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1.4 充分条件与必要条件
【考点梳理】
一、充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件q是p的必要条件 p不是q的充分条件q不是p的必要条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
【注意】
（1）前提p q，有方向，条件在前，结论在后；
（2）p是q的充分条件或q是p的必要条件；
（3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p；
“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”．
二、充分必要条件与集合的关系
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A B可得，p是q的充分条件，
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若A B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
充分必要条件判断精髓：
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；
若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
【题型归纳】
题型一 充分条件、必要条件的判断
1．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．
3．已知x，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型二 利用充分条件、必要条件求参数范围
5．设，，若“”是“”的充要条件，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．设p：x＞a，q：x＞3.
(1)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围.
7．已知，设.
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
8．“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
9．“，使得成立”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
题型三 充分性与必要性的证明
10．已知a，b，c均为实数，证明“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.
11．求证：一个三角形是钝角三角形的充要条件是三角形内有一条边的平方大于另两条边的平方和．
12．已知都是正数．求证：“”的充要条件是“”．
【双基达标】
一、单选题
13．“学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知，则“”是“且”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
15．设，则“”关于的方程“有实数根”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．已知实数，，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
17．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．已知，，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分不必要条件
19．设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
20．2019年12月，湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例．2020年1月12日，世界卫生组织正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2019新型冠状病毒”．2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19（新冠肺炎） 新冠肺炎患者症状是发热 干咳 浑身乏力等外部表征 “某人表现为发热 干咳 浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的（ ）．
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
21．设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
22．若，则“”是 “”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
23．设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
24．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
25．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
26．2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
27．若、为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
28．若，，则是的条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
29．设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
30．关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
31．使“”成立的必要不充分条件是（ ）
A．， B．， C．， D．，
32．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中能成为的充分条件的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
33．已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（ ）
A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件
C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件
三、填空题
34．若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是________．
35．已知，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是____________．
36．已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_________．
37．已知，，则是的_______________（充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择一个填空）．
38．已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______．
四、解答题
39．已知P＝{x|a－440．已知，q：{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．
（1）若m＝1，则p是q的什么条件？
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
41．已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|-2≤x≤5}.
(1)若a=3，求；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，求实数a的取值范围.
42．已知：，:.
(1)当时，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
43．在①“xA是xB的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合，.
（1）当a=2时，求；
（2）若选 ，求实数a的取值范围.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据充分与必要条件的概念，举例判断即可
【详解】
当时，满足，但不满足；又当时，满足，但不满足.故“”是“”的既不充分也不必要条件
故选：D
2．D
【解析】
【分析】
方程有实数解，则，解得m范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】
解：因为方程有实数解，
所以，解得，
所以方程有实数解的一个必要不充分条件为.
故选：D.
3．C
【解析】
【分析】
求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
因为，所以，则“”两边同除以即可得到“”，反过来同乘以即可，故“”是“”的充要条件．
故选：C.
4．A
【解析】
【分析】
首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】
解：因为，所以，，，
或，
当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；
当或时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．C
【解析】
【分析】
解不等式可得、的值，即可得解.
【详解】
解不等式可得，由题意可知，，因此，.
故选：C.
6．(1)a＜3
(2)a＞3
【解析】
【分析】
设，
（1）若p是q的必要不充分条件，则，进而可得的范围．
（2）若p是q的充分不必要条件，则，进而可得的范围．
(1)
设，
∵p是q的必要不充分条件，∴，
∴
(2)
∵p是q的充分不必要条件，∴，
∴．
7．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先分别解出集合，，由“”是“”的充分不必要条件，得到，列不等式，即可求得；
（2）先求出，由“”是“”的必要不充分条件，得到，即可求出实数a的取值范围.
（1）（1）因为，解得：，所以.又因为，即，所以或，即，因为“”是“”的充分不必要条件，则有，所以有，即且，所以实数a的取值范围是.
（2）因为，所以，又“”是“”的必要不充分条件，则，即，所以实数a的取值范围是.
8．A
【解析】
【分析】
根据不等式在R上恒成立，求得，再由，说明不等式在R上恒成立，即可得答案.
【详解】
∵不等式在R上恒成立，
∴ ，解得，
又∵，∴，则不等式在R上恒成立，
∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件,
故选:A.
9．A
【解析】
【分析】
由题可得等价于，求出最大值即可.
【详解】
，，等价于，
又，当且仅当时等号成立，
即，故．
故选：A．
10．答案见解析
【解析】
利用韦达定理和根与系数的关系先判断出前者成立能推出后者成立，反之后者成立能推出前者成立，利用充要条件的定义得到结论
【详解】
证明：若成立，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的判别式，且两根之积，
所以关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根成立，即充分性成立，
反之，若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根成立，则两根之积，
所以成立，即必要性成立，
综上，“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的判别式的应用以及一元二次方程的根与系数的关系，考查充要条件的证明，属于基础题
11．见解析
【解析】
【分析】
根据余弦定理即可证明．
【详解】
证明：必要性：设一个三角形ABC是钝角三角形，不妨设边c最大，则角C为钝角，
则，所以，即，
即有一条边的平方大于另两条边的平方和；
充分性：当三角形中有一条边的平方大于另两条边的平方和时，
不妨设，则，
所以角C为钝角，所以三角形ABC是钝角三角形，
所以一个三角形是钝角三角形的充要条件是三角形内有一条边的平方大于另两条边的平方和．
12．证明见解析
【解析】
【分析】
利用不等式的性质，结合充要条件的定义证明即可．
【详解】
证明：必要性：若，
，，
，，即，，，，即，必要性得证；
②充分性：若，，，，
，，不等式两边同时除以，
即得到，充分性得证.
综上，的充要条件是．
13．B
【解析】
直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】
因为若“学生甲在沧州市”则“学生甲一定在河北省”，必要性成立；
若“学生甲在河北省”则“学生甲不一定在沧州市”，充分性不成立，
所以“学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的必要不充分条件，
故选：B．
14．B
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性即可.
【详解】
，若，则的大小无法确定，不能得出且，故充分性不成立，
若且，则，故必要性成立，
“”是“且”的必要而不充分条件.
故选：B.
15．A
【解析】
以为条件，判断有实数根是否成立；以有实数根为条件，判断是否成立，即可选出正确答案.
【详解】
解：当时， ，此时有实数根；
当有实数根时，，即.
故选:A.
【点睛】
本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步，若，则 是 的充分条件；若，则 是 的必要条件.
16．A
【解析】
【分析】
首先求出当时，，再由充分条件、必要条件的定义即可得出选项.
【详解】
若，则，
当时，推不出；反之，成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：A
17．B
【解析】
【分析】
判断命题：“若，则”和命题“若，则”的真假即可得解.
【详解】
当时，或，即命题“若，则”是假命题，
而时，成立，即命题“若，则”是真命题，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
18．A
【解析】
【分析】
根据充分和必要条件的定义即可求解.
【详解】
由，可得出，
由，得不出，
所以是的充分而不必要条件，
故选：A.
19．C
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解法，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】
由，
由不一定能推出，但是由一定能推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：C
20．A
【解析】
【分析】
根据充分必要的定义，即可得出结论.
【详解】
表现为发热、干咳、浑身乏力者不一定是感染新型冠状病毒，
或者只是普通感冒等；而新型冠状病毒感染者早期症状表现为发热、
干咳浑身乏力等外部表征．因而“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”
是“该人患得新型冠状病毒”的必要不充分条件．
故选：A．
【点睛】
本题考查必要不充分条件的判定，属于基础题.
21．B
【解析】
分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】
化简不等式，可知 推不出；
由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选B．
【点睛】
本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．
22．A
【解析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】
当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【点睛】
易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
23．B
【解析】
【分析】
求出的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】
等价于，故推不出；
由能推出．
故“”是“”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】
充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p q，q p进行判断；
(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
24．A
【解析】
【分析】
由和充要条件的定义，可得答案.
【详解】
若，则，当且仅当时取等号；
若，则.
所以 “”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题考查的知识是充要条件的判断，正确理解并熟练掌握充要条件的定义，是解答的关键，属于基础题．
25．A
【解析】
【分析】
首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】
求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
26．C
【解析】
【分析】
因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．
【详解】
因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，
则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；
而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，
故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，
故选：C．
27．D
【解析】
【分析】
利用推理判断或举特例说明命题“若，则”和“若，则”的真假即可作答.
【详解】
若成立，取，而，即命题“若，则”是假命题，
若成立，取，而，即命题“若，则”是假命题，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
28．A
【解析】
【分析】
利用充分性与必要性定义判断即可.
【详解】
由题意可得
∴是的充分不必要条件
故选A
【点睛】
充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用 与非 非， 与非 非， 与非 非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若 ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
29．B
【解析】
【分析】
先求出的解集，再根据集合间的关系即可求解.
【详解】
解：由，
解得：或，
设，，
又，
故“”是“”的必要非充分条件.
故选：B.
30．D
【解析】
【分析】
由题意可知，是不等式解集的一个真子集，然后对与的大小关系进行分类讨论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数的取值范围.
【详解】
由题可知是不等式的解集的一个真子集.
当时，不等式的解集为，此时 ；
当时，不等式的解集为，
，合乎题意；
当时，不等式的解集为，
由题意可得 ，此时.
综上所述，.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题.
31．BCD
【解析】
根据不等式的关系结合必要不充分条件分别进行判断即可．
【详解】
解：若，，则，
，
，即，则不一定成立；故错误，
若，当，，，有成立，反之不一定成立；故满足条件．
，由得，
，，即
则成立，故满足条件，
若，当，，，有成立，反之不一定成立；故满足条件．
故选：BCD．
【点睛】
本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题．
32．AD
【解析】
【分析】
由不等式的性质和充分必要条件逐一判断，可得选项.
【详解】
①由”可知，所以，故；
② 当时，；当时，，故，不能推出；
③ 由，得，但不能推出，故不能推出；
④ ．
故选：AD．
【点睛】
本题考查不等式的性质和充分必要条件的判断，属于基础题.
33．AB
【解析】
根据条件弄清楚之间的关系，然后逐一判断即可.
【详解】
由已知有
所以且，故A正确，C不正确
，B正确，且，D不正确
故选：AB
【点睛】
本题主要考查的是充分条件、必要条件的判断，属于基础题.
34．
【解析】
【分析】
由题，“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，可得答案.
【详解】
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以是的真子集，所以，
故答案为.
【点睛】
本题考查了不要不充分条件，属于基础题.
35．
【解析】
【分析】
设将满足p,q的x的集合即为A,B．已知条件转化为，根据集合间的关系列式可解得结果.
【详解】
∵“q是p的必要不充分条件”的等价命题是：是的充分不必要条件．
设．
是的充分不必要条件，所以．
（两个等号不能同时取到），
．
故答案为：.
【点睛】
本题考查了转化化归思想，考查了充分不必要条件和必要不充分条件,考查了集合间的关系，属于基础题.
36．
【解析】
由题可得 ，可求解.
【详解】
是的充分不必要条件，
，
需满足，解得，
综上，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．
37．充分条件
【解析】
【分析】
根据集合关系判断即可得答案.
【详解】
设命题对应的集合为,
命题对应的集合为,
因为,所以命题是命题的充分条件.
故答案为：充分条件.
【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）若是的既不充分又不必要条件，则对的集合与对应集合互不包含．
38．
【解析】
【分析】
设，，则，再对分两种情况讨论得解.
【详解】
记，，
因为p是q的充分条件，所以.
当时，，即，符合题意；
当时，，由可得，所以，即.
综上所述，实数的k的取值范围是．
故答案为：．
39．{a|－1≤a≤5}
【解析】
根据已知可得，确定集合的端点位置，即可求解.
【详解】
因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q P.
所以解得－1≤a≤5，
即a的取值范围是{a|－1≤a≤5}.
【点睛】
本题考查必要条件与集合间的关系，属于基础题.
40．（1）p是q的必要不充分条件；（2）m∈[9，＋∞)．
【解析】
【分析】
（1）分别求出p、q对应的集合，根据集合间的关系即可得出答案；
（2）根据p是q的充分不必要条件，则p对应的集合是q对应的集合的真子集，列出不等式组，解得即可得出答案.
【详解】
(1)因为＝{x|－2≤x≤10}，
若m＝1，则q：{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}＝{x|0≤x≤2}，
显然{x|0≤x≤2}{x|－2≤x≤10}，
所以p是q的必要不充分条件．
(2)由(1)，知p：{x|－2≤x≤10}，因为p是q的充分不必要条件，
所以，
所以，且和不同时取等号，
解得m≥9，即m∈[9，＋∞)．
41．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）将a=3代入求出集合P，Q，再由补集及交集的意义即可计算得解.
（2）由给定条件可得，再根据集合包含关系列式计算作答.
(1)
因a=3，则P={x|4≤x≤7}，则有或，又Q={x|-2≤x≤5}，
所以.
(2)
“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，于是得，
当a+1>2a+1，即a<0时，，又，即，满足，则a<0，
当时，则有或，解得或，即，
综上得：，
所以实数a的取值范围是.
42．(1)；(2).
【解析】
【分析】
(1)将代入即可求解；(2)首先结合已知条件分别求出命题和的解，写出，然后利用充分不必要的特征即可求解.
【详解】
(1)由题意可知，，解得，
故实数的取值范围为；
(2)由，解得或，
由，解得，
故命题：或；命题：，
从而：或，
因为是的充分不必要条件，
所以或或，
从而，解得，
故实数的取值范围为.
43．（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）当时，求出集合再根据并集定义求；
（2）选择有AB，列不等式求解即可；选择有同样列出不等式求解；选择因为，则或，求解即可．
【详解】
（1）当时，集合，，
所以；
（2）选择因为“” 是“”的充分不必要条件，所以AB，
因为，所以又因为，
所以 等号不同时成立，
解得，
因此实数a的取值范围是.
选择因为，所以.
因为，所以.
又因为，
所以，解得，
因此实数a的取值范围是.
选择因为，
而，且不为空集，，
所以或，
解得或，
所以实数a的取值范围是或．
试卷第1页，共3页

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