资源简介

直线与圆的位置关系
【考点梳理】
直线与圆的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
代数法： 由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
【题型归纳】
题型一 直线与圆位置关系的判断
1．圆与直线的位置关系为（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定
2．已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
题型二 由直线与圆的位置关系求参数
3．直线与圆相切，则（ ）
A．3 B． C．或1 D．3或
4．“直线++=0与圆相切”是“=1”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知对任意的实数k，直线l：与圆C：有公共点，则实数t的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型三 切线问题
6．过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．或
7．已知圆C：，直线l恒过点
(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程.
题型四 切线长问题
8．从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______．
9．已知圆：，为直线：上任一点，过点作圆的切线为切点)，则最小值是____．
题型五 弦长问题
10．若直线与圆的一个交点在x轴上，则l被C截得的弦长为______．
11．已知直线与圆相交于，两点，试求弦的长及弦的垂直平分线方程．
题型七 直线与圆方程的应用
12．某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向米的处出发，沿处西北方向走向位于设备正北方向的处，则这名工作人员被持续监测的时长为（ ）
A．1分钟 B．分钟
C．2分钟 D．分钟
13．如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的A处出发，径直驶向位于海监船正北的B处岛屿，速度是，问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间为多长？
【双基达标】
一、单选题
14．已知圆，则过圆上一点的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
15．若圆x2+y2-2x+4y+m=0截直线所得弦长为6，则实数m的值为（ ）
A．-1 B．-2 C．-4 D．-31
16．已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
17．过圆内的点作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是（ ）
A． B． C． D．
18．已知直线与圆相交于A，B两点，P为圆C上的动点，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
19．若直线与曲线有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
21．过点作圆的最短弦，延长该弦与轴、轴分别交于两点，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
22．已知圆：上恰有两个点到直线：的距离为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
23．设为实数，若直线与圆相交于M，N两点，且，则（ ）
A．3 B．-1 C．3或-1 D．-3或1
24．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
25．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
26．经过点且与直线：相切于点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
27．若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－4，4） B．（－2，2）
C．（－∞，－4）U（4，＋∞） D．
28．直线与圆相交于不同的，两点其中，是实数，且是坐标原点，则点与点距离的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
29．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
30．从直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为、，则最大时，四边形（为坐标原点）面积是（ ）
A． B． C． D．
31．直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
32．若圆上总存在两点关于直线对称，则过圆外一点向圆所作的切线长的最小值是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
33．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
34．过点的直线l与圆相交于M、N两点，且线段，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
35．在平面直角坐标系中，若圆与直线交于，两点，且，求的值为
A．， B．， C． D．
36．若直线与曲线有公共点，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
37．(多选)已知圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0与直线x－y＝1，则（ ）
A．圆心坐标为(1，－2)
B．圆心到直线的距离为
C．直线与圆相交
D．圆的半径为
38．已知直线和圆，则（ ）
A．直线l恒过定点
B．存在k使得直线l与直线垂直
C．直线l与圆O相交
D．若，直线l被圆O截得的弦长为4
39．设圆的圆心为， 为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为 ，则（ ）
A． B．四点共圆 C． D．直线的方程为：
40．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ）
A．圆的方程是
B．过点向圆引切线，两条切线的夹角为
C．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为
D．在直线上存在异于，的两点，，使得
三、填空题
41．直线与圆的位置关系是___________.（选填“相交”、“相切”、“相离”）
42．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
43．设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是______．
四、解答题
44．如图，圆内有一点，为过点的弦．
（1）当弦的倾斜角为时，求所在的直线方程及；
（2）当弦被点平分时，写出直线的方程．
45．已知，为上三点.
（1）求的值；
（2）若直线过点(0，2)，求面积的最大值；
（3）若为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系可得.
【详解】
将圆的方程化为标准方程：，
得圆心坐标为，半径
则圆心到直线的距离
因为，所以圆与直线相离.
故选：B
2．D
【解析】
【分析】
求出直线l过的定点，再判断此定点与圆C的位置关系即可作答.
【详解】
直线，即，
由解得，因此，直线恒过定点，
又圆，即，显然点A在圆C外，
所以直线与圆C可能相离，可能相切，也可能相交，A，B，C都不正确，D正确.
故选：D
3．D
【解析】
【分析】
利用题给条件列出关于a的方程，解之即可求得a的值.
【详解】
圆的圆心坐标为，半径为
又直线与圆相切，
则，解之得或，
故选：D．
4．A
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义推理即可求解.
【详解】
依题意， ，即圆心是（1,0），半径为 ，
如果直线x+y+m=0是此圆的切线，则圆心到直线的距离为 ，
即 或-3，
所以“直线x+y+m=0与圆相切”不是m=1的充分条件；
如果m=1，则直线为x+y+1=0，圆心（1,0）到直线的距离为 ，即相切，
是必要条件；
故选：A.
5．B
【解析】
【分析】
由题意可知直线过定点，且定点在圆C上或圆C内，即可求解
【详解】
由直线可化为，则直线l过定点，
因为直线l：与圆C：有公共点，
所以定点在圆C上或圆C内，可得，解得，
故选：B
6．C
【解析】
【分析】
讨论直线斜率，由相切关系及点线距离公式求斜率，进而写出切线方程.
【详解】
由圆心为，半径为，
斜率存在时，设切线为，则，可得，
所以，即，
斜率不存在时，显然不与圆相切；
综上，切线方程为.
故选：C
7．(1)或
(2)或
【解析】
【分析】
(1)分类讨论直线l的斜率存在与不存在，利用圆心到直线l的距离等于圆的半径计算即可；
(2)由题意知直线l的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的垂径定理计算即可.
(1)
由题意可知，圆C的圆心为，半径，
①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为，
化为一般式：，若直线l与圆相切，
则，即，解得，
：，即l：，
综上，当直线l与圆C相切时，直线l的方程为或；
(2)
由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，
直线l的方程为，即，
设圆心到直线l的距离为d，则，
由垂径定理可得，，即，
整理得，，解得或，
则直线l的方程为或
8．2
【解析】
【分析】
作图，利用圆心到定点的距离、半径、切线长满足勾股定理可得.
【详解】
将圆化为标准方程：，则圆心，半径1，
如图，设，，切线长．
故答案为：2
9．
【解析】
【分析】
根据题意易知当圆心到直线上点的距离最小时，最小，利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】
圆：，圆心，半径，
设圆心到直线：的距离为，
故当圆心到直线上点的距离最小时，
即圆心到直线的距离，此时最小，
因为，所以，
故最小值是．
故答案为：.
10．##
【解析】
【分析】
先求出直线l与轴的交点，代入圆中求得，再由圆的弦长公式求解即可.
【详解】
由题意得，直线与轴的交点为，则点在圆上，即，解得，则，
圆心到的距离为，则l被C截得的弦长为.
故答案为：.
11．弦的长为；弦的垂直平分线方程为．
【解析】
【分析】
根据直线与圆的几何关系来求弦长，再利用法向量和已知点来求已知线段的垂直平分线.
【详解】
圆的方程化为：，其圆心为，半径为．
因圆心到直线的距离，
故由勾股定理及垂径定理，得．
由于弦的垂直平分线经过圆心，其法向量为，故其方程为，即弦的垂直平分线的方程为：．
12．C
【解析】
【分析】
以设备的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系，求得直线和圆的方程，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得的长，进而求得持续监测的时长.
【详解】
以设备的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，可得，圆．
记从处开始被监测，到处监测结束，
因为到的距离为米，
所以米，故监测时长为分钟．
故选：C.
13．外籍轮船能被海监船监测到；0.5小时
【解析】
【分析】
以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘外籍轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长．
【详解】
如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系,
则，，圆方程，
直线方程：，即，
设到距离为，则，
所以外籍轮船能被海监船检测到，
设监测时间为，则（小时），
答：外籍轮船能被海监船检测到，时间是0.5小时
14．A
【解析】
由于直线与切线垂直，得求得切线斜率故可求切线方程.
【详解】
圆的圆心为，则直线的斜率，
故切线的斜率，所以切线方程为
化简得：
故选：A
15．C
【解析】
【分析】
求得圆心坐标，判断圆心在直线上，从而根据弦长求得的值.
【详解】
圆的方程可化为，
所以圆心，圆心在直线上，
所以.
故选：C
16．B
【解析】
【分析】
设圆心，由圆的对称性可知过点与垂直的直线被圆所截的弦长最短
【详解】
由题意可知，当过圆心且过点时所得弦为直径，
当与这条直径垂直时所得弦长最短，
圆心为，，
则由两点间斜率公式可得，
所以与垂直的直线斜率为，
则由点斜式可得过点的直线方程为，
化简可得，
故选：B
17．A
【解析】
【分析】
当圆心与的连线垂直于时，被圆截得的线段长最短，从而可求直线的方程.
【详解】
圆的圆心坐标为，
当时，l被圆截得的线段最短，，∴，
故所求直线l的方程为，即.
故选：A.
18．C
【解析】
【分析】
根据圆的弦长公式，结合点到直线距离公式、圆的几何性质进行求解即可.
【详解】
由可知：圆心，半径为，
圆心C到直线距离，
∴，
∴.
故选：C
19．A
【解析】
【分析】
求出直线与曲线相切时实数的值，再结合图象，即可得到答案；
【详解】
曲线为半圆，即，
当直线与半圆相切时，，
当直线过点时，，
实数的取值范围为，
故选：A
20．D
【解析】
【分析】
由圆心到切线距离等于半径求得圆半径后可得圆方程．
【详解】
因直线与圆相切，所以圆的半径等于点到直线的距离，
即，则所求圆的方程为.
故选：D．
21．B
【解析】
【分析】
先利用圆的性质确定最短弦所在直线的方程，再求得两点坐标，计算面积即得结果.
【详解】
依题意，点，由圆的性质可知，过点且垂直PM的直线l截得的弦长最短.
而，所以直线l的斜率为1，即方程为：，即.
所以直线l与轴、轴分别交于，
故底边，高，即面积为.
故选：B.
22．B
【解析】
【分析】
根据圆心到直线的距离可求直线斜率的取值范围，从而可求倾斜角的取值范围.
【详解】
设圆心到直线的距离为.
因为圆：上恰有两个点到直线：的距离为，
故，所以，解得，
故倾斜角的范围为 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，注意根据圆上到直线的距离等于定值的点的个数确定圆心到直线的距离的范围，本题属于中档题.
23．C
【解析】
【分析】
化出圆的标准方程，求出圆心和半径，利用垂径定理列方程求解即可.
【详解】
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
直线的一般方程为
则由已知得，
解得或
故选：C.
24．B
【解析】
【分析】
由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】
由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
【点睛】
本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
25．B
【解析】
的圆心，求出以为直径的圆的方程为，把圆与圆相减，得直线AB的方程．
【详解】
设坐标原点为，以为直径的圆的方程为，即，
把圆与圆相减，得：，
直线经过两圆的交点，即切点.
所以直线即为圆与圆的公共弦所在的直线，
AB方程为:.
故选：B.
26．A
【解析】
【分析】
利用圆心到直线的距离等于圆心到点的距离等于圆心到点的距离等于半径即可求解.
【详解】
设圆心坐标为，
则圆心到直线的距离等于圆心到点的距离等于圆心到点的距离等于半径，
即：，
解得，，，∴圆的方程为
故选：A.
27．D
【解析】
【分析】
由题设知圆心到直线的距离大于圆的半径，应用点线距离公式列不等式求a的取值范围.
【详解】
由题设，圆心为，半径为2，
因为直线与圆没有公共点，
所以，可得或.
故选：D
28．D
【解析】
【分析】
过点作，垂足为，由得，又，故，则点与点距离为区域内的点到点的距离，画图即可求解．
【详解】
如图，过点作，垂足为，
，，
，
又，，即．
则点与点距离为区域内的点到点的距离，
设，如图，，
因此点与点距离的取值范围为．
故选：D．
29．D
【解析】
【分析】
由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】
圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
30．B
【解析】
【分析】
分析可知当时，最大，计算出、，进而可计算得出四边形（为坐标原点）面积.
【详解】
圆的圆心为坐标原点，连接、、，则，
设，则，，则，
当取最小值时，，此时，
，，，故，
此时，.
故选：B.
31．B
【解析】
【分析】
利用圆的弦长、半径、弦心距的关系结合已知求出弦心距的范围，再借助点到直线的距离公式计算作答.
【详解】
令圆的圆心到直线l的距离为d，而圆半径为，弦AB长满足，
则有，又，于是得，解得，
所以实数m的取值范围为.
故选：B
32．D
【解析】
【分析】
依题意可知动点在直线：上移动，当与直线垂直时，最小，从而切线长最小. 由点到直线距离公式求得的最小值，进而可得结果.
【详解】
圆：，圆心为，半径.
依题意知，直线过圆心，所以，即动点在直线：上移动.
所以，当与直线垂直时，最小，从而切线长最小，.
此时，切线长的最小值为.
故选：D.
33．A
【解析】
【分析】
将两圆的方程相减可得公共弦方程，从而求得定点，利用点在直线上可得，再代入消元，转化成一元二次函数的取值范围；
【详解】
解：由圆，圆，
得圆与圆的公共弦所在直线方程为，求得定点，
又在直线上，，即.
∴，∴的取值范围是.
故选：A.
【点睛】
本题考查圆的公共弦方程求解、一元二次函数的最值，考查转化与化归思想的运用.
34．A
【解析】
【分析】
设出直线的方程，利用，再结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】
解：设圆心到直线的距离为，直线的方程为：，即，
因为，所以
因为圆的圆心坐标为，
所以
故选：A
【点睛】
本题考查直线圆的位置关系，圆中，点到直线的距离公式的运用，考查理解辨析能力，属于中档题.
35．C
【解析】
【分析】
将圆方程与直线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，设，
由根与系数关系，得出关系，，转化为坐标关系，即可求解.
【详解】
由，消去得，
，
，
设，
，此时.
故选:C.
【点睛】
本题考查直线与圆的相交问题，应用根与系数关系设而不求，方程思想是解题的关键，考查垂直关系的运用，属于中档题.
36．D
【解析】
【分析】
直线经过原点，画出曲线，通过图形临界位置的分析即可得出实数的范围.
【详解】
当时，直线为轴与曲线显然有公共点.
时，经过原点，斜率为，曲线为圆心（2，2）半径为2的上半圆.当直线经过半圆的右端点A恰好有公共点，逆时针旋转至轴满足题意，如下图.由于 故，解得，综上
故选：D.
37．AD
【解析】
【分析】
根据圆的方程，先求圆心和半径，再依次判断选项.
【详解】
把圆的方程化为标准形式得(x－1)2＋(y＋2)2＝2，所以圆心坐标为(1，－2)，半径为，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝＝，直线与圆相切．
故选：AD
38．BC
【解析】
【分析】
利用直线系方程求出直线所过定点坐标判断A、C；求出使得直线与直线垂直的值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D.
【详解】
解：对于A、C，由，得，令，解得，
所以直线恒过定点，故A错误；
因为直线恒过定点，而，即在圆内，
所以直线l与圆O相交，故C正确；
对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；
对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，
所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.
故选：BC.
39．ABCD
【解析】
【分析】
首先将圆的方程配成标准式，即可求出圆心坐标与半径，再利用勾股定理求出切线上，利用锐角三角函数的性质求出、的横坐标，即可判断CD；依题意可得到四点的距离相等，即可判断B；
【详解】
解：因为，即，则圆心，半径，所以，故A正确；在中，，，所以，即，所以，，所以点的横坐标为，所以直线的方程为，故C、D正确；
如图直线与圆相交于点，显然，故四点共圆，故B正确；
故选：ABCD
40．ABD
【解析】
根据，，点满足，设点，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证.
【详解】
因为，，点满足，
设点，则 ，
化简得：，即 ，故A正确；
因为，所以，则 ，解得 ，故B正确；
易知直线的斜率存在，设直线，因为圆上恰有三个点到直线距离为2，则圆心到直线的距离为： ，解得，故C错误；
假设存在异于，的两点，，则，
化简得：，因为点P的轨迹方程为：，所以解得或 （舍去），故存在 ，故D正确；
故选：ABD
【点睛】
关键点点睛：本题关键是根据求出点的轨迹方程，进而再根据直线与圆的位置关系求解.
41．相交
【解析】
【分析】
由圆心到直线的距离与半径的关系判断即可.
【详解】
圆心到直线的距离为，则直线与圆的位置关系是相交.
故答案为：相交
42．5
【解析】
【分析】
根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得．
【详解】
因为圆心到直线的距离，
由可得，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．
43．或
【解析】
【分析】
根据题意设圆的圆心为，圆过原点和截y轴所得的弦长为4，由求解.
【详解】
解：如图所示：
由题意设圆的圆心为，
则，解得，
所以圆C的方程是或，
故答案为：或
44．（1）：,；（2）
【解析】
【分析】
（1）由倾斜角可得斜率为-1,然后根据过点P，写成点斜式，然后化成一般式即可,先求出圆心到直线的距离,然后根据求值即可；（2）根据可求出的斜率，然后根据直线过点P，写出点斜式，转化为一般式方程即可.
【详解】
（1）过点作于，连结，当时，直线的斜率为-1，故直线的方程
,
,
.
（2）当弦被平分时，，
此时,
的点斜式方程为,即.
【点睛】
本题主要考查直线的斜率与倾斜角，考查了直线垂直斜率的关系，同时考查了直线的点斜式方程以及圆的弦长公式、点到直线距离公式，,属于中档题
45．（1）；（2）；（3）定值为：.
【解析】
【分析】
（1）由为圆上的点即可得；
（2）设，，，，根据利用韦达定理即可求解；
（3）直线和直线的斜率之积为，设，，，，，，即可得，，由可得，代入，求得即可．
【详解】
解：（1）∵为圆上，
所以
∴
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，，将代人得，
所以
令，则，
当，即时面积取得最大值
（3）设直线和直线的斜率之积为
设，，则
①，
因为，为圆上，所以，
化简得
整理得②
因为，所以
从而，又因为为曲线的动点
所以展开得
将①代入得
化简得
将②代人得
，整理得
，
因为所以从而
又所以
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，考查两直线的斜率之积是否为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用，属于中档题．

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