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1.4 充分条件与必要条件
学案
一、学习目标
1.理解必要条件、充分条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系.
2.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.
3.结合具体问题，学会利用集合等知识判断充分条件、必要条件和充要条件，分清充分性与必要性.
二、知识归纳
1.充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q. 由p可以推出q，记作，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
2.充要条件：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作. 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称为充要条件，显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件. 概括地说，如果，那么p与q互为充要条件.
三、习题检测
1.“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知命题关于x的方程无实根，若p为真命题的一个充分不必要条件为“”，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.q是p的充要条件的是( )
A.；
B.，；
C.四边形的两条对角线互相垂直平分；四边形是正方形
D.；关于x的方程有唯一解
4.若集合，，则“且”的充要条件是( )
A. B. C. D.
5.设x，y是两个实数，则“x，y中至少有一个数大于1”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.（多选）设计如图所示的四个电路图，若开关S闭合，灯泡L亮，则符合p是q的充要条件的电路图是( )
A. B.
C. D.
7.（多选）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是( )
A.若两个三角形全等，则这两个三角形相似
B.若，则
C.若，则
D.若，则
8.设集合，，那么“”是“”的________________条件.（请在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个填空）
9.已知，，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是_______________.
10.已知集合，且，若是的充分条件，则a的取值范围为___________；若，则a的取值范围为______________.
11.求证：一次函数的图象经过坐标原点的充要条件是.
12.已知，，q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由得；由得，则“”是“”的充要条件.故选C.
2.答案：B
解析：当p为真命题时，有，解得，若p为真命题的一个充分不必要条件为“”，则，，解得.故选B.
3.答案：D
解析：由得，由得，故A不符合题意；显然B不符合题意；正方形的对角线互相垂直平分，但是对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，可以是菱形，故C不符合题意；显然D符合题意.故选D.
4.答案：D
解析：集合，，且，，又当时，满足且，“且”的充要条件是“”.故选D.
5.答案：D
解析：若“x，y中至少有一个数大于1”，则可取，，则“”不成立；若“”，则可取，，则“x，y中至少有一个数大于1”不成立，所以“x，y中至少有一个数大于1”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.
6.答案：BD
解析：A中电路图，开关S闭合，则灯泡L亮，而灯泡L亮时，开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；B中电路图，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；C中电路图，开关S闭合时，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；D中电路图，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故D中p是q的充要条件.故选BD.
7.答案：BCD
解析：对于A，若两个三角形全等，则这两个三角形一定相似，而两个相似的三角形却不一定全等，故A不正确；
对于B，由，无法推出，如，但是，反之成立，故B正确；
对于C，由，无法得到，如当，，时，有，但是，反之成立，故C正确；
对于D，若，则，则，而若，则，能推出，故D正确.故选BCD.
8.答案：必要不充分
解析：，，，故答案为必要不充分.
9.答案：
解析：因为p是q的必要条件，所以，即，则，解得，故m的取值范围为.
10.答案：；
解析：若是的充分条件，则，，解得，所以a的取值范围为，由且，可得，若，则或，解得或，所以a的取值范围为.
11.解析：①充分性：如果，那么.当时，，
所以一次函数的图象经过坐标原点.
②必要性：因为一次函数的图象经过坐标原点，
所以当时，，即，所以.
综上，一次函数的图象经过坐标原点的充要条件是.
12.解析：由得，，
对应的集合.
由得，，
对应的集合.
是p的必要不充分条件，，
或，解得，
实数m的取值范围为。

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