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1.1 集合的概念
【考点梳理】
一、元素与集合的概念及表示
1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，
元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，
集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
3、集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
二、元素的特性
1、确定性
给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。
例如：著名的科学家、比较高的人、好人、、很难的题目等
2、互异性
一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．
简记为“互异性”．
利用集合中元素的特异性求参数：
（1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；
（2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．
（3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．
3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
三、元素与集合的关系
1、属于与不属于概念：
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A．
2、元素与集合关系的判断方法：
（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
四、常用的数集及其记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 或
五、列举法
把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
【注意】(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
六、描述法
1、定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
2、用描述法表示集合
（1）首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．
一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．
（2）若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．
（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．
【题型归纳】
题型一 判断元素能否构成集合
1．判断下列元素的全体可以组成集合的是（ ）
①湖北省所有的好学校；
②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点；
③n的近似值；
④不大于5的自然数．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
2．下列各组对象中不能形成集合的是（ ）
A．高一数学课本中较难的题 B．高二（2）班全体学生家长
C．高三年级开设的所有课程 D．高一（12）班个子高于1.7m的学生
3．以下元素的全体能构成集合的是（ ）
A．中国古代四大发明 B．接近于1的所有正整数
C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流
题型二 判断元素与集合的关系
4．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．用适当的符号( ， ，∈， )填空：
（1）________；
（2）2________；
（3）N*________N；
（4）R________Q.
6．用符号或填空：3.1___N，3.1___Z， 3.1____ ，3.1____Q，3.1___R.
题型三 利用元素的互异性求参数
7．若，则实数a的取值集合为______．
8．设集合，若，则的值为（ ）．
A．，2 B． C．，，2 D．，2
9．若，则______．
题型四 用列举法表示集合
10．设集合，则用列举法表示集合为______．
11．用列举法表示集合：为________．
12．设M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M等于（ ）
A．{长江，黄河} B． {长江，黑龙江}
C． {长江，珠江} D． {长江，黄河，黑龙江，珠江}
题型五 用描述法表示集合
13．用描述法表示下列集合：
(1)所有被3整除的整数组成的集合；
(2)不等式的解集；
(3)方程的所有实数解组成的集合；
(4)抛物线上所有点组成的集合；
(5)集合.
14．若用描述法表示所有偶数构成的集合，则___________.
15．方程组的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
一、单选题
16．集合用列举法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
17．下列各组对象中能构成集合的是（ ）
A．充分接近的实数的全体 B．数学成绩比较好的同学
C．小于20的所有自然数 D．未来世界的高科技产品
18．若，则实数（ ）
A． B．0 C．1 D．0或1
19．已知集合，，则集合中元素个数为（ ）
A． B． C． D．
20．下列说法中，正确的是( )
A．若，则
B．中最小的元素是0
C．“的近似值的全体”构成一个集合
D．一个集合中不可以有两个相同的元素
21．集合，用列举法可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
22．集合中的不能取的值的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
23．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）
A．某班视力较好的同学 B．长寿的人 C．的近似值 D．倒数等于它本身的数
24．已知集合中所含元素的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
25．已知集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
26．给出下列关系：
①；②；③；④；⑤，
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．由，，a组成的集合含有元素2，则实数a的可能取值的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
28．已知x，y都是非零实数，可能的取值组成集合A，则（ ）
A．2∈A B．3 A C．－1∈A D．1∈A
29．已知集合只有一个元素，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
30．已知集合,则下列四个元素中属于M的元素的个数是（ ）
①;②;③;④
A．4 B．3 C．2 D．1
31．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数属于同一“类”，则；④若，则整数属于同一“类”.其中，正确结论的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
32．下列与集合表示同一个集合的有（ ）
A． B． C． D． E．
33．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
34．集合用描述法可表示为（ ）
A．是不大于9的非负奇数 B．且
C． D．
三、填空题
35．若{(x，y)|(2，1)}是关于x，y的方程组的解集，则(a＋b)(a－b)＝________．
36．已知集合，集合，则_______________.
37．集合中实数a的取值范围是________
38．用列举法表示方程的解集为______________.
39．已知集合A中含有两个元素和，若，则实数______．
四、解答题
40．已知集合．
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.
41．设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．
(1)当时，写出集合A的生成集B；
(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
集合的元素具有确定性、互异性、无序性，据此即可选出正确选项．
【详解】
①“好学校”不具有确定性，因此①不能组成集合；
②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点，满足集合的元素的特征，
因此能组成集合；
③n的近似值不具有确定性，因此③不能组成集合；
④不大于5的自然数，满足集合的元素的特征，因此④能组成集合．
故选：C．
2．A
【解析】
【分析】
根据集合的三要素确定性，互异性和无序性逐个判断即可；
【详解】
对A，高一数学课本中较难的题不具有确定性，不能形成集合；
对BCD，各组对象均满足确定性，互异性和无序性，能形成集合
故选：A
3．A
【解析】
【分析】
根据集合的知识可选出答案.
【详解】
中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A满足；
接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B不满足；
未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C不满足；
地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D不满足；
故选：A
4．B
【解析】
【分析】
根据数集的定义，即可得答案；
【详解】
是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确.
所以正确的个数为2.
故选：B.
5．
【解析】
【分析】
利用元素与集合，集合与集合的关系即得.
【详解】
（1）当时，，故；
（2）当时，，故2；
（3）因为为正整数集，为自然数集，所以
（4）因为为实数集，为有理数集，所以.
故答案为：；；；.
6．
【解析】
【分析】
由元素与集合的关系求解即可
【详解】
因为不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数，
所以有：；；；；.
故答案为：，，，，.
7．
【解析】
【分析】
根据元素的确定性和互异性可求实数a的取值.
【详解】
因为，故或或，
当时，，与元素的互异性矛盾，舍；
当时，，符合；
当时，或，根据元素的互异性，符合，
故a的取值集合为.
故答案为：
8．D
【解析】
【分析】
由集合中元素确定性得到：，或，通过检验，排除掉.
【详解】
由集合中元素的确定性知或．
当时，或；当时，．
当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求；
当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求．
综上，或．
故选：D．
9．
【解析】
【分析】
结合集合的互异性来求得.
【详解】
若，则，不满足互异性，所以.
若或（舍去），
所以.
故答案为：
10．
【解析】
【分析】
根据题意可得，则，对代入检验，注意集合的元素为坐标．
【详解】
∵，则可得，则
又∵，则当成立，当成立，
∴
故答案为：．
11．
【解析】
【分析】
因为且 ，所以只能是0，1，2，3，4 ；只能是4，3，2，1，0.用列举法写出即可.
【详解】
由题知：
=
故答案为：.
12．D
【解析】
【分析】
根据集合的概念及表示即得.
【详解】
∵M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，
∴M ={长江，黄河，黑龙江，珠江}.
故选：D.
13．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)且
【解析】
【分析】
根据题设中的集合和集合的表示方法，逐项表示，即可求解.
(1)
解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：
(2)
解：不等式的解集，用描述法可表示为：.
(3)
解：方程的所有实数解组成的集合，
用描述法可表示为：.
(4)
解：抛物线上所有点组成的集合，
用描述法可表示为：.
(5)
解：集合，用描述法可表示为：且.
14．
【解析】
【分析】
偶数是能被2整除的数，故可以用式子2k，来表示
【详解】
偶数可以用2k，来进行表示，所以
故答案为：
15．D
【解析】
【分析】
先求出方程组的解，然后利用列举法表示集合即可．
【详解】
由得，
即方程组构成的集合为.
故选：D．
16．B
【解析】
【分析】
根据集合中元素满足的条件求出的值，再利用列举法表示可得正确选项.
【详解】
因为，所以，可得，
因为，所以，集合，
故选：B.
17．C
【解析】
【分析】
根据集合中元素的确定性，即可得解.
【详解】
选项A、B、D中集合的元素均不满足确定性，
只有C中的元素是确定的，满足集合的定义，
故选：C.
【点睛】
本题考查了集合中元素的特征，考查了集合中元素的确定性，是概念题，属于基础题.
18．C
【解析】
【分析】
根据集合的确定性，互异性，即可求得答案.
【详解】
因为，根据集合性质可得：.
故选：C
19．C
【解析】
【分析】
由集合B的描述知、，可求出，即得集合B的元素个数.
【详解】
解：由题意知：，，
，
∴集合中元素个数为3.
故选：C.
20．D
【解析】
【分析】
对于选项AB：根据整数与实数性质即可判断是否正确；对于选项CD：根据集合的确定性和互异性即可判断是否正确.
【详解】
若，则也是整数，故，故A错误；
因为实数集中没有最小的元素，故B错误；
因为“的近似值的全体”不具有确定性，所以“的近似值的全体”不能构成一个集合，故C错误；
根据集合的互异性可知，一个集合中不可以有两个相同的元素，故D正确.
故选：D．
21．C
【解析】
【分析】
直接根据条件列举即可.
【详解】
解：因为，可得；
所以.
故选：C
22．B
【解析】
【分析】
根据集合元素的互异性，得到不等式组，可以求出不能取的值，就可以确定不能取值的个数.
【详解】
由题意可知：且且，故集合中的不能取的值的个数是3个，故本题选B.
【点睛】
本题考查了集合元素的互异性，正确求出不等式的解集是解题的关键.
23．D
【解析】
【分析】
根据集合的定义分析判断即可.
【详解】
对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于B，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于C， 的近似值没有明确近似到小数点后面几位，
不是明确的定义，故不能构成集合；
对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；
故选：D.
24．C
【解析】
【分析】
根据题意利用列举法写出集合，即可得出答案.
【详解】
解：因为，
所以中含6个元素．
故选：C.
25．C
【解析】
【分析】
首先求出集合，再根据元素与集合的关系求出参数的取值范围;
【详解】
解：因为集合，所以，
又因为，则，即，
故选：．
【点睛】
本题考查元素与集合的关系，属于基础题.
26．B
【解析】
利用实数的理论和元素与集合之间的关系即可得出．
【详解】
解：（1），正确；
（2）是无理数，，不正确；
（3），正确；
（4），不正确．
（5）∵0是自然数，∴，不正确.
综上可知：正确命题的个数为2．
故选：．
【点睛】
本题借助于几个数所属数集的关系，着重考查了集合的元素与集合的关系和大写字母表示数集的含义等知识点，属于基础题．
27．A
【解析】
分别令、或，再根据集合的互异性即可求解.
【详解】
当时，，
当时，三个数分别为2，4，1，符合元素的互异性；
当时，三个数分别为2，2，-1，不符合元素的互异性；
当时，三个数分别为2，2，-1，不符合元素的互异性；
当时，三个数分别为5，5，2，不符合元素的互异性.
所以实数a的值可能为1，只有一个.
故选：A
【点睛】
本题考查了集合的互异性，考查了基本计算以及基本知识的掌握情况，属于基础题.
28．C
【解析】
【分析】
先求出集合A，再对照四个选项一一验证.
【详解】
①当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；
②当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；
③当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；
④当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1，
∴集合A＝{－1，3}．∴－1∈A.
故选：C
29．D
【解析】
【分析】
对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.
【详解】
解：①当时，，此时满足条件；
②当时，中只有一个元素的话，，解得，
综上，的取值集合为，．
故选：D．
30．C
【解析】
①②③都可以写成的形式，验证是否是有理数，④计算的平方验证，判断.
【详解】
①当时，可得，这与矛盾，
②
，可得 ，都是有理数，所以正确，
③，
，可得，都是有理数，所以正确，
④
而 ，
，
是无理数，
不是集合中的元素，
只有②③是集合的元素.
故选：C
【点睛】
本题考查元素与集合的关系，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.
31．C
【解析】
【分析】
根据被除的余数可确定①②的正误；设，，可知被整除，知③正确；设，，可推得结果，知④正确.
【详解】
对于①，，，①正确；
对于②，，即被除余，，②错误；
对于③，设，，，能被整除，
，③正确；
对于④，设，，即，，
不妨令，，，
则，，，，
属于同一“类”， ④正确；
综上所述：正确结论的个数为个.
故选：.
【点睛】
本题考查集合中的新定义的问题，解题关键是明确新定义的具体含义，即通过余数分类，考查学生分析和解决问题的能力.
32．AC
【解析】
【分析】
解方程组可得集合中的元素为有序数对，根据集合的表示方法可得答案.
【详解】
由得即，
所以根据集合的表示方法知A，C与集合M表示的是同一个集合，
故选：AC.
【点睛】
本题考查同一集合问题，考查集合的表示方法，属于基础题.
33．ABD
【解析】
分别令等于，判断是否为整数即可求解.
【详解】
对于选项A：，存在或使得其成立，故选项A正确；
对于选项B：，存在，使得其成立，故选项B正确；
对于选项C：由，可得，，
若则可得， ，不成立；
若则可得， ，不成立；
若，可得，此时， ，不成立；
同理交换与，也不成立，所以不存在为整数使得成立，故选项C不正确；
对于选项D：，此时存在或使得其成立，故选项D正确，
故选：ABD.
34．AB
【解析】
【分析】
利用描述法的定义逐一判断即可.
【详解】
对A，是不大于9的非负奇数表示的集合是，故A正确；
对B，且表示的集合是，故B正确；
对C，表示的集合是，故C错误；
对D，表示的集合是，故D错误.
故选：AB.
35．－15
【解析】
根据{(x，y)|(2，1)}是关于x，y的方程组的解集，代入求得即可.
【详解】
∵{(x，y)|(2，1)}是关于x，y的方程组
的解集，
∴,
解得
∴(a＋b)(a－b)＝(－1＋4)×(－1－4)＝－15.
故答案为：-15
36．
【解析】
根据题意，由列举法，即可得出结果.
【详解】
因为，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查列举法表示集合，属于基础题型.
37．且
【解析】
【分析】
由得结论．
【详解】
由题意，且，
故答案为且.
【点睛】
本题考查集合中元素的性质：互异性，属于基础题．
38．
【解析】
解方程可得答案.
【详解】
由得或，
所以方程的解集为.
故答案为：
39．或##或
【解析】
【分析】
根据元素与集合关系列方程，再验证互异性即得结果.
【详解】
因为，所以或，解得或
故答案为：或
40．（1）或；（2）；（3）或.
【解析】
【分析】
根据集合中元素的个数以及方程的解即可确定的取值范围.
【详解】
解：（1）若中只有一个元素，
则当时，原方程变为，此时符合题意，
当时，方程为一元二次方程，，即，
故当或时，原方程只有一个解；
（2）中至少有一个元素，
即中有一个或两个元素，
由得综合（1）当时中至少有一个元素；
（3）中至多有一个元素，
即中有一个或没有元素
当，
即时原方程无实数解，
结合（1）知当或时中至多有一个元素.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是理解集合中的元素与方程的根之间的关系.
41．(1)
(2)7
(3)不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用集合的生成集定义直接求解.
（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；
（3）不存在，理由反证法说明.
(1)
，
(2)
设，不妨设，
因为，所以中元素个数大于等于7个，
又，，此时中元素个数大于等于7个，
所以生成集B中元素个数的最小值为7.
(3)
不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，
不妨设，则集合A的生成集
则必有，其4个正实数的乘积；
也有，其4个正实数的乘积，矛盾；
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集
【点睛】
关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.
试卷第1页，共3页

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