资源简介

导数中的“距离”问题
【题型归纳目录】
题型一：曲线与直线的距离
题型二：曲线与点的距离
题型三：曲线与圆的距离
题型四：曲线与抛物线的距离
题型五：曲线与曲线的距离
题型六：横向距离
题型七：纵向距离
【典例例题】
题型一：曲线与直线的距离
例1.已知函数 f(x) = (x+ a)2+ (lnx+ ea)2 4，若存在 x0，使得 f(x0)≤ 2+ ，则实数 a的值是　　．e 1
2
例2.已知函数 f(x) = (x+ a)2+ ex+ a 4e ，若存在 x0，使得 f(x0)≤ 2+ ，则实数 a的值为　　．e 1
例3.若实数 a，b，c，d满足 (b+ a2- 3lna)2+ (c- d+ 2)2= 0，则 (a- c)2+ (b- d)2 的最小值为　　．
例4.设函数 f(x) = (x- a)2+ (2lnx- 2a)2 x，其中 x> 0，a∈R，存在 x0使得 f(x )≤ 40 5 成立，则实数
0
a 的
值是　　．
例5.已知函数 f(x) = x2- 2ax+ e6x- 6ae3x+ 10a2 1的最小值是 10 ，则 a的值是
例6.设函数 f(x) = (x- a)2+ 4(lnx- a)2，其中 x> 0，a∈R．若存在正数 x0，使得 f(x0) ≤ 45 成立，则实
数 a的值是 (　　)
A. 1 2 15 B. 5 C. 2 D. 1
例7.设函数 f(x) = (x- a)2+ (ln x2- 2a)2，其中 x> 0，a∈R，存在 x0使得 f(x0) ≤ b成立，则实数 b的最
小值为 (　　)
A. 1 B. 25 5 C.
4
5 D. 1
3
例8.已知函数 f(x) = 12 (x- 2t)
3+ 12 x- lnt+ 1 -
3
2 ax，若对任意的正实数 t，f(x)在R上都是增函
数，则实数 a的取值范围是 (　　)
A. -∞ 4， 3 B. -∞
9
， 2 C. -∞
9
， 4 D. -∞
16
， 5
例9.已知实数 a，b，c，d满足 |ln(a- 1) - b|+|c- d+ 2| = 0，则 (a- c)2+ (b- d)2的最小值为 (　　)
A. 2 2 B. 8 C. 4 D. 16
题型二：曲线与点的距离
例10.若点A(0,t)与曲线 y= lnx上点B距离最小值为 2 3，则实数 t为 (　　)
A. ln2+ 3 B. ln3+ 2 C. 12 ln3+ 3 D.
1
2 ln2+ 2
例11.若点A(t,0)与曲线 y= ex上点P的距离的最小值为 2 3，则实数 t的值为 (　　)
A. 4- ln2 B. 4- ln2 C. 3+ ln3 D. 3+ ln33 2 3 2
题型三：曲线与圆的距离
2
例12.已知点P 1为函数 f(x) = lnx的图象上任意一点，点Q为圆 x- e+ e + y
2= 1任意一点，则线
段PQ的长度的最小值为 (　　)
e- e2A. - 1
2 2
e B.
2e + 1- e C. e + 1- e D. e+ 1e e e - 1
例13.已知点P为函数 f(x) = lnx+ e(x> 2)图象上任意一点，点Q为圆
2
x- e+ 1e + 1 + y
2= 1上
任意一点，则线段PQ的长度的最小值为 (　　)
1+ e2(1+ e) - e 2
A. e B.
2e + 1- e
e
e2C. + 1- e e- e
2
D. - 1e e
1 2 1
例14.已知点P为函数 f(x) = lnx的图象上任意一点，点Q为圆 x- e+ + y2 e = 4 上任意一点，则
线段PQ长度的最小值为 (　　)
A. e- e
2- 1 B. 2 e
2+ 1- e C. e
2+ 1- e
e 2e 2e D. e+
1 - 1e 2
例15.已知点P为函数 f(x) = ex的图象上任意一点，点Q为圆 (x- 1)2+ y2= 1上任意一点，则线段PQ
长度的最小值为 (　　)
A. 2- 1 B. 1 C. 2 D. 3- 1
题型四：曲线与抛物线的距离
2 2 2
例16.设 φ(a，b) = (a- b)2+ lna- b + b4 4 (a> 0,b∈R)，当 a，b变化时 φ(a,b)的最小值为　　．
a2 2 a2例17.设D= (x- a)2+ lnx- 4 + 4 + 1． (a∈R)，则D的最小值为 (　　)
A. 22 B. 1 C. 2 D. 2
题型五：曲线与曲线的距离
1
例18.设点P在曲线 y= x2 e 上，点Q在曲线 y= ln(2x)上，则 |PQ|的最小值为 (　　)
A. 1- ln 2 B. 2(1- ln 2) C. 1+ ln 2 D. 2(1+ ln 2)
例19.设点P在曲线 y= e2x 1上，点Q在曲线 y= 2 lnx上，则 |PQ|的最小值为 (　　)
A. 22 (1- ln2) B. 2(1- ln2) C. 2(1+ ln2) D.
2
2 (1+ ln2)
例20.设点P在曲线 y= 2ex上，点Q在曲线 y= lnx- ln2上，则 |PQ|的最小值为 (　　)
A. 1- ln2 B. 2(1- ln2) C. 2(1+ ln2) D. 2(1+ ln2)
例21.设点P在曲线 y= ex+1上，点Q在曲线 y=-1+ lnx上，则 |PQ|最小值为 (　　)
A. 2 B. 2 2 C. 2(1+ ln2) D. 2(1- ln2)
例22.设满足方程 (2alna- b)2+ (c2-mc+ 3+ d)2= 0的点 (a,b)，(c,d)的运动轨迹分别为曲线M，N，
1
若在区间 e ，e

内，曲线M，N有两个交点 (其中 e= 2.71828 是自然对数的底数)，则实数m的最
大值为 (　　)
A. 4 B. 4+ 2ln3 C. e+ 2+ 3 D. 1e e + 3e- 2
题型六：横向距离
例23.已知直线 y= b与函数 f(x) = 2x+ 3和 g(x) = ax+ lnx分别交于A，B两点，若AB的最小值为 2，
则 a+ b=　　．
例24.已知直线 y= b与函数 f(x) = 2x+ 5和 g(x) = ax+ lnx的图象分别交于A、B两点，若 |AB|的最小
值为 3，则 2a- b=　　．
例25.设直线 y= a与函数 f(x) = ex，g(x) = x的图象分别交于A，B两点，则 |AB|的最小值为 (　　)
A. 2- 1 1 12 ln2 B. 2 - 2 ln2 C. 2+
1
2 ln2 D.
1 1
2 + 2 ln2
1
例26.已知函数 f(x) = e2x，g(x) = lnx+ 2 的图象分别与直线 y= b交于A，B两点，则 |AB|的最小值为
(　　)
1
A. 1 B. e2 C. 2+ ln22 D. e-
ln3
2
题型七：纵向距离
例27.直线 x= a(a> 0)分别与直线 y= 3x+ 3，曲线 y= 2x+ lnx交于A、B两点，则 |AB|最小值为　
　．
例28.直线 x= a分别与曲线 y= 2(x+ 1)，y= x+ lnx交于A、B两点，则 |AB|的最小值为 (　　)
A. 3 B. 2 C. 3 24 D.
3
2
例29.直线 x= a(a> 0)分别与曲线 y= 2x+ 1，y= x+ lnx相交于A，B两点，则 |AB|的最小值为 (　
　)
A. 1 B. 2 C. 2 D. 3
【过关测试】
一、单选题
1.若 x、a、b为任意实数，若 (a+ 1)2+ (b- 2)2= 1，则 (x- a)2+ (lnx- b)2最小值为 ( )
A. 2 2 B. 9 C. 9- 4 2 D. 2 2- 1
2.已知实数 a,b,c,d满足 a= eb-1，c= ln(d- 1)，则 (a- c)2+ (b- d)2的最小值为 ( )
A. 12 B. 1 C. 2 D. 2
3.设直线 x= t与函数 f x = 2x2,g x = lnx的图像分别交于点M ,N，则 MN 的最小值为 ( )
A. 12 + ln2 B. 3ln2- 1 C.
e - 1 D. 12 2
1
4.已知函数 f x = lnx+ 1，g x = 2ex- 2，若 f m = g n 成立，则m-n的最小值是
A. 12 + ln2 B. e- 2 C. ln2-
1
2 D. e-
1
2
2 2 2
5.设D= x- a 2+ lnx- a + a4 4 + 1. a∈R ，则D的最小值为 ( )
A. 22 B. 1 C. 2 D. 2
6.已知直线 y= a分别与直线 y= 2x- 2和曲线 y= 2ex+ x相交于点A，B，则线段AB长度的最小值为
( )
A. 12 3+ ln2 B. 3- ln2 C. 2e- 1 D. 3
x
7.已知函数 f x = e 2，g x = ln x 2 + 1，对任意 x1∈R，存在 x2∈ 0,+∞ ，使得 f x1 = g x2 ，则 x2- x1
的最小值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
8.已知曲线C :y= ex1 上一点A x1,y1 ，曲线C2:y= 1+ ln x-m m> 0 上一点B x2,y2 ，当 y1= y2时，
对任意 x1，x2，都有 AB ≥ e恒成立，则m的最小值为 ( )
A. 1 B. e C. e- 1 D. e+ 1
9.已知函数 f(x) = ex-3，g(x) = 12 + ln
x
2 ，若 f(m) = g(n)成立，则n-m的最小值为 ( )
A. 1+ ln2 B. ln2 C. 2ln2 D. ln2- 1
1
10.已知函数 f x = lnx+ 1，g x = 4ex- 2，若 f m = g n 成立，则m-n的最小值是 ( )
A. 1 + ln2 B. 1 + 2ln2 C. ln2- 1 D. e- 12 2 2 2
11.设动直线 x= t与曲线 y= ex以及曲线 y= lnx分别交于P，Q两点， PQ min表示 PQ 的最小值，则
下列描述正确的是 ( )
A. PQ min= 2 B. 3 22 < PQ
5
min< 2
C. 2< PQ < 3 2 min 2 D. PQ min> 3
2 2 2
12.设F(a,b) = a- b a 2 b4 + e - b + 4 ，(a,b∈R)，则F(a,b)的最小值是 ( )
A. 2- 1 B. 2- 2 C. 22 D. 1
13.已知函数 f x = e4x-1,g x = 1 2 + ln 2x ，若 f m = g n 成立，则n-m的最小值为 ( )
A. 2ln2- 1 B. 1+ 2ln2 C. 1+ ln23 3 4 D.
1- ln2
4
14.直线 y= a分别与曲线 y= x2- lnx,y= x- 2交于点P、Q，则 PQ 的最小值为
A. 2 B. 2 C. 1 D. 6
二、填空题
15.若 a> 0,b> 0，则 (a- 2 b)2+ (lna- b)2+ b的最小值是_______．
16.已知实数 a,b满足 (a+ 2)2+ (b- 3)2= 2，则对任意的正实数 x，(x- a)2+ (lnx- b)2的最小值为__
_____.
2 2 2
17.设F a,b = a- b4 + b ea- b 2+ 4 a,b∈R ，则F a,b 的最小值为______________．
18.已知点M在圆C:x2+ y2- 4y+ 3= 0上，点N在曲线 y= 1+ lnx上，则线段MN的长度的最小值为_
___________．
2 2 2
19.设 φ(a,b) = (a- b)2+ lna- b + b4 4 (a> 0,b∈R)，当 a，b变化时，φ(a,b)的最小值为_____
__.
1
20.已知P,Q分别为函数 f(x) = 1 ex- 22 ，g(x) = ln(2x) +
1
2 上两点，则P,Q两点的距离 |PQ|的最小值是
__________．
21.设点P,Q分别是曲线 y= xe-2x和直线 y= x+ 2上的动点, 则P,Q两点间的距离的最小值是____
____．导数中的“距离”问题
【题型归纳目录】
题型一：曲线与直线的距离
题型二：曲线与点的距离
题型三：曲线与圆的距离
题型四：曲线与抛物线的距离
题型五：曲线与曲线的距离
题型六：横向距离
题型七：纵向距离
【典例例题】
题型一：曲线与直线的距离
例1.已知函数 f(x) = (x+ a)2+ (lnx+ ea)2，若存在 x0，使得 f(x0)≤ 42+ ，则实数 a的值是　　．e 1
【解答】解：∵ f(x) = (x+ a)2+ (lnx+ ea)2，
∴函数 f(x)可看作动点M (x,lnx)与动点N (-a,-ea)之间距离的平方，
动点M在 y= lnx的图像上，N在 y= ex的图像上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由 y= lnx，得 y′ = 1x = e，则 x=
1
e ，
故曲线上的点M 1e ，-1 到直线 y= ex距离的最小值是 d=
2 ，
e2+ 1
则 f(x)≥ 42+ ，根据题意若存在 x0，使得 f(x0)≤
4
e 1 e2+ ，1
则 f(x0) = 42+ ，此时N恰为垂足，e 1
=- 1 -ea- (-1)
2
由K ，故 =- 1 ，解得：a= e - 1MN e 1 e 3+ ，-a- e ee
2
故答案为：e - 1
e3+ ．e
2
例2.已知函数 f(x) = (x+ a)2+ ex+ ae ，若存在 x0，使得 f(x0)≤
4
2+ ，则实数 a的值为　　．e 1
2
【解答】解：函数 f(x) = (x+ a)2+ ex+ ae ，
函数 f(x)可以看作是动点M (x,ex)与动点N -a,- ae 之间距离的平方，
动点M在函数 y= ex的图象上，N在直线 y= 1e x的图象上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由 y= ex得，y′ = ex= 1e ，解得 x=-1，
所以曲线上点M -1, 1e 到直线 y=
1
e x的距离最小，最小距离 d=
2 ，
e2+ 1
则 f(x)≥ 4
e2+ ，1
根据题意，要使 f(x0)≤ 42+ ，则 f(x
4
e 1 0
) =
e2+ ，1
- a - 1e e e2此时N恰好为垂足，由 kMN= -a+ 1 =-e，解得 a=
- 1
e2+ ．1
2
故答案为：e - 12+ ．e 1
例3.若实数 a，b，c，d满足 (b+ a2- 3lna)2+ (c- d+ 2)2= 0，则 (a- c)2+ (b- d)2 的最小值为　　．
【解答】解：∵实数 a，b，c，d满足 (b+ a2- 3lna)2+ (c- d+ 2)2= 0，
∴ b+ a2- 3lna= 0，c- d+ 2= 0．
分别设 y= f(x) = 3lnx- x2(x> 0)，y= x+ 2．
设直线 y= x+ 2 与曲线 y= 3lnx- x2(x> 0)相切于点P(x0，y0)．
则 f′ (x) = 3x - 2x，f′ (x0) =
3
x - 2x0= 1，解得 x0= 1，∴ y0=-1．0
∴P(1,-1)．
∴ = + = |1+ 1+ 2|点P到直线 y x 2 的距离 d = 2 2．
2
则 (a- c)2+ (b- d)2 的最小值为 2 2．
故答案为：2 2．
x
例4.设函数 f(x) = (x- a)2+ (2lnx- 2a)2，其中 x> 0，a∈R，存在 x0使得 f(x0)≤ 45 成立，则实数
0
a 的
值是　　．
【解答】解：函数 f(x)可以看作是动点M (x,lnx2)与动点N (a,2a)之间距离的平方，
动点M在函数 y= 2lnx的图象上，N在直线 y= 2x的图象上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由 y= 2lnx得，y = 2x = 2，解得 x= 1，
∴曲线上点M (1,0)到直线 y= 2x的距离最小，最小距离 d= 2 ，
5
则 f(x)≥ 45 ，
根据题意，要使 f(x 40)≤ 5 ，则 f(x0) =
4
5 ，此时N恰好为垂足，
y= 2x由 1 可得N ,
2
y=- 12 (x- 1)
5 5
∴ x0= 1,a= 15 ，实数
x0
a 的值是 5
故答案为：5
例5.已知函数 f(x) = x2- 2ax+ e6x- 6ae3x+ 10a2 1的最小值是 10 ，则 a的值是
【解答】解：函数 f(x) = x2- 2ax+ e6x- 6ae3x+ 10a2
= (x2- 2ax+ a2) + (e6x- 6ae3x+ 9a2)
= (x- a)2+ (e3x- 3a)2，
可得 f(x)表示两点 (x,e3x)，(a,3a)的距离的平方，
即有函数 y= e3x，y= 3x图象上的两点距离的最小值的平方为 110 ，
设直线 y= 3x+ t与函数 y= e3x的图象相切，
设切点为 (m,n)，可得 3= 3e3m，解得m= 0，
即有切点为 (0,1)，
则 (0- a)2+ (1- 3a)2= 110 ，
解得 a= 310 ，
则 a的值为 0.3．
例6.设函数 f(x) = (x- a)2+ 4(lnx- a)2 4，其中 x> 0，a∈R．若存在正数 x0，使得 f(x0) ≤ 5 成立，则实
数 a的值是 (　　)
A. 1 2 15 B. 5 C. 2 D. 1
【解答】解：函数 f(x)可以看作是动点M (x,lnx2)与动点N (a,2a)之间距离的平方，
动点M在函数 y= 2lnx的图象上，N在直线 y= 2x的图象上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由 y= 2lnx得，y = 2x = 2，解得 x= 1，
∴曲线上点M (1,0)到直线 y= 2x的距离 d= 2 55 ，
则 f(x)≥ 45 ，
根据题意，要使 f(x 40)≤ 5 ，则 f(x0) =
4
5 ，此时N恰好为垂足，
由 k 2a- 0MN= a- 1 =-
1
2 ，解得 a=
1
5 ．
故选：A．
例7.设函数 f(x) = (x- a)2+ (ln x2- 2a)2，其中 x> 0，a∈R，存在 x0使得 f(x0) ≤ b成立，则实数 b的最
小值为 (　　)
A. 15 B.
2 4
5 C. 5 D. 1
【解答】解：函数 f(x)可以看作动点P(x，ln x2)与点Q(a,2a)的距离的平方，点P在曲线 y= 2ln x上，点Q
在直线 y= 2x上，问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，由 y= 2ln x求导可得 y′ = 2x，令
y′ = 2，解得 x= 1，此时 y= 2ln 1= 0，则M (1,0)，所以点M (1,0)到直线 y= 2x的距离 d= 2 =
22+ (-1)2
2 5
5 即为直线与曲线之间最小的距离，故 f(x)min= d
2= 45 ．
由于存在 x0使得 f(x0)≤ b，则 f(x) 4min≤ b，即 b≥ 5 ，
故选：C．
3
例8.已知函数 f(x) = 12 (x- 2t)
3+ 12 x- lnt+ 1 -
3
2 ax，若对任意的正实数 t，f(x)在R上都是增函
数，则实数 a的取值范围是 (　　)
A. -∞ 4 9 9， 16 3 B. -∞，2 C. -∞，4 D. -∞，5
3
【解答】解：∵ f(x) = 12 (x- 2t)
3+ 12 x- lnt+ 1 -
3
2 ax，
2
∴ f′ (x) = 32 (x- 2t)
2+ 32
1
2 x- lnt+ 1 -
3
2 a，
又对任意的正实数 t，f(x)在R上都是增函数，
∴ f′ (x) = 3 (x- 2t)2+ 3 1
2
2 2 2 x- lnt+ 1 -
3
2 a≥ 0 在 x∈R上恒成立，
2
即 a≤(x- 2t)2+ 12 x- lnt+ 1 在 x∈R上恒成立，
2
∵ (x- 2t)2+ 12 x- lnt+ 1 的几何意义为动点 (2t,lnt- 1)到直线 y=
1
2 x，即 x- 2y= 0 上点的距离的
平方，
(2t- 2lnt+ 2)2
其最小值为 5 ．
令 g(t) = 2(t- lnt+ 1)，g′ ( ) = 2(t- 1)t t ，
当 t∈ (0,1)时，g′ (t)< 0，当 t∈ (1,+∞)时，g′ (t)> 0，
∴ ( ) = ( )= (2t- 2lnt+ 2)
2
g t min g 1 4，则 5 的最小值为
16
5 ．
∴实数 a的取值范围是 -∞, 16 5 ．
故选：D．
例9.已知实数 a，b，c，d满足 |ln(a- 1) - b|+|c- d+ 2| = 0，则 (a- c)2+ (b- d)2的最小值为 (　　)
A. 2 2 B. 8 C. 4 D. 16
【解答】解：由题意可知，b= ln(a- 1)，d= c+ 2，
(a- c)2+ (b- d)2 的几何意义为曲线 b= ln(a- 1)上的点 (a,b)到直线 d= c+ 2 上的点 (c,d)连线的距离
的平方，
不妨设曲线 y= ln(x- 1)，直线 y= x+ 2，设与直线 y= x+ 2 平行且与曲线 y= ln(x- 1)相切的直线方程
为 y= x+m，
显然直线 y= x+ 2 与直线 y= x+m的距离的平方即为所求，
由 y= ln(x- 1)，得 y = 1x- 1 ，设切点为 (x0，y0)，
1 x - 1 = 1 x0= 20
则
y0= x0+m
，解得 m=-2， y = ln(x - 1) y0= 00 0
∴ |2+ 2|直线 y= x+ 2 与直线 y= x+m的距离为 = 2 2，
2
∴ (a- c)2+ (b- d)2的最小值为 8．
故选：B．
题型二：曲线与点的距离
例10.若点A(0,t)与曲线 y= lnx上点B距离最小值为 2 3，则实数 t为 (　　)
A. ln2+ 3 B. ln3+ 2 C. 12 ln3+ 3 D.
1
2 ln2+ 2
【解答】解：设点B坐标为 (x0，lnx0)，其中 x0> 0，
∵ y = 1x，∴过点B的切线斜率为
1
x ，0
∵当直线 与过点 的切线垂直时，点 与点 间的距离最小，∴此时 lnx0- tAB B A B x =-x0，∴ lnx0- t=0
-x20，
点A与点B间的距离最小值 x20+ (lnx0- t)2= x20+ x40 = 2 3，
即 x40+ x20- 12= 0，解得：x20= 3，又∵ x0> 0，∴ x0= 3，
∴ t= lnx 20+ x0= ln 3+ 3= 12 ln3+ 3，
故选：C．
例11.若点A(t,0)与曲线 y= ex上点P的距离的最小值为 2 3，则实数 t的值为 (　　)
A. 4- ln23 B. 4-
ln2 C. 3+ ln32 3 D. 3+
ln3
2
【解答】解：y= ex的导数为 y′ = ex，
设P(m,em)，可得过P的切线的斜率为 em，
当AP垂直于切线时，AP取得最小值 2 3，
m
可得 e 1m- t =- em ，
且 (m- t)2+ e2m= 2 3，
可得 (m- t)2- (m- t) - 12= 0，
解得m- t=-3(4 舍去)，
即有 e2m= t-m= 3，解得m= ln32 ，
t= 3+ ln32 ，
故选：D．
题型三：曲线与圆的距离
2
例12.已知点P为函数 f(x) = lnx 1的图象上任意一点，点Q为圆 x- e+ e + y
2= 1任意一点，则线
段PQ的长度的最小值为 (　　)
2 2 2
A. e- e - 1e B.
2e + 1- e
e C.
e + 1- e
e D. e+
1
e - 1
【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心Q e+ 1e ，0
到函数 f(x) = lnx图象上一点的距离的最小值．
设 f(x)图象上一点 (m,lnm)，
由 f(x)的导数为 f′ (x) = 1x，
即有切线的斜率为 k= 1m，
可得 lnm- 01 =-m，m- e+ e
即有 lnm+m2- e+ 1e m= 0，
由 g(x) = lnx+ x2- e+ 1e x，可得 g′ (x) =
1
x + 2x- e+
1
e ，
当 2< x< 3 时，g′ (x)> 0，g(x)递增．
又 g(e) = lne+ e2- e+ 1e e= 0，
可得 x= e 处点 (e,1)到点Q的距离最小，且为 1+ 1
e2
，
2
则线段PQ的长度的最小值为 1+ 12 - 1，即
1+ e - e
e ．e
故选：C．
2
例13.已知点P为函数 f(x) = lnx+ e(x> 2) 1图象上任意一点，点Q为圆 x- e+ 2 e + 1 + y = 1上
任意一点，则线段PQ的长度的最小值为 (　　)
1+ e2(1+ e) - e 2
A. B. 2e + 1- ee e
2
C. e + 1- e
2
D. e- e - 1e e
2
【解答】解：设P(x,lnx+ e)，又圆 x- e+ 1 + 1 + y2 e = 1 的圆心为M e+
1
e + 1,0 ，
2
令 g(x) =PM 2= x- e- 1e - 1 + (lnx+ e)
2，
g′ (x) = 2x- 2 e+ 1 + 1 + 2e + 2lnxe x x ，(x> 2)．
g′′ (x) = 2-- 2e + 1- lnx = 2(x
2+ 1- lnx- e)
2 > 0，x x2 x2
∴ g′ (x)单调递增，而 g′ (e) = 0．
∴ g(x)在 (2,e)递减，在 (e,+∞)递增，
(1+ e)2∴ ( ) = ( )= + ( + )2= (1+ e
2) (1+ e)2
g x min g e e2
1 e ，
e2
1+ e2∴ ( ) (1+ e)PM min= e ，
1+ e2(1+ e)
则线段PQ的长度的最小值为 e - 1，
故选：A．
2
例14.已知点P为函数 f(x) = lnx 1 1的图象上任意一点，点Q为圆 2 x- e+ e + y = 4 上任意一点，则
线段PQ长度的最小值为 (　　)
e- e2- 1 2 e2+ 1- e e2A. e B. C.
+ 1- e
2e 2e D. e+
1
e -
1
2
【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心C e+ 1e ，0 到函数 f(x) = lnx图象上一点的距离的最小值．
设 f(x)图象上一点 (m,lnm)，
由 f(x)的导数为 f′ (x) = 1x，即有切线的斜率为 k=
1
m，
可得 lnm- 0 =-m，
m- e+ 1e
即有 lnm+m2- e+ 1e m= 0，
由 g(x) = lnx+ x2- e+ 1 x，可得 g′ (x) = 1e x + 2x- e+
1
e ，
当 2< x< 3 时，g′ (x)> 0，g(x)递增．
又 g(e) = lne+ e2- e+ 1e e= 0，
可得 x= e 处点P(e,1)到点Q的距离最小，且为 1+ 12 ，e
2
则线段PQ的长度的最小值为 1+ 1 - 1 = 2 e + 1- e
e2 2 2e
．
故选：B．
例15.已知点P为函数 f(x) = ex的图象上任意一点，点Q为圆 (x- 1)2+ y2= 1上任意一点，则线段PQ
长度的最小值为 (　　)
A. 2- 1 B. 1 C. 2 D. 3- 1
【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心Q(1,0)到函数 f(x) = ex图象上一点的距离的最小值．
设 f(x)图象上一点 (m,em)，
由 f(x)的导数为 f′ (x) = ex，
即有切线的斜率为 k= em，
可得 e
m
-m
m- 1 =-e ，
即有 e2m+m- 1= 0，
由 g(x) = e2x+ x- 1，可得 g′ (x) = 2e2x+ 1> 0，g(x)递增．
又 g(0) = 0，
可得 x= 0 处点 (0,1)到点Q的距离最小，且为 2，
则线段PQ的长度的最小值为 2- 1，
故选：A．
题型四：曲线与抛物线的距离
2 2 2
例16.设 φ(a，b) = (a- b)2+ lna- b + b4 4 (a> 0,b∈R)，当 a，b变化时 φ(a,b)的最小值为　　．
2 2 2
【解答】解：设 f(x) = lnx,g(x) = x4 ，则 (a- b)
2+ lna- b4 表示函数 f(x)上一点P(a,lna)与函数 g
2
(x)上一点Q b, b4 之间的距离，
2 2
又函数 g(x) = x4 表示焦点为F(0,1)，准线为 y=-1 的抛物线，由抛物线的定义可得
b
4 = |QF|-1，
2 2 2
∴ φ(a，b) = (a- b)2+ lna- b4 + b4 (a> 0,b∈R)的几何意义即为 |PQ|+|QQ′| = |PQ|+|QF|-1，
作出示意图如下，
由图观察可知，当点P运动至点P′，且FP′垂直于过点P′的函数 f(x) = lnx的切线，点Q为线段FP′与函
2
数 g(x) = x4 的交点时，|PQ|+|QF|-1 最小，
y0- 1 1
′ ( ) ′ ( ) = 1 x x =-1设P x0，y0 ， x = 1f x 0x，则 0 0 ，解得 ，即P′ (1,0)，y = lnx y0= 00 0
∴ |PQ|+|QF|-1 的最小值为 |FP′|-1= 1+ 1- 1= 2- 1．
故答案为： 2- 1．
2 2 2
例17.设D= (x- a)2+ lnx- a4 + a4 + 1． (a∈R)，则D的最小值为 (　　)
A. 22 B. 1 C. 2 D. 2
2 2
【解答】解：S= (x- a)2+ lnx- a4 (a∈R)，其几何意义为：
2
两点 (x． lnx)， a, a4 的距离的平方，
由 y= lnx的导数为 y′ = 1 ，∴ k= 1x x1
2
点 a, a 1 24 在曲线 y= 4 x 上，
∴ y′ = 12 x，∴ k=
1
2 x2，
令 f(x) = lnx，g(x) = 1 x24 ，
则D(x) = (x 2 21- x2) + [ f(x1) - g(x2)] + g(x2) + 1，
而 g(x2) + 1 是抛物线 y= 1 x24 上的点到准线 y=-1 的距离，
即抛物线 y= 14 x
2上的点到焦点 (0,1)的距离，
则D可以看作抛物线上的点 (x2，g(x2))到焦点距离和到 f(x) = lnx上的
点的距离的和，
即 |AF|+|AB|，
由两点之间线段最短，得D的最小值是点 F(0,1)到 f(x) = lnx上的点的
距离的最小值，
由点到直线上垂线段最短，这样就最小，
即取B(x0，lnx0)，
则 f (x0)
lnx0
x =-1，垂直，0
则 lnx - 1=-x20 0，解得 x0= 1，
∴F到B(1,0)的距离就是点F(0,1)到 f(x) = lnx上的点的距离的最小值，
∴D的最小值为 |DF| = 2．
故选：C．
题型五：曲线与曲线的距离
例18.设点P在曲线 y= 12 e
x上，点Q在曲线 y= ln(2x)上，则 |PQ|的最小值为 (　　)
A. 1- ln 2 B. 2(1- ln 2) C. 1+ ln 2 D. 2(1+ ln 2)
【解答】解：∵ y= 1 ex2 ，该函数的定义域为R，值域为 (0,+∞)，x= ln2y，
∴函数 y= 1 x2 e 与 y= ln(2x)互为反函数，
其图象关于直线 y= x对称，
两曲线上点之间的最小距离就是 y= x与 y= 1 ex2 上点的最小距离的 2 倍．
设 y= 12 e
x上点 (x0，y0)处的切线与直线 y= x平行，
则 1 ex_02 = 1，
∴ x0= ln2，y0= 1，
∴ ( ) = |ln2- 1|点 x 20，y0 到 y x的距离为 = 2 (1- ln2)，2
则 |PQ|的最小值为 22 (1- ln2) × 2= 2(1- ln2)．
故选：B．
例19.设点P在曲线 y= e2x 1上，点Q在曲线 y= 2 lnx上，则 |PQ|的最小值为 (　　)
A. 22 (1- ln2) B. 2(1- ln2) C. 2(1+ ln2) D.
2
2 (1+ ln2)
【解答】解：y= e2x与 y= 12 lnx互为反函数，它们图象关于直线 y= x对称；
又 y = 2e2x，由直线的斜率 k= 2e2x0= 1，得 x 10=- 2 ln2，
y0= e2x0= 12 ，
所以切线方程为 x- y+ 12 + ln2= 0，
则原点到切线的距离为 d= 24 (1+ ln2)，
|PQ|的最小值为 2d= 22 (1+ ln2)．
故选：D．
例20.设点P在曲线 y= 2ex上，点Q在曲线 y= lnx- ln2上，则 |PQ|的最小值为 (　　)
A. 1- ln2 B. 2(1- ln2) C. 2(1+ ln2) D. 2(1+ ln2)
【解答】解：∵解：∵ y= 2ex与 y= lnx- ln2 互为反函数，
先求出曲线 y= 2ex上的点到直线 y= x的最小距离．
设与直线 y= x平行且与曲线 y= 2ex相切的切点P(x0，y0)．
y′ = 2ex，
∴ 2ex0= 1，解得 x = ln 10 2 =-ln2
1
∴ y ln 20= 2e = 1．
|-ln2- 1| 2(1+ ln2)
得到切点P(-ln2,1)，到直线 y= x的距离 d= =
2 2
，
|PQ|的最小值为 2d= 2(1+ ln2)，
故选：D．
例21.设点P在曲线 y= ex+1上，点Q在曲线 y=-1+ lnx上，则 |PQ|最小值为 (　　)
A. 2 B. 2 2 C. 2(1+ ln2) D. 2(1- ln2)
【解答】解：∵ y= ex+1与 y=-1+ lnx互为反函数，
先求出曲线 y= ex+1上的点到直线 y= x的最小距离．
设与直线 y= x平行且与曲线 y= ex+1相切的切点P(x0，y0)．
y′ = ex+1，ex0+1= 1，解得 x =-1．∴ y = e-1+10 0 = 1．
|-1- 1|
得到切点P(-1,1)，到直线 y= x的距离 d= = 2．
2
∴ |PQ|最小值为 2 2．
故选：B．
例22.设满足方程 (2alna- b)2+ (c2-mc+ 3+ d)2= 0的点 (a,b)，(c,d)的运动轨迹分别为曲线M，N，
1
若在区间 e ，e 内，曲线M，N有两个交点 (其中 e= 2.71828 是自然对数的底数)，则实数m的最
大值为 (　　)
A. 4 B. 4+ 2ln3 C. e+ 2+ 3e D.
1
e + 3e- 2
【解答】解：∵ (2alna- b)2+ (c2-mc+ 3+ d)2= 0，
∴ 2alna- b= 0，c2-mc+ 3+ d= 0，
依题意，曲线M :y= 2xlnx，曲线N :y=-x2+mx- 3，
2 2
其中曲线N可化为：y=- x- m2 +
m
4 - 3，其图象如图，
要使在区间 1 e ，e 内曲线M，N有两个交点，
则必有曲线N在 x取 e 时 y的值需小于或等于 2elne= 2e，
故要使得m最大，只需 2e=-e2+me- 3，
2
解得：m= e + 2e+ 3e = e+ 2+
3
e ，
故选：C．
题型六：横向距离
例23.已知直线 y= b与函数 f(x) = 2x+ 3和 g(x) = ax+ lnx分别交于A，B两点，若AB的最小值为 2，
则 a+ b=　　．
【解答】解：设A(x1，b)，B(x2，b)，可设 x1< x2，
则 2x1+ 3= ax2+ lnx2= b，
∴ x 11= 2 (ax2+ lnx2- 3)，
∴ |AB| = x - x = 1- 1 a x - 1 lnx + 32 1 2 2 2 2 2 ，
令 y= 1- 1 1 32 a x- 2 lnx+ 2 ，
′ = - 1 - 1 1 = (2- a)x- 1则 y 1 2 a 2 x 2x (x> 0)，
由 |AB|的最小值为 2，
可得 2- a> 0，
函数在 0, 12- a 上单调递减，在
1
2- a，+∞ 上单调递增，
∴ x= 12- a 时，函数 y取得极小值，且为最小值 2，
即有 1- 1 a 1 1 1 32 2- a - 2 ln 2- a + 2 = 2，
解得 a= 1，
由 x2= 1，
则 b= ax2+ lnx2= 1+ ln1= 1，
可得 a+ b= 2．
故答案为：2．
例24.已知直线 y= b与函数 f(x) = 2x+ 5和 g(x) = ax+ lnx的图象分别交于A、B两点，若 |AB|的最小
值为 3，则 2a- b=　　．
【解答】解：设A(x1，b)，B(x2，b)，x2> 0，
则 2x1+ 5= ax2+ lnx2= b，
则 x 11= 2 (ax2+ lnx2- 5)，
则 |AB| = x2- x1= x - 12 2 (ax2+ lnx2- 5) =
1
2 [(2- a)x2- lnx2+ 5]，
设 h(x) = (2- a)x- lnx+ 5，x> 0，
则 h′ (x) = 2- a- 1x，
∵ |AB|的最小值为 3，
∴ h′ (x) = 0 的根为 x= 12- a，且函数 h(x)在
1
2- a，+∞ 上递增，则 -∞,
1
2- a 上递减，
则函数的最小值为 h 1 1 12- a = 2- a × (2- a) - ln 2- a + 5= 6
即 1- ln 1 1 12- a + 5= 6 即 ln 2- a = 0，则 2- a = 1 得 2- a= 1，a= 1，
此时 x2= 1，则 b= 1+ ln1= 1，
即 2a- b= 2- 1= 1，
故答案为：1
例25.设直线 y= a与函数 f(x) = ex，g(x) = x的图象分别交于A，B两点，则 |AB|的最小值为 (　　)
A. 2- 12 ln2 B.
1
2 -
1
2 ln2 C. 2+
1
2 ln2 D.
1
2 +
1
2 ln2
【解答】解：∵直线直线 y= a与函数 f(x) = ex，g(x) = x的图象分别交于A，B两点，
∴A(lna,a)，B(a2，a)，其中 a2> lna，且 a> 0，
∴ |AB| = a2- lna，设函数 h(a) = a2- lna，
h′ (a) = 2a- 1a，a> 0，
令 h′ (a) = 0，解得 a= 22 ，
当 h′ (a)> 0，即 a> 22 时，函数在
2
2 ，+∞ 单调递增，
当 h′ (a)< 0，即 0< a< 22 时，函数在 0,
2
2 单调递减，
故 a= 22 时，函数有最小值，最小值为 h
2 = 1 - - 12 2 2 ln2 ，
故线段AB的长度的最小值为 1 12 + 2 ln2．
故选：D．
例26.已知函数 f(x) = e2x，g(x) = lnx+ 12 的图象分别与直线 y= b交于A，B两点，则 |AB|的最小值为
(　　)
1
A. 1 B. e2 C. 2+ ln22 D. e-
ln3
2
【解答】解：由题意，A 1
1 1
2 lnb，b ，B e
b- 2，b ，其中 eb- 2> 12 lnb，且 b> 0，
1
所以 |AB| = eb- 2- 1
1
2 lnb，令 h(x) = e
x- 2- 12 lnx，(x> 0)，
1
则 h′ (x) = ex- 2- 1 12x = 0 时，解得 x= 2 ，
所以 0< x< 1 12 时，h′ (x)< 0；x> 2 时，h′ (x)> 0，
则 h(x)在 0, 1 上单调递减，在 12 2 ，+∞ 上单调递增，
所以当 x= 12 时，|AB| =
2+ ln2
min 2 ，
故选：C．
题型七：纵向距离
例27.直线 x= a(a> 0)分别与直线 y= 3x+ 3，曲线 y= 2x+ lnx交于A、B两点，则 |AB|最小值为　
　．
【解答】解：令 f(x) = 3x+ 3- 2x- lnx= x- lnx+ 3，
则 f′ (x) = 1- 1x，
∴当 0< x< 1 时，f′ (x)< 0，当 x> 1 时，f′ (x)> 0，
∴ f(x)在 (0,1)上单调递减，在 (1,+∞)上单调递增，
∴当 x= 1 时，即 a= 1 时，f(x)取得最小值 f(1) = 4，
∴ |AB|的最小值为 4．
故答案为：4．
例28.直线 x= a分别与曲线 y= 2(x+ 1)，y= x+ lnx交于A、B两点，则 |AB|的最小值为 (　　)
A. 3 B. 2 C. 3 2 34 D. 2
【解答】解：令 f(x) = 2x+ 2- x- lnx= x- lnx+ 2，
则 f′ (x) = 1- 1x，
∴当 0< x< 1 时，f′ (x)< 0，当 x> 1 时，f′ (x)> 0，
∴ f(x)在 (0,1)上单调递减，在 (1,+∞)上单调递增，
∴当 x= 1 时，即 a= 1 时，f(x)取得最小值 f(1) = 3，
∴ |AB|的最小值为 3．
故选：A．
例29.直线 x= a(a> 0)分别与曲线 y= 2x+ 1，y= x+ lnx相交于A，B两点，则 |AB|的最小值为 (　
　)
A. 1 B. 2 C. 2 D. 3
【解答】解：令 f(x) = 2x+ 1- x- lnx= x- lnx+ 1，
则 f′ (x) = 1- 1x，
∴当 0< x< 1 时，f′ (x)< 0，当 x> 1 时，f′ (x)> 0，
∴ f(x)在 (0,1)上单调递减，在 (1,+∞)上单调递增，
∴当 x= 1 时，即 a= 1 时，f(x)取得最小值 f(1) = 2，
∴ |AB|的最小值为 2．
故选：B．
【过关测试】
一、单选题
1.若 x、a、b为任意实数，若 (a+ 1)2+ (b- 2)2= 1，则 (x- a)2+ (lnx- b)2最小值为 ( )
A. 2 2 B. 9 C. 9- 4 2 D. 2 2- 1
【答案】C
【解析】由题可知，问题可转化为圆 (x+ 1)2+ (y- 2)2= 1 上动点到函数 y= lnx图像上动点距离的最小值，
即求函数 y= lnx上动点到圆心 -1,2 距离的最小值，数形结合可知当 y= lnx在 m,lnm 处的切线与
m,lnm 和 -1,2 连线垂直时为最小值，据此求出m的值，即可得到答案．
【详解】
由 (a+ 1)2+ (b- 2)2= 1 可得 a,b 在以 -1,2 为圆心，1 为半径的圆上，
(x- a)2+ (lnx- b)2表示点 a,b 与点 x,lnx 的距离的平方，
即表示圆 (x+ 1)2+ (y- 2)2= 1 上动点到函数 y= lnx图像上动点距离的平方．
设 m,lnm 为 y= lnx上一点，且在 m,lnm 处的 y= lnx的切线与 m,lnm 和 -1,2 连线垂直，可得
lnm- 2 1
m+ 1 m =-1，
即有 lnm+m2+m= 2，
由 f m = lnm+m2+m在m> 0 时递增，且 f 1 = 2，可得m= 1，即切点为 1,0 ，
圆心与切点的距离为 d= (1+ 1)2+ (0- 2)2= 2 2，
由此可得 (x- a)2+ (lnx- b)2的最小值为 (2 2- 1)2= 9- 4 2．
故选：C．
2.已知实数 a,b,c,d满足 a= eb-1，c= ln(d- 1)，则 (a- c)2+ (b- d)2的最小值为 ( )
A. 12 B. 1 C. 2 D. 2
【答案】D
【解析】理解原代数式的含义，转化为函数形式，再分析其几何意义，构造函数即可求解.
【详解】
∵ a= eb-1,c= ln d- 1 ,∴ a- c 2+ b- d 2= eb-1- ln d- 1 2+ b- 1 - d- 1 2 ，
令 b- 1= x1,d- 1= x2 ，则 a- c 2+ b- d 2= ex1- lnx2 2+ x1- x2 2，
其几何意义为点A x x11,e 与点B x2,lnx2 之间距离的平方，
设 f x = ex,g x = lnx ，则点A和B分别在 f x 和 g x 的图像上，如下图，
显然 f x 和 g x 互为反函数，其图像关于 y= x对称，
则A与B的最短距离必然在直线 y= x的垂线上，点A与点B关于 y= x
对称，
不妨设B x,lnx ，则A lnx,x ，
AB2= 2 x- lnx 2 ，设 h x = x- lnx ，h x = 1- 1 x =
x- 1
x ，
当 x> 1,h x > 0 ，0< x< 1,h x < 0 ，在 x= 1 处取得最小值 h 1 = 1 ，
即 h x ≥ 1> 0 ，∴当 h x 取最小值时，即是AB2 取得最小值，
AB2 的最小值为 2× 12= 2 ；
故选：D.
3.设直线 x= t与函数 f x = 2x2,g x = lnx的图像分别交于点M ,N，则 MN 的最小值为 ( )
A. 12 + ln2 B. 3ln2- 1 C.
e
2 - 1 D.
1
2
【答案】A
【解析】列出 |MN |的表达式，利用导数方法，分析其单调性求最小值即可．
【详解】
由题意M (t,2t2)，N (t,lnt)，
2
所以 MN = 2t2- lnt ，令 h(t) = 2t2- lnt，则 h (t) = 4t- 1 = 4t - 1t t ，
当 0< t< 12 时，h
(t)< 0，当 t> 12 时，h
(t)> 0，所以 h(t)min= h 12 =
1
2 + ln2，
即 |MN |的最小值为 12 + ln2，
故选：A.
4. f x = lnx+ 1 g x = 2ex-
1
已知函数 ， 2，若 f m = g n 成立，则m-n的最小值是
A. 12 + ln2 B. e- 2 C. ln2-
1
2 D. e-
1
2
【答案】A
【解析】分析：设 f(m) = g(n) = t，则 t> 0，把m,n用 t表示，然后令 h(t) =m-n，由导数求得 h(t)的最小
值．
详解：设 f(m) = g(n) = t，则 t> 0，m= et-1，n= ln t + 12 2 = lnt- ln2+
1
2 ，
∴m-n= et-1- lnt+ ln2- 12 ，令 h(t) = e
t-1- lnt+ ln2- 12 ，
则 h'(t) = et-1- 1 ，h"(t) = et-1+ 1t 2 > 0，∴ h'(t)是 (0,+∞)上的增函数，t
又 h'(1) = 0，∴当 t∈ (0,1)时，h'(t)< 0，当 t∈ (1,+∞)时，h'(t)> 0，
即 h(t)在 (0,1)上单调递减，在 (1,+∞)上单调递增，h(1)是极小值也是最小值，
h(1) = 12 + ln2，∴m-n的最小值是
1
2 + ln2．
故选A．
点睛：本题易错选B，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求 b- a的最小值问题，通过
构造新函数，转化为求函数 h(t)的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错．
2 2 2
5.设D= x- a a 2+ lnx- a4 + 4 + 1. a∈R ，则D的最小值为 ( )
A. 22 B. 1 C. 2 D. 2
【答案】C
【解析】由题可得：设 f(x) = lnx,g(x) = 1 24 x ，所以D为 g(x)上任意一点到 f(x)上任一点及抛物线焦点的
距离之和，所以距离表达式为 x2+ (lnx- 1)2,令 h(x) = x2+ (lnx- 1)2，h'(x) = 2 x+ lnx- 1 x ，显然在
[0,1]递减，[1,+∞)递增所以 h(x)min= h(1) = 2，故 x2+ (lnx- 1)2 最小值为 2
点睛：本题的解题关键是要将题意转化为抛物线上的点到 lnx上的点距离与焦点的距离之和，然后借助导
数求最值即可解决问题，此题较难
6.已知直线 y= a分别与直线 y= 2x- 2和曲线 y= 2ex+ x相交于点A，B，则线段AB长度的最小值为
( )
A. 12 3+ ln2 B. 3- ln2 C. 2e- 1 D. 3
【答案】A
【解析】根据题意设两交点分别为A(x1,a)，B(x2,a)，可得，x1= 1+ ex2+ 12 x2，长度 |AB| = x1- x2 =
1+ ex2- 12 x2 ，考查函数 g x = 1+ ex-
1
2 x求最值即可得解.
【详解】
已知直线 y= a与直线 y= 2x- 2，曲线 y= 2ex+ x分别交点A，B，
设A(x1,a)，B(x2,a)，则有 2x1- 2= 2ex2+ x2，
变形可得 x 11= 2 (2+ 2e
x2+ x ) = 1+ ex22 + 12 x2，
又由 |AB| = x1- x2 = 1+ ex2+ 12 x2- x2 = 1+ ex2-
1
2 x2 ，
设 g 1 1 x = 1+ ex- 2 x，g x = e
x- 2 ，
则当 x< ln 1 12 时，g x < 0，函数 g x 在 -∞,ln 2 为减函数，
当 x> ln 12 时，g
x > 0，函数 g x 在 ln 12 ,+∞ 为增函数，
则 g x = 1+ ex- 1 2 x有最小值 g ln
1
2 ，且 g ln
1
2 = 1+
1 1 1 3+ ln2
2 - 2 ln 2 = 2 > 0，
则 3+ ln2 AB ≥ 2 ，
即线段AB长度的最小值是 3+ ln22 .
故选：A.
x
7.已知函数 f x = e 2，g x = ln x2 + 1，对任意 x1∈R，存在 x2∈ 0,+∞ ，使得 f x1 = g x2 ，则 x2- x1
的最小值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】设 t= x2 换元，问题转化为对任意 t1∈R，存在 t2∈ 0,+∞ ，使得F t1 =G t2 ，则 t2- t1的最小值，
利用 t1,t2的关系把 t2- t1转化为一元函数，然后求最小值．
【详解】
设 t= x，设F(t) = et2 ，G(t) = lnt+ 1，t1=
x1 , = x2 t
2
2 2 ，对任意 t1∈R，存在 t2∈ 0,+∞ ，使得F t1 =
t etG t2 ，即 e 1= lnt2+ 1，t = e
1-1
2 ，
t
所以 t - t = ee 1-12 1 - t1，t1∈R，
令 x x xh(x) = ee -1- x，h (x) = ee -1 ex- 1= ee +x-1- 1，
易知 φ(x) = ex+ x- 1 是增函数，φ(0) = 0，x< 0 时，φ(x)< 0，h (x)< 0，h(x)递减，x> 0 时，φ(x)> 0，
h (x)> 0，h(x)递增，
所以 x= 0 时，h(x)min= h(0) = 1，所以 t2- t1的最小值是 1，x2- x1= 2(t2- t1)的最小值是 2．
故选：D．
【点睛】本题考查用导数求最值，解题关键是化二元函数为一元函数，题中解法是换元后直接利用F(t1) =
G(t2)把 t2用 t1表示，然后转化为一元函数，另外也可以设 f(x1) = g(x2) = t(t> 0)，把 x1,x2都用 t表示，化
为 t的一元函数，然后由导数得最小值．
8.已知曲线C1:y= ex上一点A x1,y1 ，曲线C2:y= 1+ ln x-m m> 0 上一点B x2,y2 ，当 y1= y2时，
对任意 x1，x2，都有 AB ≥ e恒成立，则m的最小值为 ( )
A. 1 B. e C. e- 1 D. e+ 1
【答案】C
【解析】根据题中条件，得到 ex1= 1+ ln x 12-m ，x x2-e2- x1≥ e，推出 0< 1+ ln x2-m ≤ e ，x2>m+ e ；
证明 lnx≤ x- 1，得到 1+ ln x -m ≤ x -m，推出 x -m≤ ex2-e，分离参数得m≥ x - ex2-e2 2 2 2 ，构造函数
求出 x - ex2-e2 的最大值，即可得出结果.
【详解】
因为当 y1= y2时，对于任意 x1，x2都有 AB ≥ e 恒成立，
所以有：ex1= 1+ ln x2-m ，x2- x1≥ e，
∴ 0< 1+ ln x -m ≤ ex2-e2 ，
∴ x 12>m+ e ，
令 g x = lnx- x+ 1，则 g x = 1x - 1=
1- x
x ，
所以当 x∈ 0,1 时，g x > 0，则 g x 单调递增；
当 x∈ 1,+∞ 时，g x < 0，则 g x 单调递减；
因此 g x ≤ g 1 = 0，即 lnx≤ x- 1 显然恒成立；
因为 x 12-m> e ，所以 ln x2-m ≤ x2-m- 1，即 1+ ln x2-m ≤ x2-m；
为使 1+ ln x2-m ≤ ex2-e恒成立，只需 x2-m≤ ex2-e恒成立；即m≥ x x2-e2- e 恒成立；
令 f x = x- ex-e，则 f x = 1- ex-e，
由 f x > 0 解得 x< e；由 f x < 0 解得 x> e；
所以 f x 在 -∞,e 上单调递增；在 e,+∞ 上单调递减；
所以 f x max= f e = e- 1；
∴m≥ e- 1，因此m的最小值为 e- 1.
故选：A
【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于将问题转化为不等式 0< 1+ ln x2-m ≤ ex2-e恒成立求参数范
围的问题，根据 lnx≤ x- 1，只需 x -m≤ ex2-e2 ，分离参数后，即可根据导数的方法求解.
9.已知函数 f(x) = ex-3 1 x，g(x) = 2 + ln 2 ，若 f(m) = g(n)成立，则n-m的最小值为 ( )
A. 1+ ln2 B. ln2 C. 2ln2 D. ln2- 1
【答案】D
【解析】令 t= f(m) = g(n)，得到m,n关于 t的函数式，进而可得n-m关于 t的函数式，构造函数利用导数
研究单调性并确定最值，即可求n-m的最小值.
【详解】
令 t= f(m) = g(n)，则 em-3= t，12 + ln
n
2 = t，
1 1
∴m= 3+ lnt，n= 2et- 2，即n-m= 2et- 2- 3- lnt，
1 1
若 h(t) = 2et- 2- 3- lnt，则 h (t) = 2et- 2- 1t (t> 0)，
∴ h (t) = 0，有 t= 12 ，
当 0< t< 12 时，h
(t)< 0，h(t)单调递减；当 t> 12 时，h
(t)> 0，h(t)单调递增；
∴ h(t) = h 1min 2 = ln2- 1，即n-m的最小值为 ln2- 1.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：令 t= f(m) = g(n)确定n-m关于 t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.
1
10. x-已知函数 f x = lnx+ 1，g x = 4e 2，若 f m = g n 成立，则m-n的最小值是 ( )
A. 12 + ln2 B.
1
2 + 2ln2 C. ln2-
1
2 D. e-
1
2
【答案】B
1
【解析】设 lnm+ 1= 4en- 2= t,t> 0，m-n= et-1- 1 t 1 t2 - ln 4 ，构造函数 h t = e
t-1- 2 - ln 4 ，利用导函
数求出最小值即可得解.
【详解】
1
由题设 f m = g n ，即 lnm+ 1= 4en- 2= t,t> 0，
所以m= et-1,n= 12 + ln
t ，m-n= et-1- 14 2 - ln
t
4 ，
令 h t = et-1- 1 t2 - ln 4 ，h
t = et-1- 1t ，h
t = et-1+ 1
t2
> 0，
所以 h t = et-1- 1t 在 t∈ 0,+∞ 单调递增，且 h
1 = 0，
所以由 h t = et-1- 1t > 0 得 t∈ 1,+∞ ，由 h
t = et-1- 1t < 0 得 t∈ 0,1 ，
所以 h t = et-1- 12 - ln
t
4 在 t∈ 0,1 单调递减，t∈ 1,+∞ 单调递增，
所以 h t min= h 1 = 12 + 2ln2
即m-n的最小值 12 + 2ln2.
故选：B
【点睛】此题考查利用导函数求最值，关键在于根据题意准确转化，对于导函数的零点不易求解的情况，考
虑“试根”结合单调性解不等式.
11.设动直线 x= t与曲线 y= ex以及曲线 y= lnx分别交于P，Q两点， PQ min表示 PQ 的最小值，则
下列描述正确的是 ( )
A. PQ = 2 B. 3 2 < 5 min 2 PQ min< 2
C. 2< 3 2 PQ min< 2 D. PQ min> 3
【答案】B
【解析】根据条件将 PQ 表示为函数的形式，然后利用导数研究对应函数的单调性并分析 PQ min的取值
范围.
【详解】
根据条件可知P t,et ,Q t,lnt ，所以 PQ = et- lnt，
不妨令F(x) = ex- lnx x> 0 ，则F (x) = ex- 1x，
又因为F 1
2
2 = e- 2< 0,F
22 = e 2 - 2> e-
3
2 > 0，
所以存在 x0∈ 1 ， 22 2 ，使得F (x0) = ex0-
1
x = 0，0
所以F x 在 0,x0 上递减，在 x0，+∞ 上递增，
所以F(x)在 x 处取得最小值，且F(x ) = ex00 0 - lnx0= 1x + x0，0
根据对勾函数的单调性可知：y= x+ 1 在 1x 2 ，
2
2 上单调递减，
所以 3 2 < 1 + x < 52 x 0 2 ，所以有
3 2
2 < |PQ|
5
min<
0 2
，
故选：B．
【点睛】本题考查利用导数解决函数的最值问题，对学生的转化与化归能力要求较高，其中对于极值点范围
的分析是一个重点，难度较难.
2 2 2
12. F(a,b) = a- b + ea- b 2+ b设 4 4 ，(a,b∈R)，则F(a,b)的最小值是 ( )
A. 2- 1 B. 2- 2 C. 22 D. 1
【答案】A
2
【解析】函数表示点A a,ea b 和B 4 ,b 的距离加上B的横坐标，根据抛物线定义转化求AF- 1 最小值，
设函数 g x = x- 1 2+ e2x，计算得到 g x min= g 0 = 2，得到答案.
【详解】
2 2 2
F(a,b) = a- b + ea4 - b 2+ b 4 ，
2
函数表示点A a,ea 和B b4 ,b 的距离加上B的横坐标，
画出 f x = ex和 y2= 4x的图像，如图所示：
故AB+BC=AB+BD- 1=AB+BF- 1≥AF- 1，当ABF
共线时等号成立.
设 g x = x- 1 2+ e2x，则 g' x = 2e2x+ 2x- 2，g' 0 = 0，
且 g'' x = 4e2x+ 2> 0 恒成立，故 g' x 单调递增，
故当 x> 0 时，g' x > 0，g x 单调递增；当 x≤ 0 时，g' x ≤
0，g x 单调递减；
g x min= g 0 = 2，故AF- 1≥ 2- 1.
综上所述：F(a,b)的最小值是 2- 1.
故选：A.
【点睛】本题考查了函数的最值问题，转化为对应的几何意义是解题的关键.
13.已知函数 f x = e4x-1,g x 1 = 2 + ln 2x ，若 f m = g n 成立，则n-m的最小值为 ( )
A. 2ln2- 13 B.
1+ 2ln2 1+ ln2 1- ln2
3 C. 4 D. 4
【答案】C
1 1
【解析】设 e4m-1= 12 + ln 2n = k k> 0 ，则m=
1 + lnk 4 4 ,n=
1 ek- 22 ，令 h k =n-m=
1
2 e
k- 2- lnk4 -
1 1 k- 1 1
4 ，∴ h' k =
2
2 e -
1 ，又 h' 1 k- 1 1 k = e 22 - 是增函数，h' 2 = 0,∴ h
1
k 在 0, 2 上递减，在4k 4k
12 ,+∞ 上递增，∴ h k min= h
1 = 1+ ln22 4 ，即n-m的最小值为
1+ ln2
4 ，故选C .
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题. 求最值问题往往先将所求问
题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函
数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求函数的
最值即可.
14.直线 y= a分别与曲线 y= x2- lnx,y= x- 2交于点P、Q，则 PQ 的最小值为
A. 2 B. 2 C. 1 D. 6
【答案】A
【解析】试题分析:设P x1,a ,Q x2,a ,则 x21- lnx1= x 22- 2∴ x2= x1- lnx1+ 2,∴ PQ = x2- x1
2
= 2- x- 1 2x+ 1 x1 lnx 2 1 2x - x- 11- x1+ 2,令 y= x - lnx- x+ 2,则 y= 2x- x - 1= x = x x> 0 ,
函数在 0,1 上单调递减,在 0,+∞ 上单调递增,∴ x= 1 时,函数的最小值为 2，所以A选项是正确的.
考点：导数与函数的单调性．
二、填空题
15.若 a> 0,b> 0，则 (a- 2 b)2+ (lna- b)2+ b的最小值是_______．
【答案】 2- 1
【解析】
由目标式的形式： (a- 2 b)2+ (lna- b)2 可看作P(a,lna),Q(2 b,b)两点的距离，而 b可看作Q(2 b,b),
H(2 b,0)两点的距离，问题转化为 |PQ|+|QH |的最小值；P是 y= lnx上的点，对于Q在坐标系存在F
(0,1),G(2 b,-1)使得 |QF| = |QG| = |QH |+1，可联想抛物线：以F(0,1)为焦点，y=-1 为准线的抛物线
x2= 4y，即问题最终为求抛物线 x2= 4y上一点到定点F(0,1)与 y= lnx上的一点的距离之和最小，结合抛
物线、函数图象及利用导数求最小值.
【详解】
由T= (a- 2 b)2+ (lna- b)2+ b，记P(a,lna),Q(2 b,b),H(2 b,0),F(0,1),G(2 b,-1)，
则T=PQ+QH=PQ+QG- 1=PQ+QF- 1，即原问题转化为抛物线 x2= 4y上Q到定点F(0,1)与 y
= lnx上的P的距离之和最小，
PQ+QF- 1≥PF- 1，当且仅当P,Q,F共线时等号成立.
令 f(a) =PF 2= a2+ (lna- 1)2，则 f ( ) = + 2(lna- 1)a 2a = 2 a2a a + lna- 1 且 a> 0，
由于 y= a2+ lna- 1 单调增，则 a= 1 是 f (a)唯一零点，即有 f(a)在 (0,1)上单调递减，在 (1,+∞)上单调
递增，则 f(a)≥ f(1) = 2，即PF最小值为 2.
则T≥PF- 1≥ 2- 1．
故答案为： 2- 1.
【点睛】本题考查了利用几何法求代数式的最值，综合抛物线的性质、两点距离公式、数形结合、导数研究函
数最值的应用，属于难题.
16.已知实数 a,b满足 (a+ 2)2+ (b- 3)2= 2，则对任意的正实数 x，(x- a)2+ (lnx- b)2的最小值为__
_____.
【答案】8
【解析】求出圆心C -2,3 到曲线 y= lnx上的点的距离最值后可求 (x- a)2+ (lnx- b)2的最小值.
【详解】
因为实数 a,b满足 (a+ 2)2+ (b- 3)2= 2，故P a,b 在圆C：(x+ 2)2+ (y- 3)2= 2 上.
而C -2,3 ，设 g x = x+ 2 2+ lnx- 3 2，
则 g x 表示C到曲线 y= lnx上的点的距离的平方.
x2又 g x = 2× + 2x+ lnx- 3 x ，
因为 h x = x2+ 2x+ lnx- 3 在 0,+∞ 为增函数，且 h 1 = 0，
故当 x∈ 0,1 时，h x < 0 即 g x < 0；当 x∈ 1,+∞ 时，h x
> 0 即 g x > 0；
故 g x 在 0,1 上为减函数，在 1,+∞ 为增函数，故 g x 的最小
值为 g 1 = 18.
故C -2,3 到曲线 y= lnx上的点的距离最小值为 3 2，
而圆C的半径为 2，故圆C上的点到曲线 y= lnx上的点的距离
最小值为 2 2，
故 (x- a)2+ (lnx- b)2的最小值 为 2 2 2= 8.
故答案为：8.
【点睛】思路点睛：与圆有关的最值问题，往往需要转化到圆心到几何对象的最值问题来处理，另外注意代
数式对应的几何意义.
2 2 2
17.设F a,b = a- b4 + ea- b 2+ b4 a,b∈R ，则F a,b 的最小值为______________．
【答案】 2- 1
【解析】
2
设点A a,ea 、B b4 ,b ，则F a,b 表示 AB 再加上点B的横坐标，利用抛物线的定义可得出F a,b =
AF - 1(其中F为抛物线 y2= 4x的焦点)，利用导数求出 AF 的最小值，即可得解.
【详解】
2 2 2
∵F a,b = a- b + ea- b 2+ b4 4 a,b∈R .
2
设点A b a,ea 、B 4 ,b ，则F a,b 表示 AB 再加上点B的横坐标，
其中点B为抛物线 y2= 4x上的一点，该抛物线的焦点为F 1,0 ，准线为 x=-1.
作出函数 y= ex与抛物线 y2= 4x的图象如下图所示：
过点B作抛物线 y2= 4x的准线的垂线，垂足为点D，设BD交 y轴于点C，
则F a,b = AB + BC = AB + BD - 1= AB + BF - 1≥ AF - 1，
当且仅当A、B、F三点共线时，等号成立，下面利用导数求出 AF 的最小
值，
AF = a- 1 2+ e2a，
构造函数 g x = x- 1 2+ e2x，其中 x∈R，
g x = 2x- 2+ 2e2x，g 0 = 0 且函数 g x 单调递增，
当 x< 0 时，g x < 0；当 x> 0 时，g x > 0.
所以，函数 g x 的单调递减区间为 -∞,0 ，单调递增区间为 0,+∞ .
∴ g x min= g 0 = 2，∴ AF min= 2，因此，F a,b 的最小值为 2- 1.
故答案为： 2- 1.
【点睛】关键点点睛：本题从代数式的几何意义出发，利用数形结合思想转化为折线段和的最小值问题来求
解，同时又考查了抛物线定义的应用，在求解 AF 的最值时，充分利用了导数来求解.
18.已知点M在圆C:x2+ y2- 4y+ 3= 0上，点N在曲线 y= 1+ lnx上，则线段MN的长度的最小值为_
___________．
【答案】 2- 1
【解析】由题可得C 0,2 ，圆C的半径 r= 1．设N t,1+ lnt t> 0 ，令 f t = |CN |2，首先求得 f t 的最
小值，然后求解线段MN的长度的最小值即可.
【详解】
由题可得C 0,2 ，圆C的半径 r= 1．设N t,1+ lnt (t> 0)，
令 f t = |CN |2，则 f t = t2+ 1- lnt 2(t> 0)，
2
所以 f t =
2 t + lnt- 1
2t+ 2 1- lnt - 1t = t ．
令 φ t = t2+ lnt -1(t> 0)，易知函数 φ t 在 0,+∞ 上单调递增，且 φ 1 = 0，
所以当 0< t< 1 时，f t < 0；当 t> 1 时，f t > 0，
所以 f t 在 0,1 上单调递减，在 1,+∞ 上单调递增，
所以 f t min= f 1 = 2．
因为 MN ≥ CN - 1≥ 2- 1，所以线段MN的长度的最小值为 2- 1．
【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，导函数求解函数的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力
和计算求解能力.
2 2 b219.设 φ(a,b) = (a- b)2+ lna- b4 + 4 (a> 0,b∈R)，当 a，b变化时，φ(a,b)的最小值为_____
__.
【答案】 2- 1.
2
【解析】函数表示点A a,lna 和B b, b4 的距离加上B的纵坐标，计算得到AB+BC≤AF- 1，设函数
g x = x2+ lnx- 1 2，计算得到 g x min= g 1 = 2，得到答案.
【详解】
2 2 2
φ(a,b) = b a- b 2+ lna- b4 + 4 ，
2
函数表示点A a,lna 和B b, b 4 的距离加上B的纵坐标，
2
画出 f x = lnx和 y= x4 的图像，如图所示：
故AB+BC=AB+BD- 1=AB+BF- 1≤AF- 1，当ABF
共线时等号成立.
设 g x = x2+ lnx- 1 2，则 g' x = 2 lnx- 1x + 2x，g' 1 = 0，
当 x> 1 时，2 lnx- 1x >-2，故 g' x = 2
lnx- 1
x + 2x> 0，函数单调递增；
当 0< x< 1 时，2 lnx- 1x <-2，故 g' x = 2
lnx- 1
x + 2x< 0，函数单调递减.
g x min= g 1 = 2，故AF- 1≤ 2- 1.
综上所述：φ(a,b)的最小值是 2- 1.
故答案为： 2- 1.
【点睛】本题考查了函数的最值问题，转化为对应的几何意义是解题的关键.
1
20.已知P,Q分别为函数 f(x) = 1 ex- 22 ，g(x) = ln(2x) +
1
2 上两点，则P,Q两点的距离 |PQ|的最小值是
__________．
【答案】0
【解析】根据函数 f x = 1 ex-
1
22 与函数 g x = ln 2x +
1
2 互为反函数，可知P、Q两点间的最短距离为点
P到直线 y= x的最短距离 d的 2 倍，利用导数求出 d即可．
【详解】
1
∵函数 f x = 1 ex- 22 与函数 g x = ln 2x
1
+ 2 互为反函数，
1
∴函数 f x = 12 e
x- 2 与函数 g x = ln 2x + 1 2 的图象关于直线 y= x对称，
1 1
设 φ x = 1 ex- 22 - x，则 φ'
1 x-
x = 22 e - 1
令 φ' x = 0,得 x= ln2+ 12 ，
又 φ' x 为增函数
∴ φ x 在 -∞，ln2+ 12 在单调递减，在 ln2+
1
2 ，+∞ 在单调递增
∴ φ x 的最小值为 φ ln2+ 1 = 12 2 - ln2= ln e- ln 4< 0
即 x0∈R，使得 φ x0 = 0
即函数 f x 图象与直线 y= x有交点，
1
即函数 f x = 1 ex- 22 与函数 g x = ln 2x +
1
2 的图象有公共点在直线 y= x上
故 PQ 的最小值是 0
故答案为：0．
【点睛】本题考查反函数的概念，导数的几何意义，两个图象的位置关系，属于中档题．
21.设点P,Q分别是曲线 y= xe-2x和直线 y= x+ 2上的动点, 则P,Q两点间的距离的最小值是____
____．
【答案】 2
【解析】试题分析：因为 y= f x = xe-2x,f ' x = e-2x 1- 2x ，由 f ' x = 1 得 x= 0，f 0 = 0，即曲线 y=
xe-2x在 0,0 处的切线与直线 y= x+ 2 平行，所以 0,0 到直线的距离就是P,Q两点间的距离的最小值，
由点到直线的距离公式得 d= 2 = 2，故答案为 2．
12+ 12
考点：1、利用导数求切点坐标；2、点到直线的距离公式及转化与划归思想的应用．
【方法点睛】本题主要考查利用导数求切点坐标、点到直线的距离公式及转化与划归思想的应用．属于难
题．数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模
思想等等，转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之
一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用
这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．以便将问题转化为我们所熟悉的知识
领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中．本题讲两点间的最值问题转化为，切
点到直线的距离是解题的关键．

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