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第一章 集合与常用逻辑用语
1.5 全称量词与存在量词
学案
一、学习目标
1.理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.
2.能用数学符号表示含有量词的命题并能判断命题的真假.
3.掌握全称量词与存在量词的否定，理解含有一个量词的命题与它的否定在真假上的关系.
二、知识归纳
1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.
2.全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. 全称量词命题“对M中任意一个x，成立”可用符号简记为，.
3.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
4.存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. 存在量词命题“存在M中的元素x，成立”可用符号简记为，.
5.全称量词命题：，的否定：，.
6.存在量词命题：，的否定：，.
三、习题检测
1.命题，，则命题p的否定是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
2.下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是( )
A.至少有一个，使得成立
B.对任意，，都有
C.，
D.菱形的两条对角线长度相等
3.命题“对任意，都有”的否定是( )
A.对任意，都有 B.不存在，使得
C.存在，使得 D.存在，使得
4.给出下列四个命题：
①有理数是实数；
②有些平行四边形不是菱形；
③，；
④，为奇数.
以上命题的否定为真命题的是( )
A.①④ B.②④ C.①②③④ D.③
5.已知命题，，命题，，若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是( )
A.或 B.或
C. D.
6.（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是( )
A.，
B.所有的正方形都是矩形
C.，
D.至少有一个实数x，使
7.（多选）下列命题中，是真命题的是( )
A.空集是任何一个非空集合的真子集
B.，
C.，
D.，，方程恰有一解
8.命题“有些负数满足”用“”或“”可表述为___________.
9.设，，若p是真命题，则实数a的取值范围是____________.
10.已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是______________.
11.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定.
（1），成立；
（2）对任意的，.
12.已知集合，.
（1）若命题，是真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题，是真命题，求实数m的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：命题，为存在量词命题，则其否定为全称量词命题：，.故选B.
2.答案：B
解析：选项A，C为存在量词命题，选项B，D为全称量词命题.菱形的对角线长度不一定相等，D选项为假命题.，所以，所以选项B为真命题.故选B.
3.答案：D
解析：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意，都有”的否定是“存在，使得”.故选D.
4.答案：D
解析：①“有理数是实数”为真命题，则命题的否定是假命题；
②“有些平行四边形不是菱形”为真命题，则命题的否定是假命题；
③当时，不等式不成立，
“，”为假命题，则命题的否定是真命题；
④“，为奇数”为真命题，则命题的否定是假命题.
故满足条件的命题的序号是③，故选D.
5.答案：D
解析：若命题，为真命题，则在时恒成立，，若命题，为真命题，则，解得或.
命题和命题q都是真命题，，解得.故选D.
6.答案：AC
解析：由题意可知，符合条件的原命题为存在量词命题且为假命题，选项B为全称量词命题，排除；选项D为真命题，排除；，，A，C均为假命题.故选AC.
7.答案：AC
解析：对于A，利用空集和真子集的关系可以判断A正确；对于B，将整理，得，又，所以，故B错误；对于C，当时，，故C正确；对于D，当，时，方程有无数多解，故D错误.故选AC.
8.答案：，使得
解析：“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述.
9.答案：
解析：，，，，的取值范围为.
10.答案：
解析：命题“，”为假命题，“，”为真命题，，解得，实数a的取值范围是.
11.解析：（1）由，知该命题为假命题，
它的否定为“，都有”.
（2）由，知该命题为真命题，
它的否定为“，使”.
12.解析：（1）因为命题，是真命题，所以.
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，实数m的取值范围为.
（2）因为，是真命题，所以，
所以，即，所以，
要使，仍需满足，即.
综上，实数m的取值范围为.

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