和数量积运算得ED EB= (1- λ)AD (AB-AE) = λ2- (1+

cosA)λ+ cosA，设 t= cosA∈ 1 0, 2 ，利用二次函数的性质可求得ED EB的最小值.
【详解】

解：不妨设AE= λAD，则ED=AD-AE= (1- λ)AD,EB=AB-AE，

所以ED EB= (1- λ)AD (AB-AE)

= ( - ) ( - )= ( - ) - ( - ) 21 λ AD AB λAD 1 λ AD AB λ 1 λ AD
= (1- λ)cosA- λ(1- λ) = λ2- (1+ cosA)λ+ cosA，
因为A∈ π , π 1 3 2 ，所以 cosA∈ 0, 2 ，

设 t= cosA∈ 0,
1
2 ，则ED EB= f(λ) = λ
2- (1+ t)λ+ t,λ∈ 0,1 ，
对称轴为 λ= 1+ t 1 3 2 ∈ 2 , 4 ，
所以 f(λ) = f 1+ t =- 1min 2 4 (t- 1)
2≥- 14，

所以ED EB的最小值为- 14 .
故答案为：- 14 .
例22.(2022·全国·高一)在矩形ABCD中，AB= 2BC= 2，动点M在以点C为圆心且与BD相切的圆上，则

AM BD的取值范围为 ( )
A. [-5,-1] B. [-5,1] C. [-3+ 5,-1] D. [-3+ 5,3- 5]
【答案】A

【解析】先求出圆C的半径，由AM =AC +CM，结合向量数量积运算律将AM BD的最大值转化为求CM

BD的最大值，即可求出结论.
【详解】

由题意 |AC| = |BD| = 5，设C到BD的距离为 d，则 d= 1× 2 = 2 5
5 5
，

故AM BD= (AC +CM ) BD=AC BD+CM BD，

其中AC BD= (AD+AB) (AD-AB) =-3，

设CM ,BD的夹角为 θ，CM BD= |CM ||BD| cosθ∈ [-2,2]，

当且仅当CM 与BD反向或同向时取得端点值；

综上，AM BD的范围为 [-5,-1].
故选：A．

例23.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足AN = λAB

+ μAC，则 λ2+ μ2的最小值为 ( )
A. 1 1 116 B. 4 C. 8 D. 1
【答案】C
【解析】根据给定条件探求出 λ= 12 - μ，结合 λ
2+ μ2转化为二次函数并求函数的最小值即可.
【详解】

在△ABC中，M为边BC上任意一点，则BM = tBC = tAC - tAB，
1 1 1- t t 于是得AN = 2 AM = 2 (AB+BM ) = 2 AB+ 2 AC，而AN = λAB+ μAC，且AB与AC不共线，
则 λ= 1- t t
2 2
2 ,μ= 2，即有 λ=
1
2 - μ，因此，λ
2+ μ2= 1 - μ + μ2= 2μ22 - μ+
1 1 1 1
4 = 2 μ- 4 + 8 ≥ 8，
当且仅当 λ= μ= 14 时取“=”，此时M为BC中点，
所以 λ2+ μ2的最小值为 18 .
故选：C
例24.(2022·全国·高三专题练习)已知在△ABC中，AB=AC= 2，BC= 3，点 E是边BC上的动点，则当

EA EB取得最小值时， EA = ( )
A. 374 B.
37
2 C.
10
2 D.
14
2
【答案】A

【解析】利用“插点法”，重新表述EA EB，结合向量的数量积运算，将其转化为 EB 的二次函数形式进行求
解.
【详解】
在△ABC中，AB=AC= 2，BC= 3，cos∠ABC= 4+ 9- 4 32× 2× 3 = 4 .

EA EB=EB EB+BA =EB2+EB BA=EB2+ EB BA cos π-∠ABC 2 3 =EB - 2 EB =
2
EB - 3 94 - 16，则当 EB =
3
4 时，EA EB取得最小值-
9
16，此时

2EA = 4+ 9 - 2× 2× 3 × cos∠ABC= 37
37
16 4 16， EA = 4 .
故选：A.

例25.(2022·全国·高三专题练习) π如图，已知两个模都为 10的向量OA,OB，它们的夹角为 2 ，点C在以O

为圆心，10为半径的AB上运动，则CA CB的最小值为 ( )
A. 100- 100 2 B. - 100
C. 100 2- 100 D. - 100 2
【答案】A

【解析】根据向量的运算及数量积的运算性质化简，问题转化为求 (OA+OB) OC的最大值，由模为定长知
同向时最大求解即可.
【详解】

CA CB= (OA-OC) (OB-OC)

=OA OB- (OA+OB) OC + 2OC

= 0+ 100- (OA+OB) OC

要使CA CB最小，即 (OA+OB) OC最大

而 |OA+OB| = 10 2为定值，|OC|为定值 10

只要 (OA+OB)与OC同向即可使 (OA+OB) OC最大

∴CA CB的最小值为 100- 100 2.
故选：A
例26.(2022· π吉林长春·模拟预测 (理))已知△ABC中，A= 3 ，AC= 2，AB= 5，点P为边AB上的动点，则

PB PC的最小值为 ( )
A. - 4 B. - 2 C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】结合向量运算以及二次函数的性质求得正确答案.
【详解】

设PB= λAB 0≤ λ≤ 1 ,

PB PC =PB PB+BC = λAB λAB+AC -AB
2 = λ λ- 1 AB + λAB AC = 25λ λ- 1 + λ 5 2 12
= 25λ2- 20λ,
所以当 λ=- -20 = 2
2
2× 25 5 时，PB PC取得最小值为 25×
2
5 - 20×
2
5 =-4.
故选：A
例27.(2022·全国·高三专题练习)在凸四边形ABCD中，AB=BC= 2，∠ABC= 120°，且△ACD为等边三

角形，若点E在四边形ABCD上运动，则EB ED的最小值是 ( )
A. - 4 B. - 3 C. - 1 D. 3
【答案】B
【解析】分别讨论E点在每条边上运动时，向量点积的最小值，即可得到最小值.
【详解】
如图所示，
四边形ABCD关于直线BD对称，故点E在四边形ABCD上运动时，只需考虑点E在边BC,CD上的运动

情况即可，易知BC⊥CD，则CB CD= 0，

①当点E在边BC上运动时，设EB= λCB 0≤ λ≤ 1 ，则EC = λ- 1 CB，

∴EB ED=EB EC +CD =EB EC = λCB λ- 1 CB= 4λ λ- 1 ，
当 λ= 1

2 时，EB ED的最小值为-1；

②当点E在边CD上运动时，设ED= kCD 0≤ k≤ 1 ，则EC = k- 1 CD，

∴EB ED= EC +CB ED=EC ED= k- 1 CD kCD= 12k k- 1 ，
1 当 k= 2 时，EB ED的最小值为-3；

综上，EB ED的最小值为-3；
故选：B.
【点睛】方法点睛：根据向量定义把向量点积转化为函数问题来求解最值.
题型四：几何意义法

例28.(2022·全国· 高三专题练习 (理))已知平面向量 a，b，c满足 a b=-3， a- b = 4，c- a与 c- b的夹
π
角为 3 ，则 c- a- b 的最大值为___________．
【答案】1+ 2 3

【解析】利用向量的模的运算求得 a + b = 2，设平面向量 a ，b，c 都是以O为起点，终点分别是A,B,C，求得
平面向量 a+ b的终点N的轨迹，由 c - a 与 c - b的夹角为 π3，得到C的轨迹，利用圆的性质得到 |NC|的距
离的最大值，即为所求.
【详解】
解：∵ a b=-3， a - b = 4,∴ a + b = 2a - b + 4a b = 2，

如图所示，设平面向量 a ，b，c 都是以O为起点，终点分别是A,B,C，

则平面向量 a + b的终点N到O的距离为 2，
设AB的中点为M ,则 |MN | = 1,∴N在以M为圆心，半径为 1的圆周上.
由 c - a 与 c

- b的夹角为 π3，∴点C在以AB为弦的圆周角为
π
3 的优弧上，

当C,M ,N共线，且C,N在直线AB的两侧，并且CM⊥AB时，|CN |最大，也就是 c - a - b 取得最大值,
此时 CM = 2 3, MN = 1, |CN | = 1+ 2 3,
故答案为：1+ 2 3.

例29.(2022· 上海市建平中学高一阶段练习)已知平面向量 α β α≠ 0,α ≠ β 满足 β = 2 α ，且 与 β- α 的
夹角为 135 ，则 α 的取值范围是___________.
【答案】 0,2 2

【解析】画出图形，表示出AB= α，AC = β，从而确定∠ABC= 45°，利用正弦定理得到 α = 2 2sinC，结合
C∈ 0, 3 4 π ，求出 α 的取值范围.
【详解】

设

AB= α，AC = β，如图所示，

则BC = β- α，
因为 α

与 β- α 的夹角为 135 ，
所以∠ABC= 45°，

因为AC= β = 2，所以由正弦定理得：
α

β = 2° = = 2 2，所以 α
= 2 2sinC，sinC sin45 2
2
因为C∈ 0, 34 π ，所以 α
= 2 2sinC∈ 0,2 2
故答案为： 0,2 2 .

例30.(2022· · 全国 高三专题练习)在平面内，若有 |a| = a b= 1, b = 2 (c ， - a ) (2c - a - b) = 0，则 c b的
最大值为________．
【答案】7+ 2 34

【解析】由条件可以求得< a ,b>= π，从而可作OA= a 3 ,OB= b，并连接AB，取AB的中点D，连接OD，则

有OD= a
+ b
2 ，根据条件可以得到 (c
- a )⊥ c - a+ b2 ，可作OC = c ，并连接AC，DC，从而可以得到

AC⊥DC，即点C在以AD为直径的圆上，从而得出当OC在OB上的投影最大时，c b最大．通过计算，

即得出OC在OB上的投影最大值，从而得出 c b的最大值.
【详解】
解：根据条件，a b= |a ||b|cos< a ,b>= 2cos< a ,b>= 1；

∴ cos< a ,b>= 12；
π π ∴< a,b>= 3，如图，作OA= a,OB= b，则∠AOB= 3，连接AB，取AB的中点D，连接OD，则OD=
a

+ b
2 ；

由 (c - a ) (2c - a - b) = 0得，(c - a ) c - a+ b2 = 0；

∴ (c

- a )⊥ c - a+ b2 ；

作OC = c

，连接AC，CD，则AC = c - a ,DC = c - a+ b2 ；
∴AC⊥DC；
∴C点在以AD为直径的圆上；

∴当C运动到圆的最右侧时，OC在OB上的投影最大，即 c b最大；
又OG=OA cos π3 =
1 ,∴GB= 2- 1 = 32 2 2 ,
又△BEH∽△BAG,且AE= 14 AB,
所以GH= 14 GB=
1 3 3
4 × 2 = 8 ,

所以OC在OB上的最大投影为 1 + 3 + 3 = 7+ 2 32 8 4 8 ，
所以 c

b = 7+ 2 3 × 2= 7+ 2 3max 8 4 ,
故答案为：7+ 2 34

例31.(2022·北京朝阳·高三期末)已知平面向量 a，b满足 a = 2，a与 a- b的夹角为 120°，记m= ta+

1- t b t∈R ， m 的取值范围为 ( )
A. 3,+∞ B. 2,+∞ C. 1,+∞ D. 1 2 ,+∞
【答案】A

【解析】设 a =OA,b=OB，根据 a 与 a - b的夹角为 120°，得到∠OAB= 120 ,∠OAC= 60 ，再根据m = ta +

1- t b t∈R ，得到m ,a ,b的终点在直线AB上求解.
【详解】
设 a

=OA,b=OB，如图所示：
则 a- b=OA-OB=BA，

因为 a 与 a - b的夹角为 120°，
所以∠OAB= 120 ,∠OAC= 60 ，
因为m= ta+ 1- t b t∈R ，且 t+ 1- t= 1,m,a,b的起点相同，
所以其终点共线，即在直线AB上，

所以当m ⊥AB时， m 最小，最小值为 3，无最大值，
所以 m 的取值范围为 3,+∞ ，
故选；A
例32.(2022·江苏·高二)飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们在酒吧日常休闲的必备
活动．某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四边形拼成．
在四边形ABCO中，OA⊥OC，OA=OC= 4，AC⊥BC，AC=BC，点P是八边形ABCDEFGH内

(不含边界)一点，则OA AP的取值范围是 ( )
A. (-16,48) B. (-48,16)
C. (-16 5,48 5) D. (-48 5,16 5)
【答案】B

【解析】根据给定图形，求出OP在OA方向上的投影向量长的范围即可计算作
答.
【详解】
在四边形ABCO中，OA⊥OC，OA=OC= 4，AC⊥BC，则AC=BC=
4 2，且AB⊥OA，
过D，H分别作直线OA的垂线，垂足分别为N，M，如图，
依题意，DE=AH=AC= 4 2，∠DEN=∠HAM= 45 ，因此，ON=OM=
2OA= 8，
对任意点P，过P作PQ⊥OA于Q，而点P是八边形ABCDEFGH内 (不含边
界)一点，
当点P在四边形ABCO和四边形EFGO内时，0≤OQ< 4，当点P在四边形GHAO和四边形CDEO内
时，0≤OQ< 8，

显然OP=OQ+QP，OA OP=OA OQ，而AP=OP-OA，则 2OA AP=OA OP-OA =OA OQ
- 16，

当点P在四边形ABCO内时，OA OQ= 4|OQ| ∈ [0,16)，则OA AP∈ [-16,0)，

当点P在四边形EFGO内时，OA OQ=-4|OQ| ∈ (-16,0]，则OA AP∈ (-32,-16]，

当点P在四边形GHAO内时，OA OQ= 4|OQ| ∈ [0,32)，则OA AP∈ [-16,16)，

当点P在四边形CDEO内时，OA OQ=-4|OQ| ∈ (-32,0]，则OA AP∈ (-48,-16]，

所以OA AP的取值范围是 (-48,16).
故选：B
例33.(2022·湖南·模拟预测)已知直线 l与圆O：x2+ y2= 9相交于不同两点P，Q，点M为线段PQ的中点，

若平面上一动点C满足CP= λCQ λ> 0 ，则OC OM 的取值范围是 ( )
A. 0,3 B. 0,3 2 C. 0,9 D. 0,6 2
【答案】C
OM
【解析】由题意，判断得点C在线段PQ外，从而得△COM是直角三角形，进而表示出 cos∠COM= ，
OC

可得OC OM = 2OM ，由 0≤ OM < 3，可得OC OM 的取值范围.
【详解】

因为CP= λCQ λ> 0 ，所以P，Q，C三点共线，
且点C在线段PQ外，因为点M为线段PQ的中点，
所以OM⊥PQ，即△COM是直角三角形，
所以 cos∠ = OM COM ，由数量积的定义可得：
OC

OM
OC OM = OC OM

cos∠COM= OC OM = 2OM ，
OC

因为 0≤ OM < 3，所以 0≤ OM 2< 9，即 0≤OC OM < 9，
故选:C .
【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应
用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
例34.(2022·浙江绍兴·高三期末)已知MN为圆C：x2+ y2- 2x- 4y= 0上长度为 4的动弦，点P是直线 l：

x- y+ 3= 0上的动点，则 |NP+MP|的最小值为 ( )
A. 2 2- 2 B. 2 2 C. 2 2+ 2 D. 2 2- 5
【答案】A

【解析】设MN的中点为E，则 NP+MP = 2 PE ，则由题意可得点E在以C(1,2)为圆心，1为半径的圆上，

从而可得 PE 的最小值即为圆心C(1,2)到直线 x- y+ 3= 0的距离减去半径 1，进而可求得答案
【详解】
由 x2+ y2- 2x- 4y= 0，得 (x- 1)2+ (y- 2)2= 5，所以圆心C(1,2)，半径 r= 5，

设MN的中点为E，则 NP+MP = 2 PE ，
因为 MN = 4，半径 r= 5，
所以 CE = 5- 4= 1，
所以点E在以C(1,2)为圆心，1为半径的圆上，

所以 PE 的最小值即为圆心C(1,2)到直线 x- y+ 3= 0的距离减去半径 1，

= 1- 2+ 3 所以 PE min - 1= 2- 1，2

所以 |NP+MP|的最小值为 2 2- 2，
故选：A
例35.(2022·福建厦门·高三阶段练面四边形 ABCD中，AB= 1，AC= 3，AC⊥ AB，∠ADC=
2π
3 ，则AD AB的最小值为 ( )
A. - 3 B. - 1 C. - 32 D. -
1
2
【答案】D

【解析】由题设画出示意图，易得AD AB=- AD sin∠CAD且D在以BC中点O为圆心，OC为半径的劣

弧AC上，根据圆的性质可求AD AB的最小值.
【详解】
由题设，可得如下示意图，

所以AD AB= AD AB cos∠BAD= AD AB cos π2 +∠CAD =

- AD sin∠CAD

因为∠ADC= 2π3 ，即D在以BC中点O为圆心，OC为半径的劣弧AC
上，

所以要使AD AB的最小，即 AD sin∠CAD最大即可，

由圆的性质知：当D为劣弧AC的中点时 AD sin∠CAD最大，又AC=
3，

此时 AD sin∠CAD= 12，故AD AB的最小值为-
1
2 .
故选：D

例36.(2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测 (理))已知△ABC的外接圆半径长为 1，则AB AC的最小值为
( )
A. - 1 B. - 12 C. -
1 1
3 D. - 4
【答案】B

【解析】先分析AB AC取最小值的状态，结合数量积的意义和二次函数可求答案.
【详解】

由题意，∠A为钝角时，AB AC取到最小值；如图，E为AB的中点，AC在AB上的投影向量为AD；

由AB AC = AB AC cosA可知当AC在AB上的投影长最长时，即CD 与圆

O 相切时，AB AC可取到最小值；

AB AC min=- AB AD =-2 AE 1- AE = 2 AE
2- 2 AE ，

当 AE = 12 时，2
2
AE - 2 AE =- 12，所以AB AC的最小值为-
1
2 .
故选：B.

例37.(2022·北京工业大学附属中学三模)已知向量 a,b满足 b = 2，a与 b的夹角为 60 ，则当实数 λ变化

时，|b- λa |的最小值为 ( )
A. 3 B. 2 C. 10 D. 2 3
【答案】A

【解析】有题意知，当 b- λa ⊥ a 时，|b- λa |取得最小值，过B作BE⊥OA，即 |b- λa |取得最小值为
BE ，求出 BE 即可得出答案.
【详解】

如图，设OA= a ,OB= b,，

当 b- λa

⊥ a 时，|b- λa |取得最小值，

过B作BE⊥OA，即 |b- λa |取得最小值为 BE ，

因为 a 与 b的夹角为 60 ，
所以∠BOA= 60°,∠BEO= 90°, OB = 2，
所以 BE = 3.
故选：A.

例38.(2022· · ( )) a b a ≠ b a = 1 a 内蒙古 海拉尔第二中学高三期末 理 已知平面向量 、 满足 ，且 与 b - a的

夹角为 150 c = ，若 1- t a+ tb t∈R ，则 c 的最小值为 ( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 34 2 2
【答案】C
【解析】设AB= a，AC = b，则BC = b- a，可令BD= t b- a ，可得出AD= c ，结合图形可知，当AD⊥BC
时，线段AD最短，由此可求得 c 的最小值.
【详解】

如图所示，设AB= a ，AC = b，则BC = b- a ，可令BD= t b- a ，

则AD=AB+BD= a + t b- a = 1- t a+ tb= c，点D在BC上，
因为 a

与 b- a 的夹角为 150 ，则∠ABC= 30 ，

当AD⊥BC时，线段AD最短，此时 c 取最小值，即 c min= AB sin30 = 12 .
故选：C .
例39.(2022·江苏·高二)如图，已知四边形ABCD为直角梯形，AB⊥ BC，AB DC，AB= 1，AD= 3，
∠BAD= 2π

3 ，设点P为直角梯形ABCD内一点 (不包含边界)，则AB AP的取值范围是 ( )
A. - 3 ,1 B. 2 -
3 ,1 2
C. 0, 32 D. 0,
3
2
【答案】A

【解析】依题意过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，即可求出AE，设AP与

AB的夹角为 θ，结合图形即可得到AP在AB方向上的投影的取值范围，再根据数
量积的几何意义计算可得；
【详解】
解：依题意过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，则AE=ADcos60° = 32，

设AP与AB的夹角为 θ，

因为点P为直角梯形ABCD内一点 (不包含边界)，所以AP在AB方向上的投影

AP cosθ，且- 32 < AP cosθ< 1，

所以AB AP= AB AP cosθ= AP cosθ∈ - 32 ,1
故选：A

例40.(2022·全国·高三专题练习)已知两个不相等的非零向量 a ,b ，满足 a = 1，且 a与 b - a的夹角为 60°，

则 b 的取值范围是 (　　)
A. 0 3， 2 B.
3
2 ，1 C.
3
2 ，+∞ D. (1，+∞)
【答案】D
【解析】设OA= a，AB= b- a，则OB= b，进而得B为射线AD上的动点 (不包括点A)，故 b > 1.
【详解】

解：如图所示，设OA= a ，AB= b- a ，则OB= b.

因为 a 与 b- a 的夹角为 60°，
所以∠BAC= 60°，则∠OAB= 120°，
则B为射线AD上的动点 (不包括点A)，

又 a = 1，即 OA = 1，

所以由图可知， b > 1.
故选:D.
题型五：坐标法

例41.(2022· 全国·高三专题练习)已知向量 a，b 2a + b = 3 b = 1 a + 2 a 满足 ， ，则 + b 的最大值为___
________.
【答案】5

【解析】利用换元法令 2a + b= 3cosα,3sinα ,b= cosβ,sinβ ，再将模的问题转化为三角函数问题，接着利
用换元法和导数求得函数的最值.
【详解】

令 2a + b= 3cosα,3sinα ,b= cosβ,sinβ ，

∴ 2(a + b) = (3cosα+ cosβ,3sinα+ sinβ)
2a = (3cosα- cosβ,3sinα- sinβ)，

∴ 2|a + b| = (3cosα+ cosβ)2+ (3sinα+ sinβ)2= 10+ 6cos(α- β)，
2|a | = (3cosα- cosβ)2+ (3sinα- sinβ)2= 10- 6cos(α- β)，
令S= |a |+2|a

+ b| = 12 10- 6cos(α- β) + 10+ 6cos(α- β)，
设 t= cos(α- β) (-1≤ t≤ 1)，则
S= 12 10- 6t+ 10+ 6t，S
= 1 -6 62 2 10- +6t 2 10+ ，6t
令S = 0 4(10- 6t) = 10+ 6t t= 1，
若函数S存在极值点，则 t= 1是函数S的唯一极值点，
显然，函数S在 t= 1取得最值，
∴Smax=S(1) = 12 4+ 16= 5，
故答案为：5.

例42.(2022· 全国·高三专题练习)已知 a,b是平面上的单位向量，则 a - 2b + a + b 的最大值是_____
_____.
【答案】3 62

【解析】先设 a = 1,0 ,b= x,y ，且 x2+ y2= 1，再根据向量模化简 a - 2b + a + b = 1- 2x 2+ -2y 2
+ 1+ x 2+ y2，最后化简整理结合柯西不等式即可求出结果.
【详解】
设 a= 1,0 ,b= x,y ，且 x2+ y2= 1，而 a - 2b= 1- 2x,-2y ,a + b= 1+ x,y ，

所以 a - 2b + a + b = 1- 2x 2+ -2y 2+ 1+ x 2+ y2
= 4x2- 4x+ 1+ 4y2+ 1+ 2x+ x2+ y2
= 5- 4x+ 2+ 2x
= 2 54 - x+ 2 1+ x
2
≤ 22+ 2 2 54 - x + 1+ x 2
= 3 62 ，
2 2 当且仅当 = + ，即 x=
1
4 时，等号成立，所以 a
- 2b
5 1 x + a
+ b 的最大值为 3 62 ，
4 - x
故答案为：3 62 .

例43.(2022· · ) a 浙江 效实中学模拟预测 已知平面向量 ,b,c满足 a = 1 b- 2a ， = b = 2， c - b b= 0，则
c + a + c - a 的最小值为___________.
【答案】 19
2
【解析】结合数量积的运算律，可根据 b- 2a = 4求得 a b= 1，进而得到< a ,b>= π3；令 a
= 1,0 ，b=
1, 3 ，设 c = x,y ，根据数量积的坐标运算可求得点 x,y 满足的轨迹方程，将问题转化为直线 x+ 3y-
4= 0上的点P到A -1,0 和B 1,0 的距离之和；通过作出点A关于直线 x+ 3y- 4= 0的对称点A ，可
知所求最小值为 A B ；利用点关于直线对称点的求法求得A 坐标后，即可利用两点间距离公式得到结果.
【详解】

∵ b- 2a = b = 2 22， a = 1，∴ b- 2a = b - 4a b+ 4 a 2= 8- 4a b= 4，

解得：a b= 1，即 2cos< a ,b>= 1，即< a ,b>= π3，

不妨令 a = 1,0 ，b= 1, 3 ，设 c= x,y ，
则 c- b b= b c - b2= x+ 3y- 4= 0，
∴ c + a = x+ 1 2+ y2， c - a = x- 1 2+ y2，
则 c + a + c - a 的几何意义为：直线 x+ 3y- 4= 0上的点P到A -1,0 和B 1,0 的距离之和，即 PA
+ PB ；
作出点A关于直线 x+ 3y- 4= 0的对称点A ，
∵ PA = PA ，∴ PA + PB = PA + PB ≥ A B (当且仅当A ,P,B三点共线时取等号)，
n- 0m- 1 = 3 m=
5
设A m,n ，则 m+ 1 3n ，解得： 2 + - 4= 0 n= 3 3 ， 2 2 2
2
∴ A
2
B = 5 + 1 + 3 3 - 0 = 19，即 c 2 2 + a + c- a 的最小值为 19.
故答案为： 19.
例44.(2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测)已知半径为 1的圆O上有三个动点A，B，C，且 AB = 2，则

AC BC的最小值为______．
【答案】1- 2
【解析】先判断出∠AOB= π2，再以O为原点，OA,OB所在直线为 x,y

轴建立平面直角坐标系：然后利用平面向量数量积的坐标表示求出AC

BC，再根据圆心到直线的距离小于等于半径可求出结果.
【详解】
因为 AB = 2，又 |OA| = |OB| = 1，所以 |OA|2+ |OB|2= |AB|2，所以
∠AOB= π2，
以O为原点，OA,OB所在直线为 x,y轴建立平面直角坐标系：
则A(1,0)，B(0,1)，设C(x,y)，则 x2+ y2= 1，

AC = (x- 1,y)，BC = (x,y- 1)，

所以AC BC = x(x- 1) + y(y- 1) = x2+ y2- x- y=-x- y+ 1，
设-x- y+ 1= t，即 x+ y+ t- 1= 0，
依题意直线 x+ y+ t- 1= 0与圆有交点，
|t- 1|
所以 + ≤ 1，得 1- 2≤ t≤ 1+ 2，1 1

所以AC BC的最小值为 1- 2.
故答案为：1- 2

例45.(四川省泸县第四中学 2022届高三下学期高考适应性考试数学 ( ) ) a 理 试题 已知 ,b是平面内两个互

相垂直的单位向量，若向量 c 满足 a- c b- 2c = 0，则 c 的最大值是_________．
【答案】 52

【解析】由题意可设 a ,b的坐标，设 c = (x,y)，利用 a - c b- 2c = 0求得 c = (x,y)的终点的轨迹方程，即
可求得答案.
【详解】

因为 a ,b是平面内两个互相垂直的单位向量，

故不妨设 a = (1,0),b= (0,1)，设 c = (x,y)，
由 a - c

b- 2c = 0得：(1- x,-y) (-2x,1- 2y) = 0，
2 2
即-2x(1- x) - y(1- 2y) = 0，即 x- 1 + y- 12 4 =
5
16，
则 c 的终点在以 1 , 12 4 为圆心，半径为
5
4 的圆上，
2 2
故 c 的最大值为 12 +
1
4 +
5
4 =
5
2 ，
故答案为： 52

例46.(2022·北京市第十二中学三模)△ABC为等边三角形，且边长为 2，则AB与BC的夹角大小为 120 ，若

BD = 1，CE=EA，则AD BE的最小值为___________.
【答案】-3- 3

【解析】以点B为坐标原点，BE、EA分别为 x、y轴的正方向建立平面直角坐标系，设点D cosθ,sinθ ，利用

平面向量数量积的坐标运算以及余弦函数的有界性可求得AD BE的最小值.
【详解】

因为△ABC是边长为 2的等边三角形，且CE=EA，则E为AC的中点，故
BE⊥AC，

以点B为坐标原点，BE、EA分别为 x、y轴的正方向建立如下图所示的平
面直角坐标系，
则A 3,1 、E 3,0 、B 0,0 ，设点D cosθ,sinθ ，

BE= 3,0 ，AD= cosθ- 3,sinθ- 1 ，

所以，AD BE= 3 cosθ- 3 ≥- 3- 3，当且仅当 cosθ=-1时，等号
成立，

因此，AD BE的最小值为- 3- 3.
故答案为：- 3- 3.

例47.(江苏省泰州市 2022届高三下学期第四次调研测试数学试题) a ,b,c a 平面向量 满足 = 1, b = 2，a

b

与 的夹角为 60 ，且 c- 2a c - b = 0 则 |c|的最小值是___．
【答案】 3- 1##-1+ 3

【解析】设 a = 1,0 ，b= 1, 3 ，设OC = c = x,y ，根据 c- 2a c- b = 0结合数量积的运算求得C的
轨迹是以M 32 ,
3
2 为圆心，1为半径的圆,利用 |c
|的几何意义可求得答案.
【详解】

由题意不妨设O为坐标原点，令 a = 1,0 ，b= 1, 3 ，设OC = c = x,y ，
由于 c- 2a c - b = 0,
∴ (x- 2,y) (x- 1,y- 3) = 0，∴ x2- 3x+ 2+ y2- 3y= 0，
2 2
即 x- 32 + y-
3
2 = 1，故C的轨迹是以M
3 , 32 2 为圆心，1为半径的圆,
故 |c |min= |OM |-1= 3- 1，
故答案为： 3- 1

例48.(2022·全国·高三专题练习)点M是边长为 2的正六边形ABCDEF内或边界上一动点，则AB AM
的最大值与最小值之差为 (　　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】建立平面直角坐标系，将向量的运算转化为坐标的运算以实现简化.
【详解】
解：如图，以AB为 x轴，AE为 y轴建立平面直角坐标系，
则A 0,0 ，B 2,0 ，设M x,y ，
在△AEF中，∵AF=EF= 2，∠AFE= 120°，
∴AE= 2 3，高FG= 1，∴CG= 3，∴ x∈ -1,3 ，y∈ 0,2 3 ，

∵AB= 2,0 ，AM = x,y ，∴AB AM = 2x，

∵ x∈ -1,3 ，∴AB AM = 2x∈ -2,6 ，

∴AB AM 最大值与最小值之差为 8.
故选：D.
例49.(2022·全国·高三专题练习)如图，在矩形ABCD中，AB= 4,AD= 3，M，N分别为线段BC，DC上的

动点，且MN= 2，则AM AN 的最小值为 ( )
A. 25- 7 2 B. 15 C. 16 D. 17
【答案】B
【解析】以A为原点，建立适当的直角坐标系，设∠CNM= θ,θ∈ 0, π2 ，根据

MN的长度得到M ,N的坐标，利用平面向量的数量积的坐标表示得到AM AN
关于 θ的三角函数表达式，利用辅助角公式化简，并利用三角函数的性质得到最
小值.
【详解】
以A为原点，AB所在的直线为 x轴，AB所在的直线为 y轴建立平面直角坐标系 xOy，设∠CNM= θ,θ∈
0, π2 ，
则M (4,3- 2sinθ),N= (4- 2cosθ,3)

AM AN = (4,3- 2sinθ) (4- 2cosθ,3) = 25- 6sinθ- 8cosθ，

即AM AN = 25- 10sin(θ+ φ)，其中 sinφ= 4 ,cosφ= 35 5 ,∴AM AN ≥ 15．
π θ+ φ= 2 时取“=”，所以AM AN 的最小值为 15，
故答案为：15.
例50.(2022·全国·高三专题练习)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD= 120°,AB

=AD= 2.若点E为边CD上的动点，则AE BE的最小值为 ( )
A. 78 B. 2
C. 218 D.
21
4
【答案】D
【解析】以D为原点，以DA所在的直线为 x轴，以DC所在的直线为 y
轴，建立平面直角坐标系，求出各点坐标，设E(0,m)，用数量积的坐标表
示求出数量积，结合二次函数性质得最小值．
【详解】
如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为 x轴，以DC所在的直线为
y轴，建立平面直角坐标系，如图，
过点B做BN⊥ x轴，过点B做BM⊥ y轴，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD= 120°，AB=AD= 2，
∴AN=ABcos60° = 1，BN=ABsin60° = 3
∴DN= 2+ 1= 3，∴BM= 3，∵CM=MBtan30° = 3，
∴DC=DM+MC= 2 3，∴A 2,0 ，8 3, 3 ，C 0,2 3 ，设
E 0,m ，

∴AE= -2,m ,BE= -3,m- 3 .0≤m≤ 2 3；
2 2
∴AE BE= 6+m2- 3m= m- 3 + 6- 3 = m- 32 4 4
+ 214 ，当m=
3
2 时.
取得最小值为 214 .
故选：D．
例51.(2022·四川·成都七中模拟预测 (理))在等腰梯形ABCD中，AB DC,AB= 2BC= 2CD= 2,P是腰

AD上的动点，则 |2PB-PC|的最小值为 ( )
A. 7 B. 3 C. 3 32 D.
27
4
【答案】C

【解析】如图，以A为原点，射线AB为 x轴正半轴建立直角坐标系，用坐标表示出 2PB-PC，即可求出答案
【详解】
解：如图，以A为原点，射线AB为 x轴正半轴建立直角坐标系，则由题意可得B(2,0),C 3 32 , 2 ，设P(a,
3a)，其 0≤ a≤ 12，

则PB= (2- a,- 3a),PC = 32 - a,
3
2 - 3a ，

所以 2PB-PC = 52 - a,-
3
2 - 3a ，
2 2
所以 2PB-PC = 5 - a + - 32 2 - 3a
= 4a2- 2a+ 7
2
= 4 a- 14 +
27
4 ，

所以当 a= 14 时，|2PB-PC|取最小值
3 3
2 ，
故选：C
例52.(2022·全国·高三专题练习)已知△ABC是边长为 2的正三角形，点M为△ABC所在平面内的一点，

且 AB AM AC AM = 2，则AM长度的最小值为 ( )
A. 64 B.
6
3 C.
6
2 D. 6
【答案】B
【解析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标表示结合基本不等式解决向量模长问题.
【详解】
如图，以BC的中点О为原点，OC，OA所在直线分别为 x轴，
y轴建立直角坐标系 xOy，即A 0, 3 ，B -1,0 ，C 1,0 ，

则AB= -1,- 3 ，AC = 1,- 3 .

设M x,y ，则AM = x,y- 3 ，AB AM =-x- 3y+ 3，AC AM = x- 3y+ 3，
所以 -x- 3y+ 3 x- 3y+ 3 = 2.
设-x- 3y+ 3= t，x- 3y+ 3= 2t ，
解得 x= 1t -
t
2，y=
1 6- t- 2t ，2 3
2 2 2
则AM= 1t -
t 1 2 t 4 2 6
2 + 12 t+ t = 3 + -3t2 3 ≥ 3 ，
所以AM长度的最小值为 63 .
故选：B
例53.(2022·全国·高三专题练习)等边△ABC的面积为 9 3，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足

MN = 1，则NA NB的最小值为 ( )
A. - 5- 2 3 B. - 5- 4 3 C. - 6- 2 3 D. - 6- 4 3
【答案】A
【解析】根据三角形面积求出三角形的边长，以AB为 x轴，AB的中垂线为 y轴建立平面直角坐标系，由条件
得出点N在以M为圆心，1为半径的圆上，其方程为 x2+ y2- 2 3y+ 2= 0，且 3- 1≤ y≤ 1+ 3，然后用

向量数量积的坐标公式得出NA NB的表达式，在求其最小值.
【详解】
设等边△ABC的边长为 a，则面积S= 3 24 a = 9 3，解得 a= 6
以AB为 x轴，AB的中垂线为 y轴建立如图所示的平面直角坐标
系.
由为△ABC的内心，则M在OC上，且OM= 13 OC
则A -3,0 ,B 3,0 ,C 0,3 3 ，M 0， 3
由 MN = 1，则点N在以M为圆心，1为半径的圆上.
设N x,y ，则 x2+ y- 3 2= 1，即 x2+ y2- 2 3y+ 2= 0，且 3- 1≤ y≤ 1+ 3

NA= -3- x,-y ，NB= 3- x,-y

NA NB= x+ 3 x- 3 + y2= x2+ y2- 9= 2 3y- 11≥ 2 3 × 3- 1 - 11=-5- 2 3
故选: A
【点睛】本题考查动点的轨迹方程和利用坐标求向量的数量积的最值，解答本题的关键是建立坐标系得出点

N在以M为圆心，1为半径的圆上，其方程为 x2+ y2- 2 3y+ 2= 0，且 3- 1≤ y≤ 1+ 3，进而得出NA

NB= x+ 3 x- 3 + y2，属于中档题.
例54.(2022·辽宁沈阳·一模)如图，在直角梯形ABCD中，AD BC，AB⊥BC，AD= 1，BC= 2，P是线

段AB上的动点，则 PC + 4PD 的最小值为 ( )
A. 3 5 B. 6
C. 2 5 D. 4
【答案】B
【解析】根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】
解：如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设AB= a，BP=
x 0≤ x≤ a ，
因为AD= 1，BC= 2，
所以P 0,x ,C 2,0 ,D 1,a ，

所以PC = 2,-x ,PD= 1,a- x ，4PD= 4,4a- 4x ，

所以PC + 4PD= 6,4a- 5x ，

所以 PC + 4PD = 36+ 4a- 5x 2≥ 6，

所以当 4a- 5x= 0，即 x= 45 a时， PC + 4PD 的最小值为 6.
故选：B
例55.(2022 ·全国 ·高三专题练习 ) 已知 ABCD 是边长为 2 的正方形，P 为平面 ABCD 内一点，则

PA+PB PC的最小值是 ( )
A. - 2 B. - 52 C. - 3 D. - 4
【答案】B
【解析】根据给定条件建立平面直角坐标系，利用向量运算的坐标表示即可计算作答.
【详解】
ABCD是边长为 2的正方形，则以点A为原点，直线AB，AD分别为 x轴，y轴建立平
面直角坐标系，如图：
则A(0,0),B(2,0),C(2,2)，设点P(x,y)，

PA= (-x,-y),PB= (2- x,-y),PC = (2- x,2- y)，
2
于是得：(PA+PB) PC = (2- 2x,-2y) (2- x,2- y) = 2(x- 1) (x- 2) + 2y(y- 2) = 2 x- 32 + 2(y-
1)2- 52，

当 x= 32 ,y= 1时，(PA+PB) PC取得最小值-
5
2，

所以 (PA+PB) PC的最小值是- 52 .
故选：B
例56.(2022·全国·高三专题练习)四叶回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，AB

= 4，CD= 2，∠A= 45°，M为线段HL上一动点，则AF GM 的最小值为
( )
A. - 8 B. - 16
C. - 24 D. - 32
【答案】D
【解析】以C为原点建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运
算即可求解.
【详解】
解：由题意，以C为原点建立如图所示的平面直角坐标系
则A -4,2 ，F 0,-2 ，G 4,-2
M为线段HL上一动点，设M 2,y ，其中 0≤ y≤ 4

∴AF = 4,-4 ，GM = -2,y+ 2

∴AF GM = 4× -2 + -4 × y+ 2 =-4y- 16，0≤ y≤ 4

∴当 y= 4时，AF GM =-32

AF GM 的最小值为-32.
故选：D.

例57.(2022· · 1四川 射洪中学模拟预测 (文))△ABC是等腰直角三角形，AB=BC= 4，CD= 2 (CA+CB)，

AE= xAD+ yAC，其中 2x+ y= 1，则EA EB的最小值是 ( )
A. - 209 B. -
84
25 C. - 3 D. - 4
【答案】B
【解析】由平行四边形法则以及向量共线的性质得出点E在直线CF上，建立坐标系，由数量积公式以及距离

公式得出EA EB的最小值.
【详解】

由CD= 12 (CA+CB)知点D为AB的中点，设F为AD中点，由AE= xAD+

yAC得AE= 2xAF + yAC，因为 2x+ y= 1，所以点E在直线CF上，建立如下图

所示的平面直角坐标系，A(0,4),B(0,0),C(4,0),D(0,2),F(0,3)，EA EB= (ED+

DA) (ED+DB) = |ED|2- 4，当DE⊥CF时，|ED|2最小，CF的直线方程为 x4
+ y

= + = = 0+ 8- 12 3 1，即 3x 4y 12，由点到直线的距离公式可得： DE =32+ 42
4
5，即EA EB的最小值-
84
25 .
故选：B
例58.(2022·山东潍坊·模拟预测)折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面
的能折叠的扇子，如图 1.其平面图如图 2的扇形AOB，其中∠AOB= 120°，OA= 2OC= 2，点E在弧

CD上，则EA EB的最小值是 ( )
A. - 1 B. 1 C. - 3 D. 3
【答案】C

【解析】建立平面直角坐标系，利用坐标法表示EA EB，结合三角函数的知识求得正确答案.
【详解】

以O为原点，OB为 x轴的正方形建立平面直角坐标系，
则A -1, 3 ,B 2,0 ，设E cosθ,sinθ ,0° ≤ θ≤ 120°，

EA EB= -1- cosθ, 3- sinθ 2- cosθ,-sinθ
= -1- cosθ 2- cosθ - 3- sinθ sinθ
=- 3sinθ- cosθ- 1=-2sin θ+ 30° - 1，

所以当 θ= 60°时，EA EB取得最小值-2- 1=-3.
故选：C
例59.(2022·湖南·临澧县第一中学高三阶段练习)在 △ABC中，AB = 1，AC = 2，∠BAC = 60°，P是

△ABC的外接圆上的一点，若AP=mAB+nAC，则m+n的最小值是 ( )
A. - 1 B. - 1 C. - 12 3 D. -
1
6
【答案】B

【解析】先解三角形得到△ABC为直角三角形，建立直角坐标系，通过AP=mAB+nAC表示出m+n，借
助三角函数求出最小值.
【详解】
由余弦定理得BC 2=AB2+AC 2- 2AB AC cos∠BAC= 1+ 4- 2× 1× 2× cos60 = 3，所以BC= 3，所
以AB2+BC 2=AC 2，所以AB⊥BC．以AC的中点为原点，建立如图
所示的平面直角坐标系，易得A(-1，0)，C(1，0)，B - 1 32， 2 ，设P的

坐标为 (cosθ,sinθ)，所以AB= 12 ,
3
2 ，AC = (2,0)，AP= (cosθ+ 1,

sinθ)，又AP=mAB+nAC，所以 (cosθ+ 1,sinθ) =m 1 , 32 2 +
n 2,0 = m2 + 2n,
3
2 m ，所以m=
2 3
3 sinθ，n=
cosθ 1
2 + 2 -
3 sinθ，所以m+n= 2 3 sinθ+ cosθ + 1 36 3 2 2 - 6 sinθ=
3
2 sinθ+
cosθ 1
2 + 2 = sin θ+
π + 16 2 ≥-1+
1 1
2 =- 2，当且仅当 sin θ+
π
6 =-1时，等号成立．
故选：B．
例60.(2022 ·山西 ·二模 (理 ) ) 在菱形 ABCD 中，AB = AC = 2，点 P 在菱形 ABCD 所在平面内，则

PA+PB PC的最小值为 ( )
A. - 3 B. - 3 C. - 32 D. -
7
4
【答案】C
【解析】根据题意，设AC,BD交于点O，以O为坐标原点，直线AC,BD分别为 x轴，y轴建立直角坐标系，利
用坐标法求解即可.
【详解】
解：由菱形ABCD中，AB=AC= 2，可得AC⊥BD且BD= 2 3，
设AC,BD交于点O，以O为坐标原点，直线AC,BD分别为 x轴，y轴建立
直角坐标系，如图，
取AB中点E，则C 1,0 ，E - 12 ,
3
2 ，
设P x,y ，

则 PA+PB PC = 2PE PC = -1- 2x, 3- 2y 1- x,-y
2 2
= 2x2+ 2y2- x- 3y- 1= 2 x- 14 + 2 y-
3
4 -
3
2，
1 3 所以当 x= 4，y= 4 时， PA+PB PC取得最小值-
3
2 .
故选：C．
例61.(2022·陕西·西安中学模拟预测 (文))在直角三角形ABC中，∠ABC= 90 ,AB= 6,BC= 2 3，点M

N是线段AC上的动点，且 MN = 2，则BM BN 的最小值为 ( )
A. 12 B. 8 C. 6 3 D. 6
【答案】B
【解析】在直角三角形ABC中，易得∠BAC= 30°，作AC⊥OB于点O，如图，以O为原点建立平面直角坐标
系，不妨设点N在点M的左侧，设N x,0 ，则M x+ 2,0 ，x∈ - 3,3 3- 2 ，根据数量积的坐标表示结合
二次函数的性质即可得解.
【详解】
解：直角三角形ABC中，∠ABC= 90 ,AB= 6,BC= 2 3，
所以AC= 4 3= 2BC，所以∠BAC= 30°，
作AC⊥OB于点O，
则OB= 3,OC= 3,OA= 3 3，
如图，以O为原点建立平面直角坐标系，
不妨设点N在点M的左侧，
设N x,0 ，则M x+ 2,0 ，x∈ - 3,3 3- 2 ，
B 0,3 ，

则BM = x+ 2,-3 ,BN = x,-3 ，

所以BM BN = x x+ 2 + 9= x+ 1 2+ 8≥ 8，

当且仅当 x=-1时，BM BN 的最小值 8.
故选：B.

62.(2022· · ) a b c a = b = a b= 2 b- c

例 广东惠州 高三阶段练习 已知平面向量 ，， 满足 ，且 3b- c =
0 c - a ，则 最小值为 ( )
A. 2 2+ 1 B. 3 3- 3 C. 7- 1 D. 2 3- 2
【答案】D

【解析】根据 a = b = a b= 2，得到 a ,b π = 3，不妨设A 1, 3 ,B 2,0 ,C x,y ，利用坐标法求解.
【详解】

解：因为 a = b = a b= 2，

所以 cos a
,b =
a b = 1 ，又 a 2 ,b ∈ 0,π ， a b

所以 a ,b = π 3，
如图所示：
不妨设A 1, 3 ,B 2,0 ,C x,y ，
则 a

=OA= 1, 3 ,b=OB= 2,0 ,c =OC = x,y ，

所以 b- c = 2- x,-y ,3b- c= 6- x,-y ，

因为 b- c 3b- c = 0，
所以 2- x 6- x + y2= 0，即 x- 4 2+ y2= 4，
表示点C在以M 4,0 为圆心，以 2为半径的圆上，
所以 c - a 最小值为 AM - r= 1- 4 2+ 3 2- 2= 2 3- 2，
故选：D
例63.(2022· · 山东 胜利一中模拟预测)已知 e1,e2为单位向量，满足 e1- e2 = 2e1- a = 1，则 a- e2 的最小
值为 ( )
A. 3- 1 B. 3 C. 7- 1 D. 7
【答案】A
【解析】设OA= e1,OB= e 2，以O为原点建立直角坐标系，设C 2,0 ，a=OM，可得 a- e2 min= BM min=
BC - 1.
【详解】

设 =

OA e1,OB=

e2，则 e

1- e2 = OA-OB = BA = 1，所以
△OAB为等边三角形，
以O为原点建立如图所示直角坐标系，则A 1,0 ,B 12 ,
3
2 ，
设C 2,0 ，a=OM，则 2e 1- a = OC -OM = MC = 1，
所以M在以C为圆心，1为半径的圆上，

因为 a - e 2 = OM -OB = BM ，

所以 a - e 2 min= BM min= BC - 1= 3- 1.
故选：A.
例64.(2022·全国·高三专题练习 (文))已知梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B= π3 ，AB= 2，BC= 4，AD= 1，

点P，Q在线段BC上移动，且PQ= 1，则DP DQ的最小值为 ( )
A. 1 B. 112 C.
13 D. 112 4
【答案】D
【解析】如图以B为坐标原点，BC所在的直线为 x轴建立平面直角坐标系，设P x,0 ，则

Q x+ 1,0 0≤ x≤ 3 ，然后表示出DP DQ，求其最小值即可，
【详解】
如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为 x轴建立平面直角坐标系，
因为AD∥BC，∠B= π3，AB= 2，AD= 1，
所以D 2, 3 ，不妨设P x,0 ，Q x+ 1,0 0≤ x≤ 3 ，

则DP DQ= x- 2,- 3 x- 1,- 3 = x- 2 x- 1 + 3
= x2
2
- 3x+ 5= x- 32 +
11
4 ，

所以当 x= 32 时，DP DQ取得最小值
11
4 ，
故选：D

例65.(2022·全国· π高三专题练习)如图，已知两个单位向量OA，OB，且它们的夹角为 3 ，点C在以O为圆

心，1为半径的AB上运动，则CA·CB的最小值为 ( )
A. 32 - 3 B. 0
C. 3 3 32 - 2 D. - 2
【答案】A
【解析】可以O为原点，OB为 x轴建立坐标系，将C点设为 cosθ,sinθ ，利用坐标
法进行求解.
【详解】
以O为坐标原点建立如图坐标系，
则由已知得B 1 3 1,0 ,A 2 , 2 .

由点C在以O为圆心，1为半径的AB上运动可设C cosθ,sinθ ，θ∈ π 0, 3 .

∴CA CB= 12 - cosθ,
3
2 - sinθ 1- cosθ,-sinθ
= cos2θ- 32 cosθ+ sin
2θ- 32 sinθ+
1
2 =
3
2 - 3sin θ+
π
3 ，
由 θ∈ π 0, 3 知，θ+
π π 2π
3 ∈ 3 , 3 ，
∴ sin θ+ π3 ∈
3
2 ,1 ，
π 因此当 sin θ+ 3 = 1时，CA CB有最小值
3
2 - 3.
故选：A.
例66.(2022·全国·高三专题练习)骑行是目前很流行的一种绿色健身和环保出行方式，骑行属于全身性有氧
活动 能有效地锻炼大脑 心脏等人体器官机能，它带给人们的不仅是简单的身体上的运动锻炼，更是
心灵上的释放.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为
3，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为 4的等边三角形.设点P为后轮上一点，则在骑行该自行车的

过程中，AC BP的最小值为 ( )
A. 4 3 B. 12
C. 12 3 D. 24
【答案】B
【解析】根据题意，如图建立平面直角坐标系，故P 3cosθ, 3sinθ ，
B -6,2 3 ，A -8,0 ，C -2,2 3 ，进而利用坐标法结合三角函数性质求
解即可.
【详解】
解：如图，以D点为坐标原点，AD所在直线为 x轴，建立平面直角坐标系，
因为圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为 3，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为 4的等边三角形
所以点P 3cosθ, 3sinθ ，B -6,2 3 ，A -8,0 ，C -2,2 3

所以AC = 6,2 3 ,BP= 3cosθ+ 6, 3sinθ- 2 3 ，

所以AC BP= 6 3cosθ+ 6sinθ+ 24= 12sin θ+ π3 + 24，

所以当 sin θ+ π3 =-1， AC BP的最小值为 12.
故选：B
题型六：极化恒等式
例67.(2022·山东师范大学附中模拟预测)边长为 1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P

为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM PN 的取值范围是_________.
【答案】 1 0, 4

【解析】设正方形ABCD的内切圆为圆O，当弦MN的长度最大时，MN为圆O的一条直径，计算可得出PM

PN = PO 2- 14，计算出 PO 的取值范围，即可得解.
【详解】
如下图所示：
设正方形ABCD的内切圆为圆O，当弦MN的长度最大时，MN为圆O的一条直径，

= + - = 2

PM PN PO OM PO OM PO - 2 2OM = PO - 14，

当P为正方形ABCD的某边的中点时， OP 1min= 2，

当P与正方形ABCD的顶点重合时， OP 2 1 2max= 2 ，即 2 ≤ OP ≤ 2 ，

因此，PM PN = PO 2- 14 ∈

0,
1
4 .
故答案为： 0, 1 4 .
例68.(2022·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为 6 的可移动的线段，

AD= 4，AB= 8 3，BC= 12 ，则BE BF的取值范围为 ________________ .
【答案】 99,148
【解析】首先在BC上取一点G，使得BG= 4，取EF的中点P，连接DG，BP，根据题意
1 得到BE BF = BE+BF 2
2
4 - BE-BF =BP
2- 9，再根据 BP 的最值求解即
可.
【详解】
在BC上取一点G，使得BG= 4，取EF的中点P，连接DG，BP，
如图所示：
则DG= 8 3，GC= 8，CD= 82+ 8 3 2= 16，
tan∠BCD= 8 38 = 3，即∠BCD= 60
.

BE BF = 14 BE+BF
2
- BE-BF
2
= 14 2BP
2 2
-FE =BP
2- 9，

当BP⊥CD时， BP 取得最小值，此时 BP = 12× sin60 = 6 3，

所以 BE BF min= 6 3 2- 9= 99.
当F与D重合时，CP= 13，BC= 12，

则 BP 2= 122+ 132- 2× 12× 13× 12 = 157，
当E与C重合时，CP= 3，BC= 12，

则 BP 2= 122+ 32- 2× 12× 3× 12 = 117，

所以 BE BF max= 157- 9= 148，即BE BF的取值范围为 99,148 .
故答案为： 99,148
例69.(2022·全国·高一) 1设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B= 4 AB，且对于边AB上任一点

P，恒有PB PC≥P0B P0C，则三角形ABC形状为___________.
【答案】C为顶角的等腰三角形

【解析】取BC的中点D，设O为AB的中点，根据PB PC≥P0B P0C可得 PD ≥ P0D ，从而可知P0D⊥
AB，再由中位线定理可知，OC⊥AB，即可解出．
【详解】
取BC的中点D，连接PD，P0D，如图所示：
2
PB PC = PD+ 12 BC PD-
1
2 BC = PD
2- 14 BC ，同理P0B P0C
2 1 2 = P0D - 4 BC ，∵PB PC≥P0B P0C，

∴ PD 2- 1 2 2 1 24 BC ≥ P0D - 4 BC

∴ PD ≥ P0D ∴P0D⊥AB，设O为AB的中点，
∴P0B= 12 OB P0D OC OC⊥AB,∴AC=BC即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形.
故答案为：C为顶角的等腰三角形．
例70.(2022 ·全国 ·高三专题练习)已知直线 l :y = x + 2a与圆 C : x- a 2+ y 2= r 2 r> 0 相切于点

M -1,y0 ，设直线 l与 x轴的交点为A，点P为圆C上的动点，则PA PM 的最大值为______．
【答案】36+ 18 5
【解析】因为相切，圆心到直线的距离等于半径，再将点M -1,y0 代入圆方程解出 a,r，进而求得AM中点

Q，则PA PM = 2- 1 2≤ 1 2PQ 4 AM QC + r
2- 4 AM 即可求解．
【详解】
圆C: x- a 2+ y2= r2 r> 0 的圆心的为 a,0 ，因为直线 l与圆C相切于点M -1,y0 则 y0= 2a- 1
3a 所以 = r, 2 得 a2- 4a+ 4= 0，所以 a= 2，r= 3 2， a+ 1 2+ 2a- 1 2= r2
所以直线方程为 y= x+ 4，圆的方程为 x- 2 2+ y2= 18，所以A -4,0 ，M -1,3 ，
AM的中点Q - 5 32 , 2 ，
2 1 2 1 则PA PM = PQ+QA PQ+QM =PQ - 4 AM ≤ QC + r
2- 24 AM
2 2
因为 QC = 2+ 52 +
3 = 3 102 2 ， AM = 3
2+ 32= 3 2

所以 QC + r 2- 1 24 AM =
2
QC 2+ 2r QC + r2- 1 4 AM = 36+ 18 5

故PA PM ≤ 36+ 18 5，所以PA PM 的最大值为 36+ 18 5
故答案为：36+ 18 5
例71.(2022·全国·高三专题练习)如图，在边长为 2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，

以MN为边作等边△PMN，使得点A，P位于直线MN的两侧，则PN PB的最小值为______．
【答案】- 14

【解析】设出边长，通过做辅助线，将PN PB转化为PE2-BE2，然后利用解三角

形的知识，把 PE 和 BE 表示出来，建立函数关系求解最值即可.
【详解】
如图，连接BN，设BN，MN中点分别为E，F，连接PE，PF，EF．
设CM= a，CN= b 0≤ a≤ 2,0≤ b≤ 2 ，

= PN +PB
2
- PN -PB
2
PN PB 2 2 =PE2-BE2，
2
在Rt△BCN中，由勾股定理得BN 2=BC 2+CN 2= b2+ 4，则BE2= BN = 12 4 b
2+ 1，
BN，MN中点分别为E，F，则EF为△BMN的中位线，
∴EF∥BM且EF= 12 BM= 1-
1
2 a，∴∠EFM=∠CMN，
在Rt△CMN中，由勾股定理得MN= CM 2+CN 2= a2+ b2，
∴ sin∠CMN= CNMN =
b = sin∠EFM，
a2+ b2
在等边△PMN中，F为MN中点，则PF⊥MN，PF= 32 MN=
3 a2+ b22 ，
cos∠PFE= cos π2 +∠EFM =-sin∠EFM=-
b ，
a2+ b2
在△PEF中，由余弦定理得
PE2=EF 2+PF 2- 2EF PFcos∠PFE= a2+ 34 b
2- 32 ab- a+ 3b+ 1，
当N与C重合时，△BCN，△CMN，△PEF不存在，但可验证上述等式依然成立，

PN PB= a2+ 12 b
2- 32 ab- a+ 3b
= a- 3 1
2
4 b+ 2 -
3 2 3 3 1 3 2 3 3 1
16 b + 4 b- 4 ≥- 16 b + 4 b- 4
当且仅当 a= 34 b+
1
2 时等号成立．
∵关于 b的函数 y=- 316 b
2+ 3 34 b-
1
4 在 0,2 上单调递增，
∴- 316 b
2+ 3 3 1 14 b- 4 ≥- 4，当且仅当 b= 0时等号成立．

∴PN PB≥- 14，当且仅当 a=
1
2，b= 0时等号成立.
故答案为：- 14．
例72.(2022·陕西榆林·三模 (文))四边形ABCD为菱形，∠BAC= 30°，AB= 6，P是菱形ABCD所在平面

的任意一点，则PA PC的最小值为________.
【答案】-27

【解析】取AC的中点O，连接OA，OC，OP，应用向量加减法的几何意义及数量积的运算律可得PA PC =
2
PO - 2OA ，即可求最小值.
【详解】
由题设，AC= 6 3，取AC的中点O，连接OA，OC，OP，

则PA=PO+OA，PC =PO+OC =PO-OA，
2 2 所以PA PC = 2 PO+OA PO-OA =PO -OA =PO - 27≥
-27.
故答案为：-27
例73.(2022·重庆八中模拟预测)△ABC中，AB= 3，BC= 4，AC= 5，PQ为△ABC内切圆的一条直径，M

为△ABC边上的动点，则MP MQ的取值范围为 ( )
A. 0,4 B. 1,4 C. 0,9 D. 1,9
【答案】C
【解析】易知△ABC是直角三角形，利用等面积法可得内切圆半径 r= 1，设内切圆圆心为O，根据PQ为直

径，可知 OP = 1， 2 2OQ=-OP，整理MP MQ=MO -OP ，进而根据M的运动情况来求解.
【详解】
由题可知，AB2+BC 2=AC 2，所以△ABC是直角三角形，∠B= 90°，
设内切圆半径为 r，则S 1△ABC= 2 × 3× 4=
1
2 × 3+ 4+ 5 r，解得 r= 1，
设内切圆圆心为O，因为PQ是△ABC内切圆的一条直径，

所以 OP = 1，OQ=-OP，

则MP=MO+OP，MQ=MO+OQ=MO-OP，

所以 2 2 2MP MQ= MO+OP MO-OP =MO -OP =MO - 1，

因为M为△ABC边上的动点，所以 MO min= r= 1；当M与C重合时， MO max= 10，

所以MP MQ的取值范围是 0,9 ，
故选：C

例74.(2022·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高一阶段练习)半径为 2的圆O上有三点A,B,C满足OA+

AB+AC = 0，点P是圆内一点，则PA PO+PB PC的取值范围为 ( )
A. -4,14 B. -4,14 C. -4,4 D. -4,4
【答案】A
【解析】设OA交BC于点D，则由题意可得四边形OBAC是菱形，利用菱形的性质以及数量积的运算性质可

得PA PO+PB PC = 2 PD 2- 4，由 0≤ PD < 3即可求得
【详解】

如图，设OA交BC于点D，由OA+AB+AC = 0，可得AB+AC =AO,
所以四边形OBAC为平行四边形，
因为OB=OC= 2，所以四边形OBAC为菱形，且OB=OA= 2，
所以AD=OD= 1,BD=DC= 3，

由图可知，PB=PD+DB,PC =PD+DC,DB=-DC，

所以PB PC = (PD+DB) (PD-DB) = PD 2- BD 2= PD 2- 3,

因为PA=PD+DA,PO=PD+DO,DA=-DO，

所以PA PO= (PD-DO) ( 2PD+DO) = PD 2- DO = PD 2- 1,

所以PA PO+PB PC = 2 PD 2- 4，

因为点P为圆内一点，所以 0≤ PD < 3，

所以-4≤ 2 PD 2- 4< 14，

所以PA PO+PB PC的取值范围为 -4,14 ，
故选：A
2 y2
例75.(2022·黑龙江·佳木斯一中高二期中)已知P x为椭圆 25 + 24 = 1上任意一点，EF为圆N :(x- 1)
2+

y2= 4任意一条直径，则PE PF的取值范围为 ( )
A. [8，12] B. [12,20] C. [12,32] D. [32,40]
【答案】C

【解析】由题意可得圆心N (1,0)恰好是椭圆的右焦点，将PE PF化简得-4+ NP 2，由椭圆的性质可知

NP ∈ [a- c,a+ c]，从而可求出PE PF的取值范围
【详解】
由 x
2 2
25 +
y
24 = 1，得 a
2= 25,b2= 24，则 a= 5,b= 2 6,c= 1，
圆N :(x- 1)2+ y2= 4的圆心N (1,0)恰好是椭圆的右焦点，圆的半径为 2，

因为PE PF = NE-NP NF -NP

=NE NF -NP NE+NF +NP
2

= NE NF cosπ- 0+ NP 2

=-4+ NP 2，
2 y2
因为P为椭圆 x25 + 24 = 1上任意一点，N为椭圆的右焦点，

所以 NP ∈ [a- c,a+ c]，即 NP ∈ [4,6]，

所以 NP 2∈ [16,36]，所以-4+ NP 2∈ [12,32]，

所以PE PF的取值范围为 [12,32]，
故选：C
例76.(2022·四川凉山·三模 (理))已知下图中正六边形ABCDEF的边长为 4，圆O的圆心为正六边形的中

心，直径为 2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则PM PN 的取值范围是 ( )
A. 11,16 B. 11,15
C. 12,15 D. 11,14
【答案】B

【解析】根正六边形的性质，求得内切圆和外接圆的半径，再化简得到PM PN
2 2 =PO -OM ，结合 r≤ PO ≤R，即可求解.
【详解】
由正六边形ABCDEF的边长为 4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为 1，
所以正六边形ABCDEF的内切圆的半径为 r=OAsin60 = 4sin60 = 2 3，
外接圆的半径为R= 4，

又由PM PN = (PO+OM ) (PO+ON ) = (PO+OM ) (PO-OM )

= 2
2 2
PO -OM =PO - 1，

因为 r≤ PO ≤R，即 2PO ∈ [2 3,4]，可得PO - 1∈ [11,15]，

所以PM PN 的取值范围是 11,15 .
故选：B.
例77.(2022·全国·高三专题练习)如图，在△ABC中,∠ABC= 90 ,AB= 2,BC= 2 3，M点是线段AC上一

动点.若以M为圆心 半径为 1的圆与线段AC交于P,Q两点，则BP BQ的最小值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B

【解析】根据M为PQ的中点，将BP,BQ用BM ,MQ表示出来，然后利用

向量运算法则，即可将问题转化为 BM 2的最小值，即B到线段AC的距离
的平方．
【详解】

解：由题意，MQ=-MP，且 MP = 1， AC = AB 2+ BC 2= 4，

所以BP=BM +MP，BQ=BM +MQ=BM -MP，

所以BP BQ= (BM +MP) (BM -MP) = BM 2- 1，
易知，当BM⊥AC时，BM最小，
所以 BA BC = AC BM min，即 2× 2 3= 4× BM min，解得 BM min= 3，

故BP BQ的最小值为 3 2- 1= 2．
故选：B．

例78.(2022·福建莆田·模拟预测)已知P是边长为 4的正三角形ABC所在平面内一点，且AP= λAB+ (2

- 2λ)AC(λ∈R)，则PA PC的最小值为 ( )
A. 16 B. 12 C. 5 D. 4
【答案】C

【解析】延长AC到D，使得AD= 2AC，可得点P在直线BD上，化简可得PA PC = |PO|2- 4，求出 |PO|最
小值即可.
【详解】

如图，延长AC到D，使得AD= 2AC．

因为AP= λAB+ (2- 2λ)AC = λAB+ (1- λ)AD，所以点P在直线BD上．
取线段AC的中点O，连接OP，

则PA PC = (PO+OA) (PO-OA) = |PO|2- |OA|2= |PO|2- 4．

显然当OP⊥BD时，|PO|取得最小值，

因为BO= 2 3,OD= 6，则BD= 4 3，所以 |PO| = 2 3 × 6min = 3，4 3

所以PA PC的最小值为 32- 4= 5．
故选：C .
例79.(2022·全国·高三专题练习)已知直线 l：x+ y- 1= 0与圆C： x- a 2+ y+ a- 1 2= 1交于A，B两

点，O为坐标原点，则OA OB的最小值为 ( )．
A. - 12 B.
2 1
2 C. 2 D. 2
【答案】A

【解析】由题意直线 l过圆心C，则OA OB= 2 OC +CA OC +CB = OC - 1，当OC垂直直线 l时，

2OC 取得最小值得出答案.
【详解】
圆C的圆心C a,1- a ，满足 a+ 1- a - 1= 0，所以直线 l过圆心C，

所以 2OA OB= OC +CA OC +CB = OC +CA OC -CA = OC - 1，
-1
当OC垂直直线 l时， 2OC 取得最小值，所以 OC 的最小值为 = 2
12+ 12 2

所以 2OC 的得最小值为 1

2，故OA

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