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第五章：一元函数的导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.2.2　函数的最大(小)值
【考点梳理】
考点一　函数最值的定义
1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．
考点二　求函数的最大值与最小值的步骤
函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
技巧训练总结：含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
知识点1　求函数的最值
1．(5分)函数f(x)＝x2－4x＋1在[1,5]上的最大值和最小值分别是(　　)
A．f(1)，f(2) B．f(2)，f(5)
C．f(1)，f(5) D．f(5)，f(2)
D　解析：f′(x)＝2x－4＝0，解得x＝2，当x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，∴x＝2是极小值点，f(2)＝－3.又f(1)＝－2，f(5)＝6，
∴最大值是f(5)，最小值是f(2)．
2．(5分)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5在区间[－4,4]上的最大值是(　　)
A．10 B．－71
C．－15 D．－22
A　解析：f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x＝－1时，函数有极大值f(－1)＝10；x＝3时函数有极小值f(3)＝－22.而f(4)＝－15，f(－4)＝－71.所以最大值是f(－1)＝10.
知识点2　与最值有关的参数问题
3．(5分)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为(　　)
A．0≤a<1 B．0C．－1B　解析：∵f′(x)＝3x2－3a，f′(x)＝0有解，
∴a＝x2.又∵x∈(0,1)，∴04.(5分)若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
－1　解析：f′(x)＝＝，当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当－0，f(x)单调递增．当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．
∴f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1.
5.(5分)已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．
－37　解析：令f′(x)＝6x2－12x＝0，解得x＝0或x＝2.
∵f(x)在(－2,0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，
∴最大值为f(0)＝m＝3，∴f(x)＝2x3－6x2＋3.
又f(－2)＝－37，f(2)＝－5，
∴此函数在[－2,2]上的最小值为－37.
知识点3　生活中的优化问题
6．(5分)某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R＝R(x)＝则总利润最大时的年产量是(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A．100 B．150
C．200 D．300
D　解析：由题意，得总成本函数为C＝C(x)＝20 000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝
所以P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．
7．(5分)某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌墙壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)(　　)
A．32,16 B．30,15
C．40,20 D．36,18
A　解析：要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设堆料场的宽为x米，则长为米，因此新砌墙壁总长L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最短.
8.(10分)如图，一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？
解：设小正方形的边长为x cm，则盒子底面长为(8－2x)cm，宽为(5－2x)cm，
V＝(8－2x)(5－2x)x＝4x3－26x2＋40x，
V′＝12x2－52x＋40，
令V′＝0，得x＝1或x＝(舍去)，
V极大值＝V(1)＝18.
因为在定义域内仅有一个极大值，所以V最大值＝18，即当小正方形的边长为1 cm时，盒子容积最大．
9.(5分)如果函数f(x)＝x4－8x2＋c在[－1,3]上的最小值是－14，那么c＝(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
B　解析：令f′(x)＝4x3－16x＝0，解得x＝0或x＝－2或x＝2，由f(－1)＝c－7，f(0)＝c，f(2)＝c－16，f(3)＝c＋9，得最小值为f(2)＝c－16＝－14.∴c＝2.
10．(5分)内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(　　)
A．R B．2R
C．R D．R
C　解析：设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，
∴r2＝2Rh－h2.
∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3.
V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R.
当00；
当R故当h＝R时，圆锥体积最大．
11．(5分)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于M，N.则当|MN|最小时t的值为(　　)
A．1 B．
C． D．
D　解析：由题意，设F(t)＝t2－ln t(t>0)．
令F′(t)＝2t－＝0，得t＝或t＝－(舍去)．F(t)在上单调递减，在上单调递增，则t＝时，F(t)取最小值，即|MN|最小．
12．(5分)内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为(　　)
A．和R B．R和R
C．R和R D．以上都不对
B　解析：设矩形的宽为x，则长为2，则l＝2x＋4(0令l′＝0，解得x1＝R，x2＝－R(舍去)．
当00；
当R所以当x＝R时，l取得最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R.
13.(5分)函数y＝x＋2cosx在上取最大值时，x的值为________．
　解析：y′＝1－2sinx．由y′≥0得0≤x≤；由y′<0得所以原函数在上递增，在上递减．故当x＝时，函数取得极大值，同时也是上的最大值.
14.(5分)当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝的值域是________．
[0，e]　解析：∵f′(x)＝′＝＝，x∈[－1,1]，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)．
∵f(－1)＝e，f(0)＝0，f(1)＝，
∴函数f(x)＝，x∈[－1,1]的值域为[0，e].
15.(5分)已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
[e，＋∞)　解析：由f(x)＝＋2ln x得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0时，f′(x)>0.故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝ln a＋1.要使f(x)≥2恒成立，需ln a＋1≥2恒成立，则a≥e.
16.(5分)某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，x∈(3,6)．若该商品的成本为3元/千克，则当销售价格为________元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．
4　解析：商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)·(x－6)2,3f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)·(x－6)．
令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6(舍去)．
函数f(x)在(3,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，
∴当x＝4时函数f(x)取得最大值f(4)＝42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元.
17.(15分)设函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的奇函数，当x∈[－1,0)时，f(x)＝2ax＋(a∈R)．
(1)当x∈(0,1]时，求f(x)的解析式；
(2)若a>－1，试判断f(x)在(0,1)上的单调性，并证明你的结论；
(3)是否存在a，使得当x∈(0,1)时，f(x)有最大值－6
解：(1)设x∈(0,1]，则－x∈[－1,0)，f(－x)＝－2ax＋.
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝2ax－，x∈(0,1]．
(2)a>－1时，f(x)在(0,1)上是增函数．证明如下：
f′(x)＝2a＋＝2.
∵a>－1，x∈(0,1)，>1，
∴a＋>0，即f′(x)>0.
∴a>－1时，f(x)在(0,1)上是增函数．
(3)由(2)知当a≥－1时，f(x)在(0,1]上单调递增．
由f(x)max＝f(1)＝－6得a＝－(不合题意，舍去)，
当a<－1时，令f′(x)＝0，得x＝.
列表如下：
x
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? 极大值 ?
可知f(x)max＝f＝－6，解得a＝－2.
此时x＝∈(0,1)．
∴存在a＝－2，使得f(x)在(0,1)上有最大值－6.

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