资源简介

苏教版（2019）高中数学一轮复习第26讲《排列组合与二项式定理》（原卷版）
【知识梳理】
排列组合与二项式定理 基 本 原 理 分类加法计数原理 完成一件事有类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．
分步乘法计数原理 完成一件事情，需要分成个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法……做第步有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.
排 列 定义 从个不同元素中取出个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从从个不同元素中取出个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。
排列数 公式 ，规定．
组 合 定义 从个不同元素中，任意取出个元素并成一组叫做从个不同元素中取出个元素的组合，所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示
组合数 公式 ，．
性质 ()；()．
常 用 方 法 定位问题优先法 相邻问题捆绑法 3、相离问题插空法 4、定序问题除序、空位、插入法 5、平均分组问题倍除法 6、隔板法 7、正难则反法 8、混合问题先选后排法 9、环（圆）排问题直排法 10、多排问题单排法 11、重排问题求幂法 12、小集团问题先整体后局部法 13、含约束条件问题合理分类与分步法 14、简单问题实际操作穷举法 15、数字排序问题查字典法 16、复杂问题分解与合成法 17、复杂问题化归法 18、复杂分类问题表格法 19、运算困难问题树图法 20、构造模型法
二 项 式 定 理 定理 （叫做二项式系数）
通项公式 （其中）
系数和 公式 ；；
二、【真题再现】
1、（2022北京卷）若，则（）
A. 40 B. 41 C. D.
2、（2022上海卷）二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n＝　　．
3、（2022新高考1卷）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
4、（2022新高考1卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）
A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种
5、（2022浙江卷）已知多项式，则__________，___________．
三、【考点精讲】
考点1 两个计数原理
【例1-1】（2021·北京高三模拟）李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次．已知月日李明分别去了这四家超市配送，那么整个月他不用去配送的天数是（）
A． B． C． D．
【例1-2】（2021·福建福州·高三模拟）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有这三个数字，则不同的填法有（）
A．12种 B．24种 C．72种 D．216种
【例1-3】（2021·安徽高三月考）西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有__________种涂色方法．
【变式1-1】（2021·浙江高三月考）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的四位偶数.
【变式1-2】（2021·江苏扬州中学高三月考）已知集合P={1,2,3,4,5}，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（）
A．49 B．48 C．47 D．46
【变式1-3】（2021·陕西高三二模）回文数指从左向右读与从右向左读都一样的正整数，如22，343，1221，94249等.显然两位回文数有9个，即11，22，33，99；三位回文数有90个，即101，121，131，…，191，202，…，999.则四位回文数有______个，位回文数有______个.
考点2 排列问题
【例2-1】（2021.江西省高三月考），，，，五人站成一排，如果，必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（）
A．种 B．种 C．种 D．种
（2）（2021.成都市树德中学高三模拟）七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙 丙两人必须相邻，则排法共有（）
A．种 B．种 C．种 D．种
【例2-2】（2021·江苏高三期中）人排成一排照相，甲排在乙左边(可以相邻，也可以不相邻)的排法总数为（）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2019·上海高考真题）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有___种（结果用数值表示）
【变式2-2】（2021江苏高三期中）6人排成一行，甲、乙相邻且丙不排两端的排法有（　　）
A．288种 B．144种 C．96种 D．48种
【变式2-3】（2020·浙江高二期中）将编号为、、、、的个小球全部放入、、三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（）
A． B． C． D．
考点3 组合问题
【例3-1】（1）（2021江苏省南通市高三月考）从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，则不同的选取方案数为（）
A．10 B．20 C．540 D．1080
（2）（2021内蒙古高三调研）试题安排6名志愿者扶贫干部到甲、乙、丙三个贫困村做扶贫工作，每人只做1个村的脱贫工作，甲村安排1名，乙村安排2名，丙村安排3名，则不同的安排方式共有________种．
【例3-2】（2020·海南高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
【变式3-1】【变式演练1】（2019·江苏高考真题）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.
【变式3-2】（2018·全国高考真题（理））从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
【变式3-3】（2021·浙江温州·高三月考）一个盒子里装有7个大小 形状完成相同的小球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4，黄球3个，编号分别为1，2，3，从盒子中任取4个小球，其中含有编号为3的不同取法有________种.
考点4 排列组合综合问题
【例4-1】（1）（2022重庆市高三月考）重庆11中本学期接收了5名西藏学生，学校准备把他们分配到A，B，C三个班级，每个班级至少分配1人，则其中学生甲不分配到A班的分配方案种数是（）
A．720 B．100 C．150 D．345
（2）（2022河北省高三上摸底）现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲 乙两人，要求每人至少分得份，则不同的分法共有（）
A．10种 B．14种 C．20种 D．28种
【例4-2】（2021·全国高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【变式4-1】（2021年高考最后一卷理科数学）年月日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审．初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共个名称，作为我国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取个依次进行分析，若同时选中哪吒、赤兔，则哪吒和赤兔连续被分析，否则随机依次分析，则所有不同的分析情况有（）
A．种 B．种 C．种 D．种
【变式4-2】（2020·全国高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种.
【变式4-3】（上海市静安区2021届高三二模数学试题）在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（）．
A．204 B．260 C．384 D．480
考点5 二项式定理
【例5-1】（1）（2021·吉林长春市·高三（理））展开式中，的系数是（）
A． B． C． D．
（2）（2021·河北唐山·）若，则（）
A．56 B．448 C． D．
（3）（2021·广东执信中学高三月考）在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（）
A． B．展开式中没有常数项
C．展开式所有二项式系数和为1024 D．展开式所有项的系数和为256
【例5-2】（1）（2021·贵州高三月考）在的展开式中，的系数是-10，则( )
A．-2 B．-1 C．1 D．2
（2）（2021·全国高三）若的展开式中，含的项是第四项，则展开式中的二项式系数和为______．
【变式5-1】（2017新课标全国卷Ⅰ理科）展开式中的系数为
A．15 B．20 C．30 D．35
【变式5-2】（2020·全国高考真题）的展开式中x3y3的系数为（）
A．5 B．10 C．15 D．20
【变式5-3】（2021·江苏省太湖高级中学高二期中）的展开式中的项的系数是________.
考点6 二项式系数的性质及各项系数和
【例6-1】（1）（2021·四川省乐至中学高三月考（理））的展开式中，各项二项式系数的和是（）
A．1 B．-1 C． D．
（2）（2021·眉山市高三开学考试（理））已知，则（）
A． B． C． D．
（3）（2021·张家口市宣化第一中学高三月考）令，则（）
A． B． C． D．
【例6-2】（1）（2021·广西高三开学考试（理））展开式中常数项是__________．
（2）（2021·吉林高三开学考试（理））已知的展开式中常数项为240，则的展开式中项的系数为（）
A． B． C． D．
（3）（2021·乐清市知临中学）已知多项式，则 ______，______.
【变式6-1】（2021·高三专题练习）已知多项式，若，则正整数n的值为___________．
【变式6-2】（2021·陕西高三（理））若展开式中二项式系数和为A，所有项系数和为B，一次项系数为C，则（）
A．4095 B．4097 C．-4095 D．-4097
【变式6-3】（2020·湖南师大附中高三月考）若，则______.
考点7 二项式定理的应用
【例7-1】（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（理））已知，且恰能被14整除，则的取值可以是（）
A．1 B．3 C．7 D．13
【例7-2】（2021.湖北高三）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（）
A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
C．由“第行所有数之和为”猜想：
D．由“，，”猜想
【变式7-1】（2021·河北衡水中学高三月考）今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过天后是（）
A．星期六 B．星期日 C．星期一 D．星期二
【变式7-2】（2021·福建上杭一中高三）除以88的余数是______．
【变式7-3】（2021·上海金山·高三）若函数，其中≤x≤，则的最大值为_______．苏教版（2019）高中数学一轮复习第26讲《排列组合与二项式定理》（解析版）
【知识梳理】
排列组合与二项式定理 基 本 原 理 分类加法计数原理 完成一件事有类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．
分步乘法计数原理 完成一件事情，需要分成个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法……做第步有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.
排 列 定义 从个不同元素中取出个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从从个不同元素中取出个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。
排列数 公式 ，规定．
组 合 定义 从个不同元素中，任意取出个元素并成一组叫做从个不同元素中取出个元素的组合，所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示
组合数 公式 ，．
性质 ()；()．
常 用 方 法 定位问题优先法 相邻问题捆绑法 3、相离问题插空法 4、定序问题除序、空位、插入法 5、平均分组问题倍除法 6、隔板法 7、正难则反法 8、混合问题先选后排法 9、环（圆）排问题直排法 10、多排问题单排法 11、重排问题求幂法 12、小集团问题先整体后局部法 13、含约束条件问题合理分类与分步法 14、简单问题实际操作穷举法 15、数字排序问题查字典法 16、复杂问题分解与合成法 17、复杂问题化归法 18、复杂分类问题表格法 19、运算困难问题树图法 20、构造模型法
二 项 式 定 理 定理 （叫做二项式系数）
通项公式 （其中）
系数和 公式 ；；
二、【真题再现】
1、（2022北京卷）若，则（）
A. 40 B. 41 C. D.
【答案】B
【分析】利用赋值法可求的值.
【详解】令，则，令，则，故，故选：B.
2、（2022上海卷）二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n＝　　．
【分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得n的值．
【解答】解：∵二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，
即×3n﹣2＝5×3n，即 ＝5×9，∴n＝10，故答案为：10．
3、（2022新高考1卷）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28故答案为：-28
4、（2022新高考1卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）
A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种
【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B
5、（2022浙江卷）已知多项式，则__________，___________．
【答案】 ①. ②.
【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案．
【详解】含的项为：，故；
令，即，令，即，
∴，故答案为：；．
三、【考点精讲】
考点1 两个计数原理
【例1-1】（2021·北京高三模拟）李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次．已知月日李明分别去了这四家超市配送，那么整个月他不用去配送的天数是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将月剩余的30天依次编号为1，2，330，
因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次，且月日李明分别去了这四家超市配送，所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，
则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；
李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共5天；
李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；
李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天；
所以李明需要配送的天数为，
所以整个月李明不用去配送的天数是.故选：B.
【例1-2】（2021·福建福州·高三模拟）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有这三个数字，则不同的填法有（）
A．12种 B．24种 C．72种 D．216种
【答案】A
【解析】分步填数，先填第一行三个数字，第二步填第二行的第一个数，第三步其它格子中的数字填法唯一，由分步计数原理可得．
【详解】先填第一行，有种不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元格填好后，其它单元格唯一确定．根据分步乘法计数原理，共有种不同的填法．故选：A．
【例1-3】（2021·安徽高三月考）西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有__________种涂色方法．
【答案】420
【解析】对于新疆有5种涂色的方法，对于青海有4种涂色方法，对于西藏有3种涂色方法，
对于四川：若与新疆颜色相同，则有1种涂色方法，此时甘肃有3种涂色方法；
若四川与新疆颜色不相同，则四川只有2种涂色方法，此时甘肃有2种涂色方法；
根据分步、分类计数原理，则共有5×4×3×（2×2+1×3）＝420种方法．故答案为：420.
【变式1-1】（2021·浙江高三月考）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的四位偶数.
【答案】198
【解析】当用0时，0只能在个位，十位，百位三个位置之一.
当个位为0时，从2,4,6中再取1个数字(3种方法），从1,3,5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），将这取得的3个数字在十百千位任意排列，共有3!=6中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有3×3×6=54种方法；
当十位或百位为0时（2种不同方法），从2,4,6中再取1个数字放置在个位(3种方法），然后从1,3,5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），在其余两位上任意排列，共有2!=2中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有2×3×3×2=36种方法；
当没有用0时，从2，4，6中任取1个数字放置在个位(有3中不同的方法）；在从其余的2个非零偶数字中任取一个数字(2种不同方法），从1，3，5中任取2个数字（有3种不同方法)，将这3个数字在除个位之外的十百千3个位置上任意排列(有3!=6种不同的方法），由分步乘法计数原理方法数为3×2×3×6=108种．
根据分类加法计数原理，一共有没有重复数字的四位偶数54+36+108=198个，故答案为：198.
【变式1-2】（2021·江苏扬州中学高三月考）已知集合P={1,2,3,4,5}，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（）
A．49 B．48 C．47 D．46
【答案】A
【解析】集合知：
1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：的集合为，
而有种集合，集合对(A,B)的个数为15；
2、若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可：
的集合为，而B有种，集合对(A,B)的个数为；
3、若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可：
的集合为，而B有种，集合对(A,B)的个数为；
4、若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可：
的集合为，
而B有种，集合对(A,B)的个数为；
∴一共有个，故选：A
【变式1-3】（2021·陕西高三二模）回文数指从左向右读与从右向左读都一样的正整数，如22，343，1221，94249等.显然两位回文数有9个，即11，22，33，99；三位回文数有90个，即101，121，131，…，191，202，…，999.则四位回文数有______个，位回文数有______个.
【答案】90个
【解析】由题意，可得4位回文数的特点为中间两位是相同的，千位和个位数相同但不能为0，
第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，共有10种选法；
由分步计数原理可得，4位回文数共有个.
在位回文数中，第一步，先选左边的第一个数字，共有9种选法；
第二步，分步选左边的第个数字，共有种选法，
由分步计数原理可得，在位回文数中，共有个.故答案为：90；.
考点2 排列问题
【例2-1】（2021.江西省高三月考），，，，五人站成一排，如果，必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（）
A．种 B．种 C．种 D．种
（2）（2021.成都市树德中学高三模拟）七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙 丙两人必须相邻，则排法共有（）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】（1）A（2）D
【解析】（1），必须相邻且在的右边，考虑，作为一个整体，
所以不同的排法种数为种.故选：A
（2）特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余四个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有(种)．故选：D
【例2-2】（2021·江苏高三期中）人排成一排照相，甲排在乙左边(可以相邻，也可以不相邻)的排法总数为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先5人全排列有种不同的排法，甲排在乙左边的机会与排在右边的机会相同，
所以甲排在乙左边(可以相邻，也可以不相邻)的排法总数为种.故选：B
【变式2-1】（2019·上海高考真题）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有___种（结果用数值表示）
【答案】24
【分析】首先安排甲，可知连续天的情况共有种，其余的人全排列，相乘得到结果.
【详解】在天里，连续天的情况，一共有种剩下的人全排列：故一共有：种
【点睛】本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素.
【变式2-2】（2021江苏高三期中）6人排成一行，甲、乙相邻且丙不排两端的排法有（　　）
A．288种 B．144种 C．96种 D．48种
【答案】B
【解析】把甲乙两人捆绑成一个元素，有种排法，现在相当于有5个元素排在5个位置上，先将丙排在中间3个位置中的某一个，有种排法，再将剩余的4个元素排在剩余的4个位置上，有种排法，所以共有种排法.故选:B.
【变式2-3】（2020·浙江高二期中）将编号为、、、、的个小球全部放入、、三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将编号为、、、、的个小球，根据小球的个数可分为、、或、、两组.
①当三个盒子中的小球个数分别为、、时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，
故个小球的编号只能是、、的在一个盒子里，故只有一种分组方法，
再分配到三个盒子，此时共有种分配方法；
②当三个盒子中的小球个数分别为、、时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，
此时放个小球的盒子中小球的编号分别为、或、或、或、或、或、，共种，再分配到三个盒子中，此时，共有种.
综上所述，不同的放法种数为种.故选：A.
考点3 组合问题
【例3-1】（1）（2021江苏省南通市高三月考）从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，则不同的选取方案数为（）
A．10 B．20 C．540 D．1080
（2）（2021内蒙古高三调研）试题安排6名志愿者扶贫干部到甲、乙、丙三个贫困村做扶贫工作，每人只做1个村的脱贫工作，甲村安排1名，乙村安排2名，丙村安排3名，则不同的安排方式共有________种．
【答案】（1）A（2）60
【解析】（1）从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，
即6个志愿者名额分到3个小区，每个小区至少1个，
等价于6个相同的小球分成3组，每组至少1个，
将6个小球排成一排，除去两端共有5个空，从中任取2个插入挡板，共有（种）方法，
即从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，不同的选取方案数为10.故选：A
（2）先选一个人安排到甲村，有种方法；再从剩下的5个人中选2个人安排到乙村，有,最后把剩下的3个人安排到丙村，有种方法，根据乘法分步原理共有种方法.故答案为：60
【例3-2】（2020·海南高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
【答案】C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C
【变式3-1】【变式演练1】（2019·江苏高考真题）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.
【答案】.
【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.
【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况.
若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，
若选出的2名学生都是女生，有种情况，所以所求的概率为.
【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.
【变式3-2】（2018·全国高考真题（理））从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
【答案】
【分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从人中任选人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.
【详解】根据题意，没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，
故至少有位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是.
【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.
【变式3-3】（2021·浙江温州·高三月考）一个盒子里装有7个大小 形状完成相同的小球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4，黄球3个，编号分别为1，2，3，从盒子中任取4个小球，其中含有编号为3的不同取法有________种.
【答案】30
【解析】从反面考虑，总数为,不含有编号为3的总数为,即得解.
【详解】从反面考虑，总数为,不含有编号为3的总数为,
所以含有编号为3的总数为.故答案为：30.
考点4 排列组合综合问题
【例4-1】（1）（2022重庆市高三月考）重庆11中本学期接收了5名西藏学生，学校准备把他们分配到A，B，C三个班级，每个班级至少分配1人，则其中学生甲不分配到A班的分配方案种数是（）
A．720 B．100 C．150 D．345
（2）（2022河北省高三上摸底）现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲 乙两人，要求每人至少分得份，则不同的分法共有（）
A．10种 B．14种 C．20种 D．28种
【答案】（1）B（2）B
【解析】（1）根据题意，分2步进行分析：
①将5名学生分为3组，若分为的三组，有种分组方法，
若分为的三组，有种分组方法，则有种分组方法，
②将甲所在的组安排在或班，剩下2组任意安排，有种安排方法，
则有种分配方案；故选：B．
（2）4份不同的礼物分成两组有两种情况：1份和份；份和份；
所以不同的分法有种，故选：B.
【例4-2】（2021·全国高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C.
【变式4-1】（2021年高考最后一卷理科数学）年月日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审．初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共个名称，作为我国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取个依次进行分析，若同时选中哪吒、赤兔，则哪吒和赤兔连续被分析，否则随机依次分析，则所有不同的分析情况有（）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【解析】①同时选中哪吒和赤兔，则只需从剩余的个初选名字中选出个，再进行排列即可，有种情况；
②哪吒和赤兔有一个入选，则需从剩余的个初选名字中选出个，再进行排列，有种情况；
③哪吒和赤兔都不选，则需从剩余的个初选名字中选出个，再进行排列，有种情况；
不同的分析情况共有种．故选：A.
【变式4-2】（2020·全国高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种.
【答案】
【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.
【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种故答案为：.
【变式4-3】（上海市静安区2021届高三二模数学试题）在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（）．
A．204 B．260 C．384 D．480
【答案】C
【解析】两个数字之和等于5的情形只有两种：．
下面先考虑第二行选取1，4作为元素，有种方法；再安排第一行、第三行，若只选取2，3中的一个有种方法，若2，3都选取，则有种方法．
由乘法原理可得：方法．同理可得：第二行选取2，3作为元素，也有方法．利用加法原理可得：可组成不同矩阵的个数为种方法．故选：C
考点5 二项式定理
【例5-1】（1）（2021·吉林长春市·高三（理））展开式中，的系数是（）
A． B． C． D．
（2）（2021·河北唐山·）若，则（）
A．56 B．448 C． D．
（3）（2021·广东执信中学高三月考）在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（）
A． B．展开式中没有常数项
C．展开式所有二项式系数和为1024 D．展开式所有项的系数和为256
【答案】（1）B（2）D（3）BD
【解析】（1）展开式的通项为，
令，故，故选：B.
（2）由题意，
通项
令可得故选：D
（3）因为只有第5项的二项式系数最大，且第5项的二项式系数为，所以，A错误；
因为，，因为，所以展开式中没有常数项，B正确；展开式所有二项式系数和为，C错误；令，可得展开式所有项的系数和为256，D正确．故选：BD.
【例5-2】（1）（2021·贵州高三月考）在的展开式中，的系数是-10，则( )
A．-2 B．-1 C．1 D．2
（2）（2021·全国高三）若的展开式中，含的项是第四项，则展开式中的二项式系数和为______．
【答案】（1）D（2）256
【解析】（1）展开式的通项公式为，
令，得，由，得.故选：D.
（2）由题意，二项式展开式的通项为，
当时，，解得，则二项式系数和为256．故答案为：256
【变式5-1】（2017新课标全国卷Ⅰ理科）展开式中的系数为
A．15 B．20 C．30 D．35
【答案】C
【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为选C.
点睛:对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的不同.
【变式5-2】（2020·全国高考真题）的展开式中x3y3的系数为（）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.
【详解】展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为故选：C
【变式5-3】（2021·江苏省太湖高级中学高二期中）的展开式中的项的系数是________.
【答案】1560
【解析】由题意，，
因为的展开式的通项公式为，的展开式的通项公式为，
所以的展开式中的项的系数是.故答案为：1560.
考点6 二项式系数的性质及各项系数和
【例6-1】（1）（2021·四川省乐至中学高三月考（理））的展开式中，各项二项式系数的和是（）
A．1 B．-1 C． D．
（2）（2021·眉山市高三开学考试（理））已知，则（）
A． B． C． D．
（3）（2021·张家口市宣化第一中学高三月考）令，则（）
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）B（3）C
【解析】（1）由题得各项二项式系数和为.故选：C
（2）令，得，令，得，
所以，故选：B
（3）由题可知，，对等式，
两边分别求导可得：，
所以，
令，有：，故选：C．
【例6-2】（1）（2021·广西高三开学考试（理））展开式中常数项是__________．
（2）（2021·吉林高三开学考试（理））已知的展开式中常数项为240，则的展开式中项的系数为（）
A． B． C． D．
（3）（2021·乐清市知临中学）已知多项式，则 ______，______.
【答案】（1）240（2）C（3）
【解析】（1）二项展开式的通项为：，，
令，解得，此时，
令，解得，因为，所以不合题意，
即的展开式中的常数项为240．故答案为： 240.
（2）设的展开式中常数项为第r+1项，
又，∴∴∴的展开式中常数项为，
∴，又∴∴的展开式中项为，
∴的展开式中项的系数为.故选：C.
（3）设，则，
因为，所以，，
因此，.故答案为：；.
【变式6-1】（2021·高三专题练习）已知多项式，若，则正整数n的值为___________．
【答案】5
【解析】令，得，令，得，即，
，显然，∴，
又，∴，即，故．故答案为：5.
【变式6-2】（2021·陕西高三（理））若展开式中二项式系数和为A，所有项系数和为B，一次项系数为C，则（）
A．4095 B．4097 C．-4095 D．-4097
【答案】C
【解析】由展开式的通项公式为，
所以一次项系数，二项式系数和，
令，则所有项的系数和，所以.故选：C.
【变式6-3】（2020·湖南师大附中高三月考）若，则______.
【答案】
【解析】由题意，由，，∴，
令，则，所以.故答案为：.
考点7 二项式定理的应用
【例7-1】（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（理））已知，且恰能被14整除，则的取值可以是（）
A．1 B．3 C．7 D．13
【答案】D
【解析】由，
∴要使恰能被14整除，只需能被14整除即可且，
∴，当k=1时，m=13满足题意.故选：D
【例7-2】（2021.湖北高三）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（）
A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
C．由“第行所有数之和为”猜想：
D．由“，，”猜想
【答案】ABC
【解析】由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A、B、C正确；
，故D错误.故选：ABC.
【变式7-1】（2021·河北衡水中学高三月考）今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过天后是（）
A．星期六 B．星期日 C．星期一 D．星期二
【答案】C
【解析】，故它除以7的余数为，
故经过7天后还是星期日，那么经过天后是星期一，故选：C．
【变式7-2】（2021·福建上杭一中高三）除以88的余数是______．
【答案】1
【解析】由题意得：
，故它除以88的余数为，故答案为：1．
【变式7-3】（2021·上海金山·高三）若函数，其中≤x≤，则的最大值为_______．
【答案】22021；
【解析】令，则有，按的升幂排列，
，
，两者相加时，的奇数次幂抵消，偶数次幂系数相同，所以，则偶数次幂的最大值为1，
所以最大值为：.故答案为：.

展开更多......

收起↑