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1.2 集合间的基本关系
【考点梳理】
一、子集与真子集的定义与表示
1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A B(或B A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．
2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA)
【注意】
（1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)．
（2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系．
例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2 B，所以A不是B的子集；
同理，因为3∈B，但3 A，所以B也不是A的子集．
二、空集
1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 ，
并规定：空集是任何集合的子集．
在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：
（1）空集只有一个子集，即它本身；
（2）空集是任何非空集合的真子集．
2、0，{0}， ，{ }的关系
与0 与{0} 与{ }
相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合
不同点 是集合；0是实数 中不含任何元素；{0}含一个元素0 不含任何元素；{ }含一个元素，该元素是
关系 0 {0} { }或 ∈{ }
三、子集的性质
（1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有 A.
（2）任何一个集合A都是它本身的子集，即A A.
（3）如果A B，B C，则A C.
（4）如果AB，BC，则AC.
【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论A＝ 和A≠ 两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面．
四、子集的个数
如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个．
（2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个．
（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
五、韦恩图
在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。
【注意】
（1）表示集合的韦恩图是是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。
（2）维恩图的有点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意区分大小关系。
【题型归纳】
题型一 判断集合间的包含关系
1．以下六个写法中：①；② ；③；④ ；⑤；正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．判断下列表述是否正确：
（1）；( )
（2）；( )
（3）；( )
（4）；( )
（5）；( )
（6）；( )
（7）；( )
（8）．( )
3．已知集合则的关系为（ ）
A． B． C． D．
题型二 确定集合的子集和真子集
4．定义，，，设集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，则A*B集合的真子集的个数是（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
5．集合的子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
6．集合的真子集个数是__________.
题型三 集合相等及其应用
7．已知集合， 若， 则 （ ）
A．3 B．4 C． D．
8．下列集合中表示同一集合的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
9．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为____.
题型四 根据集合的包含关系求参数
10．已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知集合若求实数的取值范围．
12．已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．
(1)若M N，求实数a的取值范围；
(2)若M N，求实数a的取值范围．
【双基达标】
一、单选题
13．下列集合与集合相等的是（ ）
A． B．
C． D．
14．若，则实数（ ）
A． B．0 C．1 D．0或1
15．下列表述正确的是（ ）
A． B． C． D．
16．设集合，若，则等于（ ）
A．0 B．1
C．2 D．－1
17．已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
18．已知集合，则=（ ）
A．或 B．或3 C．1或 D．1或3
19．已知集合满足，则集合A可以是（ ）
A． B． C． D．
20．已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（ ）
A． B． C． D．
21．设集合，，则（ ）
A． A B．A C． D．
22．已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
23．已知集合，非空集合A满足，则符合条件的集合A的个数为（ ）
A． B． C． D．
24．已知集合，、、为非零实数 ，则的子集个数是（ ）
A． B． C． D．
25．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
26．下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）
A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B．M＝{3，2}，N＝{2，3}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{3，2}，N＝{(3，2)}
27．已知S1，S2，S3为非空集合，且S1，S2，S3 Z，对于1，2，3的任意一个排列i，j，k，若x∈Si，y∈Sj，则x－y∈Sk，则下列说法正确的是（ ）
A．三个集合互不相等 B．三个集合中至少有两个相等
C．三个集合全都相等 D．以上说法均不对
28．设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
29．下列说法正确的是（ ）
A．0∈ B． {0} C．若a∈N，则-a N D．π Q
30．已知集合，，若，则实数的值可能是（ ）
A． B． C． D．
31．已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的值是（ ）
A． B． C． D．
32．下列正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
33．下列集合：
①；②；③；④；⑤．
表示空集的有_______
34．已知集合，若，则______.
35．已知，且中至少有一个奇数，则这样的集合共有______个．
36．已知集合，，若，则实数的取值范围是____________．
37．已知集合，、、为非零实数，则的子集个数______
38．已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若，则实数a的取值范围是________．
四、解答题
39．已知集合．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围．
40．一个含有三个元素的集合可以表示为，也可以表示为，求的值．
41．已知集合A=或，B={x|2a≤x≤a+3}，若B A，求实数a的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据元素与集合以及集合与集合之间的关系表示方法作出判断即可.
【详解】
对于①：是集合与集合的关系，应该是，①不对；
对于②：空集是任何集合的子集，，②对；
对于③：是一个集合，是集合与集合的关系，，③不对；
对于④：根据集合的无序性可知，④对；
对于⑤：是空集，表示没有任何元素，应该是，⑤不对；
正确的是：②④．
故选：B．
2． 不正确 不正确 正确 正确 不正确 不正确 正确 正确
【解析】
【分析】
（1）由判断；（2）由可判断；（3）由可判断；（4）由可判断；（5）由可判断；（6）由可判断；（7）由空集是任何集合的子集可判断；（8）由空集是任何非空集合的真子集可判断．
【详解】
（1）因为，所以错误，故（1）不正确；
（2）因为，所以错误，故（2）不正确；
（3）因为，所以正确，故（3）正确；
（4）因为，所以（4）正确；
（5）因为，所以错误，故（5）不正确；
（6）因为，所以错误，故（6）不正确；
（7）因为空集是任何集合的子集，所以正确，所以（7）正确；
（8）因为空集是任何非空集合的真子集，所以正确，故（8）正确．
故答案为：（1）不正确；（2）不正确；（3）正确；（4）正确；（5）不正确；（6）不正确；（7）正确；（8）正确．
3．C
【解析】
【分析】
由，即可判断集合的关系.
【详解】
解：因为，，
所以.
故选：C．
4．B
【解析】
【分析】
先求出集合A*B＝{1，2，3，4}，由公式求出集合A*B的真子集的个数
【详解】
∵A＝{0，1}，B＝{1，2，3}，
∴A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}＝{1，2，3，4}，
则A*B集合的真子集的个数是24﹣1＝15个，
故选：B
5．B
【解析】
【分析】
将给定的集合用列举法表示出，再直接计算作答.
【详解】
集合，集合A含有3个元素，
所以集合A的子集个数是.
故选：B
6．
【解析】
【分析】
先化简集合，再利用公式即可求得集合的真子集个数
【详解】
则集合的真子集的个数是.
故答案为：
7．D
【解析】
【分析】
依题意可得，且，即可得到和为方程的两个实数根，从而得解；
【详解】
解：因为且，
所以，且，
又，
所以和为方程的两个实数根，
所以；
故选：D
8．B
【解析】
【分析】
根据集合相等,检查集合中的元素是否一样即可判断.
【详解】
选项A，集合，为点集，而点与点为不同的点，故A错；选项C，集合为点集，集合为数集，故C错；选项D，集合为数集，集合为点集，故D错；选项B，集合，表示的都是“大于的实数”，为同一个集合．
故选：B
9．
【解析】
【分析】
根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解.
【详解】
解：由题意，若，则或，检验可知不满足集合中元素的互异性，
所以，则，
所以，则，
故.
故答案为：.
10．A
【解析】
【分析】
直接由，可得的取值范围
【详解】
因为，，且，
所以，
即的取值范围是，
故选：A
11．
【解析】
【分析】
根据集合的包含关系得不等关系，注意分类讨论不等式的解的情况．
【详解】
集合，，
若，一定非空，
若，得，，成立，
若，即或者，设，
(1)，
即，对称轴所以，
(2)，
即，对称轴，不成立，
综上，．
12．(1)a∈
(2)a≤3
【解析】
【分析】
（1）利用M N，建立不等关系即可求解；
（2）利用M N，建立不等关系即可求解，注意当N＝ 时，也成立
(1)
∵M N，∴，∴a∈ ；
(2)
①若N＝ ，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M N．
②若N≠ ，即a≥2时，要使M N成立，
则，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．
综上a≤3．
13．C
【解析】
【分析】
通过确认各个选项中的集合中的元素即可得到结果.
【详解】
集合表示数字和的集合.
对于A：集合中的元素代表点，与集合不同，A错误；
对于B：集合中的元素代表点，与集合不同，B错误；
对于C：由得：或，与集合元素相同，C正确；
对于D：表示两个代数式的集合，与集合不同，D错误.
故选：C.
14．C
【解析】
【分析】
根据集合的确定性，互异性，即可求得答案.
【详解】
因为，根据集合性质可得：.
故选：C
15．C
【解析】
【分析】
根据元素与集合，集合与集合的关系判断即可；
【详解】
解：对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故满足，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：C
16．C
【解析】
【分析】
根据元素的确定性可得或，再利用元素的互异性可确定，，从而可得正确的选项.
【详解】
由，得或.
当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，，则或，由上知不合适，故，，
则.
故选：C.
【点睛】
本题考查集合相等的性质以及集合元素的确定性和互异性，一般地，我们利用确定性求值，利用互异性取舍，本题属于基础题.
17．A
【解析】
【分析】
先求出集A，B，再由件，确定集合C即可
【详解】
解：由题意得,
因为
所以，
所以集合C的个数为集合的非空子集的个数为，
故选：A.
18．B
【解析】
【分析】
利用集合的包含关系可得或，求出，再根据集合的互异性即可求解.
【详解】
因为集合，，且，所以或，
若，则，满足；
若，则或，
当时，，满足；
当时，集合A中元素不满足互异性，舍去，
故选：B.
19．D
【解析】
【分析】
由题可得集合A可以是，.
【详解】
，
集合A可以是，.
故选：D.
20．D
【解析】
由图可得，由选项即可判断.
【详解】
解：由图可知：，
，
由选项可知：，
故选：D.
21．B
【解析】
【分析】
分和两种情况得出集合A，由此可得选项.
【详解】
解：对于集合A，当，时，，
当，时，,所以或，所以A，
故选：B．
22．A
【解析】
【分析】
首先确定集合的元素个数，接着根据公式求出集合的所有子集个数，减掉集合本身得出结果即可.
【详解】
因为集合，画出如下示意图：
由图可知集合有9个元素，集合的所以子集的个数为，
所以集合的真子集的个数为，
故选：A.
【点睛】
集合有n个元素,则集合的所有子集个数为，集合的所有非空子集个数为，集合的所有真子集个数为，集合的所有非空真子集个数为；
23．A
【解析】
【分析】
由题可得符合条件的集合A的个数即为的非空子集个数.
【详解】
根据题意，得，即求的非空子集个数，
，的非空子集个数是，
所以集合A的个数是3．
故选：A．
24．D
【解析】
【分析】
分都是正数，都是负数，中有一个是正数，另两个是负数，中有两个是正数，另一个是负数四种情况分别得出m的值，从而求得集合M的元素的个数，由此可得出集合M的子集的个数.
【详解】
因为集合，、、为非零实数 ，
所以当都是正数时，；
当都是负数时，；
当中有一个是正数，另两个是负数时，，
当中有两个是正数，另一个是负数时，，
所以集合M中的元素是3个，所以的子集个数是8，
故选：D.
25．D
【解析】
【分析】
根据子集的概念求得参数的值可得．
【详解】
时，满足题意，
时，得，所以或，或，
所求集合为．
故选：D．
26．B
【解析】
【分析】
根据同一集合的概念进行判断即可．
【详解】
对于A：M，N都是点集，与是不同的点则M，N是不同的集合，故不符合；
对于B：M，N都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，复合要求；
对于C：M是点集，表示直线上所有的点，而N是数集，表示函数的值域，则M，N是不同的集合，故不符合；
对于D：M是数集，表示1，2两个数，N是点集，则M，N是不同的集合，故不符合；
故选：B．
【点睛】
本题考查集合的概念和同一集合的意义，解题的关键在于分析集合的意义，认清集合中元素的性质．
27．B
【解析】
【分析】
根据条件，若x∈Si，y∈Sj，则y﹣x∈Sk，从而(y－x)－y＝－x∈Si，这便说明Si中有非负元素，从而三个集合中都有非负元素．可以看出若0∈Si，任意x∈Sj，都有x－0＝x∈Sk，从而说明Sj Sk，而同理可得到Sk Sj，从而便可得出Sj＝Sk，这便得出3个集合中至少有两个相等．
【详解】
解：若x∈Si，y∈Sj，则y－x∈Sk，从而(y－x)－y＝－x∈Si，所以Si中有非负元素，由i，j，k的任意性可知三个集合中都有非负元素，若三个集合都没有0，则取S1∪S2∪S3中最小的正整数a(由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a存在)，不妨设a∈S1，取S2∪S3中的最小正整数b，并不妨设b∈S2，这时b＞a(否则b不可能大于a，只能等于a，所以b－a＝0∈S3，矛盾)，但是，这样就导致了0＜b－a＜b，且b－a∈S3，这时与b为S2∪S3中的最小正整数矛盾，∴三个集合中必有一个集合含有0．∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设0∈S1，则对任意x∈S2，有x－0＝x∈S3，∴S2包含于S3，对于任意y∈S3，有y－0＝y∈S2，∴S3包含于S2，则S2＝S3，综上所述，这三个集合中必有两个集合相等，
故选：B．
28．D
【解析】
【分析】
解绝对值不等式得到集合，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.
【详解】
集合，
或
又，所以或
即或，即
所以的取值范围为
故选：D
29．BD
【解析】
利用集合与集合和元素与集合的关系，逐一判断四个选项的正误.
【详解】
空集中没有元素，A错误；空集是任何集合的子集，B正确；若a＝0，0∈N，C错误；π不是有理数，D正确.
故选：BD
30．ABC
【解析】
由可得出关于实数的不等式组，解出实数的取值范围，进而可得出实数的可能取值.
【详解】
，且，所以，，解得.
因此，ABC选项合乎题意.
故选：ABC.
31．ABC
【解析】
【分析】
分析可知，集合为单元素集合，分与两种情况讨论，结合方程只有一根可求得实数的值.
【详解】
由于集合有且仅有两个子集，则集合为单元素集合，即方程只有一根.
①当时，方程为，解得，合乎题意；
②当时，对于方程，，解得.
综上所述，或.
故选：ABC.
32．ACD
【解析】
【分析】
先求出方程的解，则集合可知，由此可判断各选项的对错.
【详解】
因为，所以，所以，
A．，故正确；
B．因为，故B错误；
C．空集是任何集合的子集，，故正确；
D．任何集合都是它本身的子集，，故正确；
故选：ACD.
33．②④##④②
【解析】
【分析】
由空集的概念，结合各项集合的描述及表示判断空集即可.
【详解】
，故为空集；为空集，而、、均不是空集.
故答案为：②④
34．2
【解析】
根据题意，可得或，求得验证是否满足互异性即可.
【详解】
依题意或，
解得或；
由集合中元素的互异性可知，当时，集合的两个元素相等，不合题意；
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查根据元素与集合的关系求参数值，属简单题.
35．12
【解析】
【分析】
（1）直接列举出所有满足题意的子集，并计数即可.
（2）“至多”、“至少”问题宜采用间接法：先求出集合的所有子集数，然后列举出不含奇数的子集，并计数，即可得解.
【详解】
解法一（直接法）：集合的至少含有一个奇数的子集有：，，，，，，，，，，，，共12个.
故答案为：12.
解法二（间接法）：集合的子集个数为，即16个.其中不含奇数的子集有：，，，，共4个. 16-4=12个.即这样的集合A共有12个.
故答案为：12.
36．
【解析】
【分析】
分情况讨论：当或，根据集合的包含关系即可求解.
【详解】
当时，有，则；
当时，若，如图，
则解得．
综上，的取值范围为．
故答案为：
37．8
【解析】
【分析】
按、、的正负分情况计算m值，求出集合M的元素个数即可得解.
【详解】
因为集合，、、为非零实数，
当、、都是正数时，m=4，当、、都是负数时，m=-4，
当、、中有一个是正数，另两个是负数时，m=0，当、、中有两个是正数，另一个是负数时，m=0，
于是得集合M中的元素有3个，所以M的子集个数是8.
故答案为：8
38．a<－4或a>2
【解析】
【分析】
按集合A为空集和不是空集两种情况去讨论即可求得实数a的取值范围.
【详解】
①当a>3即2a>a＋3时，A＝，满足；.
②当a3即2aa＋3时，若，
则有，解得a<－4或2综上，实数a的取值范围是a<－4或a>2.
故答案为：a<－4或a>2
39．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由，分类讨论当和两种情况，解不等式即可得出实数的取值范围；
（2）根据题意，由，得出，解不等式即可求实数的取值范围．
(1)
解：由题可知，，，
①若，则，即；
②若，则，解得：；
综合①②，得实数的取值范围是．
(2)
解：已知，，，
则，解得：，
所以实数的取值范围是．
40．1
【解析】
【分析】
依题意可得，则，即可求出，再由，即可求出，即可得解；
【详解】
解：因为，所以，则，即，即，所以，解得或，又，所以，所以
41．或
【解析】
【分析】
根据子集的性质，结合数轴进行求解即可.
【详解】
当时，只需2a>a+3，即a>3；
当时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或，解得或.
综上可得，实数a的取值范围为：或
试卷第1页，共3页

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