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第四章：数列
4.2.2　等差数列的前n项和公式
【考点梳理】
考点一　等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d
考点二　等差数列前n项和的性质
1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.
2．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
3．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝.
4．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝.
考点三　等差数列{an}的前n项和公式的函数特征
1．公式Sn＝na1＋可化成关于n的表达式：Sn＝n2＋n.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．
2．等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
(2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
大重难点规律总结：
(1)利用基本量求值：
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)结合等差数列的性质解题：
等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．
(3)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形
①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和．
②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和．
(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法
①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用
或来寻找．
②运用二次函数求最值．
知识点1　等差数列的前n项和公式
1．(5分)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
B　解析：设等差数列{an}的公差为d.
∵∴
∴a7＝a1＋6d＝13.
2．(5分)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝(　　)
A．58 B．88
C．143 D．176
B　解析：S11＝＝＝88.
3．(5分)设等差数列{an}的前10项和为20，且a5＝1，则{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B　解析：设等差数列{an}的公差为d.
∵∴
4．(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＝a4＋a5，S5＝60，则a5＝(　　)
A．16 B．20
C．24 D．26
A　解析：设等差数列{an}的公差为d.
∵a1＋a2＋a3＝a4＋a5，
∴3a1＋3d＝2a1＋7d，∴a1＝4d.
又∵S5＝5a1＋10d＝30d＝60，
∴d＝2，∴a1＝8.∴a5＝a1＋4d＝16.
5.(5分)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝________.
10　解析：设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝2＋6d＝14，∴d＝2，
∴Sn＝n＋×2＝n2，
即n2＝100，
解得n＝10或n＝－10(舍)．
知识点2　等差数列前n项和性质的应用
6．(5分)含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为(　　)
A． B．
C． D．
B　解析：∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝，
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝，
又∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝.故选B.
7．(5分)已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为(　　)
A．12 B．14
C．16 D．18
B　解析：由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，两式相加得a1＋an＝30.又因为Sn＝＝＝210，所以n＝14.
8.(5分)在等差数列{an}中，S3＝30，S6＝100，则S9＝________.
210　解析：∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，
即30,70，S9－100成等差数列，
∴140＝30＋S9－100，∴S9＝210.
9.(5分)在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－11，－＝2，则S11＝________.
－11　解析：由题意知，是等差数列，首项为＝－11，
设公差为d，则－＝2d＝2，∴d＝1，
∴＝－11＋10×1＝－1.∴S11＝－11.
10.(5分)(多选)数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．a1＝1 B．d＝－
C．a2＋a12＝10 D．S10＝40
ACD　解析：设数列{an}的公差为d，则由已知得S7＝，即21＝，解得a1＝1.又a7＝a1＋6d，所以d＝.所以S10＝10a1＋d＝10＋×＝40.由{an}为等差数列，知a2＋a12＝2a7＝10.
11．(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7＋a11＝12，则S13等于(　　)
A．52 B．54
C．56 D．58
A　解析：∵a3＋a7＋a11＝12，∴a7＝4，
∴S13＝＝13a7＝52.
12．(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝(　　)
A． B．
C． D．
A　解析：设等差数列{an}的公差为d，
∵＝＝，∴a1＝d.
∴＝＝＝.
13.(5分)已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.
5　解析：设等差数列{an}的公差为d，
∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.
14.(5分)若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9＝－36，S13＝－104，则a5与a7的等差中项为________．
－6　解析：设等差数列{an}的公差为d，
∵
∴
∵a5与a7的等差中项为a6，∴a6＝4＋5×(－2)＝－6.
15.(5分)在等差数列{an}中，a1>0，d＝，an＝3，Sn＝，则a1＝________，n＝________.
2　3　解析：由
得n2－13n＋30＝0，
∴n＝3或n＝10.
又当n＝3时，a1＝2>0；
当n＝10时，a1＝－<0，不合题意，舍去，
故a1＝2，n＝3.
16.(12分)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10＝30，a20＝50，Sn＝242，求n.
解：设等差数列{an}的公差为d，
由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，
得解得
∴an＝2n＋10.
∴Sn＝＝n2＋11n.
令n2＋11n＝242，解得n＝11或n＝－22(舍去).
17.(13分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且S2＝2，S3＝－6.
(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn.
(2)是否存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，说明理由．
解：(1)设{an}的公差为d，则
解得
∴an＝4－6(n－1)＝10－6n，
Sn＝na1＋d＝7n－3n2.
(2)存在．Sn＋Sn＋3＝7n－3n2＋7(n＋3)－3(n＋3)2＝－6n2－4n－6.
Sn＋2＝7(n＋2)－3(n＋2)2＝－3n2－5n＋2，
2(Sn＋2＋2n)＝2(－3n2－5n＋2＋2n)＝－6n2－6n＋4.
若存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列，
则－6n2－4n－6＝－6n2－6n＋4，解得n＝5，
∴存在n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列．

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