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第四章：数列
4.2.1　等差数列的概念
【考点梳理】
考点一　等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零．
考点二　等差中项的概念
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b.
考点三　等差数列的通项公式
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.
考点四　从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
等差数列的性质
考点一　等差数列通项公式的变形及推广
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝(m，n∈N*，且m≠n)．
其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．
②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.
③可用来由等差数列任两项求公差．
考点二　等差数列的性质
1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列 结论
{c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap.
3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．
4．等差数列{an}的公差为d，则d>0 {an}为递增数列；
d<0 {an}为递减数列；d＝0 {an}为常数列．
知识点1　等差数列及等差中项的概念
1．(5分)已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则B等于(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
B　解析：∵A，B，C成等差数列，
∴A＋C＝2B.又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.
2．(5分)已知等差数列的前4项分别是a，x，b,2x，则等于(　　)
A． B．
C． D．
C　解析：∵∴
∴＝.
知识点2　等差数列的通项公式
3．(5分)已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是(　　)
A．15 B．30
C．31 D．64
A　解析：数列{an}的首项为a1，设公差为d，则有
解得
故a12＝a1＋11d＝15.
4．(5分)在等差数列{an}中，已知a1＝，a4＋a5＝，ak＝33，则k＝(　　)
A．50 B．49
C．48 D．47
A　解析：∵a4＋a5＝2a1＋7d＝＋7d＝，∴d＝.
∴ak＝a1＋(k－1)·d＝＋(k－1)×＝k－＝33.∴k＝50.
5．(5分)在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在相邻两项之间各插入一个数，使之成等差数列，则新等差数列的公差为(　　)
A． B．－
C．－ D．－1
B　解析：新等差数列中，首项为8，第9项为2.
∴新公差d′＝＝＝－.
6．(5分)已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a4等于(　　)
A．15 B．23
C．7 D．29
B　解析：∵a3＋a8＝2a1＋9d＝22，a6＝a1＋5d＝7，
∴a1＝47，d＝－8，∴a4＝a1＋3d＝23.
知识点3　等差数列的判定与证明
7．(5分)已知数列{an}，a3＝2，a7＝1，若为等差数列，则a11＝(　　)
A． B．
C．1 D．2
A　解析：设的公差为d.
∵＝，＝，∴4d＝－＝，
∴d＝，∴＝＋8×＝，∴a11＝.
8．(5分)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知A，B，C，D，E五人分5钱，A，B两人所得与C，D，E三人所得相同，且A，B，C，D，E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱．”(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，E所得为(　　)
A．钱 B．钱
C．钱 D．钱
A　解析：由题意，设A所得为a－4d，B所得为a－3d，C所得为a－2d，D所得为a－d，E所得为a，则解得a＝，故E所得为钱．
9．(5分)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则a4＝(　　)
A． B．1
C． D．
A　解析：依题意得＝＝＋，－＝，故数列是以＝为首项，为公差的等差数列，则＝＋＝，an＝，所以a4＝.
10．(5分)已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(　　)
A．9 B．15
C．18 D．30
C　解析：由an＋1－an＝2可得数列{an}是等差数列，公差d＝2.又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.
11.(5分)若等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．a8 B．a9
C．a10 D．a11
B　解析：an＝a1＋(n－1)d＝70＋(n－1)×(－9)＝79－9n，
∴a8＝7，a9＝－2，a10＝－11，故绝对值最小的一项为a9.
12．(5分)已知在等差数列{an}中，a1＝－1，公差d＝2，an－1＝15，则n的值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
D　解析：an－1＝a1＋(n－2)d＝－1＋2(n－2)＝2n－5＝15，∴n＝10.
13．(5分)等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(　　)
A．8 B．12
C．16 D．24
C　解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由a2＝2，a5＝8，得解得
所以a9＝a1＋8d＝16.故选C．
14．(5分)已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，－＝1(n≥2，n∈N*)，则a1 024＝(　　)
A． B．
C． D．
D　解析：∵数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，－＝1(n≥2，n∈N*)，
∴数列是等差数列，公差为1，首项为1.
∴＝1＋(n－1)＝n，解得an＝.
∴a1 024＝＝.故选D．
15.(5分)已知{an}是公差为d的等差数列，若3a6＝a3＋a4＋a5＋12，则d＝________.
2　解析：∵3a6＝a3＋a4＋a5＋12＝3a4＋12，
∴a6－a4＝4，即2d＝4，∴d＝2.
16.(5分)若a，x1，x2，x3，b与a，y1，y2，y3，y4，y5，b均为等差数列，则＝________.
　解析：设两等差数列的公差分别为d1，d2，
则有b－a＝4d1＝6d2，∴d1＝d2.
∴＝＝＝.
17.(10分)在等差数列{an}中，已知a4＝70，a21＝－100.
(1)求首项a1与公差d，并写出通项公式；
(2)数列{an}中有多少项属于区间[－18,18]
解：(1)∵
∴
∴an＝a1＋(n－1)d＝100＋(n－1)×(－10)＝－10n＋110.
(2)令－18≤an≤18，即－18≤－10n＋110≤18，
得9.2≤n≤12.8.∵n∈N*，∴n＝10,11,12.
∴有3项在[－18,18]之间.
18.(10分)在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明：由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，
整理得－＝3(n≥2)，
所以数列是以1为首项，以3为公差的等差数列．
(2)解：由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，
所以an＝.

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