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追及相遇问题
追及相遇问题
知识精讲
追击和相及问题
两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系而解出。
二．几种典型的追及、相遇问题
在讨论A、B两个物体的追及问题时，先定义几个物理量，表示开始追及时两物体之间的距离，表示开始追及以后，后面的物体因速度大而比前面物体多运动的位移；表示运动方向上前面物体的速度，表示后面物体的速度。下面分为几种情况：
特殊情况：同一地点出发，速度小者（初速度为零，匀加速运动）追及速度大者（匀速运动）。
（1）当，A、B距离最大。
（2）当两者位移相等时,有 且A追上B。
（3）A追上B所用的时间等于它们之间达到最大距离时间的两倍，。
（4）两者运动的速度时间图像
速度小者（）追及速度大者（）的一般情况
速度大者（）追速度小者（）的一般情况
三点剖析
一．考点与难度系数
1．掌握追及和相遇问题的特点★★★
2．能够熟练解决追及和相遇问题★★
二．易错点和重难点
追及、相碰是运动学中研究同一直线上两个物体运动时常常涉及的两类问题，也是匀速直线运动规律在实际问题中的具体应用。研究追及问题需要注意：
1．抓住一个条件，两个关系，即一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。
2．解决追及、相遇问题通常有物理方法和数学方法。物理方法指的是通过对物理情景和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列出方程求解；数学方法是指，通过匀变速直线运动中位移与时间t的一元二次方程，利用判别式进行讨论，在追及问题的位移关系式中，若Δ>0，即有两个解，并且两个解都符合题意，说明相遇两次；Δ＝0，有一个解，说明刚好追上或相遇；Δ<0，无解，说明不能够追上或相遇。另外，可利用图象法分析，避开繁杂的计算，快速求解。
追及相遇问题
例题1、 汽车甲沿着平直的公路以速度V0做匀速直线运动，若它路过某处的同时，该处有一辆汽车乙开始做初速度为零的匀加速运动去追赶甲车，根据上述已知条件（ ）
A.可求出乙车追上甲车时乙车的速度
B.可求出乙车追上甲车所走的路程
C.可求出乙车从开始启动到追上甲车时所用的时间
D.不能求出上述三者中的任何一个
例题2、 一个步行者以6.0m/s的速率跑去追赶被红灯阻停的一辆汽车，当他距离汽车25m处时，绿灯亮，汽车以1.0m/s2的加速匀加速起动前进，则（　　）
A.人能追上汽车，追赶过程中人跑了36m
B.人不能追上汽车，人、车最近距离为7m
C.人能追上汽车，追上前人共跑了43m
D.人不能追上汽车，且汽车开动后人和车间距越来越远
例题3、 在平直的公路上A车正以vA=4m/s的速度向右匀速运动，在A车的正前方7m处B车此时正以vB=10m/s的初速度向右匀减速运动，加速度大小为2m/s2，则A追上B所经历的时间是（　　）
A.7s B.8s C.9s D.10s
例题4、 A和B两物体在同一直线上运动的v-t图象如图所示．已知在第3s末两个物体在途中相遇，则下列说法正确的是（　　）
A.两物体从同一地点出发 B.出发时B在A前3m处
C.3s末两个物体相遇后，两物体可能再相遇 D.运动过程中B的加速度大于A的加速度
例题5、 甲、乙两物体从同一地点，同时、同向运动，它们运动的速度υ随时间t变化的图象如图所示．下列叙述正确的是（　　）
A.甲的加速度的大小比乙的小
B.t1时刻后，甲的速度与乙的速度方向相反
C.在0～t1时间内，甲、乙之间的距离一直在增大
D.t1时刻，甲、乙相遇
例题6、 全国摩托车越野锦标赛六盘水站激情上演，淮北车手王克获青少年组第一名．某段时间他和另一名车手在两条平行的直车道上行驶．t=0时两车都在同一计时线处．它们在四次比赛中的v-t图如图所示．下列说法正确的是（　　）
A.A选项 B.B选项 C.C选项 D.D选项
例题7、 一辆汽车以90km/h的速度在学校区域内行驶，当这辆违章行驶的汽车刚刚超过一辆警车时，警车立即从静止开始以2.5m/s2匀加速追去．求：
（1）试画出这两辆汽车的v﹣t图
（2）警车何时能截获超速车？
（3）警车截获超速车时，警车的速度为多大？
例题8、 汽车在路上出现故障时，应在车后放置三角警示牌（如图所示），以提醒后面驾车司机，减速安全通过．在夜间，有一货车因故障停驶，后面有一小轿车以30m/s的速度向前驶来，由于夜间视线不好，小轿车驾驶员只能看清前方50m的物体，并且他的反应时间为0.6s，制动后最大加速度为5m/s2．求：
（1）小轿车从刹车到停止所用的最短时间；
（2）三角警示牌至少要放在车后多远处，才能有效避免两车相撞．
例题9、 甲、乙两车在同一路面上平行同向匀速行驶．甲车的速度为v1=16m/s，乙车的速度为v2=12m/s，乙车在甲车的前面．某时刻两车相距L=6m，同时开始刹车，甲车的加速度为以a1=2m/s2，t=6s后立即改做匀速运动，乙车刹车的加速度为a2=1m/s2．求：
（1）甲车开始匀速时，乙车的速度v；
（2）两车第一次速度相等时甲车的位移x；
（3）从两车开始刹车到乙车减速至0的过程中，两车历次相遇的时间．
例题10、 一列火车和一辆汽车沿同一方向做匀变速直线运动，速度分别为v1和v2．t=0时刻，火车在汽车前方26m处，此后v1、v2在各个时刻的大小如表所示．根据表格中的数据，通过计算求：
（1）两车经过多长时间相距最大？此时最大间距是多少？
（2）经过多长时间两车相遇？
（3）两车初始间距满足什么条件可以相遇两次．
例题11、 一辆长途客车正在以v=20m/s的速度匀速行驶，突然，司机看见车的正前方x=45m处有一只小狗（图1），司机立即采取制动措施．从司机看见小狗到长途客车开始做匀减速直线运动的时间间隔△t=0.5s．若从司机看见小狗开始计时（t=0），该长途客车的速度-时间图象如图2所示．求：
（1）长途客车在△t时间内前进的距离；
（2）长途客车从司机发现小狗至停止运动的这段时间内前进的距离；
（3）根据你的计算结果，判断小狗是否安全．如果安全，请说明你判断的依据；如果不安全，有哪些方式可以使小狗安全．
例题12、 甲乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲以初速度v1=16m/s，加速度a1=2m/s2做匀减速运动，乙以初速度v2=4m/s，加速度a2=1m/s2做匀加速运动．求：
（1）两车在此相遇前两者间的最大距离；
（2）两车在此相遇所需的时间．
随练1、[多选题] 甲、乙两车在同一水平道路上，一前一后相距x=6m，乙车在前，甲车在后，某时刻两车同时开始运动，两车运动的过程如图所示，则下列表述正确的是（　　）
A.当t=4 s时两车相遇 B.当t=4 s时甲车在前，乙车在后
C.两车有两次相遇 D.两车有三次相遇
随练2、 一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以v=8m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经2.5s警车发动起来，以加速度a=2m/s2做匀加速运动．试问：
（1）警车要多长时间才能追上违章的货车？
（2）在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多少？
随练3、 一汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶．
（1）司机突然发现在前方有路障，立即紧急刹车，已知刹车的加速度是a1=﹣5m/s2，汽车历时6s，刚好在路障前面停下，求汽车原来匀速行驶的速度？
（2）若汽车的刹车加速度是a2=﹣3m/s2，初速度不变，司机从发现路障到踩刹车需要0.5s的反应时间．为使汽车不撞上路障，司机必须提前多远距离发现路障？
拓展
1、 甲、乙两车同地同向做直线运动，它们的速度υ随时间t变化的图象如图所示，以下判断正确的是（　　）
A.t=4s时，甲、乙两车的加速度相等 B.t=4s时，甲车追上乙车
C.最终乙车停在甲车前面 D.甲车始终在乙车的前面
2、 一自行车以6m/s的速度沿平直的公路匀速运动，一小汽车从静止开始与自行车同向做匀加速运动，加速度大小为3m/s2；汽车开始运动时，自行车恰好与汽车车头相齐．求：
（1）汽车追上自行车之前经多长时间两者相距最远？最远距离是多少？
（2）汽车经过多长时间追上自行车？此时汽车的速度是多少？
3、 交叉路口处有一辆静止的小汽车等候信号灯，当绿灯亮时，它以2m/s2的加速度起动，与此同时，一辆大卡车以10m/s的速度从小汽车旁边驶过．此后小汽车保持加速度不变做匀加速直线运动，大卡车仍以原来速度直线行驶．问：
（1）小汽车追上大卡车时距起动位置多远？
（2）小汽车追上大卡车时的速度是多大？
（3）小汽车追上大卡车以前，两车之间的最大距离是多少？
4、 甲、乙两辆汽车沿平直公路同向匀速行驶，甲车在乙车前面，它们之间相距s0=40m，速度均为v0=10m/s．某时刻，甲车刹车作匀减速直线运动，加速度大小为5m/s2．从此时刻起，求：
（1）甲车经过多长时间停止运动？
（2）当甲车静止时，甲、乙两辆汽车之间的距离为多大？
（3）经多长时间两车相遇？
答案解析
追及相遇问题
追及相遇问题
例题1、
【答案】 A
【解析】 甲乙两车的速度﹣时间图线如图，
当乙车追上甲车时，位移相等，从图象上可以看出，当甲乙位移相等时，乙车的速度为2v．从图象上无法知道乙车追上甲车所用的时间，也无法求出乙车追上甲车时两车的路程．故A正确，B、C、D错误．
故选：A．
例题2、
【答案】 B
【解析】 设经过时间t两者速度相等，有：
t=
此时步行者的位移为：x1=vt=6×6m=36m，汽车的位移为：
x1﹣x2=18m＜25m
故不能追上，故AC错误；
且汽车开动后人和汽车间的距离先减小后增大，故D错误；
人车最近距离是：△x=25m﹣（x1﹣x2）=7m，故B正确；
故选：B
例题3、
【答案】 B
【解析】 B车速度减为零的时间为：，
此时A车的位移为：xA=vAt0=4×5m=20m，
B车的位移为：，
因为xA＜xB+7m，可知B停止时，A还未追上，
则追及的时间为：t=．故B正确，ACD错误．
故选：B．
例题4、
【答案】 B
【解析】 A、由图象的“面积”读出两物体在3s内的位移不等，而在第3s末两个物体相遇，可判断出两物体出发点不同．故A错误．
B、两物体在3s内的位移分别为xA=×5×3m=7.5m，xB=×3×3m=4.5m，则出发时B在A前3m处．故B正确．
C、3s末两个物体相遇后，A的速度大于B的速度，A的加速度也大于B的加速度，两物体不可能再相遇．故C错误．
D、由A的斜率大于B的斜率可知A的加速度大于B的加速度．故D错误．
故选：B．
例题5、
【答案】 C
【解析】 A、甲物体的斜率大于乙物体，故甲的加速度大于乙的加速度，故A错误；
B、速度的正负表示速度的方向，则知两个物体的速度方向一直相同，均沿正向，故B错误．
C、在0～t1时间内，甲的速度比乙的速度大，两者又是从同一地点、同时、同向运动，甲在乙的前方，所以甲、乙之间的距离一直在增大，故C正确．
D、t1时刻后，甲的速度比乙的速度小，两者间的距离减小，所以t1时刻，甲、乙相距最远，故D错误．
故选：C．
例题6、
【答案】 D
【解析】
在速度-时间图象中，图象与横轴所围成的面积表示物体发生的位移．
A、从A图中可以看出，当t=10s时，a图象的面积大，说明a的位移大，而两车从同一位置沿相同方向运动的，所以此时b车没有追上a车；故A错误．
B、图中a的面积始终小于b的面积，两个面积之差等于它们的间距，可知，间距随时间增大而增大，故B错误．
C、图象在t=20s时，两图象面积相等，此时一辆赛车追上另一辆，所以只能相遇一次，故C错误．
D、图象中a的面积始终小于b的面积，所以a车追不上b车；故D正确．
故选：D．
例题7、
【答案】 （1）见解析（2）20s（3）50m/s
【解析】 （1）汽车的速度为：90km/h=25m/s．两辆汽车的v﹣t图如图．
（2）根据得，
（3）v′=at=2.5×20m/s=50m/s
例题8、
【答案】 （1）小轿车从刹车到停止所用的最短时间为6s（2）三角警示牌至少要放在车后58m，才能有效避免两车相撞
【解析】 （1）从刹车到停止时间为t2，则s ①
（2）反应时间内做匀速运动，则x1=v0t1②x1=18m ③
从刹车到停止的位移为x2，则④x2=90m ⑤
小轿车从发现物体到停止的全部距离为x=x1+x2=108m ⑥
△x=x﹣50=58m ⑦
例题9、
【答案】 （1）甲车开始匀速时，乙车的速度v为6m/s（2）两车第一次速度相等时甲车的位移x为48m（3）从两车开始刹车到乙车减速至0的过程中，两车历次相遇的时间2s或6s
【解析】 （1）设经过时间t=6s，甲车开始匀速，此时乙车的速度为：
（2）设经过时间t，甲乙两车第一次速度相等，有：
代入数据：16﹣2t=12﹣t
解得：t=4s
甲车的位移为：=
（3）设两车经过时间t后相遇，则根据位移关系有：
6s时甲乙在同一位置，甲车速度
乙车速度：
再经t′相遇
得t′=4s
所以第三次相遇时刻
代入数据解得：t=2s或t=6s或10s．
例题10、
【答案】 （1）4s；50m
（2）10s
（3）两车初始间距小于24m可以相遇两次
【解析】 （1）由表格知，火车做匀减速直线运动，加速度为：
汽车做匀加速直线运动，加速度为：
开始时，火车的速度大于汽车的速度，并且火车在前，所以两者间距增大，当两者速度相等时，相距最远．
设共速所需时间为t
v′1=v1+a1t=16﹣2t
v′2=v2+a2t=4+t
另v′1=v′2，解得t=4s
此时，火车的位移：
汽车的位移：
两车最大距离：
△s=s1+26﹣s2=48+26﹣24m=50m
（2）火车做匀减速直线运动，停下来所用的时间为t1：
汽车的位移：
此时，汽车还未追上火车．设t2时刻追上，则：
整理得：
解得：t2=10s
（3）首先，若要相遇两次，一定要汽车在前．
其次，考虑临界情况，如果两车达到共速时，正好相遇，
此时：△s′=s1﹣s2=48﹣24m=24m
若两车距离小于这个值，则两车可以相遇两次．
答：（1）两车经过4s时间相距最大，此时最大间距是50m
（2）经过10s时间两车相遇
（3）两车初始间距小于24m可以相遇两次
例题11、
【答案】 （1）10 m（2）50 m（3）不安全；①小狗沿车的前进方向在4.5s内跑出5m以上的距离②小狗沿垂直车运动的方向在4.5s内跑出的距离超过车的宽度
【解析】 （1）公共汽车在司机的反应时间内做匀速直线运动，前进的距离
x1=v△t=20 m/s×0.5s=10 m
（2）公共汽车从司机发现小狗至停止的时间内前进的距离
x2=x1+vt=10m+×20×4s=50 m
（3）因为x2＞x，所以小狗不安全．
小狗不发生危险，可以采用如下的一些方式：
①小狗沿车的前进方向在4.5s内跑出5m以上的距离．
②小狗沿垂直车运动的方向在4.5s内跑出的距离超过车的宽度．
例题12、
【答案】 （1）24m
（2）8s
【解析】 解：（1）由题意知，两车在相遇前距离最大时两车速度相等，故根据匀变速直线运动的速度时间关系有：
v甲=v1﹣a1t
v乙=v2+a2t
当两车速度相等时有：
v1﹣a1t=v2+a2t
代入数据可得t=4s
所以此时甲车的位移 =48m
乙车的位移： =24m
∴△xmax=x甲﹣x乙=48m﹣24m=24m
（2）由题意知甲车运动时间为
令在甲车停车前两车会相遇，根据位移时间关系有：
当两车相遇时满足：
代入数据得：
解之得t=8s（另一值t=0不满足题意舍去）
因为t=8s≤t甲
所以两车相遇所需的时间为8s．
答：（1）两车在此相遇前两者间的最大距离为24m；
（2）两车在此相遇所需的时间为8s．
随练1、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 A、B速度时间图象与时间轴围成的面积可表示位移，则0-4s，甲的位移为x甲=×（16+8）×4m=48m，乙的位移为x乙=×（12+8）×4m=40m，因为x甲＞x乙+x，当t=4s时，甲车在前，乙车在后，相距2m．所以当t=4s时两车不相遇，第一次相遇发生在4s之前．故A错误，B正确．
C、0-6s，甲的位移为60m，乙的位移为54m，两车第二次相遇，6s后，由于乙的速度大于甲的速度，乙又跑到前面，8s后，由于甲的速度大于乙的速度，两车还会发生第三次相遇，故C错误，D正确．
故选：BD
随练2、
【答案】 36m
【解析】 （1）当警车追上货车时，二者位移相等，由此有
X2=X0+X1
即at12=v0(t+t1)
代入数据有：t12-8t1-20=0，解得t1=10s，t2=-2s（舍）
故警车要10s时间才能追上违章的货车．
（2）当v车=v货时相距最远，此时有：
v车=v货=at2，解得：t2=4s；
此时货车X=v0（t0+t2）=52m
警车X′=at2=16m
最大距离 Xm=X-X'=36m
故在警车追上货车之前，两车间的最大距离是36m．
随练3、
【答案】 （1）30m/s
（2）165m
【解析】 （1）由匀变速直线运动的速度位移公式，得：
=
故汽车原来的速度为30m/s．
（2）反应时间内的位移：x1=v0t0=30×0.5=15m
若汽车的加速度是a2=﹣3m/s2，初速度不变．根据匀变速直线运动的速度位移公式，
=
x=x1+x2=15+150=165m
答：（1）汽车原来匀速行驶的速度是30m/s；
（2）司机必须提前165m距离发现路障．
拓展
1、
【答案】 D
【解析】 A、甲物体的斜率大于乙物体，故甲的加速度大于乙的加速度，故A错误；
B、t=4s时，甲图象与时间轴围成的面积小于乙图象的面积，故知甲的位移，小于乙的位移，由于两车同地同向做直线运动，所以此刻乙车还没有追上甲车，故B错误；
C、根据“面积”表示位移，可得：最终两车的位移分别为：
x甲=×15×6m=45m，x乙=×10×8m=40m，x甲＞x乙，所以最终甲车停在乙车的前面．故C错误．
D、由图看出，甲车的位移始终大于乙车的位移，所以甲车始终在乙车的前面，故D正确．
故选：D．
2、
【答案】 ①2s；6m②4s；12m/s
【解析】 （1）因汽车做匀加速运动，速度从0开始增加，开始时自行车在汽车的前头，当汽车的速度小于自行车的速度时，两者的距离便不断增大；当汽车的速度大于自行车的速度时，两者距离减小；当两者速度相等时，距离最大．
设相距最远的时间为t，则有：
由得汽车的位移为：
自行车的位移：x'=vt=6×2=12m
两者的最大距离：xm=x'﹣x=6m
（2）设汽车经过ts追上自行车，由位移相等，得：
即
解得：t=4s
此时汽车的速度为：v=at=3×4m/s=12m/s
3、
【答案】 （1）小汽车追上大卡车时距起动位置100m．
（2）小汽车追上大卡车时的速度是20m/s．
（3）小汽车追上大卡车以前，两车之间的最大距离是25m
【解析】 （1）根据得，t=．
此时距离启动位移的距离x=v0t=10×10m=100m．
（2）根据速度时间公式得，v=at=2×10m/s=20m/s．
（3）当两车速度相等时，经历的时间．
此时大卡车的位移x1=v0t′=10×5m=50m，
小汽车的位移，
则两车之间的最大距离△x=x1﹣x2=50﹣25m=25m．
4、
【答案】 （1）2s（2）30m（3）5s
【解析】 （1）由v=v0+at，甲车停止运动的时间t1=2s
故甲车经过2s停止运动．
（2）时间t1内，甲车的位移x甲==10m
乙车的位移x乙=v0t1=20 m
两车相距△x=10+40﹣20m=30 m
故当甲车静止时，甲、乙两辆汽车之间的距离为30m．
（3）甲车停止后还需时间t 2==3s．t=t1+t2=5s．
故经过5s两车相遇．

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