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第五章：一元函数的导数及其应用
5.1　导数的概念及其意义
【考点梳理】
大重点一：变化率问题和导数的概念
考点一：瞬时速度的定义
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ .
考点二　函数的平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
考点三　函数在某点处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ .
大重点二：导数的几何意义
考点四　导数的几何意义
1．割线斜率与切线斜率
设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝.
当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
考点五　导函数的定义
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ .
规律总结：
区别 联系
f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值
f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数
知识点1　导数的概念
1．(5分)已知f(x)＝，则f′(2)＝(　　)
A．－ B．2
C． D．－2
A　解析：f′(2)＝ ＝ ＝ ＝－.
2．(5分)若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
B　解析：∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝
＝ ＝－1.
3．(5分)设函数f(x)可导，则 等于(　　)
A．f′(1) B．3f′(1)
C．f′(1) D．f′(3)
A　解析： ＝f′(1).
4.(5分)设函数f(x)＝ax＋3.若f′(1)＝3，则a＝________.　
3　解析：∵f′(x)＝ ＝ ＝a.
∴f′(1)＝a＝3.
知识点2　导数几何意义的直接应用
5．(5分)设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(B)
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交
6．(5分)(多选)下列说法正确的是(　　)
A．曲线的切线和曲线可能有两个交点
B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线
D．y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，f′(x0)不一定存在
AD　解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他公共点，故A正确，B不正确；f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，但切线可能存在，为x＝x0，故C不正确；D选项正确．
知识点3　利用导数的几何意义求曲线的切线问题
7．(5分)如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(　　)
A．f′(x0)>0
B．f′(x0)<0
C．f′(x0)＝0
D．f′(x0)不存在
B　解析：由x＋2y－3＝0知斜率k＝－，
∴f′(x0)＝－<0.
8．(5分)曲线y＝x3－2在点处的切线的倾斜角为(　　)
A．30° B．45°
C．135° D．60°
B　解析：∵ ＝ ＝1，
∴切线的斜率为1，倾斜角为45°.
9．(5分)曲线y＝在点P(4,2)处的切线方程为(　　)
A．x＋4y＋4＝0
B．x－4y＋4＝0
C．x＋4y＋12＝0
D．x－4y＋12＝0
B　解析：∵ ＝ ＝ ＝，
∴曲线在点P处的切线方程为y－2＝(x－4)，即x－4y＋4＝0.
10.(5分)过点(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为________________．
2x－y－1＝0和10x－y－25＝0　解析：y′＝ ＝ ＝2x.
设所求切线的切点为A(x0，y0)．
∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝x.
又∵A是切点，
∴过点A的切线的斜率k＝2x0.
∵所求的切线过点(3,5)和A(x0，y0)两点，
∴其斜率又为＝，
∴2x0＝，
解得x0＝1或x0＝5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．
当切点为(1,1)时，切线的斜率k1＝2x0＝2；
当切点为(5,25)时，切线的斜率k2＝2x0＝10.
∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0.
知识点4　导数几何意义的综合应用
11．(5分)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝(　　)
A． B．1
C．2 D．0
C　解析：由图象知f(5)＝－5＋8＝3.
由导数几何意义知f′(5)＝－1.
∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
12．(5分)(多选)曲线y＝f(x)＝x3在点P处的切线斜率k＝3，则点P的坐标是(　　)
A．(1,1)
B．(－1，－1)
C．(－2，－8)
D．(2,8)
AB　解析：f′(x0)＝ ＝ ＝ [3Δx·x0＋3x＋(Δx)2]＝3x.
令3x＝3，则x0＝±1，∴y0＝±1.
13.(5分)过点P(－1,2)，且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程为________．
2x－y＋4＝0　解析：f′(1)＝ ＝2.
∴所求直线方程为y－2＝2(x＋1)，
即2x－y＋4＝0.
14.(5分)设f(x)在x＝x0处可导，且 ＝1，则f′(x0)＝(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．1 B．0
C．3 D．
D　解析：∵ ＝1，
∴ ＝，
∴ ＝，
∴f′(x0)＝ ＝.
15．(5分)抛物线y＝x2＋bx＋c在点(1,2)处的切线与其平行直线bx＋y＋c＝0间的距离是(　　)
A． B．
C． D．
C　解析：抛物线过点(1,2)，∴b＋c＝1.
又∵f′(1)＝2＋b，由题意得2＋b＝－b，
∴b＝－1，c＝2.
∴所求的切线方程为y－2＝x－1，
即x－y＋1＝0，
∴两平行直线x－y＋1＝0和x－y－2＝0间的距离d＝＝.
16.(5分)若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p＝________.
3　解析：设切点为(x0,1)．由y′＝f′(x0)＝ ＝ (4x0－4＋2Δx)＝4x0－4，根据导数的几何意义有4x0－4＝0，∴x0＝1，即切点为(1,1)，∴1＝2－4＋p，∴p＝3.
17.(5分)函数y＝x2在x＝________处的导数值等于其函数值．
0或2　解析：y＝f(x)＝x2在x＝x0处的导数值为f′(x0)＝ ＝ (Δx＋2x0)＝2x0.
由2x0＝x，
解得x0＝0或x0＝2.
18.(12分)已知直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求a的值和切点的坐标．
解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
f′(x)＝ ＝
＝3x2－2x.
由题意知，直线l的斜率k＝1，即3x－2x0＝1，
解得x0＝－或x0＝1.
于是切点的坐标为或(1,1)．
当切点为时，＝－＋a，∴a＝.
当切点为(1,1)时，1＝1＋a，a＝0(舍去)．
所以a的值为，切点坐标为.
19.(13分)如图，它表示物体运动的路程随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的变化情况，并求出t＝2时的切线方程．
解：用曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的切线，刻画曲线f(t)在上述三个时刻附近的变化情况．
①当t＝t0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于t轴，所以在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；
②当t＝t1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f′(t1)<0，所以在t＝t1附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t1附近单调递减；
③当t＝t2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f′(t2)<0，所以在t＝t2附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t2附近单调递减．
由图象可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．
当t＝2时，f(2)＝0.
当t＝2时，切线的斜率
k＝f′(2)＝
＝
＝
＝ (－2Δt－4)＝－4.
所以切线方程为y＝－4(t－2)，即4t＋y－8＝0.

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