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01|有理数的意义
学习目标
目标1
★★★★女女
识别
能够准确区分有理数、数轴、绝对值的意义
目标2
★★★★★☆迁移
可以根据绝对值的不同情况进行分类讨论
知识清单
正数和负数
有理数的意义
有理数的概念
有理数的分类
有理数的意义
数轴
数轴
相反数
绝对值的概念
绝对值
绝对值的数学表达
有理数的此较大小
【考情分析】
1.考纲要求：
1.1.4相反数、倒数和绝对值：
懂得相反数、倒数、绝对值的概念
1.1.5有理数的概念及其表示方法
(1)懂得有理数的概念并初步会用数轴上的点表示有理数
(2)掌握比较有理数大小的方法
01
2.主要考察有理数、数轴、相反数、绝对值的概念。在填空和选题部分进行考察。其中绝
对值的分类讨论容易在六下以解答的形式进行考察，占期中分值10%左右
3.对应教材：预初下册，第五章，有理数
5.1有理数的意义5.2数轴5.3绝对值
4.
本讲知识点属于有理数的基础概念，为本章节有理数的运算做铺垫，同时在七年级寒假
及春季教材中，我们会针对有理数进行数系的扩充至实数板块。
【课堂引入】
引入方向：
你知道什么是有理数吗？那有理数可以根据什么去分类呢？
师：整数和分数统称为有理数；意义；符号
2.
数轴是什么？
师：规定了原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴
02
知识点1一
有理数的意义
知识笔记
1.
正数和负数
在现实生活中，用正数和负数表示具有
的量
2.有理数的概念
整数和分数统称为
3.有理数的分类
正整数
「正整数
正有理数
整数{零
正分数
按意义分：有理数
负整数；
按符号分：有理数
零
正分数
负整数
分数
负有理数
负分数
负分数
注意：
(1)零既不是
也不是
零是
和
的分界；
(2)零和正数统称为
零和负数统称为
【填空答案】
1、相反意义：
2、
有理数
3、正数；负数；正数；负数：非负数：非正数
·3
雪
经典例题
例1
(★☆☆☆☆)(2019春.杨浦区期中)如果存款600元记作+600元，那么取款400元记作
元
【配题说明】正数和负数
【常规讲解】
解：：存款600元记作+600元，
,.取款400元记作-400元.
故答案为-400.
例2
(★★☆☆☆)下列说法中，正确的是(
A.在有理数中，零的意义表示没有
B,正有理数和负有理数组成全体有理数
C.0.7既不是整数也不是分数，因此它不是有理数
D.0是最小的非负整数，它既不是正数，也不是负数
【配题说明】有理数的概念
【常规讲解】
解：0不仅可以表示没有，也可以表示实际的意义，如，
在标准条件下，冰与水的混合物的
温度为0C,因此选项A不符合题意：
有理数分为正有理数、0、负有理数，因此选项B不符合题意：
0.7就是十分之七，是分数，是有理数，「
因此选项C不符合题意：
0既不是正数，也不是负数，是最小的非负整数，因此选项D符合题意：
故选：D
0401 有理数的意义
教学目标
目标 1 ★★★★☆☆ 识别 能够准确分有理数、数轴、绝对值的意义
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 可以根据绝对值的不同情况进行分类讨论
教学目标
1
01 知识点 1—— 有理数的意义
知识笔记
1. 正数和负数
在现实生活中，用正数和负数表示具有 的量．
2. 有理数的概念
整数和分数统称为 ．
3. 有理数的分类
正整数 正整数
正有理数
整数

零 正分数
按意义分： 有理数 负整数 ； 按符分： 有理数 零

正分数 负整数
分数
负有理数
负分数 负分数
注意：
（1）零既不是 ，也不是 ，零是 和 的分界；
（2）零和正数统称为 ；零和负数统称为 ．
例题
例 1.（2019 杨浦期中）如果存款 600 元记作 +600 元，那么取款 400 元记作 元．
例 2. 下列说法中，正确的是 ( )
A．在有理数中，零的意义表示没有
B．正有理数和负有理数组成全体有理数
C．0.7 既不是整数也不是分数，因此它不是有理数
D．0 是最小的非负整数，它既不是正数，也不是负数
2
例 3.（2019 浦东校级期中）某巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，某天他从岗亭出发，
晚上停留在 A处，规定向北方向为正，当天行驶情况记录如下（单位：千米） :
10， 8， 7 ， 15， 6 ， 16， 4 ， 2
（1） A处在岗亭何方？距离岗亭多远？
（2）若摩托车每行驶 1 千米耗油 a升，这一天共耗油多少升？
巩固练习
练 1-1
（2020 浦东期末）如果规定向北为正，那么走-200 米表示 ．
练 1-2
（2018 普陀期中）下列说法中正确的是（ ）.
A. 零是自然数，不是正整数； B. 负整数的相反数就是非负整数；
C. 有理数中不是负数就是正数； D. 整数就是正整数和负整数．
练 1-3
（2017 浦东月考）某班级抽查了 10 名同学的期末成绩，以 80 分为基准，超出的分数记为
正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、
-3、+12、-7、-10、-3、-8、+1、5、+10
这 10 名同学中，
（1）最高分是多少？
（2）最低分是多少？
（3）10 名同学的平均成绩是多少？
3
02 知识点 2—— 数轴
知识笔记
1. 数轴
规定了 、 和 的直线叫做数轴．
任何一个 都可以用数轴上的一个点表示．
在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数 ．
2. 相反数
只有 不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数
互为相反数．
互为相反数的两个数的和为 ．
零的相反数是 ．
在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的 ，并且与原点的距离 ．
例题
例 1. （1）（2016 浦东期末）下列语句：
①正数与负数互为相反数；
②任何有理数都有相反数；
③一个数的相反数一定是负数，
正确的个数有 ( )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
（2）（2019 静安月考） a b c的相反数是（ ）
A． a b c B． a b c C． a b c D． a b c
（3）（2018 浦东期中）已知 a 2 的相反数是 3，那么 a的相反数是 ．
4
例 2.（1）（2017 闵行校级期末）在下列说法中， 正确的是 ( )
A . 所有正数都是整数
B . 表示相反意义的量的两个数互为相反数
C . 一个数的绝对值是它本身， 则这个数一定是正数
D . 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示
（2）（2020 浦东期末）在数轴上，到原点的距离等于 4 个单位长度的点所表示的有理数
是 ．
（3）（2018 普陀期末） A、. B .是数轴上表示负数的两点， AB 4 ，如果点 A表示 3，那
么点 B表示的数是 ．
（4）（2019 虹口校级月考）在数轴上，点 P从 2 开始移动，先向右移动 5 个单位长度，再
向左移动 4 个单位长度，最后到达的点表示的数为 ( )
A．3 B． 4 C． 1 D． 6
例 3.（2019 浦东期末）如图是一张不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出下列
各数所代表的点，并将对应字母标在数轴上方的相应位置
点 A : 5 ；
2
点 B : 0.25；
点C :11
3
点D : 300%
5
巩固练习
练 2-1
（1）（2020 浦东期末）1.23 的相反数是 ．
（2）（2018 闵行校级期中） a b c的相反数是 ．
（3）（2019 黄浦期末）如果有理数 a和b满足关系式 a b 0，则必有 ( )
A． a b 0 B． a 0或 b 0
C． a b D． a、b互为相反数
（4）（2018 普陀期中）一个数的倒数是 1 ，则这个数的相反数是 ．
2
练 2-2
（1）（2017 浦东期中）下列说法中错误的是 ( )
A．一个负数的绝对值是它的相反数
B．数轴上离原点越远的点所表示的数越大
C．任何有理数都有相反数
D．正数都大于零
（2）（2020 浦东期末）在数轴上，到原点的距离等于 1.6 个单位长度的点所表示的有
是 ．
（3）（2020 闵行期末）数轴上，点 B在点 A的右边，已知点 A表示的数是 2 ，且 AB 5．那
么点 B表示的数是 ．
（4）（2018 黄浦校级期中）一个点从数轴上表示 2 的点开始，向右移动 7 个单位长度，再
向左移动 4 个单位长度．则此时这个点表示的数是 ( )
A．0 B．2 C．1 D．
6
03 知识点 3—— 绝对值
知识笔记
1. 绝对值的概念
一个数在数轴上所对应的点与原点的 ，叫做这个数的绝对值．
一个正数的绝对值是它 ；一个负数的绝对值是它的 ；零的绝对值
是 ．
2. 绝对值的数学表达
用符号 a 表示数 a 的绝对值．
a a 0

a 0 a 0

a a 0
3. 有理数的比较大小
正数大于零，零大于负数，正数大于负数；
例题
例 1.（1）（2019 浦东期中）下列说法中，正确的是 ( )
A．一个有理数的绝对值不小于它自身
B．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等
C．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数
D． a的绝对值等于 a
（2）（2016 黄浦期末） 3的绝对值是 ( )
A．3 B． 3 C． 1 D． 1
3 3
（3）（2017 浦东期中）若 | x | 3，则 x ．
7
例 2. （2019 宝山校级期中）如果 | x 3 | 3 x，那么 x的取值范围是 ( )
A． x 3 B． x 3 C． x 3 D． x 3．
例 3. 若 a与 b互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值等于 2，求
a b
(a b cd )m cd
10m
的值．
巩固练习
练 3-1
（1）（2019 浦东期末）下列说法正确的是 ( )
A．一个数的绝对值等于它本身，这个数一定是正数
B．一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数
C．绝对值越大，这个数越大
D．两个负数，绝对值大的那个数反而小
（2）（2019 徐汇校级月考）2 的相反数的绝对值是 ( )
A． 1 1 B． C．0 D．2
2 2
（3）（2019 浦东期中）一个数的绝对值是 4 2 ，则这个数是 ．
3
练 3-2
（2019 杨浦期中）（★★★☆☆）如果 a是正数，则 | 1 a | ．
练 3-3
已知 a、b互为相反数，m 、 n互为倒数， x的绝对值为 2，求 2mn
b a
x的值．
3
8
综合练习
【A 组】
A-1.（1）（2020 浦东期末）规定一个物体向上移动1m，记作 1m，则这个物体向下移动了
2m，可记作 ( )
A． 2m B． 2m C． 3m D． 1m
( 2)（2018 崇明期中）以下叙述中，正确的是（ ）
A. 正数与负数互为相反数； B. 表示相反意义的量的两个数互为相反数；
C. 任何有理数都有相反数； D. 一个数的相反数是负数.
A-2.（1）（2019 黄浦校级）若数轴上表示互为相反数的两点之间的距离是 16，则这两
是 ．
(2)（2019 嘉定期末）如果两个数 a与b的是互为相反数，那么下列等式一定成立的
是 ( )
A． a b B． a 1 C． a b 1 D． a b
b
A-3（1）（2017 浦东月考）下列判断正确的是 ( )
A．若一个数的绝对值是它的相反数，则这个数为负数
B．任何数的绝对值都是正数
C．两个数的绝对值相等，则这两个数相等
D．一个正数的绝对值一定是正数
A-4.（1）（2017 浦东月考）下列判断正确的是 ( )
A．若一个数的绝对值是它的相反数，则这个数为负数
B．任何数的绝对值都是正数
C．两个数的绝对值相等，则这两个数相等
D．一个正数的绝对值一定是正数
（2）（2020 上外月考）若 | a | a， a一定是 ( )
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
9
A-5. 已知 a 、b互为相反数， c 、d 互为倒数， |m | 3，计算： 3cd 2a 2b m的值．
【B 组】
B-1. a 、b是有理数，如果 | a b | a b，那么对于结论：（1） a一定不是负数；（2） b 可
能是负数，其中 ( )
A．只有（1）正确 B．只有（2）正确
C．（1），（2）都正确 D．（1），（2）都不正确
B-2. 在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨
论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数 a， ， c 满足 ，求 | a | | b | | c |b abc 0 的值．
a b c
【解决问题】
解：由题意，得 a， b， c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
① a，b，c 都是正数，即 a 0，b 0 ，c 0时，则
| a | | b | | c | a b c
1 1 1 3 ；
a b c a b c
②当 a ， b ， c 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设 a 0 ， b 0 ， c 0 ，则
| a | | b | | c | a b c
1 ( 1) ( 1) 1．
a b c a b c
综上所述， | a | | b | | c | 值为 3 或 1．
a b c
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）三个有理数 a， ， c 满足 ，求 | a | | b | | c |b abc 0 的值；
a b c
（2）若 a， b， c
a b c abc
为三个不为 0 的有理数，且 1，求 的值．
| a | | b | | c | | abc |
10
B-3.（2017 浦东校级自主招生）已知实数 x满足 | x 1| | x 4 | 7．则 x的值是 ．
B-4（. 2016 杨浦校级自主招生）若 x是实数，y | x 1| 2 | x 2 | 3 | x 3 | 4 | x 4 | 5 | x 5 |
的最小值为
课堂总结
11

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