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专题14 圆锥曲线的综合问题：定点与定值问题
一、考情分析
1.定点与定值点问题曾在2019全国III理21、2022新高考中出现，虽然以往全国卷高考题中出现较少，是圆锥曲线部分的小概率考点．但是与圆锥曲线有关定点、定值问题,在高考中常以解答题形式考查，且难度较大，它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,因而备受命题者青睐。解题时要紧紧抓住圆锥曲线的定义与性质进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用．
2.在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型的定点和定值问题,以起到抛砖引玉的作用．
探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：
① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；
② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值
二、考点梳理
【直线过定点的解题策略】
如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.
直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.
若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
【重要结论】
1．动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．
2．动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
3.“弦对定点张直角”-圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点
4.只要任意一个限定AP与BP条件（如定值，定值），直线AB依然会过定点
【定值问题的常见类型及解题策略】
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
【知识拓展】
1.设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；
2. 设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；
3. 设点是抛物线C：一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；
三、题型突破
重难点题型突破(一) 定点问题
解题策略 内 容
使用场景 求解直线和曲线过定点问题
解题模板 第一步 把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零；第二步 参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组；第三步 方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求；第四步 用一般化方法证明.
例1、已知椭圆：的右焦点为，离心率为，点且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若不垂直于轴的直线与相交于，两点，，均为整数，且满足与关于轴对称，求证：直线过定点．
【试题来源】河南省开封市2021-2022学年高三下学期核心模拟卷（中）（二）
【答案】（1）或，（2）证明见解析
【解析】（1）由得或．
当时，半焦距，再由离心率为，得，解得，
则，故椭圆的标准方程为；
当时，半焦距，再由离心率为，得，
解得．则，故椭圆的标准方程为．
（2）依题可得直线的斜率存在，设直线的方程为，设，．
因为，均为整数．所以椭圆方程为，
联立方程组可得．
则，即，且，．
因为与关于轴对称．所以，
则，
即
，
整理得，
解得．满足，所以直线的方程为，
所以直线恒过定点．
例2、已知椭圆与双曲线有公共焦点，且右顶点为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线：与椭圆交于不同的，两点（，不是左右顶点），若以为直径的圆经过点．求证：直线过定点，并求出定点．
【试题来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2021-2022学年高三上学期期末考试
【答案】（1）；（2）证明过程见解析，定点为．
【解析】（1）双曲线的半焦距为，
所以椭圆的焦点坐标为，椭圆的右顶点为，
设椭圆的标准方程为，
所以，
因此椭圆的标准方程为；
（2）直线方程与椭圆方程联立，
得，设，
于是有：，
，
因为以为直径的圆经过点，
所以，
即，化简得
，而，
所以有：，化简得
或 ，
显然满足，
当时，，
此时直线过椭圆的右顶点不符合题意；
当时，，此时直线恒过点，
综上所述：直线过定点，定点为．
【名师点睛】利用圆直径的性质，结合平面向量垂直的坐标运算公式是解题的关键．
例3、（2021·全国高三专题练习（理））已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点 ，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．
【答案】（1）；（2）证明见解析，.
【分析】
（1）利用已知和的关系，列方程组可得椭圆的标准方程；
（2）直线斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立， 可得，利用根与系数的关系代入化简，可得直线所过定点．
【详解】
（1）由得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不合题意.
所以直线斜率存在，设直线的方程为.
设、，
由得，
所以，.
因为，
所以，
即，整理得
化简得，
所以直线的方程为，
所以直线过定点.
例4、(河北省张家口市2021届高三上学期期末教学质量监测)椭圆过点，其上 下顶点分别为点A，B，且直线，的斜率之积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左顶点作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T.若，求证：直线过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据可得，再代入即可求出；
（2）设的方程为，联立直线与椭圆，利用韦达定理得出关系即可求出定点.
【详解】
（1）解：∵，，
∴，解得，
将，都代入椭圆方程，得，
∴椭圆方程为；
（2）证明：设，，直线的方程为.
将代入椭圆方程，整理得，
，，
由，得.
整理，得，
即.
化简，得，
即.
当时，直线的方程为，恒过左顶点，不合题意
当时，直线的方程为，恒过点.
直线过定点.
【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为形式；
（5）代入韦达定理求解.
重难点题型突破(二) 定值问题
解题策略 内 容
使用场景 解析几何中的定值问题
解题模板 求定值问题常见的解题模板有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
例5、已知圆和圆，若动圆C与圆A和圆B都外切
（1）求动圆C的圆心的轨迹E的方程；
（2）设圆O：，点M，P分别是圆O和（1）中轨迹E上的动点，当时，是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，请说明理由．
【试题来源】陕西省渭南市2022届高三下学期二模
【答案】（1），；（2）是定值，定值为．
【解析】（1）因为设动圆圆心，半径为，因为动圆C与圆A和圆B都外切，
所以，，所以，
根据双曲线定义可知，的轨迹为双曲线的右支的部分，
其中，为双曲线的焦点，即，
，即，所以，即，
联立方程组，易知圆A和圆B相交，且交点坐标为和，
所以，，所以动圆C的圆心的轨迹E的方程为，；
（2）设，为轨迹E上的动点，所以，即，
因为，且，所以，
而，则有，
所以，所以是定值，定值为．
例6．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过的直线l与抛物线C相交于A，B两点，求证：为定值．
【试题来源】安徽省“皖东县中联盟”2021-2022学年高三上学期期末联考
【答案】（1），（2）证明见解析
【解析】（1）因为点在抛物线上，且，
由抛物线的定义可得，解得，所以抛物线的方程为．
（2）设直线的斜率为，可得直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，可得且，
由
．
例7、（T8联考八校2020-2021学年高三上学期第一次联考）已知椭圆（）与抛物线有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线交椭圆于，两点，交轴于点，为弦的中点，过点作直线的垂线交于点，问是否存在一定点，使得的长度为定值？若存在，则求出点，若不存在，请说明理由.
数学试题
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】
（1）根据抛物线的焦点坐标公式、准线方程，结合椭圆中的关系进行求解即可；
（2）设出直线的方程与椭圆方程联立，根据中点坐标公式、一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
【详解】
（1）因为抛物线的焦点坐标为：，与有相同的焦点，
所以 ①，
又因为抛物线的准线方程为：，
所以当时，，
因为抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3，所以 ②，
解①②得，，所以曲线的方程为.
（2）设直线，，，
联立直线与椭圆方程，消去得：，
则，，
，，
的坐标为，直线 ③，
直线方程中令得，的坐标为，
因为直线，的直线方程为 ④，
将③④联立相乘得到，即，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
所以存在定点，使得的长为定值.
例8、（湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三上学期月考（四））已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作直线l交C于P Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，定点.
【分析】
（1）根据题意，列出方程组，即可求得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得b的值，即可求得答案；
（2）当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，与椭圆联立，根据韦达定理，可得的表达式，代入所求，化简整理，即可得结果；当直线l与x轴重合时，可求得P，Q坐标，可得的表达式，经检验符合题意，综合即可得答案.
【详解】
（1）由题意得：，解得，又，
所以椭圆C的方程为：.
（2）当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，，
联立直线与曲线方程，整理得：，
则，，
假设存在定点，使得为定值，
则
=.
当且仅当，即时，(为定值)，这时，
当直线l与x轴重合时，
此时，，，，
，
当时，(为定值)，满足题意.
所以存在定点使得对于经过点的任意一条直线l均有(恒为定值).
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专题14 圆锥曲线的综合问题：定点与定值问题
一、考情分析
1.定点与定值点问题曾在2019全国III理21、2022新高考中出现，虽然以往全国卷高考题中出现较少，是圆锥曲线部分的小概率考点．但是与圆锥曲线有关定点、定值问题,在高考中常以解答题形式考查，且难度较大，它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,因而备受命题者青睐。解题时要紧紧抓住圆锥曲线的定义与性质进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用．
2.在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型的定点和定值问题,以起到抛砖引玉的作用．
探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：
① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；
② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值
二、考点梳理
【直线过定点的解题策略】
如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.
直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.
若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
【重要结论】
1．动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．
2．动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
3.“弦对定点张直角”-圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点
4.只要任意一个限定AP与BP条件（如定值，定值），直线AB依然会过定点
【定值问题的常见类型及解题策略】
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
【知识拓展】
1.设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；
2. 设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；
3. 设点是抛物线C：一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；
三、题型突破
重难点题型突破(一) 定点问题
解题策略 内 容
使用场景 求解直线和曲线过定点问题
解题模板 第一步 把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零；第二步 参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组；第三步 方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求；第四步 用一般化方法证明.
例1、已知椭圆：的右焦点为，离心率为，点且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若不垂直于轴的直线与相交于，两点，，均为整数，且满足与关于轴对称，求证：直线过定点．
例2、已知椭圆与双曲线有公共焦点，且右顶点为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线：与椭圆交于不同的，两点（，不是左右顶点），若以为直径的圆经过点．求证：直线过定点，并求出定点．
例3、（2021·全国高三专题练习（理））已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点 ，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．
例4、(河北省张家口市2021届高三上学期期末教学质量监测)椭圆过点，其上 下顶点分别为点A，B，且直线，的斜率之积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左顶点作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T.若，求证：直线过定点.
重难点题型突破(二) 定值问题
解题策略 内 容
使用场景 解析几何中的定值问题
解题模板 求定值问题常见的解题模板有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
例5、已知圆和圆，若动圆C与圆A和圆B都外切
（1）求动圆C的圆心的轨迹E的方程；
（2）设圆O：，点M，P分别是圆O和（1）中轨迹E上的动点，当时，是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，请说明理由．
例6．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过的直线l与抛物线C相交于A，B两点，求证：为定值．
例7、（T8联考八校2020-2021学年高三上学期第一次联考）已知椭圆（）与抛物线有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线交椭圆于，两点，交轴于点，为弦的中点，过点作直线的垂线交于点，问是否存在一定点，使得的长度为定值？若存在，则求出点，若不存在，请说明理由.
数学试题
例8、（湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三上学期月考（四））已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作直线l交C于P Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.
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