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第四章：数列
4.4　数学归纳法
【考点梳理】
考点一　数学归纳法
1．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)以当“n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法的证明形式
记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：(1) P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．
结论：P(n)为真．
3. 数学归纳法中的两个步骤
在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明．
知识点1　用数学归纳法证明等式
1．(5分)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)时，第一步验证n＝1，左边应取的项是(　　)
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
D　解析：当n＝1时，n＋3＝4，故左边应为1＋2＋3＋4.
2．(5分)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1(n∈N*)时，等式左边应在n＝k的基础上加上(　　)
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C．
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
D　解析：当n＝k时，等式左边＝1＋2＋…＋k2；当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.故选D．
3.(10分)用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，
那么，当n＝k＋1时，1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]
＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
这就是说，当n＝k＋1时等式成立．
根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立．
知识点2　用数学归纳法证明不等式
4.(5分)用数学归纳法证明：＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是___________________________．
＋＋…＋＋>－
解析：当n＝k＋1时，目标不等式为＋＋…＋＋>－.
5.(10分)证明不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋<2.
当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋
<2＋＝
<＝＝2.
所以当n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N*都成立．
知识点3　用数学归纳法证明整除问题
6.(5分)用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为　　　　　.
25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2　解析：当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2.
7.(10分)用数学归纳法证明：
n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N*)．
证明：(1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；
(2)假设当n＝k(k∈N*)时结论成立，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．
则当n＝k＋1时，
(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．
因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，
所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立．
由(1)(2)知命题对一切n∈N*都成立．
8.(5分)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，左边计算所得的式子是(B)
A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
9．(5分)利用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1(n∈N*，且n≥2)，第二步由k到 k＋1时不等式左端的变化是(　　)
A．增加了这一项
B．增加了和两项
C．增加了和两项，减少了这一项
D．以上都不对
C　解析：当n＝k时，左端为＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，左端为＋＋＋…＋＋＋，
对比可知，C正确．
10．(5分)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳递推中的假设应写成(　　)
A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋3时正确
B．假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1时正确
C．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋1时正确
D．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋2时正确
B　解析：∵n为正奇数，∴在证明时，应假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推出n＝2k＋1时正确．故选B.
11．(5分)对于不等式≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即≤k＋1，则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立．
上述证法(　　)
A．过程全都正确
B．n＝1验证不正确
C．假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
D　解析：n＝1的验证及假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用假设作为条件，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证明要求．故选D．
12.(5分)用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________________________________________________________________________．
(k＋1)2＋k2　解析：当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12.
当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，
所以等式左边添加的式子为(k＋1)2＋k2.
13.(5分)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________．
2(2k＋1)　解析：令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，
f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，
所以＝＝2(2k＋1).
14.(5分)若存在正整数m，使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9(n∈N*)能被m整除，则m的最大值为________．
36　解析：f(1)＝36，f(2)＝36×3，f(3)＝36×10，…，猜想m的最大值为36.
15.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝且a1＝.
(1)求a2，a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明．
解：(1)a2＝＝，a1＝，
则a2＝，类似地求得a3＝.
(2)由a1＝，a2＝，a3＝，…，
猜想：
an＝.
证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立．
②假设当n＝k时猜想成立，
即ak＝，
那么，当n＝k＋1时，由题设an＝，
得ak＝，ak＋1＝，
所以Sk＝k(2k－1)ak
＝k(2k－1)＝，
Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－.
因此，k(2k＋3)ak＋1＝.
所以ak＋1＝
＝.
这就证明了当n＝k＋1时命题成立．
由①②可知命题对任意n∈N*都成立．

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