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考 前 必 背
第1章　直线与方程
一、直线的斜率与倾斜角
直线l的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°.
规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
若直线l的倾斜角α≠90°,则其斜率k=tan α.
若P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)是直线l上的两点,则l的斜率k=.
二、直线的方程
直线方程的五种形式及适用范围:
名称 几何条件 方程 适用条件
点斜式 直线上一定点(x0,y0)、斜率k y-y0=k(x-x0) 不与x轴垂直的直线
斜截式 直线在y轴上的截距b、斜率k y=kx+b
两点式 直线上两点(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2) = 与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 直线在x轴上的截距a、直线在y轴上的截距b +=1 (a≠0,b≠0) 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) 所有直线
三、两条直线的平行与垂直
1.两条直线的平行
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°
对应关系 l1∥l2 k1=k2 l1∥l2 两直线斜率都不存在
图示
　　2.两条直线的垂直
图示
对应关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在) k1·k2=-1 l1的斜率不存在,l2的斜率为0 l1⊥l2
　　3.两条直线的交点
直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.
四、平面上的距离
1.两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离为P1P2=.
2.点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.
3.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)间的距离d=.
第2章　 圆与方程
一、圆的方程
1.标准形式:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为(a,b),半径为r.
2.一般形式:x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心坐标为,半径r=(存在条件:D2+E2-4F>0).
二、点与圆的位置关系
已知点M(x0,y0)和圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),设点M到圆心的距离为d,则点M在圆内 dr.
三、直线与圆的位置关系
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 1 0
判定方法 几何法:设圆心(a,b)到直线的距离d= dr
代数法:由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0
四、圆与圆的位置关系
　　设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0).
位置关系 方法
几何法:根据圆心距d=O1O2与r1+r2或|r1-r2|的大小关系进行判断 代数法:根据两圆方程组成的方程组的解的个数进行判断
外离 d>r1+r2 无解
外切 d=r1+r2 一组实数解
相交 |r1-r2|内切 d=|r1-r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 无解
第3章　圆锥曲线与方程
一、椭圆的定义、标准方程和几何性质
定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆
标准方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0)
图形
几 何 性 质 范围 -a≤x≤a, -b≤y≤b -b≤x≤b, -a≤y≤a
对称性 对称轴:两坐标轴　　对称中心:坐标原点
顶点 A1(-a,0),A2(a,0); B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a); B1(-b,0),B2(b,0)
轴长 长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b
焦距 F1F2=2c
离心率 e=∈(0,1)
a,b,c 的关系 a2=b2+c2
二、双曲线的定义、标准方程和几何性质
定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线
标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0)
图形
几 何 性 质 范围 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≥a或y≤-a
对称性 对称轴:两坐标轴　对称中心:坐标原点
顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线 y=±x y=±x
离心率 e=∈(1,+∞)
实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴,且A1A2=2a,线段B1B2叫作双曲线的虚轴,且B1B2=2b;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长
a,b,c 的关系 c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)
三、抛物线的定义、标准方程和几何性质
定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线,定点F叫作抛物线的焦点,定直线l叫作抛物线的准线
标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e=1
准线方程 x=- x= y=- y=
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
通径长 2p
四、直线与圆锥曲线的位置关系的判断
　　联立直线l与圆锥曲线C的方程,消去x(或y),得到一个关于变量y(或x)的方程,即ay2+by+c=0(或ax2+bx+c=0),则
(1)若a=0,则得到一个一元一次方程,此时直线l与C相交(1个交点),若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行或重合于抛物线的对称轴.
(2)若a≠0,则当Δ>0时,l与C相交(2个交点);当Δ=0时,l与C相切(1个交点);当Δ<0时,l与C相离(无交点).
五、圆锥曲线的弦长公式
　　当直线斜率存在时,不妨设直线y=kx+b与圆锥曲线C相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则可得弦长公式:AB=|x1-x2|=·或AB=|y1-y2|=·(k≠0);
当直线斜率不存在时,AB=|y2-y1|.
第4章　数列
一、等差数列
　　1.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,通常用字母d表示.
2.等差数列的通项公式及前n项和公式
设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d,前n项和公式为Sn=或Sn=na1+d.
二、等比数列
　　1.等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫作等比数列.这个常数叫作等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q(n∈N*,q为非零常数,an的各项均不为0).
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则其通项公式为an=a1qn-1,前n项和公式为Sn=
3.常见的数列求和方法
分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、并项求和法.
第5章　导数及其应用
一、导数的几何意义
　　函数y=f(x)在点x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k=f '(x0).
二、基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导数
f(x)=kx+b(k,b为常数) f '(x)=k
f(x)=C(C为常数) f '(x)=0
f(x)=xα(α∈Q*) f '(x)=αxα-1
f(x)=sin x f '(x)=cos x
f(x)=cos x f '(x)=-sin x
f(x)=ex f '(x)=ex
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f '(x)=axln a
f(x)=ln x f '(x)=
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f '(x)=logae=
三、导数的运算法则
　　已知函数f(x),g(x)的导数f '(x),g'(x)均存在,则有
(1)[f(x)±g(x)]'=f '(x)±g'(x);
(2)[f(x)·g(x)]'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x);
(3)'=(g(x)≠0).
四、复合函数的导数
　　复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
五、函数的单调性与导数的关系
　　已知函数y=f(x)在区间(a,b)上可导,若f '(x)>0,则f(x)在(a,b)内单调递增;若f '(x)<0,则f(x)在(a,b)内单调递减;若f '(x)=0,则f(x)在(a,b)内是常数函数.
六、函数的极值与导数
条件 f '(x0)=0
x0左侧的附近:f '(x)>0,x0右侧的附近:f '(x)<0 x0左侧的附近:f '(x)<0,x0右侧的附近:f '(x)>0
图象
极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值
极值点 x0为极大值点 x0为极小值点
七、函数的最值
　　1.在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
2.若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.

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