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2021-2022学年吉林省松原市乾安县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．（2分）下列计算正确的是（　　）
A．＝±15 B．＝﹣3 C．＝ D．＝
2．（2分）已知a＜b，则下列式子正确的是（　　）
A．a+5＞b+5 B．3a＞3b C．﹣5a＞﹣5b D．＞
3．（2分）若点P是平面直角坐标系中第二象限内的点，且点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点P的坐标是（　　）
A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（3，﹣2）
4．（2分）下列调查最适合于抽样调查的是（　　）
A．某校要对七年级学生的身高进行调查
B．卖早餐的师傅想了解一锅茶鸡蛋的咸度
C．班主任了解每位学生的家庭情况
D．了解九年级一班全体学生立定跳远的成绩
5．（2分）如图，含30°角的直角三角尺DEF放置在△ABC上，30°角的顶点D在边AB上，DE⊥AB．若∠B为锐角，BC∥DF，则∠B的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．（2分）若方程3m（x+1）+1＝m（3﹣x）﹣5x的解集是负数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣1.25 B．m＜﹣1.25 C．m＞1.25 D．m＜1.25
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
7．（3分）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：　 　．
8．（3分）已知AB∥x轴，A点的坐标为（3，2），并且AB＝5，则B的坐标为　 　．
9．（3分）“平方根”节是数学爱好者的节日，这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的算术平方根，例如2009年的3月3日，2016年的4月4日，请你再写出本世纪你喜欢的一个“平方根”节（题中所举例子除外）　 　年　 　月　 　日．
10．（3分）不等式2x+1＞3x﹣2的非负整数解是　 　．
11．（3分）在实数①﹣，②，③0.3，④，⑤，⑥，⑦0.373737773…（每相邻两个3之间依次多一个7）中，属于无理数的有　 　．
12．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，∠EOC＝70°，OA平分∠EOC，则∠BOD＝　 　．
13．（3分）已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是10，5，7，6，第五组的频率是0.2，则第六组的频率是　 　．
14．（3分）一大门的栏杆如图所示，BA⊥AE，若CD∥AE，则∠ABC+∠BCD＝　 　度．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）计算：|1﹣|﹣+．
16．（5分）解方程组：．
17．（5分）解不等式组：，并在数轴上表示不等式的解集．
18．（5分）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，∠DCB＝140°，求∠ABD和∠EDC的度数．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，
点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
（2）若点P（a+3，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值．
（3）求图中△ABC的面积．
20．（7分）计算：
＝　 　，＝　 　，＝　 　，＝　 　，＝　 　，
（1）根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来；
（2）利用你总结的规律，计算．
21．（7分）已知关于x，y的方程组的解满足不等式组求满足条件的m的整数值．
22．（7分）为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动．对社区部分捐款户数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计表和统计图（图中信息不完整）．已知A、B两组捐款户数的比为1：5．
捐款户数分组统计表
组别 捐款额（x）元 户数
A 1≤x＜50 a
B 50≤x＜100 10
C 100≤x＜150 　 　
D 150≤x＜200 　 　
E x≥200 　 　
请结合以上信息解答下列问题．
（1）a＝　 　，本次调查样本的容量是　 　；
（2）补全“捐款户数分组统计表和捐款户数分组统计图1”；
（3）若该社区有1500户住户，请根据以上信息，估计全社区捐款不少于150元的户数．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图，已知AB∥CD，EF∥MN，∠1＝115°，
（1）求∠2和∠4的度数；
（2）本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角　 　；
（3）利用（2）的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的两倍，求这两个角的大小．
24．（8分）已知x，y满足方程组且x+y＜0．
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）求实数m的取值范围；
（3）化简|m+|﹣|2﹣m|．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）销售有限公司到某汽车制造有限公司选购A、B两种型号的轿车，用300万元可购进A型轿车10辆，B型轿车15辆；用300万元可购进A型轿车8辆，B型轿车18辆．
（1）求A、B两种型号的轿车每辆分别多少元？
（2）若该汽车销售公司销售一辆A型轿车可获利8000元，销售一辆B型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A、B两种型号轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，问：有几种购车方案？在这几种购车方案中，哪种获利最多？
26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（m，0），B（n，0）且m、n满足|m+2|+＝0，现同时将点A，B分别向上平移3个单位，再向右平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）求点C，D的坐标；
（2）求四边形OBDC的面积；
（3）如图2，点P是线段BD上的一个动点，连接PC、PO，当点P在线段BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．
2021-2022学年吉林省松原市乾安县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．【分析】根据算术平方根的定义解答判断即可．
【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确；
故选：D．
【点评】此题考查算术平方根问题，关键是根据算术平方根的定义解答．
2．【分析】看各不等式是加（减）什么数，或乘（除以）哪个数得到的，用不用变号．
【解答】解：A、不等式两边都加5，不等号的方向不变，错误；
B、不等式两边都乘3，不等号的方向不变，错误；
C、不等式两边都乘﹣5，不等号的方向改变，正确；
D、不等式两边都除以3，不等号的方向不变，错误；
故选：C．
【点评】主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．【分析】根据第二象限内点的特点及点到坐标轴的距离定义，即可判断出点P的坐标．
【解答】解：点P到x轴的距离是2，则点P的纵坐标为±2，
点P到y轴的距离是3，则点P的横坐标为±3，
由于点P在第二象限，故P坐标为（﹣3，2），
故选：C．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
4．【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、某校要对七年级学生的身高进行调查，调查范围小，适合普查，故A错误；
B、卖早餐的师傅想了解一锅茶鸡蛋的咸度无法进行普查，适合抽样调查，故B正确；
C、班主任了解每位学生的家庭情况，适合普查，故C错误；
D、了解九年级一班全体学生立定跳远的成绩适合普查，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有坏的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．【分析】首先根据垂直定义可得∠ADE＝90°，再根据∠FDE＝30°，可得∠ADF＝60°，然后根据两直线平行同位角相等可得∠B的大小．
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∵∠FDE＝30°，
∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°，
∵BC∥DF，
∴∠B＝∠ADF＝60°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行同位角相等．
6．【分析】本题首先要解这个关于x的方程，求出方程的解，根据解是负数，可以得到一个关于m的不等式，就可以求出m的范围．
【解答】解：3m（x+1）+1＝m（3﹣x）﹣5x，
3mx+3m+1＝3m﹣mx﹣5x，
3mx+mx+5x＝3m﹣3m﹣1，
（4m+5）x＝﹣1，
解得：x＝﹣；
根据题意得：﹣
即4m+5＞0；
解得m＞﹣1.25．
故选：A．
【点评】本题是一个方程与不等式的综合题目．解关于x的不等式是本题的一个难点．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
7．【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
8．【分析】根据B点位置分类讨论求解．
【解答】解：已知AB∥x轴，点B的纵坐标与点A的纵坐标相同，都是2；
在直线AB上，过点A向左5单位得（﹣2，2），过点A向右5单位得（8，2）．
∴满足条件的点有两个：（﹣2，2），（8，2）．故答案填：（﹣2，2）或（8，2）．
【点评】本题主要是对坐标系平行线的性质的直接考查，同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合．
9．【分析】首先确定月份和日子，最后确定年份即可（答案不唯一）．
【解答】解：2025年5月5日（答案不唯一）．
故答案是：2025，5，5．
【点评】本题考查了平方根的定义，正确理解三个数字的关系是关键．
10．【分析】先求出不等式2x+1＞3x﹣2的解集，再求其非负整数解．
【解答】解：移项得，2x﹣3x＞﹣2﹣1，
合并同类项得，﹣x＞﹣3，
系数化为1得，x＜3．
故其非负整数解为：0，1，2．
【点评】解答此题不仅要明确不等式的解法，还要知道非负整数的定义．解答时尤其要注意，系数为负数时，要根据不等式的性质3，将不等号的方向改变．
11．【分析】掌握无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合题意判断即可．
【解答】解：在实数①﹣，②，③0.3，④，⑤，⑥，⑦0.373737773…（每相邻两个3之间依次多一个7）中，属于无理数的有②，④，⑦0.373737773…（每相邻两个3之间依次多一个7），
故答案为：②④⑦
【点评】此题考查了无理数的概念，解答本题的关键是掌握无理数的定义，属于基础题，要熟练掌握无理数的三种形式，难度一般．
12．【分析】根据角平分线的定义求出∠AOC，再根据对顶角相等解答即可．
【解答】解：∵∠EOC＝70°，OA平分∠EOC，
∴∠AOC＝∠EOC＝×70°＝35°，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°．
故答案为：35°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等的性质，熟记定义并准确识图是解题的关键．
13．【分析】根据频率＝频数÷总数，以及第五组的频率是0.2，可以求得第五组的频数；
再根据各组的频数和等于1，求得第六组的频数，从而求得其频率．
【解答】解：根据第五组的频率是0.2，其频数是40×0.2＝8；
则第六组的频数是40﹣（10+5+7+6+8）＝4．
故第六组的频率是，即0.1．
【点评】本题是对频率＝频数÷总数这一公式的灵活运用的综合考查．
注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．
14．【分析】首先过点B作BF∥AE，易得∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°，又由BA⊥AE，即可求得∠ABC+∠BCD的值．
【解答】解：过点B作BF∥AE，
∵CD∥AE，
∴CD∥BF∥AE，
∴∠BCD+∠CBF＝180°，∠ABF+∠BAE＝180°，
∴∠BAE+∠ABF+∠CBF+∠BCD＝360°，
即∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝270°．
故答案为：270．
【点评】此题考查了平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．【分析】直接利用立方根以及算术平方根的定义化简进而得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣3﹣2
＝﹣6．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16．【分析】由①+②消去y，解关于x的一元一次方程，然后将x的值代入①，解关于y的一元一次方程即可．
【解答】解：
由①+②，得3x＝﹣3，
解得x＝﹣1，③
把③代入①，解得y＝2，
∴原方程组的解是：．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
17．【分析】首先解不等式组中的每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分，即可确定不等式组的解集．
【解答】解：
由不等式①得，x＞2，
于不等式②得，x≥4，
把它们表示在数轴上：
∴不等式组的解集为x≥4
【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能求出不等式组的解集．
18．【分析】根据平行线性质求出∠ABC，求出∠CBD和∠ABD，根据平行线性质求出∠CDB，即可求出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∵∠C＝140°，
∴∠ABC＝40°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBC＝20°，
又∵AB∥CD，
∴∠BDC＝∠ABD＝20°，
∴∠EDC＝180°﹣∠BDC＝160°．
【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线定义的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．【分析】（1）根据图形即可直接写出坐标；
（2）根据（1）中得到的横纵坐标之间的关系可以列方程求解；
（3）转化为图形的面积的和、差即可求解．
【解答】解：（1）A（2，3）与D（﹣2，﹣3）；B（1，2）与E（﹣1，﹣2）；C（3，1）与F（﹣3，﹣1）．
对应点的坐标的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；
（2）由（1）可得a+3＝﹣2a，4﹣b＝﹣（2b﹣3）．解得a＝﹣1，b＝﹣1；
（3）三角形ABC的面积＝2×2﹣×2×1﹣×2×1﹣×1×1＝．
【点评】本题考查了图形的中心对称变换，写出点的坐标得到对称的点之间的关系是关键．
20．【分析】根据二次根式的性质＝|a|，进行计算即可解答．
【解答】解：计算：
＝3，＝0.7，＝0，＝6，＝，
故答案为：3；0.7；0；6；；
（1）不一定等于a，
发现的规律是：＝|a|；
（2）
＝|3.14﹣π|
＝π﹣3.14．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质＝|a|是解题的关键．
21．【分析】解关于x、y的方程组，得；将代入不等式组，得到关于m的不等式组，解得m的取值范围，再求出m的整数值，即可完成解答．
【解答】解：，
①×2，得2x﹣4y＝2m，③
②﹣③，得7y＝4，
所以y＝，
把y＝代入①，得x＝m+，
所以．
将代入不等式组，
得，
即，
解得﹣4＜m≤﹣，
则m的整数值为﹣3或﹣2．
【点评】此题主要考查一元一次不等式组和二元一次方程组的求解，关键是掌握消元的方法．
22．【分析】（1）根据B组有10户，A、B两组捐款户数的比为1：5即可求得a的值，然后根据A和B的总人数以及所占的比例即可求得样本容量；
（2）根据百分比的意义以及直方图即可求得C、D、E 组的户数，从而补全统计图；
（3）利用总户数乘以对应的百分比即可．
【解答】解：（1）B组捐款户数是10，则A组捐款户数为10×＝2，样本容量为（2+10）÷（1﹣8%﹣40%﹣28%）＝50，
故答案为：2、50；
（2）统计表C、D、E 组的户数分别为20，14，4．
组别 捐款额（x）元 户数
A 1≤x＜50 a
B 50≤x＜100 10
C 100≤x＜150 20
D 150≤x＜200 14
E x≥200 4
；
（3）捐款不少于150元是D、E组，1500×（28%+8%）＝540（户）；
∴全社区捐款户数不少于150元的户数为540户．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．【分析】（1）由平行线的性质可求得∠2，再求得∠4；
（2）由（1）的结果可得到这两个角相等或互补；
（3）根据（2）的规律可知这两个角互补，利用方程可求得这两个角．
【解答】解：
（1）∵AB∥CD，
∴∠2＝∠1＝115°，
∵EF∥MN，
∴∠4+∠2＝180°，
∴∠4＝180°﹣∠2＝65°；
（2）由（1）可知如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，
故答案为：相等或互补；
（3）由（2）可知这两个角互补，设一个角为x°，则另一个角为2x°，
根据题意可得x+2x＝180，
解得x＝60，
∴这两个角分别为60°和120°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行 同位角相等，②两直线平行 内错角相等，③两直线平行 同旁内角互补，④a∥b，b∥c a∥c．
24．【分析】（1）把m看作已知数表示出x与y；
（2）把表示出的x与y代入不等式计算即可求出m的范围；
（3）根据m的范围，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1），
①+②×3得：5x＝15m+10，
解得：x＝3m+2，
把x＝3m+2代入②得：3m+2﹣y＝4m+1，
解得：y＝1﹣m，
则方程组的解为；
（2）∵x+y＜0，
∴3m+2+1﹣m＜0，
解得：m＜﹣；
（3）∵m＜﹣，
∴m+＜0，2﹣m＞0，
则原式＝﹣m﹣﹣2+m＝﹣3．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．【分析】（1）等量关系为：10辆A型轿车总价钱+15辆B型轿车总价钱＝300；8辆A型轿车总价钱+18辆B型轿车总价钱＝300，把相关数值代入计算即可；
（2）关系式为：A型轿车总价钱+B型轿车总价钱≤400；A型轿车总利润+B型轿车总利润≥20.4，求合适的正整数解即可．
【解答】解：（1）设A型轿车每辆x万元，B型轿车每辆y万元．
根据题意，可得，解得：，
15万元＝150000元，10万元＝100000元．
答：所以A型轿车每辆150000元，B型轿车每辆100000元．
（2）设购进A型轿车a辆，则B型轿车（30﹣a）辆．
根据题意，得，解这个不等式组，得18≤a≤20．
因为a为整数，所以a＝18，19，20．
30﹣a的值分别是12，11，10．
因此有三种购车方案：方案一：购进A型轿车18辆，B型轿车12辆；方案二：购进A型轿车19辆，B型轿车11辆；方案三：购进A型轿车20辆，B型轿车10辆．
方案一获利：18×0.8+12×0.5＝20.4（万元）；
方案二获利：19×0.8+11×0.5＝20.7（万元）；
方案三获利：20×0.8+10×0.5＝21（万元）．
【点评】考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用；得到关于总费用和总利润的关系式是解决本题的关键．
26．【分析】（1）根据非负数的性质得到m＝﹣2，n＝5，求得A（﹣2，0），B（5，0），根据平移的性质得到点C（0，3），D（7，3），即可得到结果；
（2）先求出CD，OB，OC，最后用梯形的面积公式求解，即可求出答案；
（2）过点P作PE∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠DCP＝∠CPE，根据平行公理可得PE∥AB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BOP＝∠OPE，然后求出∠DCP+∠BOP＝∠CPE+∠OPE＝∠CPO，即可得出结论．
【解答】解：（1）|m+2|+＝0，|m+2|≥0，≥0，
∴m＝﹣2，n＝5，
∴A（﹣2，0），B（5，0），
∵点A，B分别向上平移3个单位，再向右平移2个单位，
∴C（0，3），D（7，3）；
（2）由（1）知，B（5，0），
∴OB＝5，
由（1）知，C（0，3），D（7，3），
∴OC＝3，CD＝7，
∴S四边形OBDC＝（5+7）×3＝18；
（3）＝1，
理由：由平移的性质可得AB∥CD，
如图2，过点P作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，
∴∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝∠DCP+∠BOP，
∴＝1．
【点评】本题主要考查了非负性，坐标与图形性质，平行线的性质，三角形的面积，坐标与图形变化﹣平移，作辅助线构造平行线是解题的关键．

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