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苏教版（2019）高中数学一轮复习第19讲《用空间向量求角和距离》（解析版）
【知识梳理】
空空间角 定义 特殊情况 范围
线线角 把两异面直线平移到相交时两相交直线所成的角 两直线平行时角为
所成角为时称两直线垂直
线面角 平面的一条斜线与其在该平面内射影所成角 线面平行或线在平面内时线面角为
线面垂直时线面角为
二面角 在二面角的棱上一定向两个半平面内作垂直棱的垂线，这两条射线所成角 两个半平面重合时为
两个半平面成为一个平面时为
当二面角为时称两个平面垂直
空间距离 点面距 从平面外一点作平面的垂线，该点与垂足之间的距离 线面距和面面距转化为点面距
线面距 直线与平面平行时，直线上任一点到平面的距离
面面距 两个平面与平面平行时，一个平面内任一点到另一个平面的距离
空空间向量 重要概念 共面向量 一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平面内
空间基底 空间任何三个不共面的向量都可做空间的一个基底
基本定理 共线定理 （共线存在唯一实数，
共面定理 与、（不共线）共面存在实数对，使
基本定理 不共面，空间任意向量存在唯一的，使
立 立 立体几何中的向量方法 线面标志 方向向量 所在直线与已知直线平行或者重合的非零向量叫做直线的方向向量
法向量 所在直线与已知平面垂直的非零向量叫做平面的法向量
位置关系 线线平行 方向向量共线
线面平行 判定定理；直线的方向向量与平面的法向量垂直；使用共面向量定理
面面平行 判定定理；两个平面的法向量平行
线线垂直 两直线的方向向量垂直
线面垂直 判定定理；直线的方向向量与平面的法向量平行
面面垂直 定定理；两个平面的法向量垂直
空间角 线线角 两直线方向向量为，
线面角 直线的方向向量为，平面的法向量为，
二面角 两平面的法向量分别为和，则
空间距离 点线距 直线的方向向量为，直线上任一点为，点到直线的距离 两平行线距离 转化为点线距
点面距 平面的法向量为，平面内任一点为，点到平面的距离 线面距、面面距转化为点面距
二、【真题再现】
1、（2022全国甲卷理）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（）
A. B. AB与平面所成的角为
C. D. 与平面所成的角为
【答案】D
【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．
【详解】如图所示：
不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得．
对于A，，，，A错误；
对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；
对于C，，，，C错误；
对于D，与平面所成角为，，而，所以．D正确．故选：D．
2、（2022全国乙卷理）在正方体中，E，F分别为的中点，则（）
A. 平面平面 B. 平面平面
C平面平面 D. 平面平面
【答案】A
【分析】证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.
【详解】解：在正方体中，且平面，
又平面，所以，因为分别为的中点，
所以，所以，又，所以平面，
又平面，所以平面平面，故A正确；
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，
则，
，则，，
设平面的法向量为，
则有，可取，
同理可得平面的法向量为，平面的法向量为，
平面的法向量为，则，所以平面与平面不垂直，故B错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故D错误，
故选：A.
3、（2022新高考1卷）已知正方体，则（）
A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为
C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD所成的角为
【答案】ABD
【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.
【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，
因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；
连接，因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
又平面，所以，故B正确；
连接，设，连接，
因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
设正方体棱长为，则，，，
所以，直线与平面所成的角为，故C错误；
因为平面，所以为直线与平面所成角，易得，故D正确.故选：ABD
4、（2022浙江卷）如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先用几何法表示出，再根据边长关系即可比较大小．
【详解】如图所示，过点作于，过作于，连接，
则，，，
，，，
所以，故选：A．
5、（2022新高考1卷）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由等体积法运算即可得解；
（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
【小问1详解】
在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，
则，
解得，所以点A到平面的距离为；
【小问2详解】
取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得，所以，，所以，
则,所以的中点，
则，,
设平面的一个法向量，则，
可取，设平面的一个法向量，则，
可取，则，
所以二面角的正弦值为.
6、（2022全国乙卷理）如图，四面体中，，E为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明过程见解析（2）与平面所成的角的正弦值为
【分析】（2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.
【小问2详解】
连接，由（1）知，平面，因为平面，所以，所以，当时，最小，即的面积最小.因为，所以，又因为，所以是等边三角形，
因为E为的中点，所以，，因为，所以,
在中，，所以.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，
则，取，则，又因为，所以，所以，
设与平面所成的角的正弦值为，所以，
所以与平面所成的角的正弦值为.
7、（2022新高考2卷）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析（2）
【分析】（2）过点作，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；
【小问2详解】
解：过点作，如图建立平面直角坐标系，
因为，，所以，
又，所以，则，，
所以，所以，，，，所以，则，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，所以；设平面的法向量为，则，令，则，，所以；
所以
设二面角为，由图可知二面角为钝二面角，
所以，所以故二面角的正弦值为
8、（2022北京卷）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（2）见解析
【分析】（2）选①②均可证明平面，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.
【小问2详解】
因为侧面为正方形，故，
而平面，平面平面，
平面平面，故平面，
因为，故平面，
因为平面，故，
若选①，则，而，，
故平面，而平面，故，
所以，而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成角为，则
.
若选②，因为，故平面，而平面，
故，而，故，
而，，故，
所以，故，
而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
9、（2022全国甲卷理）在四棱锥中，底面
．
（1）证明：；（2）求PD与平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
【小问2详解】
解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，则，则，设平面的法向量，
则有，可取，则，
所以与平面所成角的正弦值为.
10、（2022上海卷）如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，AP＝AC＝2．（2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角的正弦值．
【分析】（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面PAC的法向量，即可求解．
【解答】（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，），B（，0，0），C（0，1，0），M（，，0），
＝（，，﹣），平面PAC的法向量＝（，0，0），
设直线PM与平面PAC所成角为θ，则直线PM与平面PAC所成角的正弦值为sinθ＝||＝＝．
11、（2022浙江卷）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（2）由（1）可知平面，过点做平行线，所以可以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出．
【小问2详解】
因为平面，过点做平行线，所以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设，则，
设平面的法向量为
由，得，取，
设直线与平面所成角为，
∴．
三、【考点精讲】
考点1 空间角（线线角）
【例1-1】（2021年全国高考乙卷）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接，因为∥，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，，所以.故选：D
【例1-2】（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（理））已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，的中点为，底面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设三棱柱的棱长为，，为的中点，则，
平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则点、、，
所以，，.
因此，异面直线与所成角的余弦值为.故选：D.
【例1-3】（2021·漠河市高级中学高三月考（理））如图所示，正方体中，点分别在上，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为3，则
，设EF与所成的角为，
则故选：C
【变式1-1】（2021·陕西宝鸡市·高三三模（理））已知圆锥的顶点为，高和底面的半径之比为，设是底面的一条直径，为底面圆周上一点，且，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆锥底面圆的圆心为，设圆锥的底面圆的半径为，以圆锥底面圆的圆心为原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则、、、，
，，
所以，，
，所以，，
因此，异面直线与所成的角为.故选：A.
【变式1-2】（2021·全国高三月考（理））底面为正三角形的直棱柱中，，，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，，
，
∴，故选：C
考点2 空间角（线面角）
【例2-1】（2021·福建三明市·三明一中高三其他模拟）如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，四边形为直角梯形，其中，，，E是的中点．
（1）求证：（2）若，求直线与平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（2）以A为坐标原点，分别以的正方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
由，知，不妨设则可知，，
∴），设平面的法向量为
则令，则∴
又故，设与平面所成的角为θ，则
.
【例2-2】（2021·山东高三其他模拟）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面，中，，，E，F分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成的角的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（2）由E，F分别是，的中点，，
又平面，平面，平面，
又平面，平面平面，.
以C为坐标原点，，所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
，∴可设，平面的一个法向量为，
则，取，得，
又，则.
∴直线与平面所成角的取值范围为.
【变式2-1】（2021·全国高三其他模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，为线段PD的中点．
（1）求证：；（2）求直线PB与平面CFB所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（2）由（1）知，
以所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
在中，因为，所以，
所以；因为平面，平面，所以.
因为，所以平面
可得
因为，所以，
所以，，.
设平面的一个法向量为，则，
所以，令，则4，所以
设直线与平面所成的角为，
则
【变式2-2】（2021·全国高三二模）如图，在三棱柱中，，，四边形是菱形，，，点是中点，点是上靠近点的三等分点.
（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（2）∵，，
由（1）可知，∴，，两两垂直，
如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标，
不妨设，则，，，，，.由，得，则的中点，
从而，.设平面的法向量为，则，即，不妨取，得，即.
则，所以直线与平面所成角的正弦值为。
【变式2-3】（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）已知四棱锥的底面是菱形，对角线、交于点，，，底面，设点满足．
（1）若三棱锥体积是，求的值；
（2）若直线与平面所成角的正弦值是，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为四边形是菱形，所以，
因为底面，所以、，
所以、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，
因为，所以，
于是，所以，
过作于，过作于，
所以
，解得．
（2）由（1）知，，，
设平面的一个法向量为，
，令，，
设直线与平面所成的角为，所以，
解得或（舍去）．
考点3 空间角（二面角）
【例3-1】（2021·全国高考真题（理））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以
因为，，所以，
又，所以平面．
所以两两垂直．
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
所以，
．
由题设（）．
（1）因为，
所以，所以．
（2）设平面的法向量为，
因为，
所以，即．
令，则
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则．
当时，取最小值为，
此时取最大值为．所以，此时．
【例3-2】（2021·北京高考真题）已知正方体，点为中点，直线交平面于点．
（1）证明：点为的中点；
（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】(2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方形，建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为2，设，则：，从而：，设平面的法向量为：，则：，
令可得：，设平面的法向量为：，则：
，令可得：，
从而：，
则：，
整理可得：，故（舍去）.
【变式3-1】（2021年全国高考乙卷） 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知条件得出，求出的值，即可得出的长；
（2）求出平面、的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法
平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、，
则，，
，则，解得，故；
[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法
如图，连结．因为底面，且底面，所以．
又因为，，所以平面．
又平面，所以．
从而．因为，所以．
所以，于是．所以．所以．
[方法三]：几何法+三角形面积法
如图，联结交于点N．
由[方法二]知．
在矩形中，有，所以，即．
令，因为M为的中点，则，，．
由，得，解得，所以．
（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法
设平面的法向量为，则，，
由，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
，
所以，，因此，二面角的正弦值为.
[方法二]：构造长方体法+等体积法
如图，构造长方体，联结，交点记为H，由于，，所以平面．过H作的垂线，垂足记为G．
联结，由三垂线定理可知，
故为二面角的平面角．
易证四边形是边长为的正方形，联结，．
，
由等积法解得．
在中，，由勾股定理求得．
所以，，即二面角的正弦值为．
【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.
（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.
【变式3-2】（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））如图，四边形ABEF为正方形，，AD⊥DC，AD=2DC=2BC，
（1）求证：点D不在平面CEF内；
（2）若平面ABCD⊥平面ABEF，求二面角A﹣CF﹣D的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（2）没，连接，在直角梯形中，过点作于点
因为，所以为的中点，所以，又，所以．因为四边形为正方形，
所以，又平面平面，平面平面
所以平面，所以．
以点B为坐标原点，射线BA，BD，BE分别为x，y，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，
取，则
设平面的法向量为，则由．可得
令，得，，即平面的一个法向量，
设平面的法向量，则由．可得
取，得，即平面的一个法向量为．
所以．二面角的余弦值
【变式3-3】（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，为棱的中点．
（1）证明：；
（2）若，，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）连接AC,BD交于O，取AD的中点F，连接EF，
∵PA=PD,∴PF⊥AD，
又∵面PAD⊥面ABCD，AD面ABCD，
∴PF⊥面ABCD，∴PF⊥AC，
又∵EF为△ABD中BD边的中位线
∴平行且等于
又菱形的对角线相互垂直平分，则BD⊥AC,
∵PF,EF面EFP，PFEF=F，
∴AC⊥面EFP，又PE面EFP，
∴
（2）连接BF，∵，则△ABD为正三角形，∵F为AD的中点，则BF⊥AD
又∵面PAD⊥面ABCD，AD平面PAD,∴BF⊥平面PAD，又DF平面PAD，∴BF⊥DF
以F为原点如图所示建立空间直角坐标系F-，设AD=2，则PA=AD=BP=2
则，
∴,
∴,,
设平面EPC的法向量为，
∴,即，令，得，
同理，设平面PCB的法向量为，
∴,即，令，得，
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
，故二面角的余弦值为.
考点4 空间距离（两点距）
【例4-1】（2021·河南濮阳市·高三一模（文））在棱长为的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，在平面内，，
所以点在平面内的轨迹为椭圆，取的中点为点，连接，以直线为轴，直线为建立如下图所示的空间直角坐标系，
则椭圆的半焦距，长半轴，该椭圆的短半轴为，
所以，椭圆方程为.
点在底面的投影设为点，则点为的中心，，
故点正好为椭圆短轴的一个端点，，则，
因为，故只需计算的最大值.设，则，
则，
当时，取最大值，
即，
因此可得，故的最大值为.故选：B.
【例4-2】（2020·全国高三专题练习（理））在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平行于平面，则线段长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，，2，，设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，设，2，，，，则，2，，平行于平面，，整理得，线段长度，
当且仅当时，线段长度取最小值．故选：D．
【变式4-1】（2020·福建高三学业考试）在轴上与点的距离为3的点是（ ）
A． B． C． D．和
【答案】D
【解析】设所求点的坐标为，
则由题可得，解得或1，
故在轴上与点的距离为3的点是或.故选：D.
【变式4-2】（2021·全国高三专题练习）如图，棱长为4的正四面体，，分别是，上的动点，且，则中点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】把正四面体放在正方体中，并建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为，
因为正四面体的棱长为4，所以有，
因此相应点的坐标为：，
因为是上的动点，所以设点的坐标为：，
设，，因此有，
因此，
设中点为，因此有：，
因为，所以，
化简得：，把代入中得：
，显然 中点的轨迹是圆，半径为，
圆的周长为：.故选：D
考点5空间距离（点线距、线线距）
【例5-1】（2021·安徽）已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．
∴cosθ＝＝.∴sinθ＝.
故点A到直线BE的距离d＝||sinθ＝2×.故答案为B
【例5-2】（2020·全国高三专题练习）如下图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，利用此定义求异面直线与之间的距离．
【答案】（1）；（2）
【解析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点的坐标为B（1,0,0），，，
（1）因为平面，且面，，又，且，AD⊥平面PAB，
所以是平面PAB的一个法向量，因为，.
设平面PCD的法向量为，则，
即，令，解得，.
所以是平面PCD的一个法向量， 从而，
所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为；
（2）因为，设为直线PB上一点，且，
又，，则，
则点到直线的距离
∵
∴所以异面直线PB与CD之间的距离为.
【变式5-1】（2020·全国高三专题练习）设为矩形所在平面外的一点，直线平面，，，.求点到直线的距离.
【答案】.
【解析】因为平面，所以，所以，
因为四边形为矩形，所以,
所以,
因为，，
所以在上的射影长为，又，
所以点到直线的距离.故答案为：
【变式5-2】（2021·全国高三专题练习）三棱锥中，，，.记中点为，中点为
（1）求异面直线与的距离；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）；（2）
【解析】三棱锥三组对棱相等，因此三棱锥的外接平行六面体为长方体，将三棱锥放在长方体中研究
设长方体的三维分别为、、且，即，解得：
因此以为坐标原点，长方体在处的三条棱的方向为正方向建立空间直角坐标系，则
，，，，，，
（1） ，，
设垂直于和，所以，
令，，，所以，
而，因此所求距离为：
（2），，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
所以，设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
所以，
所以，所以所求角的余弦值为.
考点6 空间距离（点对面距、面面距）
【例6-1】（2021·云南民族大学附属中学高三月考（理））如图，在三棱柱中，平面，，，点为的中点.
（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（2）由（1）知，，，，
如图，以为原点建立空间直角坐标系.
则，，，.，.
设平面的法向量为，则即
令，则，，所以. 又因为，
故点到平面的距离.
【例6-2】（2020·全国高三专题练习）在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则，
即，解得，故，显然平面平面，
所以平面与平面之间的距离．
【例6-3】（2021·浙江高三专题练习）如图，在正方体中，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2
则，，，， ，
（1）设平面的法向量为，，
令，则，，
，，
面平面.
（2）平面，直线到平面的距离即为点到平面的距离，
，，==，
直线到平面的距离为.
（3）平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，
，==，
所以平面与平面夹角的余弦值.
【变式6-1】（2021·全国高一专题练习）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________．
【答案】
【解析】取射线AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则A1(0，0，1)，E，F，D1(0，1，1)．所以＝，＝(0，1，0)．设平面A1D1E的法向量为=(x，y，z)．则即，
令z＝2，则x＝1，得=(1，0，2)，又＝，
所以点F到平面A1D1E的距离.故答案为：
【变式6-2】（2021·山东菏泽市·高三期末）已知四边形是边长为1的正方形，半径为1的圆所在平面与平面垂直，点是圆上异于的任一点，当点到平面的距离最大时四面体的体积为________．
【答案】
【解析】以D为原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，，，
依题意，可设，其中，．
设平面MAB的法向量是，，，
由可得取，得，
又
到平面MAB的距离，
点C到平面ABM的距离有最大值，其最大值为，
当h取得最大值时，，则，且，，
三棱锥的体积．故答案为：
【变式6-3】（2021·上海普陀区·高三其他模拟）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AC=4，BD=2，且侧棱AA1=3.其中O1为A1C1与B1D1的交点.
（1）求点B1到平面D1AC的距离；
（2）在线段BO1上，是否存在一个点P，使得直线AP与CD1垂直？若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】（1）由于菱形的对角线互相垂直平分，故以AC与BD的交点O为原点，
以射线OA OB OO1分别为x y z轴，建立空间直角坐标系.
由已知条件，相关点的坐标为A(2，0，0)，B(0，1，0)，C(﹣2，0，0)，O1(0，0，3)，B1(0，1，3)，D1(0，﹣1，3)，设平面D1AC的法向量为，
由，，得，
令z=1，则，因，
故点B1到平面D1AC的距离为.
（2）设，则由，，
得.又，
故当时，.
于是，在线段BO1上存在点P，使得AP⊥CD1，此时.
考点7 空间距离（动点问题）
【例1-1】（2021·北京首都师大二附高三开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且．
（Ⅰ）若点为上一点且，证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得 若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，且.
【解析】（Ⅰ）过点作，交于，连接，
因为，，所以．
又，，所以．
所以为平行四边形, 所以．
又平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）因为梯形中，，，所以．
因为平面，所以,
如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系,
所以．
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,
因为
所以，即，取得到，
因为，所以，即，令得，
所以,
因为二面角为锐角，所以二面角为；
（Ⅲ）假设存在点，设，其中，
所以，
所以，解得，所以存在点，且．
【例1-2】（2021·全国高三专题练习（理））如图所示，已知四棱锥，侧面是边长为的正三角形，且平面平面，底面是菱形，且，为棱上的动点，且=().
（1）求证:；
（2）试确定的值，使得平面与平面夹角的余弦值为.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）取的中点，连接，，，
由题意可得△，△均为正三角形，
所以，.
又，所以平面.
又平面，所以.
因为//，所以.
（2）由（1）可知，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.
故可得，，两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以.
由 ()，
可得点的坐标为，
所以，.
设平面的法向量为，
由可得
令，则.
又平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得或(舍去).
所以当时，平面与平面夹角的余弦值为.
【变式1-1】（2021·全国高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，与底面所成角的正切值为，是的中点，线段上的动点.
（1）证明：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：平面平面，
.
又，，，平面，
平面，
又平面，∴.
又，是的中点，
，
又，，平面，
平面.
（2）以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.
∵与底面所成角的正切值为，，∴，
则，，.
设，则，
设平面的法向量为，由，得：，
而平面的一个法向量为，依题意得：，
即，得或(舍).
故.
【变式1-2】（2021·广西桂林市·高三月考（理））如图所示，在三棱锥中，侧棱平面BCD，F为线段BD中点，，，.
（1）证明：平面ABD；
（2）设Q是线段AD上一点，二面角的正弦值为，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）因为，F为线段BD中点，所以.
因为平面BCD，平面BCD，所以.
又因为平面ABD，平面ABD，，所以平面ABD.
（2）在三棱锥中，在平面BCD内作于E.
以B为原点建立如图空间直角坐标系.
由题得，，，，
，，.
设，
所以.
设，分别为平面ABQ，平面CBQ的一个法向量.
则，.
即，.
不妨取，.
因为二面角的正弦值为，则余弦值为，
所以，
解得（舍）或.因此，的值为.苏教版（2019）高中数学一轮复习第19讲《用空间向量求角和距离》（原卷版）
【知识梳理】
空空间角 定义 特殊情况 范围
线线角 把两异面直线平移到相交时两相交直线所成的角 两直线平行时角为
所成角为时称两直线垂直
线面角 平面的一条斜线与其在该平面内射影所成角 线面平行或线在平面内时线面角为
线面垂直时线面角为
二面角 在二面角的棱上一定向两个半平面内作垂直棱的垂线，这两条射线所成角 两个半平面重合时为
两个半平面成为一个平面时为
当二面角为时称两个平面垂直
空间距离 点面距 从平面外一点作平面的垂线，该点与垂足之间的距离 线面距和面面距转化为点面距
线面距 直线与平面平行时，直线上任一点到平面的距离
面面距 两个平面与平面平行时，一个平面内任一点到另一个平面的距离
空空间向量 重要概念 共面向量 一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平面内
空间基底 空间任何三个不共面的向量都可做空间的一个基底
基本定理 共线定理 （共线存在唯一实数，
共面定理 与、（不共线）共面存在实数对，使
基本定理 不共面，空间任意向量存在唯一的，使
立 立 立体几何中的向量方法 线面标志 方向向量 所在直线与已知直线平行或者重合的非零向量叫做直线的方向向量
法向量 所在直线与已知平面垂直的非零向量叫做平面的法向量
位置关系 线线平行 方向向量共线
线面平行 判定定理；直线的方向向量与平面的法向量垂直；使用共面向量定理
面面平行 判定定理；两个平面的法向量平行
线线垂直 两直线的方向向量垂直
线面垂直 判定定理；直线的方向向量与平面的法向量平行
面面垂直 定定理；两个平面的法向量垂直
空间角 线线角 两直线方向向量为，
线面角 直线的方向向量为，平面的法向量为，
二面角 两平面的法向量分别为和，则
空间距离 点线距 直线的方向向量为，直线上任一点为，点到直线的距离 两平行线距离 转化为点线距
点面距 平面的法向量为，平面内任一点为，点到平面的距离 线面距、面面距转化为点面距
二、【真题再现】
1、（2022全国甲卷理）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（）
A. B. AB与平面所成的角为
C. D. 与平面所成的角为
2、（2022全国乙卷理）在正方体中，E，F分别为的中点，则（）
A. 平面平面 B. 平面平面
C平面平面 D. 平面平面
3、（2022新高考1卷）已知正方体，则（）
A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为
C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD所成的角为
4、（2022浙江卷）如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（）
A. B. C. D.
5、（2022新高考1卷）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
6、（2022全国乙卷理）如图，四面体中，，E为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
7、（2022新高考2卷）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
8、（2022北京卷）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
9、（2022全国甲卷理）在四棱锥中，底面
．
（1）证明：；（2）求PD与平面所成的角的正弦值．
10、（2022上海卷）如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，AP＝AC＝2．（2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角的正弦值．
11、（2022浙江卷）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．
三、【考点精讲】
考点1 空间角（线线角）
【例1-1】（2021年全国高考乙卷）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【例1-2】（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（理））已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，的中点为，底面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】（2021·漠河市高级中学高三月考（理））如图所示，正方体中，点分别在上，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2021·陕西宝鸡市·高三三模（理））已知圆锥的顶点为，高和底面的半径之比为，设是底面的一条直径，为底面圆周上一点，且，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2021·全国高三月考（理））底面为正三角形的直棱柱中，，，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
考点2 空间角（线面角）
【例2-1】（2021·福建三明市·三明一中高三其他模拟）如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，四边形为直角梯形，其中，，，E是的中点．
（1）求证：（2）若，求直线与平面所成的角的正弦值．
【例2-2】（2021·山东高三其他模拟）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面，中，，，E，F分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成的角的取值范围.
【变式2-1】（2021·全国高三其他模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，为线段PD的中点．
（1）求证：；（2）求直线PB与平面CFB所成角的正弦值．
【变式2-2】（2021·全国高三二模）如图，在三棱柱中，，，四边形是菱形，，，点是中点，点是上靠近点的三等分点.
（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【变式2-3】（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）已知四棱锥的底面是菱形，对角线、交于点，，，底面，设点满足．
（1）若三棱锥体积是，求的值；
（2）若直线与平面所成角的正弦值是，求的值．
考点3 空间角（二面角）
【例3-1】（2021·全国高考真题（理））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小
【例3-2】（2021·北京高考真题）已知正方体，点为中点，直线交平面于点．
（1）证明：点为的中点；
（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
【变式3-1】（2021年全国高考乙卷） 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
【变式3-2】（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））如图，四边形ABEF为正方形，，AD⊥DC，AD=2DC=2BC，
（1）求证：点D不在平面CEF内；
（2）若平面ABCD⊥平面ABEF，求二面角A﹣CF﹣D的余弦值．
【变式3-3】（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，为棱的中点．
（1）证明：；
（2）若，，求二面角的余弦值．
考点4 空间距离（两点距）
【例4-1】（2021·河南濮阳市·高三一模（文））在棱长为的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2020·全国高三专题练习（理））在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平行于平面，则线段长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2020·福建高三学业考试）在轴上与点的距离为3的点是（ ）
A． B． C． D．和
【变式4-2】（2021·全国高三专题练习）如图，棱长为4的正四面体，，分别是，上的动点，且，则中点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
考点5空间距离（点线距、线线距）
【例5-1】（2021·安徽）已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　)
A． B．
C． D．
【例5-2】（2020·全国高三专题练习）如下图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，利用此定义求异面直线与之间的距离．
【变式5-1】（2020·全国高三专题练习）设为矩形所在平面外的一点，直线平面，，，.求点到直线的距离.
【变式5-2】（2021·全国高三专题练习）三棱锥中，，，.记中点为，中点为
（1）求异面直线与的距离；
（2）求二面角的余弦值.
考点6 空间距离（点对面距、面面距）
【例6-1】（2021·云南民族大学附属中学高三月考（理））如图，在三棱柱中，平面，，，点为的中点.
（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.
【例6-2】（2020·全国高三专题练习）在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为
A． B．
C． D．
【例6-3】（2021·浙江高三专题练习）如图，在正方体中，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
【变式6-1】（2021·全国高一专题练习）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________．
【变式6-2】（2021·山东菏泽市·高三期末）已知四边形是边长为1的正方形，半径为1的圆所在平面与平面垂直，点是圆上异于的任一点，当点到平面的距离最大时四面体的体积为________．
【变式6-3】（2021·上海普陀区·高三其他模拟）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AC=4，BD=2，且侧棱AA1=3.其中O1为A1C1与B1D1的交点.
（1）求点B1到平面D1AC的距离；
（2）在线段BO1上，是否存在一个点P，使得直线AP与CD1垂直？若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由.
考点7 空间距离（动点问题）
【例1-1】（2021·北京首都师大二附高三开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且．
（Ⅰ）若点为上一点且，证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得 若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
【例1-2】（2021·全国高三专题练习（理））如图所示，已知四棱锥，侧面是边长为的正三角形，且平面平面，底面是菱形，且，为棱上的动点，且=().
（1）求证:；
（2）试确定的值，使得平面与平面夹角的余弦值为.
【变式1-1】（2021·全国高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，与底面所成角的正切值为，是的中点，线段上的动点.
（1）证明：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求的长.
【变式1-2】（2021·广西桂林市·高三月考（理））如图所示，在三棱锥中，侧棱平面BCD，F为线段BD中点，，，.
（1）证明：平面ABD；
（2）设Q是线段AD上一点，二面角的正弦值为，求的值.

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