资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题13 直线与圆锥曲线的位置关系
一、考情分析
二、考点梳理
1.直线与椭圆方程
【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：
第一步：代入消元，联立 化简：
第二步：计算判别式
可直接利用结论：（范围、最值问题）
第三步：根与系数关系表达式
，
第四步：利用 ，计算
第五步：利用，计算
第六步：利用，，计算弦中点
第七步：利用,计算弦长和的面积
进而计算原点到直线的距离
第八步:利用,，计算
第九步：利用,计算
2.直线与双曲线方程
【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：
第一步：代入消元，联立 化简：
第二步：计算判别式
可直接利用结论：（范围、最值问题）
第三步：根与系数关系表达式
，
第四步：利用 ，计算
第五步：利用，计算
第六步：利用，，计算弦中点
第七步：利用,计算弦长和的面积
进而计算原点到直线的距离，
3.直线与抛物线方程
【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：过焦点的直线与抛物线相交
第一步：代入消元，联立 化简：
第二步：根与系数关系表达式
，
第三步：一些小结论
点在抛物线的准线上，过点作抛物线的两条切线，切点分别为
结论1：的斜率为结论2：若的中点为，则
结论3： 结论4：过焦点 结论5：
三、题型突破
重难点题型突破1 直线与椭圆的位置关系
例1．（2022·福建福州·高二期末）已知椭圆()的离心率为，以原点为圆心，以的短半轴长为半径的圆被直线截得的弦长为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)点P的坐标为(2，1)，直线（不过原点也不过点P）交于A，B两点，且直线AP，BP的倾斜角互补，若点M是AB的中点，求直线OM的斜率.
例2．（2022·湖北恩施·高二期末）已知A，B分别是椭圆E：的左、右顶点，P是直线上的一动点(P的纵坐标不为零且P不在椭圆E上)，直线AP与椭圆E的另一交点为M，直线BP与椭圆E的另一交点为N，直线MN与x轴的交点为Q，且△AMB面积的最大值为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线PQ的斜率为，直线BP的斜率为，证明为定值.
重难点题型突破2 直线与双曲线的位置关系
例3.（2022·贵州黔西·高二期末（文））已知双曲线的焦点在轴上，对称中心为坐标原点，焦距为，且过点．
（1）求的方程；
（2）若斜率为2的直线与交于，两点．且，求．
例4．（2022·河南许昌·高二期末（文））已知双曲线的离心率为，右焦点F与点的连线与其一条渐近线平行.
(1)求双曲线C的方程；
(2)经过点F的直线l与双曲线C的右支交于点A B，试问是否存在一定点P，使恒成立，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
重难点题型突破3 直线与抛物线的位置关系
例5．（贵州省遵义市2021-2022学年高二下学期期末质量监测数学（文）试题）抛物线焦点为，过斜率为的直线交抛物线于，两点，且
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过直线上一点作抛物线两条切线，切点为，，猜想直线与直线位置关系，并证明猜想．
例6．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期末）已知点在抛物线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值.
四、课堂训练
1．（2022·广东潮州·高二期末）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京平谷·高二期末）抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·安徽·合肥一中高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M，若，O为坐标原点，则双曲线C的离心率为______.
4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知定点，抛物线的焦点F满足，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)过点F作斜率为 的直线l与E交于A，B两点，过点P且与l垂直的直线与l交于点M，与E交于C，D两点（设A，C两点在同一象限），若直线AD与直线BC平行，求的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题13 直线与圆锥曲线的位置关系
一、考情分析
二、考点梳理
1.直线与椭圆方程
【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：
第一步：代入消元，联立 化简：
第二步：计算判别式
可直接利用结论：（范围、最值问题）
第三步：根与系数关系表达式
，
第四步：利用 ，计算
第五步：利用，计算
第六步：利用，，计算弦中点
第七步：利用,计算弦长和的面积
进而计算原点到直线的距离
第八步:利用,，计算
第九步：利用,计算
2.直线与双曲线方程
【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：
第一步：代入消元，联立 化简：
第二步：计算判别式
可直接利用结论：（范围、最值问题）
第三步：根与系数关系表达式
，
第四步：利用 ，计算
第五步：利用，计算
第六步：利用，，计算弦中点
第七步：利用,计算弦长和的面积
进而计算原点到直线的距离，
3.直线与抛物线方程
【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：过焦点的直线与抛物线相交
第一步：代入消元，联立 化简：
第二步：根与系数关系表达式
，
第三步：一些小结论
点在抛物线的准线上，过点作抛物线的两条切线，切点分别为
结论1：的斜率为结论2：若的中点为，则
结论3： 结论4：过焦点 结论5：
三、题型突破
重难点题型突破1 直线与椭圆的位置关系
例1．（2022·福建福州·高二期末）已知椭圆()的离心率为，以原点为圆心，以的短半轴长为半径的圆被直线截得的弦长为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)点P的坐标为(2，1)，直线（不过原点也不过点P）交于A，B两点，且直线AP，BP的倾斜角互补，若点M是AB的中点，求直线OM的斜率.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
（1）利用直线与圆的位置关系求解，利用离心率跟的关系，列式求解即可得椭圆方程；
（2）分析题意，直线斜率存在，设直线方程，代入椭圆方程中，得交点的横坐标关系，在利用直线AP，BP的倾斜角互补，建立坐标关系，整理求解即可得直线OM的斜率.
(1)
解：由已知得，，∴，,
又原点到直线的距离为＝，
因此b2＝（）2 ＋12＝3，，
故椭圆的方程为 ；
(2)
解：由题意可得直线的斜率存在，
设直线的方程为，设，，，，
由可得，
则△，
且，，
直线，的倾斜角互补， 则，
代入，，
所以
即有，
整理可得 ，
即 又直线不经过点 即 故

例2．（2022·湖北恩施·高二期末）已知A，B分别是椭圆E：的左、右顶点，P是直线上的一动点(P的纵坐标不为零且P不在椭圆E上)，直线AP与椭圆E的另一交点为M，直线BP与椭圆E的另一交点为N，直线MN与x轴的交点为Q，且△AMB面积的最大值为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线PQ的斜率为，直线BP的斜率为，证明为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）当M为椭圆的上(下)顶点时，△AMB的面积最大，由此建立方程求得a，可得椭圆的标准方程；
（2）设P(－1，t)(且)，则直线AP的方程为，直线BP的方程为，设点M(，)，N(，)，联立方程组，可解得，.同理可得.再求得点Q的坐标，表示，可求得其定值.
(1)
解：当M为椭圆的上(下)顶点时，△AMB的面积最大，
则，解得，
所以椭圆E的方程为..
(2)
证明：设P(－1，t)(且)，，，则直线AP的方程为，直线BP的方程为，
设点M(，)，N(，)，
联立方程组消去y，整理得.
则，因为，所以，.
同理可得.
因为且，所以，
则直线MN的方程为，
令，得.
则.
重难点题型突破2 直线与双曲线的位置关系
例3.（2022·贵州黔西·高二期末（文））已知双曲线的焦点在轴上，对称中心为坐标原点，焦距为，且过点．
（1）求的方程；
（2）若斜率为2的直线与交于，两点．且，求．
【答案】（1） ；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由焦距可以设出焦点坐标，利用双曲线的定义求出实轴的长度，进而可得双曲线的方程；
（2）联立直线与双曲线方程，消去，写出韦达定理，由得出直线的纵截距，再利用弦长公式求解即可．
【详解】
（1）由已知，设焦点坐标为，则，
又，解得，
故双曲线的方程为：；
（2）设直线，与双曲线的方程联立可得：
设，则，，
，
，，解得，
因此．
例4．（2022·河南许昌·高二期末（文））已知双曲线的离心率为，右焦点F与点的连线与其一条渐近线平行.
(1)求双曲线C的方程；
(2)经过点F的直线l与双曲线C的右支交于点A B，试问是否存在一定点P，使恒成立，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出关于a,b的等式，结合离心率即可求得a,b，可得双曲线方程；
（2）判断出符合题意的点存在，并判断其位于轴上；然后进行说明理由，设直线线方程，并联立双曲线方程，得到根与系数的关系，结合可得 的斜率之和为，列出等式并化简即可求得参数的值，从而说明结论成立.
(1)
设，由条件知的斜率等于，
即，又， ,
，，
双曲线的方程为：.
(2)
存在点满足恒成立，且点在轴上.
理由如下:设点，过点，设直线,
由,消去得, ,
设，
由韦达定理得，①,，②
， 的斜率之和为，
即，因为，，
所以代入整理得：，③
将①②代入③可得，即,④
④式对任意实数都成立，，
,即存在点满足恒成立，且点在轴上.
重难点题型突破3 直线与抛物线的位置关系
例5．（贵州省遵义市2021-2022学年高二下学期期末质量监测数学（文）试题）抛物线焦点为，过斜率为的直线交抛物线于，两点，且
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过直线上一点作抛物线两条切线，切点为，，猜想直线与直线位置关系，并证明猜想．
【答案】(1)
(2)直线与直线垂直；证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设直线的方程为，与抛物线交于，，将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系得，再结抛物线的定义可求出，从而可得抛物线的方程，
（2）根据导数的几何意义求出切线的方程，从而可得直线的方程，再求出直线的斜率，比较两直线斜率的关系可得结论
(1)
设直线的方程为，与抛物线交于，
联立抛物线方程，
所以，
所以，
又由抛物线的定义知
即，所以抛物线的方程为
(2)
直线与直线垂直，理由如下：
由（1）得，
设，，
所以直线方程为：
又因为点在抛物线上，联立
得到直线方程为
同理可得方程为：，由两点可以确定一条直线，，经过点
所以所在直线方程为：
当时，显然成立，
当时，直线斜率，直线所在斜率，
则，
综上，直线与直线垂直．
例6．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期末）已知点在抛物线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将点代入抛物线方程，求解的值即可；
（2）设直线方程，与抛物线C的方程联立，由韦达定理得的值，计算的值即可.
(1)
∵点在抛物线C上，
∴，解得，
∴抛物线C的方程为.
(2)
证明：设直线，，，
联立，消去y可得，，
由韦达定理有，，
∴，即得证.
四、课堂训练
1．（2022·广东潮州·高二期末）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
确定双曲线的，确定其焦点位置，即可求得其渐进线方程.
【详解】
由可知， ，且双曲线焦点位于x轴上
故该双曲线的渐近线方程为 ，
故选：C
2．（2022·北京平谷·高二期末）抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
求出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得解；
【详解】
解：抛物线的焦点为，准线方程为，
所以焦点到准线的距离；
故选：A
3．（2022·安徽·合肥一中高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M，若，O为坐标原点，则双曲线C的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
解法一：根据，结合余弦定理列式化简求解即可；
解法二：直线的方程为，再联立渐近线方程求解M的坐标，再根据勾股定理表达化简求解即可
【详解】
解法一：由题得，不妨设过点作双曲线渐近线的垂线，则由点到直线的距离得，又，所以，所以，在中，，又在中，，所以，所以，又，所以，所以.
解法二：由题得，，不妨设过点作双曲线渐近线的垂线，则直线的方程为，联立方程组得，所以，，所以，化简得，所以.
故答案为：
4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知定点，抛物线的焦点F满足，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)过点F作斜率为 的直线l与E交于A，B两点，过点P且与l垂直的直线与l交于点M，与E交于C，D两点（设A，C两点在同一象限），若直线AD与直线BC平行，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由定点，抛物线的焦点，根据求解；
（2）， 易得直线，分别与E联立， 根据，由，结合韦达定理求解.
(1)
解：已知定点，抛物线的焦点，
因为，
所以，解得，
则，所以抛物线方程是；
(2)
易知，，（设），
联立，消去y得，
则．
直线，联立，消去x得，
设，（设），则，
，，
若，则，
即，，
，，
，
同理得，
化简得，解得（负值舍去）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑