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专题18 幂函数与函数的应用
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
考点2 函数的应用（一）
1、（1）．一次函数模型的实际应用
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
（2）．一次函数的最值求解
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
2、 二次函数模型的解析式为gx＝ax2＋bx＋ca≠0.在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.
3、（1）．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
（2）．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
（3）．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
考点3 函数的应用（二）
二分法求方程的根的近似值
二分法的概念
对于在区间上连续不断且 的函数，通过不断地函数的零点所在的区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫二分法，由函数的零点与相应方程的根的关系，可用二分法来求 。[]
2、用二分法求函数 零点近似值的步骤（给定精确度）
（1）确定区间，使 。
（2）求区间的中点， 。
（3）计算
若，则
若，则令（此时零点 ）；
若则令（此时零点 ）；
（4）继续实施上述步骤，直到区间 ，函数的零点总位于区间 上，当和按照给定精度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。
方程的根与函数的零点
1.对于函数,我们把使的实数x叫做函数 的 .
2.函数的零点就是方程 的 ，也就是函数 的图像与x轴的交点的 .
3.方程 有实根函数的图像与x轴有 函数 有 .
4.函数零点的存在性的判定方法
5.如果函数在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 0，那么在区间（a,b）内有零点，即存在，使得 0，这个c就是方程的根.
三、题型突破
重难点题型突破1 求幂函数的解析式
幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：
(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
例1．(1)、（2022·河南·高二期末（文））若幂函数在上单调递减，则（ ）
A．或2 B．2 C． D．
(2)、（2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末）已知幂函数的图象过点，则______．
【变式训练1-1】、（2020·河北沧州·）已知幂函数经过点，则＝________，不等式的解集为________.
【变式训练1-2】、（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象经过点，则的值为___．
重难点题型突破2 幂函数的图像及其性质的应用
幂函数的图像及其性质的应用
1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：
①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
②幂函数的指数与图象特征的关系
当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：
α α>1 0<α<1 α<0
图象
特殊点 过(0，0)，(1，1) 过(0，0)，(1，1) 过(1，1)
凹凸性 下凸 上凸 下凸
单调性 递增 递增 递减
举例 y=x2 、
例2、（2020·全国高三专题练习）已知幂函数y＝xn，y＝xm，y＝xp的图象如图，则(　　)
A．m＞n＞p B．m＞p＞n
C．n＞p＞m D．p＞n＞m
【变式训练2-1】．（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（文））幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________.
2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：
结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.
例3、（2022·上海中学高一期末）不等式的解为______．
【变式训练3-1】、（2019·江西九江·高二期末（理））设，，，则大小关系是
A． B．
C． D．
重难点题型突破3 一次函数模型的应用
一次函数为：
例4．（1）、（2021·全国·高一专题练习）甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多
C．甲比乙先到达终点 D．甲、乙两人的速度相同
（2）．（2021·全国·高一课时练习）某市为打击出租车无证运营、漫天要价等不良风气，出台两套出租车计价方案，方案一：2公里以内收费8元（起步价），超过2公里的部分每公里收费3元，不足1公里按1公里计算：方案二：3公里以内收费12元（起步价），超过3公里不超过10公里的部分每公里收费2.5元，超过10公里的部分每公里收费3.5元，不足1公里按1公里计算．以下说法正确的是（ ）
A．方案二比方案一更优惠
B．乘客甲打车行驶4公里，他应该选择方案二
C．乘客乙打车行驶12公里，他应该选择方案二
D．乘客丙打车行驶16公里，他应该选择方案二
【变式训练4-1】、（2021·全国高一专题练习）某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ）
A．310元 B．300元 C．290元 D．280元
【变式训练4-2】、（2023·全国·高三专题练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
重难点题型突破4 二次函数模型的应用
二次函数：形如
例5、（2022·全国·高三专题练习）某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元.
(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）
(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.
哪一种方案较为合算？请说明理由.
【变式训练5-1】、（2022·全国·高一课时练习）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米/小时)是车流密度(单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当车流密度为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒
重难点题型突破5 指数、对数函数模型的应用
例6．（1）、（2022·上海静安·模拟预测）在如今这个5G时代，6G研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道宽带，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变宽带，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率会提升到原来的_________倍．（结果保留一位小数）
（2）、（2022·黑龙江·大庆中学高二期中）（多选题）为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量y（单位：）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下
D．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下
【变式训练6-1】、（2020·浙江高一课时练习）已知、两地相距千米，某人开汽车以千米/小时的速度从到达地，在地停留小时后再以千米/小时的速度返回地，把汽车离开地的距离表示为时间的函数，表达式为__________．
【变式训练6-2】、（2022·内蒙古赤峰·高一期末（理））基本再生数与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足.有学者基于已有数据估计出，.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数是原来的4倍需要的时间约为（参考数值：）（ ）
A．0.9天 B．1.8天 C．1.2天 D．3.6天
例7．（2022·全国·高一课时练习）物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到点18分时，壶中热水自然冷却到.
(1)求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数；
(2)若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：）
①求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数；（不需要写出理由）
②求该养生壶保温的临界值.
【变式训练7-1】、（2021·陕西·铜川市第一中学高一期中）某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气中的污染物数量P（单位：）与过滤时间（单位：）间的关系为（，均为非零常数，为自然对数的底数），其中为时废气中的污染物数量，经测试过滤5h后还剩余80%的污染物.
(1)求常数的值；
(2)试计算废气中的污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1，参考数据：，）
重难点题型突破6、 二分法求零点所在区间
例8（1）、（2021·全国·高一课前预习）方程在区间上的根必定在（ ）
A．上 B．上 C．上 D．上
【变式训练8-1】、（2019·浙江湖州高一期中）函数的零点所在的区间是（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
重难点题型突破7、 函数的零点个数与方程的根个数
例9．（1）、（2022·浙江宁波·高二期末）已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2022·全国·高一专题练习）若方程，且有两个不同实数根，则的取值范围是______．
【变式训练9-1】、（2021·贵州师大附中高二月考（理））函数的零点是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-2】、（2019·全国高一课时练习）已知二次函数数的图象与轴有两个交点，且只有一个交点在区间上，则实数的取值范围是 __________.
重难点题型突破8、 嵌套函数的零点问题
例10．（1）、（2022·湖南衡阳·高一期末）已知函数定义城为，恒有，时；若函数有4个零点，则t的取值范围为________.
（2）．（2022·江苏·南京师范大学附属中学江宁分校高一期中）设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是_____________．
【变式训练10-1】、（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知函数，对任意的实数a，b，c，关于x的方程的解集不可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练10-2】、（2021·重庆市永川北山中学校高一期末）已知函数的定义域为R，若关于x的方程有5个不同的根，则的值为（ ）
A． B．16 C．5 D．15
重难点题型突破9、 函数的应用
例11、（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练11-1】、（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数，，若函数有两个不同的零点，则的取值范围是________.
例12．（2022·上海·高三专题练习）已知函数，其中.
(1)若不等式的解集是，求m的值；
(2)若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围.
【变式训练12-1】、定义：如果函数在定义域内的给定区间上存在（），满足，则称函数为上的“平均值函数”，为它的平均值点．
(1)函数是否为上的“平均值函数”？如果是，请求出它的平均值点；如果不是，请说明理由．
(2)若函数是上的平均值函数，求实数的取值范围．
四、课堂训练
1．（2022·山东德州·高二期末）幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．27 B． C． D．
2．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（ ）（参考数据：，，）
A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟
3．（2022·上海中学高一期末）设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是______．
4．（2021·全国·高一课前预习）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数，其中x是“玉兔”的月产量.
(1)将利润f(x)表示为月产量x的函数；
(2)当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益＝总成本＋利润)
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专题18 幂函数与函数的应用
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
考点2 函数的应用（一）
1、（1）．一次函数模型的实际应用
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
（2）．一次函数的最值求解
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
2、 二次函数模型的解析式为gx＝ax2＋bx＋ca≠0.在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.
3、（1）．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
（2）．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
（3）．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
考点3 函数的应用（二）
二分法求方程的根的近似值
二分法的概念
对于在区间上连续不断且 的函数，通过不断地函数的零点所在的区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫二分法，由函数的零点与相应方程的根的关系，可用二分法来求 。[]
2、用二分法求函数 零点近似值的步骤（给定精确度）
（1）确定区间，使 。
（2）求区间的中点， 。
（3）计算
若，则
若，则令（此时零点 ）；
若则令（此时零点 ）；
（4）继续实施上述步骤，直到区间 ，函数的零点总位于区间 上，当和按照给定精度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。
方程的根与函数的零点
1.对于函数,我们把使的实数x叫做函数 的 .
2.函数的零点就是方程 的 ，也就是函数 的图像与x轴的交点的 .
3.方程 有实根函数的图像与x轴有 函数 有 .
4.函数零点的存在性的判定方法
5.如果函数在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 0，那么在区间（a,b）内有零点，即存在，使得 0，这个c就是方程的根.
三、题型突破
重难点题型突破1 求幂函数的解析式
幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：
(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
例1．(1)、（2022·河南·高二期末（文））若幂函数在上单调递减，则（ ）
A．或2 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义以及其在上单调递减，列出方程以及不等式，即可求得答案.
【详解】
由题意可得,解得,
故:C.
(2)、（2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末）已知幂函数的图象过点，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出幂函数的解析式即可计算作答.
【详解】
依题意，设，为常数，则，解得，即，
所以.故答案为：1
【变式训练1-1】、（2020·河北沧州·）已知幂函数经过点，则＝________，不等式的解集为________.
【答案】
【分析】
首先设幂函数，根据其图象经过点，得到，求得，得到；根据幂函数的单调性，以及，得到不等式的解集.
【详解】
设，则，即，，故，
因为为增函数，且，
所以的解集为.
故答案为：①；②.
【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题思路如下：
（1）首先设出幂函数的解析式；
（2）根据幂函数图象所过的点，代入求得参数，得到函数解析式；
（3）利用所求幂函数的单调性，求得不等式的解集.
【变式训练1-2】、（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象经过点，则的值为___．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
由幂函数所过的点求解析式，进而求的函数值.
【详解】
幂函数过点，
，解得，
，故.
故答案为：
重难点题型突破2 幂函数的图像及其性质的应用
幂函数的图像及其性质的应用
1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：
①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
②幂函数的指数与图象特征的关系
当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：
α α>1 0<α<1 α<0
图象
特殊点 过(0，0)，(1，1) 过(0，0)，(1，1) 过(1，1)
凹凸性 下凸 上凸 下凸
单调性 递增 递增 递减
举例 y=x2 、
例2、（2020·全国高三专题练习）已知幂函数y＝xn，y＝xm，y＝xp的图象如图，则(　　)
A．m＞n＞p B．m＞p＞n
C．n＞p＞m D．p＞n＞m
【答案】C
【分析】
直接根据不同幂函数图象的特点判断即可.
【详解】
根据幂函数的性质可得，幂函数的图象在上，指数大的函数，其图象在上面，结合所给函数图像可得,故选C.
【点睛】
本题主要考查幂函数图象的特征，属于中档题.判断幂函数图象与指数之间的大小关系最主要的依据就是幂函数的图象在上“指大图高”.
【变式训练2-1】．（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（文））幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据函数图象可判断单调性，进而可得，为整数，由验证是否是偶函数即可求解.
【详解】
有图象可知：该幂函数在单调递减，所以，解得，,故可取，又因为该函数为偶函数，所以为偶数，故
故答案为：
2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：
结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.
例3、（2022·上海中学高一期末）不等式的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据幂函数的性质，分类讨论即可
【详解】
将不等式转化成
（Ⅰ） ，解得 ；
（Ⅱ） ，解得 ；
（Ⅲ） ，此时无解；
综上，不等式的解集为：
故答案为：
【变式训练3-1】、（2019·江西九江·高二期末（理））设，，，则大小关系是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由幂函数的单调性可以判断出的大小关系，通过指数函数的单调性可以判断出的大小关系，比较的大小可以转化为比较与的大小，设求导，判断函数的单调性，利用函数的单调性可以判断出与的大小关系，最后确定三个数的大小关系.
【详解】
解:由幂函数和指数函数知识可得，，即，.
下面比较的大小，即比较与的大小.设，则，
在上单调递增，在上单调递减，
，即，即，
，即，即，故选C.
【点睛】
本题考查了幂函数和指数函数的单调性，通过变形、转化、构造函数判断函数值大小是解题的关键.
重难点题型突破3 一次函数模型的应用
一次函数为：
例4．（1）、（2021·全国·高一专题练习）甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多
C．甲比乙先到达终点 D．甲、乙两人的速度相同
【答案】C
【解析】
【分析】
结合图像逐项求解即可.
【详解】
结合已知条件可知，甲乙同时出发且跑的路程都为，故AB错误；
且当甲乙两人跑的路程为时，甲所用时间比乙少，故甲先到达终点且甲的速度较大，
故C正确，D错误.
故选：C.
（2）．（2021·全国·高一课时练习）某市为打击出租车无证运营、漫天要价等不良风气，出台两套出租车计价方案，方案一：2公里以内收费8元（起步价），超过2公里的部分每公里收费3元，不足1公里按1公里计算：方案二：3公里以内收费12元（起步价），超过3公里不超过10公里的部分每公里收费2.5元，超过10公里的部分每公里收费3.5元，不足1公里按1公里计算．以下说法正确的是（ ）
A．方案二比方案一更优惠
B．乘客甲打车行驶4公里，他应该选择方案二
C．乘客乙打车行驶12公里，他应该选择方案二
D．乘客丙打车行驶16公里，他应该选择方案二
【答案】C
【解析】
【分析】
根据方案算出应付车费比较即可.
【详解】
A. 应付车费与公里数有关，故错误；
B.乘客甲打车行驶4公里，方案一：应付车费为；
方案二应付车费为，他应该选择方案一，故错误；
C.乘客乙打车行驶12公里，方案一：应付车费为；
方案二应付车费为，他应该选择方案二，故正确；
D. 乘客丙打车行驶16公里，方案一：应付车费为；
方案二应付车费为，他应该选择方案一，故错误；
故选：C
【变式训练4-1】、（2021·全国高一专题练习）某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ）
A．310元 B．300元 C．290元 D．280元
【答案】B
【分析】
根据图象关系求出函数解析式，计算当x＝0时，y＝300即可得解.
【详解】
设函数解析式为，
函数图象过点(1，800)，(2，1 300)，则 解得
所以，当x＝0时，y＝300.所以营销人员没有销售量时的收入是300元．
答案：B
【点睛】
此题考查函数图象的识别，根据函数图象求解析式，计算函数值，关键在于利用待定系数法准确求解.
【变式训练4-2】、（2023·全国·高三专题练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据图表逐项判断即可
【详解】
在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；
由题中图象知，B正确；
甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；
当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得，D正确.
故选：BD
重难点题型突破4 二次函数模型的应用
二次函数：形如
例5、（2022·全国·高三专题练习）某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元.
(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）
(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.
哪一种方案较为合算？请说明理由.
【答案】(1)3年
(2)方案①较为合算
【解析】
【分析】
（1）由，能求出该车运输3年开始盈利.
（2）方案①中，.从而求出方案①最后的利润为59（万；方案②中，，时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万，比较时间长短，进而得到方案①较为合算.
(1)
由题意可得，即，
解得，，
该车运输3年开始盈利.；
(2)
该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，
，
当且仅当时，取等号，
方案①最后的利润为：（万；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，
，
时，利润最大，
方案②的利润为（万，
两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，
方案①较为合算.
【变式训练5-1】、（2022·全国·高一课时练习）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米/小时)是车流密度(单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当车流密度为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒
【答案】(1)；
(2)当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，时，v(x)为常数函数；时，设，根据题意函数过(200，0)和(20，60)两点，据此求出a、b即可；
（2）分段求出函数的最大值，比较最大值的大小即可判断f(x)的最大值．
(1)
当时，；
当时，设，
由已知得解得，
故函数的表达式为；
(2)
依题意并由(1)可得，
当时，为增函数，故当时，其最大值为60×20＝1200；
当时，，
∴当时，在区间(20，200]上取得最大值，
∵3333＞1200，
∴当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
重难点题型突破5 指数、对数函数模型的应用
例6．（1）、（2022·上海静安·模拟预测）在如今这个5G时代，6G研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道宽带，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变宽带，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率会提升到原来的_________倍．（结果保留一位小数）
【答案】2.5##
【解析】
【分析】
设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，
再根据题意求，利用指数、对数的运算性质化简即可求解.
【详解】
设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，则
由题意可知，，
，
所以
倍.
所以最大信息传递率C会提升到原来的倍.
故答案为：2.5
（2）、（2022·黑龙江·大庆中学高二期中）（多选题）为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量y（单位：）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下
D．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据所给模型计算进行判断，注意结合指数函数的性质．
【详解】
时，把代入得，，A错；
时，设，，，即有，B正确；
令，，，，C正确；
时，，D正确．
故选：BCD．
【变式训练6-1】、（2020·浙江高一课时练习）已知、两地相距千米，某人开汽车以千米/小时的速度从到达地，在地停留小时后再以千米/小时的速度返回地，把汽车离开地的距离表示为时间的函数，表达式为__________．
【答案】
【解析】
从到用时，在地停留内，距离不变，
返回地时，距离减少．
因此
【变式训练6-2】、（2022·内蒙古赤峰·高一期末（理））基本再生数与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足.有学者基于已有数据估计出，.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数是原来的4倍需要的时间约为（参考数值：）（ ）
A．0.9天 B．1.8天 C．1.2天 D．3.6天
【答案】D
【解析】
【分析】
根据所给模型求得，令，求得，根据条件可得方程，然后解出即可．
【详解】
把，代入，可得，，
当时，，则，
两边取对数得，解得．
故选：D
例7．（2022·全国·高一课时练习）物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到点18分时，壶中热水自然冷却到.
(1)求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数；
(2)若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：）
①求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数；（不需要写出理由）
②求该养生壶保温的临界值.
【答案】(1)；
(2)①1次；②.
【解析】
【分析】
（1）设待定系数法求，根据已知有求参数a，即可写出解析式，注意定义域范围.
（2）①由题意，研究情况下从降至、从加热至、从降至所需的时间，进而分析出加热次数；
②由（i）分析结果可知时水温正好被加热到，计算从降至、从加热至的时间，列方程求值.
(1)
当时，设，则，可得，
所以.
当时，，则，可得，
综上，.
(2)
①1次，理由如下：由题意，
从降至，则，可得分钟，
所以降至，所需时间分钟，
由于小王出门34分钟，
从加热至，则，可得分钟，则从加热至所需时间分钟；
从降至，则，可得分钟，则从降至所需时间分钟；
故34分钟内至少加热了一次，若加热两次则分钟，
综上，只加热过一次.
②由（i）知：从降温至，所需时间为分钟.
所以在时，水温正好被加热到.
从降至，则，可得，
从加热至，则，可得，
【变式训练7-1】、（2021·陕西·铜川市第一中学高一期中）某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气中的污染物数量P（单位：）与过滤时间（单位：）间的关系为（，均为非零常数，为自然对数的底数），其中为时废气中的污染物数量，经测试过滤5h后还剩余80%的污染物.
(1)求常数的值；
(2)试计算废气中的污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1，参考数据：，）
【答案】(1)0.046
(2)20h
【解析】
【分析】
（1）把，，代入已知式，化简取对数后可得；
（2）由代入已知等式，利用对数计算．
(1)
由题意，，
；
(2)
设需要小时污染物减少到40%，
则，，，
．
废气中的污染物减少到40%约需要20h．
所以在上递减，且，即.
重难点题型突破6、 二分法求零点所在区间
例8（1）、（2021·全国·高一课前预习）方程在区间上的根必定在（ ）
A．上 B．上 C．上 D．上
【答案】D
【解析】
【分析】
设，运用二分法，依次计算，，，，的值，再利用零点的存在性定理，即可得解.
【详解】
解析：设，
则，，
因为且，所以函数在上必有零点.
又因为且，所以函数在上必有零点.
又因为且，所以函数在上必有零点.
即方程的根必在上.
故选：D
【变式训练8-1】、（2019·浙江湖州高一期中）函数的零点所在的区间是（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
【答案】B
【解析】
函数是上的增函数,是上的增函数,
故函数是上的增函数.
,,
则时,;时,,
因为,所以函数在区间上存在零点.
故选:B.
重难点题型突破7、 函数的零点个数与方程的根个数
例9．（1）、（2022·浙江宁波·高二期末）已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据的性质画出函数图像，将问题化为与有2个交点，数形结合求的范围.
【详解】
由题意，与有2个交点，
当时，递增且值域为；
当时，在上递减，上递增且值域为；
所以的图像如下：
由图知：时，有2个零点.
故选：A
（2）、（2022·全国·高一专题练习）若方程，且有两个不同实数根，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意得到等价于函数与的图象有两个不同的交点，再分类讨论画图求解即可.
【详解】
方程有两个不同实数根，
等价于函数与的图象有两个不同的交点．
当时，如图所示：
函数与的图象有两个不同的交点，符合题意.
当时，如图所示：
函数与的图象有一个不同的交点，不符合题意.
故答案为：
【变式训练9-1】、（2021·贵州师大附中高二月考（理））函数的零点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
令，即，解得即可；
【详解】
解：依题意令，即，所以，解得或
故函数的零点是和
故选：B
【变式训练9-2】、（2019·全国高一课时练习）已知二次函数数的图象与轴有两个交点，且只有一个交点在区间上，则实数的取值范围是 __________.
【答案】
【解析】由函数图象与轴只有一个交点在区间上，所以当时和当时函数值异号，得，即，解得或，所以答案为.
重难点题型突破8、 嵌套函数的零点问题
例10．（1）、（2022·湖南衡阳·高一期末）已知函数定义城为，恒有，时；若函数有4个零点，则t的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先化简函数的解析式，再利用两函数图象的交点去判断函数有4个零点时t的取值范围.
【详解】
设，则，则
设，则
则
则，则
函数图象如下：
由，可得，或
由，可得，或，或
则仅有一根，又，，
则，解之得
故答案为：
（2）．（2022·江苏·南京师范大学附属中学江宁分校高一期中）设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
画出图象，换元后得到方程在内有两个不同的实数根，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】
作出函数的图象如图，
令，则当，方程有个不同的实数解，
则方程化为，
使关于的方程恰好有六个不同的实数解，
则方程在内有两个不同的实数根，
令
所以,
解得:，
所以实数的取值范围为
故答案为
【点睛】
复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.
【变式训练10-1】、（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知函数，对任意的实数a，b，c，关于x的方程的解集不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先研究一元二次方程根的情况，再研究指数方程根的情况，综合可作判断.
【详解】
令，则方程化为，
设它有解为，则求方程化为求方程及.
根据基本不等式，，当且仅当时，等号成立，关于对称，所以，若方程及有解，则解，或有成对的解且两解关于对称，所以D选项不符合条件.
故选：D
【变式训练10-2】、（2021·重庆市永川北山中学校高一期末）已知函数的定义域为R，若关于x的方程有5个不同的根，则的值为（ ）
A． B．16 C．5 D．15
【答案】D
【分析】
根据函数解析式画出图像，结合方程根的情况，判断函数交点情况，从而求得参数的值，进而求得交点横坐标，从而解决问题.
【详解】
由函数解析式作出函数图像如下：
由方程有5个不同的根知，必有一个解为1，
即，
则，
则方程另一个解为，设
则，
故
故选：D.
【点睛】
方法点睛：数形结合找到方程有5个不同根对应的交点情况，然后求得参数值.
重难点题型突破9、 函数的应用
例11、（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，作出函数与的图像，然后通过数形结合求出答案.
【详解】
函数的图像如下图所示：
若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，
则函数的图像与直线有三个交点，
若直线经过原点时，m＝0，
若直线与函数的图像相切，令，令.
故.
故选：D．
【变式训练11-1】、（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数，，若函数有两个不同的零点，则的取值范围是________.
【答案】或
【解析】
【分析】
设，转化为，由的值域得出此方程在上有一解或两个相等的实解，然后由二次方程根的分布知识求解．
【详解】
，设，则当时，有两解，
，
由题意在上有一解或两个相等的实解．
，，此时满足题意，
，即时，有两解，一解大于，另一解小于，则，，
综上，或．
故答案为：或．
例12．（2022·上海·高三专题练习）已知函数，其中.
(1)若不等式的解集是，求m的值；
(2)若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围.
【答案】(1)－1；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，得到，根据韦达定理，直接求解即可
（2），，可得，根据对勾函数的性质，即可得到的取值范围
(1)
的解集是，得到的解集是，所以，
，所以，
(2)
令，因为，所以，当时，，
即有，因为函数在区间上有且仅有一个零点，令，根据对勾函数的性质，可得，因为与有且仅有一个交点，根据对勾函数的图像性质，得或，进而可得答案为：
【变式训练12-1】、定义：如果函数在定义域内的给定区间上存在（），满足，则称函数为上的“平均值函数”，为它的平均值点．
(1)函数是否为上的“平均值函数”？如果是，请求出它的平均值点；如果不是，请说明理由．
(2)若函数是上的平均值函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)为上的“平均值函数”，1是它的平均值点
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据“平均值函数”的定义计算，看是否满足定义，即可判断，继而求得平均值点;
（2）根据定义计算，从而得到，整理并换元可得在上有解，构造函数结合函数零点的分布，求得答案.
(1)
函数是上的“平均值函数”．
令，因为，
设是它的平均值点，则有，解得，，
故为上的“平均值函数”，1是它的平均值点．
(2)
令，，
设是它的平均值点，则，即，
整理得．
令，则，则需方程在上有解，
令，，
，
①当在内有一个实根时，，即 ，
解得，或；
②当在内有两个不等的实根时，需满足，
可得 ，无解．
综上，实数的取值范围是．
四、课堂训练
1．（2022·山东德州·高二期末）幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．27 B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据幂函数的概念及性质，求得实数的值，得到幂函数的解析式，即可求解.
【详解】
由题意，令，即，解得或，
当时，可得函数，此时函数在上单调递增，符合题意；
当时，可得，此时函数在上单调递减，不符合题意，
即幂函数，则.
故选：A.
2．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（ ）（参考数据：，，）
A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件代入公式计算得到，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果.
【详解】
根据题意，，即
设茶水从降至大约用时t分钟，则，
即，即
两边同时取对数：
解得，所以从泡茶开始大约需要等待分钟
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，解题的关键是熟练运用对数的运算公式，考查学生的审题分析能力与运算求解能力，属于基础题.
3．（2022·上海中学高一期末）设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
作出f(x)的图像，当时，，当时，.令，则，则该关于t的方程有两个解、，设＜，则，.令，则，据此求出a的范围，从而求出b的范围．
【详解】
当时，，
当时，，
当时，，
则f(x)图像如图所示：
当时，，当时，．
令，则，
∵关于x的方程恰有六个解，
∴关于t的方程有两个解、，设＜，
则，，
令，则，
∴且，
要存在a满足条件，则，解得．
故答案为：．
4．（2021·全国·高一课前预习）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数，其中x是“玉兔”的月产量.
(1)将利润f(x)表示为月产量x的函数；
(2)当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益＝总成本＋利润)
【答案】(1)；
(2)300，25000元.
【解析】
【分析】
(1)由题意，由总收益总成本利润可知，分及求利润，利用分段函数表示；
(2)在及分别求函数的最大值或取值范围，从而确定函数的最大值．从而得到最大利润．
(1)
由题意，当时，；
当时，；
故；
(2)
当时，；
当时，(元
当时，(元
，
当时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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