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第四章：数列
4.3.1　等比数列的概念
【考点梳理】
考点一　等比数列的概念
1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1).
考点二　等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
考点三　等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)．
考点四　等比数列通项公式的推广和变形
等比数列{an}的公比为q，则
an＝a1qn－1①＝amqn－m②＝·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数．
等比数列的应用及性质
考点五　实际应用题常见的数列模型
1．储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y ＝a(1＋r)n.
2．总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n， 则总产值y ＝ N (1 ＋ p)n.
考点六　等比数列的常用性质
设数列{an}为等比数列，则：
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
(3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列．
(4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2.
(5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和.
知识点1　等比数列的概念与通项公式
1．(5分)在等比数列{an}中，已知a1＝32，q＝－，则a6等于(　　)
A．1 B．－
C．－1 D．
C　解析：a6＝32×5＝－1.故选C．
2．(5分)在等比数列{an}中，已知a1＝2，an＝16，q＝2，则n为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
C　解析：根据an＝a1qn－1，得16＝2×2n－1，解得n＝4.
3．(5分)下面四个数列中，一定是等比数列的是(　　)
A．q,2q,4q,6q
B．q，q2，q3，q4
C．q,2q,4q,8q
D．，，，
D　解析：A项不符合等比数列定义；B，C两项中q不等于0时是等比数列，q＝0时不是等比数列；D项符合等比数列的定义，公比是.
4．(5分)在等比数列{an}中，a2 021＝－8a2 018，则公比q等于(　　)
A．2 B．－2
C．±2 D．
B　解析：∵＝q3＝－8，∴q＝－2.
5．(5分)在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为(　　)
A．16 B．27
C．36 D．81
B　解析：设等比数列{an}的公比为q，
∵a2＝1－a1，a4＝9－a3，
∴a1＋a2＝1，a3＋a4＝9.
∴＝＝q2＝9.∴q＝±3.
∵an>0，∴q＝3.
∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
知识点2　等比中项及应用
6．(5分)若a，b，c成等差数列，则a，b，c一定(　　)
A．成等差数列
B．成等比数列
C．既成等差数列也成等比数列
D．既不成等差数列也不成等比数列
B　解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
∴2＝a·c成立．
∴这三个数成等比数列．
7．(5分)已知在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝9，则a3＝(　　)
A．±3 B．3
C．±5 D．5
B　解析：设等比数列{an}的公比为q，
∵a＝a1·a5＝9，∴a3＝±3.
∵a3＝a1·q2>0，∴a3＝3.
8.(5分)在等比数列{an}中，若a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是________．
±4　解析：因为a6是a4与a8的等比中项，a6＝a1q6－1＝4，所以a4与a8的等比中项是±4.
知识点3　等比数列的判断
9．(5分)(多选)已知数列{an}是等比数列，给出以下数列，其中一定是等比数列的是(　　)
A．{|an|}
B．{an－an＋1}
C．
D．{kan}
AC　解析：设等比数列{an}的公比为q，
∵＝|q|，∴{|an|}是等比数列；
当{an}为常数列时，an－an＋1＝0，∴{an－an＋1}不是等比数列；
∵＝＝，
∴是等比数列；
当k＝0时，kan＝0，∴{kan}不是等比数列．
故只有AC一定是等比数列．
10．(5分)设Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝2an－3，则Sn＝(　　)
A．2n＋1
B．2n＋1－1
C．3×2n－3
D．3×2n－1
C　解析：∵Sn＝2an－3，∴a1＝2a1－3，∴a1＝3.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－3－(2an－1－3)＝2an－2an－1.
∴an＝2an－1，即＝2.
∴{an}是等比数列，首项为3，公比为2.
∴an＝3×2n－1.∴Sn＝3×2n－3.
11.(5分)在数列{an}中，已知a1＝3，且对任意正整数n都有2an＋1－an＝0，则an＝________.
3×n－1　解析：∵2an＋1－an＝0，
∴＝.
∴{an}是等比数列，且公比q＝.
∴an＝a1·qn－1＝3×n－1.
12.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则an＝________.
　解析：∵Sn＝2an＋1，
∴a1＝2a2，∴a2＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，
∴3an＝2an＋1，即＝.
∵＝≠，∴an＝
13.(5分)2＋和2－的等比中项是(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．2
C　解析：根据等比中项的定义有G＝±＝±1.
14．(5分)由首项a1＝1，公比q＝2确定的等比数列{an}中，当an＝64时，序号n等于(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
D　解析：∵an＝a1·qn－1＝2n－1＝64，∴n＝7.
15．(5分)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝(　　)
A．－ B．－2
C．2 D．
D　解析：∵＝q3＝，∴q＝.
16．(5分)若a，b，c成等差数列，而a＋1，b，c和a，b，c＋2都分别成等比数列，则b的值为(　　)
A．16 B．15
C．14 D．12
D　解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
∵a＋1，b，c与a，b，c＋2都分别成等比数列，
∴b2＝(a＋1)·c，b2＝a·(c＋2)．
联立解得b＝12.
17.(5分)已知等比数列{an}，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.
3×2n－3　解析：设等比数列{an}的公比为q，
∵a3＝3，a10＝384，∴q7＝＝128.
∴q＝2，∴an＝a3·qn－3＝3×2n－3.
18.(5分)已知数列{an}是首项a1＝4的等比数列，且4a1，a5，－2a3成等差数列，则其公比q等于________．
±1　解析：∵4a1，a5，－2a3成等差数列，
∴2a5＝4a1－2a3，即a5＝2a1－a3，
∴4q4＝8－4q2.∴q4＋q2－2＝0.
∴q2＝1或q2＝－2(舍)．
∴q＝±1.
19.(5分)在两数1,16之间插入3个数，使它们成等比数列，则中间的数等于________．
4　解析：设插入的三个数为a，b，c，
则有b2＝1×16＝16.又∵b与1同号，∴b＝4.
20.(5分)已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，求a7.
解：设等比数列{an}的公比为q，
∵＝＝q＝2，
∴a1＋2a1＝3a1＝3，∴a1＝1.
∴a7＝a1q6＝64.
21.(10分)已知数列{an}满足Sn＝4an－1(n∈N*)，求证：数列{an}是等比数列，并求出其通项公式．
证明：依题意，得当n≥2时，Sn－1＝4an－1－1，
所以an＝Sn－Sn－1＝(4an－1)－(4an－1－1)，
即3an＝4an－1，所以＝，故数列{an}是公比为的等比数列．
因为S1＝4a1－1，即a1＝4a1－1，所以a1＝，
故数列{an}的通项公式是an＝×n－1.
22.(10分)已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
解：∵a1a3＝a，∴a1a2a3＝a＝8，
∴a2＝2.
从而解得或
当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝.
故an＝2n－1或an＝23－n.

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