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专题19 基本不等式
考情分析
经验分享
【基本不等式(或)均值不等式】
知识点一：基本不等式
1.对公式及的理解.
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
知识点二：基本不等式的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
方法二：代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
知识点三：基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
知识点诠释：
在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
知识点四：用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
【基本不等式的变形与拓展】
1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；
(3)若,则（当且仅当时取“=”）．
3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
5．一个重要的不等式链：．
6．函数图象及性质
(1)函数图象如右图所示：
(2)函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：；单调递减区间：．
7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；
(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
三、题型分析
重难点突破(一) 基本不等式的简单应用
例1.（1）、（2022·四川甘孜·高一期末）的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
利用均值不等式求解即可.
【详解】
因为，所以，当且仅当即时等号成立.
所以当时，函数有最小值4.
故选：C.
（2）、（2022·新疆喀什·高二期末（文））若，则函数的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本不等式计算可得.
【详解】
解：因为，所以，当且仅当，即时取等号，
所以.
故选：C
【变式训练1-1】、（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知，函数的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．6
【答案】A
【解析】由题意可得，满足运用基本不等式的条件——一正，二定，三相等，所以，故选A
【变式训练1-2】、（2022·新疆喀什·高二期末（文））已知x＞0，y＞0，x＋y＝2，则xy的最大值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用基本不等式求解即可.
【详解】
因为x＞0，y＞0
所以
即，解得，当且仅当时等号成立.
则xy的最大值为1.
故答案为：1.
重难点突破(二) 利用基本不等式求最值
例2.（1）、（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）函数的最小值为______.
【答案】4
【解析】
【分析】
利用基本不等式直接求解即可
【详解】
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4，
故答案为：4
（2）、（2023·全国·高三专题练习）若，则的最小值为___________.
【答案】0
【解析】
【分析】
构造，利用基本不等式计算即可得出结果.
【详解】
由，得，
所以，
当且仅当即时等号成立.
故答案为：0
【变式训练2-1】、（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）函数的最小值为______.
【答案】4
【解析】
【分析】
利用基本不等式直接求解即可
【详解】
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4，
故答案为：4
【变式训练2-2】．（2022·福建漳州·高二期末）已知，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由于，所以，则，然后利用基本不等式可求出其最小值
【详解】
由于，所以
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：A.
重难点突破(三) 不等式变形技巧：“1”的代换
例3.（1）、（2021·全国高一单元测试）正实数 满足：，则的最小值为_____.
【答案】9
【分析】
根据题意，可得，然后再利用基本不等式，即可求解.
【详解】
，当且仅当 时取等号．
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
(2)、（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式“1”的代换求的最值，注意等号成立条件.
【详解】
由题设，，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B
【变式训练3-1】、（2022·四川资阳·高一期末）已知正实数x，y满足，则最小值为______．
【答案】9
【解析】
【分析】
利用基本不等式的性质直接求解即可.
【详解】
正数，满足：，
，
当且仅当，即，时 “”成立，
故答案为：.
【变式训练3-2】.（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知正实数、满足，则的最小值是___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
由已知可得出且，化简代数式，利用基本不等式可求得结果.
【详解】
因为正实数、满足，则，由可得，
所以，
.
当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值是.
故答案为：.
重难点突破(四) 不等式的证明技巧与综合处理技巧
例4．（2022·宁夏·银川二中高二期中（文））（1）设且．证明：；
（2）已知为正数，且满足．证明：
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）将展开可得，由题意可得，，都不为，则即可求证；
（2）利用基本不等式可得，三式相加，结合，可得结论
【详解】
（1）因为，
所以，
因为，所以，，都不为，则，
所以.
（2）因为a，b，c为正数，，
所以，
所以，
因为，所以，当且仅当时取等号，
即
【变式训练4-1】、（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知a，b，c为正实数且．
(1)求的最小值；
(2)当时，求a+b+c的值．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由已知条件，应用三元柯西不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件.
（2）由基本不等式可得，结合已知有，进而确定a、b、c的值，即可求目标式的值.
(1)
由柯西不等式得：，
所以，当且仅当，即，，时，等号成立．
因此当，，时，的最小值为．
(2)
由基本不等式得：，，；
以上三个式子相加得，故，
当时，仅当即，，时成立，
故．
重难点突破(五) 均值不等式在实际问题中的应用
例5．（2021·山东济宁·高一期中）将一根铁丝切割成三段,做成一个面积为、形状为直角三角形的工艺品框架,在下列4种长度的铁丝中，选用最合适（够用且浪费最少）的是（ ）（注：）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设直角三角形的两条直角边为，由面积可得，故周长，利用均值不等式以及，即得解
【详解】
由题意，设直角三角形的两条直角边为
则
此时三角形框架的周长
当且仅当时等号成立
由于，
故选：C
【变式训练5-1】.（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为______．
【答案】##4.5
【解析】
【分析】
由题设可得，结合基本不等式得到关于的一元二次不等式并求解集，结合△的面积即可得最大值，注意成立条件.
【详解】
由题意△△，而，，
所以，而矩形的周长为，
则，整理得，仅当等号成立，
所以，而，可得，
则，而△的面积，故最大值为，此时.
故答案为：
例6．（2022·福建省华安县第一中学高二期末）某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销售量a万件与月促销费用x万元（）满足关系式（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是2万.已知生产该产品每月固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入5万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元.（注：利润=销售收入-生产投入-促销费用）
(1)将y表示为x的函数；
(2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？
【答案】(1)，.
(2)月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为5万元.
【解析】
【分析】
（1）由时，，代入求得，由利润=销售收入－生产投入－促销费用，列出函数关系，即可得出结果；
（2）由（1）知，利用基本不等式即可求得最大利润.
(1)
由题意知当时，，代入
则，解得，.
利润，
又因为，
所以，.
(2)
由（1）知，
因为时，，
因为，当且仅当时等号成立.
所以，
故月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为5万元.
【变式训练6-1】.（2022·江西·南昌市八一中学高二期末（理））某种商品原来毎件售价为元，年销售万件．
(1)据市场调查，若价格毎提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？
(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价．
【答案】(1)元
(2)改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件
【解析】
【分析】
（1）设每件定价为元，则，解之即得所求；
（2）依题意可列（），分离参数可得有解，应用均值不等式求不含参数这一边的最值即得所求
(1)
设每件定价为元，
则，
整理得，
要满足条件，每件定价最多为元；
(2)
由题得当时：有解，
即：有解．
又，
当且仅当时取等号，
即改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件
四、过关检测
1．（2023·全国·高三专题练习）已知正数m，n满足，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
化简，再利用基本不等式得解.
【详解】
解：由题得.
（当且仅当等号成立）.
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，则的最大值为（　　）．（本题中取进行计算）
A．6 B． C．3 D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
根据面积和周长的计算,可得,根据基本不等式即可求解最大值.
【详解】
圆弧的半径为，则，．
所以周长，面积．
所以
．
当且仅当，时等号成立．
故选：B
3．（2021·山东潍坊·高一阶段练习）若正实数，满足，则的最小值为___________．
【答案】##1.5
【解析】
【分析】
由题意可得，由基本不等式可得的最小值.
【详解】
由，可得，
∴，当且仅当,即时取等号，
故的最小值为.
故答案为：.
4．（2021·辽宁·高一期中）（1）已知，，证明：；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用基本不等式可得，，即证；
（2）原不等式等价于，即求.
【详解】
（1）∵，，
∴，当且仅当“”时等号成立，
，当且仅当“”时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立.
（2）由题可得，解得且，
故原不等式的解集为.
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专题19 基本不等式
考情分析
经验分享
【基本不等式(或)均值不等式】
知识点一：基本不等式
1.对公式及的理解.
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
知识点二：基本不等式的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
方法二：代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
知识点三：基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
知识点诠释：
在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
知识点四：用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
【基本不等式的变形与拓展】
1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；
(3)若,则（当且仅当时取“=”）．
3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
5．一个重要的不等式链：．
6．函数图象及性质
(1)函数图象如右图所示：
(2)函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：；单调递减区间：．
7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；
(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
三、题型分析
重难点突破(一) 基本不等式的简单应用
例1.（1）、（2022·四川甘孜·高一期末）的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2）、（2022·新疆喀什·高二期末（文））若，则函数的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【变式训练1-1】、（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知，函数的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．6
【变式训练1-2】、（2022·新疆喀什·高二期末（文））已知x＞0，y＞0，x＋y＝2，则xy的最大值为________．
重难点突破(二) 利用基本不等式求最值
例2.（1）、（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）函数的最小值为______.
（2）、（2023·全国·高三专题练习）若，则的最小值为___________.
【变式训练2-1】、（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）函数的最小值为______.
【变式训练2-2】．（2022·福建漳州·高二期末）已知，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
重难点突破(三) 不等式变形技巧：“1”的代换
例3.（1）、（2021·全国高一单元测试）正实数 满足：，则的最小值为_____.
(2)、（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】、（2022·四川资阳·高一期末）已知正实数x，y满足，则最小值为______．
【变式训练3-2】.（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知正实数、满足，则的最小值是___________.
重难点突破(四) 不等式的证明技巧与综合处理技巧
例4．（2022·宁夏·银川二中高二期中（文））（1）设且．证明：；
（2）已知为正数，且满足．证明：
【变式训练4-1】、（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知a，b，c为正实数且．
(1)求的最小值；
(2)当时，求a+b+c的值．
重难点突破(五) 均值不等式在实际问题中的应用
例5．（2021·山东济宁·高一期中）将一根铁丝切割成三段,做成一个面积为、形状为直角三角形的工艺品框架,在下列4种长度的铁丝中，选用最合适（够用且浪费最少）的是（ ）（注：）
A． B．
C． D．
【变式训练5-1】.（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为______．
例6．（2022·福建省华安县第一中学高二期末）某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销售量a万件与月促销费用x万元（）满足关系式（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是2万.已知生产该产品每月固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入5万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元.（注：利润=销售收入-生产投入-促销费用）
(1)将y表示为x的函数；
(2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？
【变式训练6-1】.（2022·江西·南昌市八一中学高二期末（理））某种商品原来毎件售价为元，年销售万件．
(1)据市场调查，若价格毎提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？
(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价．
四、过关检测
1．（2023·全国·高三专题练习）已知正数m，n满足，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，则的最大值为（　　）．（本题中取进行计算）
A．6 B． C．3 D．9
3．（2021·山东潍坊·高一阶段练习）若正实数，满足，则的最小值为___________．
4．（2021·辽宁·高一期中）（1）已知，，证明：；
（2）解关于的不等式.
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