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苏教版（2019）高中数学一轮复习第20讲《直线与圆的方程》(原卷版）
【知识梳理】
直线与圆的方程 直 线 与 方 程 基本概念 倾斜角 轴正向与直线向上的方向所成的角，直线与轴平行或重合时倾斜角为
斜率 倾斜角为，斜率 （），在直线上
直线方程 点斜式 在轴截距为时
两点式 在轴截距分别为时
一般式 （），时斜率，纵截距
位置关系 平行 当不重合的两条直线和的斜率存在时， ；如果不重合直线和的斜率都不存在，那么它们都与轴垂直，则//
垂直 当两条直线和的斜率存在时，；若两条直线中的一条斜率不存在，则另一条斜率为时，它们垂直
交点 两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解为坐标的点
距离公式 点点距 两点之间的距离
点线距 点到直线的距离
线线距 到距离
圆 与 方 程 圆 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。定点叫做圆心、定长叫做半径。
标准 方程 圆心坐标，半径， 方程 标准方程展开可得一般方程、一般方程配方可得标准方程。一般方程中圆心坐标为，半径
一般 方程 ( 其中)
相交 相切 相离
直线与圆 代数法 方程组有两组解 方程组有一组解 方程组无解
几何法
圆与圆 代数法 方程组有两解 方程组有一组解 方程组无解
几何法 或 或
二、【真题再现】
1、（2022北京卷）若直线是圆的一条对称轴，则（）
A. B. C. 1 D.
2、（2022全国甲卷文）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
3、（2022全国乙卷理）过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
4、（2022新高考1卷）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
5、（2022新高考2卷）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
三、【考点精讲】
考点1 直线的倾斜角与斜率
【例1-1】（2022·山东潍坊·二模）已知直线，，若，则( )
A． B． C．3 D．－3
【例1-2】（2021年1月新高考八省联考卷）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______．
【例1-3】（2021·浙江高三专题练习）直线的倾斜角的大小为（）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2021·台州市书生中学高二期中）已知直线：，直线：，若，则_________若，则________
【变式1-2】（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知直线，若，则__________：若曲线：与直线有两个公共点，则实数的取值范围是__________.
【变式1-3】（2021·山东高三课时练习）已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为（）．
A． B． C． D．
考点2 直线的方程
【例2-1】（1）（2021·山东高考真题）如下图，直线的方程是（）
A． B． C． D．
（2）（2021·浙江高三专题练习）已知直线在轴上的截距为3，在轴上的截距为-2，则的方程为（）
A．3x-2y-6=0 B．2x-3y+6=0 C．2x-3y-6=0 D．3x-2y+6=0
（3）（2021·浙江高三专题练习）经过直线与的交点，且与直线垂直的直线方程为（）
A． B． C． D．
（4）（2021·全国高三专题练习）直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点坐标是（）
A．(－2，3) B．(2，3) C．(3，－2) D．(3，2)
【例2-2】（2021·全国高三专题练习）（1）已知一条直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为6，求这条直线的方程；（2）直线l经过点且与x，y轴正半轴交于A，B两点，当面积最小时求直线l的方程（O为坐标原点）.
【变式2-1】（2021·浙江高三专题练习）已知，，，则过点且与线段垂直的直线方程为（）．
A． B． C． D．
【变式2-2】（2021·鸡泽县高三开学考试）的三个顶点为，则不是三角形各边上中线所在直线方程的是（）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2021·全国高三课时作业）已知直线l过点，并且点和点到直线l的距离相等，求直线l的方程．
考点3 两直线的位置关系
【例3-1】（1）（2021·湖南高考真题）点到直线的距离为（）
A． B． C． D．
（2）（2021·浙江高三专题练习）已知直线，直线，则与之间的距离为（）
A． B． C． D．
（3）（2021·沙坪坝·重庆八中）过直线和的交点P，且与直线垂直的直线l的方程为.
【例3-2】（2021·河北高三月考）已知直线和，则原点到的距离的最大值是______；若，则实数=______.
【变式3-1】（2021·全国高三专题练习）点到直线的距离为（）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2021·全国高三专题练习）若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．
【变式3-3】（2021·天津市梧桐中学高二月考）已知直线．
（1）若直线在轴上的截距为，求实数的值；
（2）若直线与直线平行，求两平行直线与之间的距离．
考点4 对称问题
【例4-1】（1）（2021·浙江高三）点关于直线的对称点是（）
A． B． C． D．
（2）（2021·青铜峡市高级中学高二月考）已知直线与直线关于直线对称，则直线的方程为（）
A． B． C． D．
【例4-2】（2021·辽宁葫芦岛·高二月考）（1）当光射到两种不同介质的分界面上时，便有部分光自界面射回原介质中的现象，被称为光的反射，如图1所示一条光线从点出发，经过直线反射后到达点，如图2所示.求反射光线所在直线的方程，并在图2中作出光线从到的入射和反射路径.
（2）已知，直线的斜率小于，且经过点，与坐标轴交于，两点，试问的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由.
【变式4-1】（2020·山东高考真题）直线关于点对称的直线方程是（）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2021·南京市高三开学考试）已知直线，直线与关于直线对称，则直线的方程为
A． B． C． D．
【变式4-3】【变式演练3】（2021·宝山·上海交大附中开学考试）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（）
A． B．6 C． D．
考点5 圆的方程
【例5-1】（1）（2021·赤峰二中高三期中）已知圆心在轴上，半径为的位于轴左侧，且与直线相切，则的方程是（）
A． B． C． D．
（2）（2021·全国高三月考）“”是“方程表示圆”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例5-2】（2021·成都市·成都七中高二月考）已知圆过，，，
（1）求圆的方程；（2）判断和圆的位置关系．
【变式5-1】（2020·山东高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2021天津高三模拟）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.
【变式5-3】（2021·全国高三专题练习）已知圆的圆心坐标是，若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为___________.
考点6 直线与圆相切问题
【例6-1】（2021·天津高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
【例6-2】（2021·成都市·树德中学高三月考）已知圆，则过点作圆的切线的方程为___________.
【变式6-1】【变式演练1】（2020·浙江省高考真题）设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．
【变式6-2】（2021·浙江温州·三模）已知圆C经过点、、，直线l与圆C相切于点B，则圆C的方程为________，直线l的方程为________．
【变式6-3】（2021·五华·云南师大附中月考）已知P是直线l: 上一动点，过点P作圆C:的两条切线，切点分别为A、B.则四边形PACB面积的最小值为___________.
考点7 直线与圆相交问题
【例7-1】（1）（2021·山西长治市·高三月考）已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝25相交于A，B两点，则|AB|＝__________.
（2）（2021·全国高三专题练习）直线与圆的位置关系是（）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
（3）（2021·贵州贵阳·高三月考）若双曲线的一条渐近线与圆交于点，两点，则的值为（）
A． B．1 C． D．2
（4）（2021·全国高三专题练习）若直线与圆相交于，两点，则的最小值为（）
A． B． C． D．
【例7-2】（2020·全国高考真题）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式7-1】（2021·江苏南通市·高三）已知直线与圆相交于A，B两点，则线段的长为___________.
【变式7-2】（2021·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考）若直线(，)截圆：所得的弦长为，则的最小值为（）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2021·云南师大附中月考）已知圆M的方程为，过点的直线l与圆M相交的所有弦中，弦长最短的弦为，弦长最长的弦为，则四边形的面积为（）
A．30 B．40 C．60 D．80
考点8 圆与圆的位置关系
【例8-1】（2021·浙江丽水·月考）已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是（）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
【例8-2】（1）（2021·湖南长沙·高三）已知圆，，则这两圆的公共弦长为（）
A．4 B． C．2 D．1
（2）（2021·广西来宾·高三模拟））若圆与圆相交，则正实数a的取值范围为（）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2022·江苏高三专题练面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9，若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是________．
【变式8-2】（2021·双流高三月考）与圆，都相切的直线有（）
A.条 B.条 C.条 D.条
【变式8-3】（2021·辽宁高三）圆：与圆：交于、两点，则
A．6 B．5 C． D．苏教版（2019）高中数学一轮复习第20讲《直线与圆的方程》(解析版）
【知识梳理】
直线与圆的方程 直 线 与 方 程 基本概念 倾斜角 轴正向与直线向上的方向所成的角，直线与轴平行或重合时倾斜角为
斜率 倾斜角为，斜率 （），在直线上
直线方程 点斜式 在轴截距为时
两点式 在轴截距分别为时
一般式 （），时斜率，纵截距
位置关系 平行 当不重合的两条直线和的斜率存在时， ；如果不重合直线和的斜率都不存在，那么它们都与轴垂直，则//
垂直 当两条直线和的斜率存在时，；若两条直线中的一条斜率不存在，则另一条斜率为时，它们垂直
交点 两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解为坐标的点
距离公式 点点距 两点之间的距离
点线距 点到直线的距离
线线距 到距离
圆 与 方 程 圆 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。定点叫做圆心、定长叫做半径。
标准 方程 圆心坐标，半径， 方程 标准方程展开可得一般方程、一般方程配方可得标准方程。一般方程中圆心坐标为，半径
一般 方程 ( 其中)
相交 相切 相离
直线与圆 代数法 方程组有两组解 方程组有一组解 方程组无解
几何法
圆与圆 代数法 方程组有两解 方程组有一组解 方程组无解
几何法 或 或
二、【真题再现】
1、（2022北京卷）若直线是圆的一条对称轴，则（）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．故选：A．
2、（2022全国甲卷文）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
【答案】
【解析】【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】解：∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，
，解得，∴，，
的方程为.故答案为：
3、（2022全国乙卷理）过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或；
【分析】设圆的方程为，根据所选点的坐标得到方程组，解得即可；
【详解】解：依题意设圆的方程为，
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
故答案为：或或或
4、（2022新高考1卷）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
5、（2022新高考2卷）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；故答案为：
三、【考点精讲】
考点1 直线的倾斜角与斜率
【例1-1】（2022·山东潍坊·二模）已知直线，，若，则( )
A． B． C．3 D．－3
【答案】A
【分析】两直线斜率均存在时，两直线垂直，斜率相乘等于－1，据此即可列式求出a的值．
【详解】∵，∴．故选：A．
【例1-2】（2021年1月新高考八省联考卷）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______．
【答案】和.
【分析】根据题意，设正方形一边所在直线的倾斜角为，得到，得出对角线所在直线的斜率为，结合两角和的正切公式，求得，再结合两直线的位置关系，即可求解.
【详解】设正方形一边所在直线的倾斜角为，其斜率，
则其中一条对角线所在直线的倾斜角为，其斜率为，
根据题意值，可得，解得，
即正方形其中一边所在直线的斜率为，又由相邻边与这边垂直，可得相邻一边所在直线的斜率为.故答案为：和.
【例1-3】（2021·浙江高三专题练习）直线的倾斜角的大小为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，因为，所以，故选：D.
【变式1-1】（2021·台州市书生中学高二期中）已知直线：，直线：，若，则_________若，则________
【答案】
【分析】根据直线平行和垂直得到的关系，再结合二倍角公式及弦化切得到答案.
【详解】若，则，
此时，则两条直线不重合，故；
若，则，∴.
故答案为：，.
【变式1-2】（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知直线，若，则__________：若曲线：与直线有两个公共点，则实数的取值范围是__________.
【答案】；
【分析】第1空：根据两直线平行的关系列出关于的方程，解得的值，然后代入直线方程检验即可得出实数的值；第2空：，将直线化为，恒过，结合图像即可求出实数的取值范围.
【详解】解：因为，所以，即，经检验；
，直线化为，恒过，画出函数图像，如图：
因为曲线：与直线有两个公共点，所以或或，即.
【变式1-3】（2021·山东高三课时练习）已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为（）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据倾斜角和斜率关系求解.
【详解】直线倾斜角为45°时，斜率为1，直线倾斜角为135°时，斜率为，
因为在上是增函数，在上是增函数，
所以当时，的取值范围是.故选：B.
考点2 直线的方程
【例2-1】（1）（2021·山东高考真题）如下图，直线的方程是（）
A． B． C． D．
（2）（2021·浙江高三专题练习）已知直线在轴上的截距为3，在轴上的截距为-2，则的方程为（）
A．3x-2y-6=0 B．2x-3y+6=0 C．2x-3y-6=0 D．3x-2y+6=0
（3）（2021·浙江高三专题练习）经过直线与的交点，且与直线垂直的直线方程为（）
A． B． C． D．
（4）（2021·全国高三专题练习）直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点坐标是（）
A．(－2，3) B．(2，3) C．(3，－2) D．(3，2)
【答案】（1）D（2）C（3）D（4）B
【解析】（1）由图可得直线与轴的交点为且倾斜角为30°，所以斜率，
所以直线的点斜式方程可得：，即．故选：D
（2）由题意可得直线的方程为，整理可得2x-3y-6=0.故选：C
（3）由题意，联立方程组，解得，即交点为，
设与直线垂直的直线方程为，
把点代入，即，解得，即所求直线方程为.故选：D.
（4）将直线方程化为点斜式得y－3＝k(x－2)，所以该直线过定点(2，3)，故选：B.
【例2-2】（2021·全国高三专题练习）（1）已知一条直线经过点，且在两坐标轴上的截距之和为6，求这条直线的方程；（2）直线l经过点且与x，y轴正半轴交于A，B两点，当面积最小时求直线l的方程（O为坐标原点）.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）设直线的截距式方程，列方程组，求解即得解；
（2）设直线l的方程为，则，借助均值不等式即得的最小值.
【详解】（1）由题意，直线在两个坐标轴上的截距存在，因此设所求直线方程为.
由题意，得解这个方程组，得或
所求直线方程为或，即或.
（2）设直线l的方程为，则.
，，，得.当且仅当时，即，时等号成立.
此时的面积最小.所求直线方程为，即.
【变式2-1】（2021·浙江高三专题练习）已知，，，则过点且与线段垂直的直线方程为（）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以与垂直的直线的斜率为，
所以过点且与线段垂直的直线方程为，即，故选：D
【变式2-2】（2021·鸡泽县高三开学考试）的三个顶点为，则不是三角形各边上中线所在直线方程的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由题意：线段的中点；线段的中点；线段的中点；则中线所在直线分别是：直线、直线、直线，
根据、两点，求直线：；根据、两点，求直线：根据、两点，求直线：故选：C
【变式2-3】（2021·全国高三课时作业）已知直线l过点，并且点和点到直线l的距离相等，求直线l的方程．
【答案】或．
【分析】方法一：分点A和点B在直线l的同侧和异侧两种情况求解；
方法二：设直线l的方程为，再根据点到线的距离公式求解即可
【详解】方法一：当点A和点B在直线l的同侧时，易得．
∵，∴．又知直线l过点，∴直线l的方程为，即．
当点A和点B在直线l的异侧，这时直线l过的中点．
又因为直线l过点，则直线l的斜率为0，直线l的方程为．
综上所述，直线l的方程为或．
方法二：设直线l的方程为．
由题设知，直线l过点，并且点和点到直线l的距离相等，则，于是可得．从而可得或，解得或．
当时，，且，此时直线方程为．
当时，，此时直线方程为．综上所述，直线l的方程为或．
考点3 两直线的位置关系
【例3-1】（1）（2021·湖南高考真题）点到直线的距离为（）
A． B． C． D．
（2）（2021·浙江高三专题练习）已知直线，直线，则与之间的距离为（）
A． B． C． D．
（3）（2021·沙坪坝·重庆八中）过直线和的交点P，且与直线垂直的直线l的方程为.
【答案】（1）D（2）D（3）
【解析】（1）点到直线的距离为，故选：D.
（2）直线的方程可化为，则与之间的距离．故选：D
（3）直线l垂直于直线. 设直线l的方程为.
与的交点为，，解得从而.所以直线l的方程为.
【例3-2】（2021·河北高三月考）已知直线和，则原点到的距离的最大值是______；若，则实数=______.
【答案】5 -1
【分析】分析可得，直线过定点，当原点到的距离最大时，满足，即得解第一空；第二空，利用平面中两直线一般方程的平行公式即得解.
【详解】直线的方程可化为，则直线过定点，
当原点到的距离最大时，满足，所以原点到的距离的最大值为.
若，则两条直线的方程分别为和，与不平行；
若，则两条直线的方程分别为和，与不平行；
当且，若，则，由，得，解得或2，
当时，，与重合，不符合题意，当时，，满足题意.故答案为：
【变式3-1】（2021·全国高三专题练习）点到直线的距离为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据距离公式可得：点到直线的距离，故选：B.
【变式3-2】（2021·全国高三专题练习）若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．
【答案】
【解析】∵直线与平行，∴，解得，∴直线：，直线：，∴直线与之间的距离．故答案为：
【变式3-3】（2021·天津市梧桐中学高二月考）已知直线．
（1）若直线在轴上的截距为，求实数的值；
（2）若直线与直线平行，求两平行直线与之间的距离．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题意利用直线在坐标轴上的截距的定义，求得的值．
（2）利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．
【详解】（1）若直线，令，求得在轴上的截距为，实数．
（2）若直线与直线平行，则，求得，故，即，求两平行直线与之间的距离为．
考点4 对称问题
【例4-1】（1）（2021·浙江高三）点关于直线的对称点是（）
A． B． C． D．
（2）（2021·青铜峡市高级中学高二月考）已知直线与直线关于直线对称，则直线的方程为（）
A． B． C． D．
【答案】（1）B（2）A
【解析】（1）设点关于直线的对称点是，
则有，解得，，故点关于直线的对称点是.故选：B.
（2）直线取两点，其关于对称的点为在直线上，故斜率为，即方程为，即.故选：A.
【例4-2】（2021·辽宁葫芦岛·高二月考）（1）当光射到两种不同介质的分界面上时，便有部分光自界面射回原介质中的现象，被称为光的反射，如图1所示一条光线从点出发，经过直线反射后到达点，如图2所示.求反射光线所在直线的方程，并在图2中作出光线从到的入射和反射路径.
（2）已知，直线的斜率小于，且经过点，与坐标轴交于，两点，试问的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），作图答案见解析；（2）不存在最大值，最小值为.
【分析】（1）求得关于直线的对称点的坐标，由此求得反射光线所在直线方程，并画出图象.
（2）设直线，求得的面积的表达式，结合基本不等式求得的取值范围，由此确定正确结论.
【详解】（1）设关于直线的对称点为，
则，解得，，所以反射光线所在直线为，
其方程为，即.故光线从到的入射和反射路径如图所示：
（2）由题意可设直线.不妨假设在轴上，则，，
则的面积，
因为，所以，，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故的面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为.
【变式4-1】（2020·山东高考真题）直线关于点对称的直线方程是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，所以即.故选：D.
【变式4-2】（2021·南京市高三开学考试）已知直线，直线与关于直线对称，则直线的方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在上任取一点，设关于直线的对称点为，
所以，解得，代入，得：，
所以直线的方程为.故选：A
【变式4-3】【变式演练3】（2021·宝山·上海交大附中开学考试）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【解析】直线AB的方程为：，如图所示，点关于x轴的对称点，
设点关于直线AB的对称点，如图，
则，且中点在直线上，
即联立解得，即，
所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为：
．故选：C.
考点5 圆的方程
【例5-1】（1）（2021·赤峰二中高三期中）已知圆心在轴上，半径为的位于轴左侧，且与直线相切，则的方程是（）
A． B． C． D．
（2）（2021·全国高三月考）“”是“方程表示圆”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】（1）C（2）B
【解析】（1）设圆心为（），由题意，所以．
圆方程为．故选：C．
（2）方法一：因为方程表示圆，所以，解得
所以“”是“”的必要不充分条件.故选:B.
方法二：方程表示圆，即表示圆，则需，解得，
所以“”是“”的必要不充分条件.故选:B.
【例5-2】（2021·成都市·成都七中高二月考）已知圆过，，，
（1）求圆的方程；（2）判断和圆的位置关系．
【答案】（1）；（2）点在圆外．
【分析】（1）利用待定系数法求得圆的方程.
（2）由判断出点与圆的位置关系.
【详解】（1）设圆的方程为，
因为圆过，，，则，解得，
所以所求圆的方程为；
（2）因为，所以点在圆外．
【变式5-1】（2020·山东高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】圆的圆心为，半径为，得到圆方程.
【详解】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.故选：B.
【变式5-2】（2021天津高三模拟）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.
【答案】
【解析】设，则，故圆C的方程为
【变式5-3】（2021·全国高三专题练习）已知圆的圆心坐标是，若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为___________.
【答案】
【解析】如图所示，
由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得.
所以圆心为，半径为.
所以圆的标准方程为.故答案为：.
考点6 直线与圆相切问题
【例6-1】（2021·天津高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
【答案】
【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.
【详解】设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.故答案为：.
【例6-2】（2021·成都市·树德中学高三月考）已知圆，则过点作圆的切线的方程为___________.
【答案】或
【分析】本题考查求圆的切线方程，分斜率存在与不存在，利用由圆心到切线的距离等于半径，求解即得.
【详解】圆的圆心坐标，半径,
当切线的斜率不存在时，，显然到圆心的距离等于半径，故而是圆的一条切线；
当切线的斜率存在时，设斜率为，，即：,
由圆心到切线的距离等于半径，得，解得，
故切线的方程为，故答案为：或
【变式6-1】【变式演练1】（2020·浙江省高考真题）设直线与圆和圆均相切，则_______；b=______．
【答案】
【解析】设，，由题意，到直线的距离等于半径，
即，，所以，所以（舍）或者，
解得.故答案为：
【变式6-2】（2021·浙江温州·三模）已知圆C经过点、、，直线l与圆C相切于点B，则圆C的方程为________，直线l的方程为________．
【答案】；
【分析】已知圆上三点，设出圆的一般方程代入，即可求出圆的方程；点斜式设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于半径即可得解.
【详解】设圆的方程为，则
，，,故圆的方程为，即.
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，即；由圆的方程知圆心，；因为直线与圆相切，故圆心到直线的距离，解得，故直线的方程为.
故答案为：；.
【变式6-3】（2021·五华·云南师大附中月考）已知P是直线l: 上一动点，过点P作圆C:的两条切线，切点分别为A、B.则四边形PACB面积的最小值为___________.
【答案】2
【解析】由题意得：圆的方程为：∴圆心为，半径为2，
又∵四边形PACB的面积，所以当PC最小时，四边形PACB面积最小．将代入点到直线的距离公式，，故四边形PACB面积的最小值为2．故答案为：2
考点7 直线与圆相交问题
【例7-1】（1）（2021·山西长治市·高三月考）已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝25相交于A，B两点，则|AB|＝__________.
（2）（2021·全国高三专题练习）直线与圆的位置关系是（）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
（3）（2021·贵州贵阳·高三月考）若双曲线的一条渐近线与圆交于点，两点，则的值为（）
A． B．1 C． D．2
（4）（2021·全国高三专题练习）若直线与圆相交于，两点，则的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】（1）6（2）B（3）D（4）C
【解析】（1）圆心到直线的距离为，圆半径为，
所以．故答案为：6．
（2）直线，即，由得，所以直线恒过定点，
因为，所以定点在圆内，所以直线与圆相交，故选：B.
（3）双曲线的一条渐近线为，在圆中，圆心，半径．圆心到渐近线的距离，由垂径定理得故选D．
（4）可化为，
令直线恒过定点，
当时，最小，此时.故选：C.
【例7-2】（2020·全国高考真题）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时根据弦长公式得最小值为.故选：B.
【变式7-1】（2021·江苏南通市·高三）已知直线与圆相交于A，B两点，则线段的长为___________.
【答案】
【解析】直线恒过点，圆的圆心，半径为，
直线恒过圆的圆心，所以直线交圆的弦长为直径，所以线段的长为.故答案为：.
【变式7-2】（2021·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考）若直线(，)截圆：所得的弦长为，则的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆：，则圆心，半径r=，而直线截圆所得弦长为，于是得直线过圆心C，即，
因此，，当且仅当时取“=”，
由及解得，且，
所以当且时，的最小值为.故选：B
【变式7-3】（2021·云南师大附中月考）已知圆M的方程为，过点的直线l与圆M相交的所有弦中，弦长最短的弦为，弦长最长的弦为，则四边形的面积为（）
A．30 B．40 C．60 D．80
【答案】B
【解析】圆M的标准方程为，即圆是以为圆心，5为半径的圆，
且由，即点在圆内，
则最短的弦是以为中点的弦，所以，所以，
过最长的弦为直径，所以，且，
故而.故选：B.
考点8 圆与圆的位置关系
【例8-1】（2021·浙江丽水·月考）已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是（）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
【答案】B
【解析】圆的圆心为，半径为.
圆心到直线的距离为，解得.
∴圆的圆心为，半径为2，
圆的标准方程为：，
圆心坐标为，半径，圆心距，∴两圆相内切，故选：B.
【例8-2】（1）（2021·湖南长沙·高三）已知圆，，则这两圆的公共弦长为（）
A．4 B． C．2 D．1
（2）（2021·广西来宾·高三模拟））若圆与圆相交，则正实数a的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）A
【解析】（1）由题意知，，将两圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为.
又因为圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离.所以这两圆的公共弦的弦长为.故选：C.
（2），因为圆与圆相交，所以，解得．故选：A
【变式8-1】（2022·江苏高三专题练面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9，若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是________．
【答案】
【分析】由题知圆C与圆的公共弦是圆的直径，圆C与圆的公共弦是圆的直径，进而设圆C的圆心为，半径为得，再结合距离公式解方程即可得答案.
【详解】解：圆C平分圆C1等价于圆C与圆的公共弦是圆的直径．
同理圆C与圆的公共弦是圆的直径
设圆C的圆心为，半径为，则，
所以，即，解得
所以圆C的方程为．故答案为：
【变式8-2】（2021·双流高三月考）与圆，都相切的直线有（）
A.条 B.条 C.条 D.条
【答案】A
【解析】由于圆可化为，则圆的圆心为，半径为；圆可化为，则圆的圆心为，半径为；所以圆，的圆心距则两个圆内切，
所以它们只有1条公切线，故选：A
【变式8-3】（2021·辽宁高三）圆：与圆：交于、两点，则
A．6 B．5 C． D．
【答案】D
【解析】圆的半径，圆的半径，，
故在中，，
故．故选：D

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