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2021-2022学年河北省保定市定州市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）81的算术平方根是（　　）
A．9 B．﹣9 C．±9 D．3
2．（3分）以下问题，不适合全面调查的是（　　）
A．调查我市中学生心理健康现状
B．调查和一新冠肺炎感染者密切接触人群
C．检测长征运载火箭的零部件质量情况
D．调查某中学在职教师的身体健康状况
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，5）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）估计的值应在（　　）
A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．6与7之间
5．（3分）既是方程x﹣y＝1，又是方程2x+y＝5的解是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝53°，则∠3的大小是（　　）
A．53° B．83° C．103° D．127°
7．（3分）某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西50°，把这枚指针按顺时针方向旋转80°，则结果指针的指向（　　）
A．南偏东30° B．北偏西40° C．南偏东40° D．北偏西50°
8．（3分）下列命题中，真命题是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．任何实数的平方都是正数
C．是无理数
D．9的算术平方根是
9．（3分）已知a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a+5＜b+5 B．a﹣5＜b﹣5 C． D．﹣5a＜﹣5b
10．（3分）在平面直角坐标系中，点A（3，4），B（﹣2，m），当线段AB最短时，m的值为（　　）
A．5 B．3 C．4 D．0
11．（3分）如图，△OAB的边OB在x轴的正半轴上，点B的坐标为（3，0），把△OAB沿x轴向右平移2个单位长度，得到△CDE，连接AC，DB，若△DBE的面积为3，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B．1 C．2 D．
12．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6个小题：每小题3分，满分共18分．把答案写在题中横线上）
13．（3分）若点M（a﹣3，a+4）在y轴上，则a＝　 　．
14．（3分）若是关于x，y的二元一次方程mx﹣2y＝4的解，则m的值为　 　
15．（3分）如图，O是直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC，OE⊥OC，则∠DOE的度数为 　 　．
16．（3分）如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，若“将”位于点（0，﹣2），“炮”位于点（﹣3，1），则“象”位于点的坐标是 　 　．
17．（3分）一种苹果的进价是每千克1.9元，销售中估计有5%的苹果正常损耗，商家把售价至少定为　 　元，才能避免亏本．
18．（3分）关于x，y的方程组的解x与y满足条件x+y≤2，则4m+3的最大值是　 　．
三、解答题：（本大题共8个小题，共66分，解答题应按要求写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
20．（8分）解方程组：
（1）；
（2）．
21．（8分）解不等式（组）：
（1）；
（2）．
22．（6分）请将下面的证明过程补充完整：
已知：如图，CD∥EF，∠1＝∠2，∠3＝90°
求证：AC⊥BC．
证明：∵CD∥EF，（已知）
∴∠2＝∠DCB，（ 　 　）
∵∠1＝∠2，（已知）
∴∠1＝∠DCB，（ 　 　）
∴GD∥CB，（ 　 　）
∴∠3＝∠ACB，（ 　 　）
∵∠3＝90°，（已知）
∴∠ACB＝90°，（ 　 　）
∴AC⊥BC（ 　 　）．
23．（6分）如图，三角形ABC的三个顶点坐标为A（﹣1，0），B（﹣3，﹣2），C（0，﹣3）．将这个三角形向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得三角形A'B'C'，点A'，B'，C'分别是平移后点A，B，C的对应点．
（1）画出平移后的三角形A'B'C'；
（2）直接写出点B'和点C'的坐标；
（3）直接写出线段AA'与CC'的位置关系和数量关系．
24．（8分）“书香长沙 2019世界读书日”系列主题活动激发了学生的阅读兴趣，我校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了　 　名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为　 　度；
（4）若该校共有学生3000人，估计该校喜欢“文史类”书筋的学生人数．
25．（10分）为了欢度元宵佳节，我市在时代公园安装小彩灯和大彩灯．已知：安装5个小彩灯和4个大彩灯共需150元；安装7个小彩灯和6个大彩灯共需220元．
（1）安装1个小彩灯和1个大彩灯各需多少元．
（2）若安装小彩灯和大彩灯的数量共300个，费用不超过4350元，则最多安装大彩灯多少个？
26．（12分）如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D．（推理时不需要写出每一步的理由）
（1）求∠CBD的度数．
（2）当点P运动时，那么∠APB与∠ADB的大小关系是否发生变化？若不变，请找出它们的关系并说明理由；若变化，请找出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．
2021-2022学年河北省保定市定州市七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】利用算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：＝9，
A选项符合题意．
故选：A．
【点评】考查算术平方根的定义，关键要掌握算术平方根的定义．
2．【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【解答】解：A．调查我市中学生心理健康现状，适合抽样调查，故本选项符合题意；
B．调查和一新冠肺炎感染者密切接触人群，适合全面调查，故本选项不合题意；
C．检测长征运载火箭的零部件质量情况，适合全面调查，故本选项不合题意；
D．调查某中学在职教师的身体健康状况，适合全面调查，故本选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点P（﹣3，5）在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
4．【分析】分别求出3，4，5，6，7的平方，即可解答．
【解答】解：∵32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，
∵16＜21＜25，
∴在4和5之间，
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是求出3，4，5，6，7的平方．
5．【分析】两方程的解相同，可联立两个方程，形成一个二元一次方程组，解方程组即可求得．
【解答】解：根据题意，得：，
①+②，得：3x＝6，解得：x＝2，
x＝2代入②，得：4+y＝5，解得：y＝1，
∴，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，正确根据方程组的解的定义，转化为解方程组的问题是解题关键．
6．【分析】由对顶角相等可得∠2＝∠1＝53°，再由平行线的性质可得∠3＝180°﹣∠2，从而得解．
【解答】解：∵∠1＝53°，
∴∠2＝∠1＝53°，
∵直线a∥b，
∴∠3＝180°﹣∠2＝127°．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
7．【分析】根据南偏西50°顺时针转80°，可得指针的指向．
【解答】解：一枚指针原来指向南偏西50°，把这枚指针按顺时针方向旋转80°，则结果指针的指向是北偏西30°，
故选：D．
【点评】本题考查了方向角，注意旋转的方向，旋转的度数．
8．【分析】根据平行线性质和实数相关的概念逐项判断．
【解答】解：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故A是假命题，不符合题意；
0的平方等于0，不是正数，故B是假命题，不符合题意；
是无理数，故C是真命题，符合题意；
9的算术平方根是3，故D是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线性质和与实数相关的概念．
9．【分析】根据不等式的性质进行分析判断．
【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上5，不等号的方向不变，即a+5＞b+5，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、在不等式a＞b的两边同时减去5，不等号的方向不变，即a﹣5＞b﹣5，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、在不等式a＞b的两边同时除以5，不等号的方向不变，即＞，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、在不等式a＞b的两边同时乘﹣5，不等号的方向改变，即﹣5a＜﹣5b，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；
②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
10．【分析】可得出点B在过点（﹣2，0），且与y轴平行的直线上运动，根据垂线段最短即可解决．
【解答】解：∵B（﹣2，m），
∴点B在过点（﹣2，0），且与y轴平行的直线上运动，
根据垂线段最短知，AB⊥y轴时，AB最短，此时m＝4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了坐标与图形的特征，明确垂线段最短是解题的关键．
11．【分析】设A（m，n），利用三角形面积公式求出n的值，再求出BC，可得结论．
【解答】解：设A（m，n），
∵B（3，0），
∴OB＝3，
由平移的性质可知，OC＝BE＝2，
∴BC＝OB﹣OC＝1，
∵S△DBE＝×2×n＝3，
∴n＝3，
∴S△ACB＝×1×3＝，
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，三角形的面积等知识，解题的关键是求出点A的纵坐标．
12．【分析】根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
二、填空题（本大题共6个小题：每小题3分，满分共18分．把答案写在题中横线上）
13．【分析】根据y轴上点的横坐标等于零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
a﹣3＝0，
解得a＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查点的坐标，利用了点的坐标y轴上点的横坐标等于零得出方程式解题关键．
14．【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m的值．
【解答】解：把代入方程mx﹣2y＝4中得：2m﹣2＝4，
解得：m＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
15．【分析】先根据∠BOC＝40°，求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义，求出∠DOC的度数，即可得到∠DOE．
【解答】解：∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC＝∠AOC＝70°，
∵OE⊥OC，
∴∠DOE＝90°﹣70°＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查的是角平分线的定义，即从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
16．【分析】根据“将”和“炮”的坐标建立平面直角坐标系，据此可得答案．
【解答】解：由“将”位于点（0，﹣2），“炮”位于点（﹣3，1），可建立如图所示平面直角坐标系：
则“象”位于点（2，﹣2），
故答案是：（2，﹣2）．
【点评】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征．
17．【分析】设商家把售价应该定为每千克x元，因为销售中估计有5%的苹果正常损耗，故每千克苹果损耗后的价格为x（1﹣5%），根据题意列出不等式即可．
【解答】解：设商家把售价应该定为每千克x元，
根据题意得：x（1﹣5%）≥1.9，
解得，x≥2，
故为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克2元．
故答案为：2．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，根据“去掉损耗后的售价≥进价”列出不等式即可求解．
18．【分析】由x+y≤2得出关于m的不等式，解之可得m的取值，得出m的最大值，即可求得结论．
【解答】解：解方程组
①+②得，2x+2y＝2+4m，
∵x+y≤2，
∴1+2m≤2，
解得：m≤，
∴4m+3的最大值为4×+3＝5
故答案为5．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式的能力，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
三、解答题：（本大题共8个小题，共66分，解答题应按要求写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
＝﹣1+4﹣
＝3；
（2）
＝1+（﹣2）+
＝﹣1+
＝．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
20．【分析】（1）把①代入②得出3x+2（2x﹣5）＝4，求出x，再把x＝2代入①求出y即可；
（2）①×6得出12x﹣30y+78＝0③，②×5得出45x+30y﹣40＝0④，③+④得出57x+38＝0，求出x，把x＝﹣代入①得出﹣﹣5y+13＝0，再求出y即可．
【解答】解：（1），
把①代入②，得3x+2（2x﹣5）＝4，
解得：x＝2，
把x＝2代入①，得y＝2×2﹣5＝﹣1，
所以原方程组的解是；
（2），
①×6，得12x﹣30y+78＝0③，
②×5，得45x+30y﹣40＝0④，
③+④，得57x+38＝0，
解得：x＝﹣，
把x＝﹣代入①，得﹣﹣5y+13＝0，
解得：y＝，
所以原方程组的解是．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
21．【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1），
3（x+3）＜5（2x﹣5）﹣15，
3x+9＜10x﹣25﹣15，
3x﹣10x＜﹣25﹣15﹣9，
﹣7x＜﹣49，
x＞7；
（2），
解不等式①，得x＞﹣4，
解不等式②，得x≤2，
所以不等式组的解集是﹣4＜x≤2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能正确根据不等式的性质进行变形是解（1）的关键，能根据不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解（2）的关键，求不等式组解集的规律是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小解不了．
22．【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明．
【解答】证明：∵CD∥EF，
∴∠2＝∠DCB，（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCB，（等量代换），
∴GD∥CB，（内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠ACB，
∵∠3＝90°
∴∠ACB＝90°，（等量代换）
∴AC⊥BC（垂直的定义）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；等量代换；垂直的定义．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
23．【分析】（1）根据平移的性质，找出对应点即可求解；
（2）由图形可直接得出答案；
（3）由图形可直接得出答案．
【解答】解：（1）如图所示，A'B'C'即为所求；
（2）B'（0，﹣1）；C'（3，﹣2）；
（3）线段AA'与CC'的位置关系和数量关系分别为：平行且相等．
【点评】本题考查了平移变换的性质，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
24．【分析】（1）从两个统计图中可得喜欢“文史类”的人数为76人，占调查人数的38%，可求出调查人数，
（2）求出“生活类”“小说类”的人数，即可补全条形统计图，
（3）用360°乘以样本中“小说类”所占的百分比即可，
（4）样本估计总体，估计总体中的人数喜欢“文史类”．
【解答】解：（1）76÷38%＝200人，
故答案为：200．
（2）200×15%＝30人，200﹣24﹣76﹣30＝70人，补全条形统计图如图所示：
（3）360°×＝126°，
故答案为：126°．
（4）3000×38%＝1140人，
答：该校3000人学生中喜欢“文史类”书筋的学生人数1140人．
【点评】考查条形统计图、扇形统计图的制作方法，理解统计图中各个数量之间的关系式解决问题的关键，用样本估计总体是统计中常用的方法．
25．【分析】（1）设安装1个小彩灯需要x元，安装1个大彩灯需要y元，根据“安装5个小彩灯和4个大彩灯共需150元；安装7个小彩灯和6个大彩灯共需220元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设安装m个大彩灯，则安装（300﹣m）个小彩灯，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过4350元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设安装1个小彩灯需要x元，安装1个大彩灯需要y元，
依题意得：，
解得：．
答：安装1个小彩灯需要10元，安装1个大彩灯需要25元．
（2）设安装m个大彩灯，则安装（300﹣m）个小彩灯，
依题意得：25m+10（300﹣m）≤4350，
解得：m≤90．
答：最多安装大彩灯90个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26．【分析】（1）由平行线的性质可求得∠ABN，再根据角平分线的定义和整体思想可求得∠CBD；
（2）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再由角平分线的定义可求得结论；
（3）由平行线的性质可得到∠ACB＝∠CBN＝50°+∠DBN，结合条件可得到∠DBN＝∠ABC，且∠ABC+∠DBN＝50°，可求得∠ABC的度数．
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣80°＝100°，
∴∠ABP+∠PBN＝100°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝100°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝50°；
（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝100°，∠CBD＝50°，
∴∠ABC+∠DBN＝50°，
∴∠ABC＝25°．
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质及整体思想的应用是解题的关键．

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